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第十九章　一次函數(shù)（11類題型突破）
題型一 對函數(shù)概念的理解
例題：（2023上·浙江·八年級專題練習(xí)）下列圖象中，y不是x的函數(shù)圖象的是（　　）
A． B．
C． D．
變式訓(xùn)練
1．（2022下·廣東廣州·八年級廣州市第七十五中學(xué)校考期中）下列各曲線中，表示y是x的函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·安徽蚌埠·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列圖象中，表示y是x的函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
題型二 用表格/表達式/圖象表示變量之間的關(guān)系
例題：（2023上·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）某通訊公司手機話費收費有A套餐（月租費15元，通話費每分鐘元）和B套餐（月租費0元，通話費每分鐘元）兩種，設(shè)A套餐每月話費為（元），B套餐每月話費（元），月通話時間為x分鐘．
(1)直接寫出與x，與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)如果某用戶使用A套餐本月繳費50元，求他本月的通話時間？
(3)如果某用戶這個月的通話時間為280分鐘時，選擇哪種套餐更劃算？
變式訓(xùn)練
1．（2023上·廣東佛山·八年級校考階段練習(xí)）在一次實驗中，小明把一根彈簧的上端固定，在其下端懸掛物體，下表是測得的彈簧的長度y與所掛物體的質(zhì)量x的幾組對應(yīng)值．
所掛物體質(zhì)量x/kg 0 1 2 3 4 5
彈簧長度y/cm 18 20 22 24 26 28
(1)當(dāng)所掛重物為時，彈簧有多長？不掛重物呢？
(2)請寫出彈簧長度y與所掛物體質(zhì)量x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)重物為時（在彈簧的允許范圍內(nèi)），你能說出此時彈簧的長度嗎？
2．（2022下·福建漳州·七年級福建省詔安縣第二實驗中學(xué)校考期中）如圖，是駱駝的體溫隨時間變化而變化的的關(guān)系圖，據(jù)圖回答下列問題：
(1)一天中，駱駝體溫的變化范圍是什么？它的體溫從最低上升到最高需要多少時間？
(2)從16時到24時，駱駝的體溫下降了多少？
(3)在什么時間范圍內(nèi)駱駝的體溫在上升？在什么時間范圍內(nèi)駱駝的體溫在下降？
(4)A點表示的是什么？
3．（2023上·河南焦作·八年級統(tǒng)考期中）新學(xué)期，兩摞規(guī)格相同準(zhǔn)備發(fā)放的課本整齊地疊放在講臺上，請根據(jù)圖中所給出的數(shù)據(jù)信息，解答下列問題：

(1)若（本）表示課本數(shù)，表示整齊疊放在桌面上的課本距離地面的高度，則是的一次函數(shù)，請求出關(guān)于的函數(shù)表達式；
(2)桌面上有55本與題（1）中相同的課本，整齊疊放成一摞，求這些數(shù)學(xué)課本距離地面的高度；
(3)小馬說：如果把我班60名學(xué)生的這種課本整齊疊成一摞放在地面上，則它離地面有高．你認(rèn)為小馬的說法正確嗎？請說明理由．
4．（2023下·陜西西安·七年級西安市第二十六中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖表示一輛汽車在行駛途中的速度v（千米/時）隨時間t（分鐘）的變化示意圖，請根據(jù)圖象回答下列問題：

(1)汽車勻速行駛了______分鐘，時速是______千米/時；
(2)汽車在行駛途中在哪段時間停車休息？休息了多長時間？
(3)若司機從第28分鐘開始先勻速行駛8分鐘后，立即減速行駛2分鐘，至停止．請你按照以上敘述在途中補畫出從第28分鐘以后汽車的速度與行駛時間的關(guān)系圖．
題型三 判別是否一次函數(shù)
例題：（2024上·甘肅蘭州·八年級統(tǒng)考期末）下列各式①；②；③；④；⑤，是一次函數(shù)有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
變式訓(xùn)練
1．（2023上·江蘇淮安·八年級淮安市浦東實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)（1） （2） （3） （4） （5） 中一次函數(shù)有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
2．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）函數(shù)①；②；③；④；⑤．是一次函數(shù)的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
題型四 根據(jù)一次函數(shù)的定義求參數(shù)的值
例題：（2023上·浙江·八年級期末）若函數(shù)是一次函數(shù)，則m的值為_____．
變式訓(xùn)練
1．（2024·全國·八年級假期作業(yè)）已知函數(shù)是關(guān)于的一次函數(shù)，則______，若該函數(shù)是正比例函數(shù)，則______，______．
2．（2022上·四川成都·八年級成都嘉祥外國語學(xué)校校考期末）已知函數(shù)是關(guān)于x的一次函數(shù)，則_____．
題型五 畫一次函數(shù)的圖象
例題：（2023上·安徽滁州·八年級校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)請在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象．
(2)結(jié)合所畫圖象，分別求出在函數(shù)圖象上滿足下列條件的點的坐標(biāo)：
①橫坐標(biāo)是；
②和軸的距離是2個單位長度．
變式訓(xùn)練
1．（2023上·福建漳州·八年級福建省漳州第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，一次函數(shù)的圖像分別與軸，軸交于點A，B．
(1)請直接寫出兩點坐標(biāo)：A：__________，B：__________；
(2)在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象（不用列表，直接描點、連線）；
(3)點是一次函數(shù)上一動點，則的最小值為___________．
2．（2023上·寧夏銀川·八年級銀川唐徠回民中學(xué)校考期中）已知函數(shù)回答下列問題：
(1)畫出函數(shù)的圖象；當(dāng)_________時，．
(2)設(shè)直線與軸交于點，與軸交于點，求出的面積．
(3)直線上是否存在一點（與不重合），使的面積等于8？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
題型六 一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
例題：（2023上·廣東深圳·八年級校考期中）下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中，錯誤的是（ ）
A．圖象經(jīng)過點
B．點，在該函數(shù)圖象上，若，則
C．將函數(shù)圖象向下平移2個單位長度后，經(jīng)過點
D．圖象不經(jīng)過第四象限
變式訓(xùn)練
1．（2023下·廣西南寧·八年級校考階段練習(xí)）對于一次函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．圖象不經(jīng)過第三象限
B．當(dāng)時，
C．圖象由直線向上平移2個單位長度得到
D．圖象與x軸交于點
2．（2023上·安徽六安·八年級校考階段練習(xí)）一次函數(shù)，下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．若兩點A()，B()在該函數(shù)圖象上，且，則
B．函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限
C．函數(shù)的圖象向下平移4個單位長度得到的圖象
D．函數(shù)的圖象與軸的交點坐標(biāo)是
題型七 根據(jù)一次函數(shù)經(jīng)過的象限求參數(shù)問題
例題：（2023上·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第________象限．
變式訓(xùn)練
1．（2023上·內(nèi)蒙古包頭·八年級校考期中）一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，則m的取值范圍是____．
2．（2024上·陜西西安·八年級西安市第二十六中學(xué)校聯(lián)考期末）已知直線經(jīng)過第二、四象限，則直線不經(jīng)過第______象限．
題型八 根據(jù)一次函數(shù)的增減性求參數(shù)問題
例題：（2024上·陜西西安·八年級統(tǒng)考期末）在一次函數(shù)中，隨的增大而減小，則m的值可以是______．（寫出一個即可）
變式訓(xùn)練
1．（2023上·江蘇徐州·八年級校考階段練習(xí)）一次函數(shù)中，若y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是___．
2．（2024上·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考周測）若一次函數(shù) 的函數(shù)值隨x的增大而增大，且函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二象限，則k的取值范圍是 _________
題型九 一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點問題
例題：（2023上·陜西咸陽·八年級校考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象與軸的交點是________．
變式訓(xùn)練
1．（2023上·海南海口·九年級海南中學(xué)校考階段練習(xí)）一次函數(shù)與軸交點的坐標(biāo)為________，與軸交點的坐標(biāo)為________．
2．（2023上·福建福州·八年級福建省福州格致中學(xué)校考期中）直線與x軸的交點坐標(biāo)是_____；與y軸的交點坐標(biāo)是_____；與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_____．
題型十 用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達式
例題：（2023上·江蘇揚州·八年級揚州教育學(xué)院附中校考階段練習(xí)）已知一次函數(shù)．當(dāng)時，；當(dāng)時．
(1)求該一次函數(shù)的表達式；
(2)當(dāng)時，求x的值．
變式訓(xùn)練
1．（2024上·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)的圖象與直線平行，且與軸交于點，求該一次函數(shù)的表達式．
2．（2024上·陜西榆林·八年級校考期末）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點，且經(jīng)過點．
(1)求一次函數(shù)的表達式．
(2)求的長．
3．（2024上·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）已知與成正比例，當(dāng)時，．
(1)求y與x之間的關(guān)系式；
(2)求（1）中的函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．
題型十一 一次函數(shù)與三角形的面積問題
例題：（2023春·河南鄭州·八年級鄭州外國語中學(xué)校考期末）如圖，已知函數(shù)的圖象與軸交于點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸以及的圖象分別交于點、，且點的橫坐標(biāo)為1．
(1)點的坐標(biāo)是______直線的解析式是_______
(2)連接，求的面積．
(3)點是直線上一點（不與點重合），設(shè)點的橫坐標(biāo)為，的面積為，請直接寫出與之間的關(guān)系式．
變式訓(xùn)練
1．（2023秋·陜西西安·八年級校考期末）已知一次函數(shù)與的圖像都過點，且與y軸分別交于點B，C．
(1)求m，n的值；
(2)求的面積．
2．（2023·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考期末）已知，一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，點P的坐標(biāo)為．
(1)若一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點P，求m的值；
(2)若點P在x軸上，求的面積．
3．（2022秋·山東東營·七年級統(tǒng)考期末）已知某一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且與正比例函數(shù)的圖象相交于點，求：
(1)的值；
(2)一次函數(shù)y與x的函數(shù)解析式；
(3)這兩個函數(shù)圖象與軸所圍成的三角形的面積．
第十九章　一次函數(shù)（11類題型突破）
答案全解全析
題型一 對函數(shù)概念的理解
例題：（2023上·浙江·八年級專題練習(xí)）下列圖象中，y不是x的函數(shù)圖象的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了函數(shù)的概念，根據(jù)函數(shù)的概念：對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，即可解答．
【詳解】解：A、對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，所以y是x的函數(shù)，故A不符合題意；
B、對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，所以y是x的函數(shù)，故B不符合題意；
C、對于自變量x的每一個值，因變量y不是都有唯一的值與它對應(yīng)，所以y不是x的函數(shù)，故C符合題意；
D、對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，所以y是x的函數(shù)，故D不符合題意．
故選：C．
變式訓(xùn)練
1．（2022下·廣東廣州·八年級廣州市第七十五中學(xué)校考期中）下列各曲線中，表示y是x的函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】主要考查了函數(shù)的定義．對于自變量的任何值，都有唯一的值與之相對應(yīng)，據(jù)此逐一判斷即可求出答案．注意函數(shù)的意義反映在圖象上簡單的判斷方法是：作垂直軸的直線在左右平移的過程中與函數(shù)圖象只會有一個交點，正確理解定義是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：A．對于自變量的任何值，有時有兩個值與之相對應(yīng)，故不是的函數(shù)，不符合題意，
B．對于自變量的任何值，有時有兩個值與之相對應(yīng)，故不是的函數(shù)，不符合題意，
C．對于自變量的任何值，有時有兩個值與之相對應(yīng)，故不是的函數(shù)，不符合題意，
D．對于自變量的任何值，都有唯一的值與之相對應(yīng)，故是的函數(shù)，符合題意，
故選：D．
2．（2023上·安徽蚌埠·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列圖象中，表示y是x的函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】在一個變化過程中有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，由此即可判斷．
【詳解】解：A、 表示y不是x的函數(shù)，該選項不符合題意的；
B、 表示y是x的函數(shù)，該選項是符合題意的；
C、 表示 y不是x的函數(shù)，該選項不符合題意的；
D、 表示 y不是x的函數(shù)，該選項不符合題意的；
故選：B．
【點睛】本題考查函數(shù)的概念，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的定義．
題型二 用表格/表達式/圖象表示變量之間的關(guān)系
例題：（2023上·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）某通訊公司手機話費收費有A套餐（月租費15元，通話費每分鐘元）和B套餐（月租費0元，通話費每分鐘元）兩種，設(shè)A套餐每月話費為（元），B套餐每月話費（元），月通話時間為x分鐘．
(1)直接寫出與x，與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)如果某用戶使用A套餐本月繳費50元，求他本月的通話時間？
(3)如果某用戶這個月的通話時間為280分鐘時，選擇哪種套餐更劃算？
【答案】(1)，
(2)他本月的通話時間為分鐘
(3)通話時間為280分鐘時，選擇套餐更劃算
【分析】本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系和求函數(shù)值和自變量的值，根據(jù)題意正確列出關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）根據(jù)題意可知，，求出的值即可；
（3）分別求出時，和的值，比較大小即可．
【詳解】（1）解：A套餐：月租費15元，通話費每分鐘元，
，
B套餐：月租費0元，通話費每分鐘元，
；
（2）解：該手機用戶使用A套餐且本月繳費50元，
，
解得：，
他本月的通話時間為分鐘；
（3）解：當(dāng)時，，，
，
∴通話時間為280分鐘時，選擇套餐更劃算．
變式訓(xùn)練
1．（2023上·廣東佛山·八年級校考階段練習(xí)）在一次實驗中，小明把一根彈簧的上端固定，在其下端懸掛物體，下表是測得的彈簧的長度y與所掛物體的質(zhì)量x的幾組對應(yīng)值．
所掛物體質(zhì)量x/kg 0 1 2 3 4 5
彈簧長度y/cm 18 20 22 24 26 28
(1)當(dāng)所掛重物為時，彈簧有多長？不掛重物呢？
(2)請寫出彈簧長度y與所掛物體質(zhì)量x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)重物為時（在彈簧的允許范圍內(nèi)），你能說出此時彈簧的長度嗎？
【答案】(1)當(dāng)所掛重物為時，彈簧有，不掛重物時，彈簧有
(2)，當(dāng)重物為時，彈簧有
【分析】本題考查考查了函數(shù)的表示方法，明確變量及變量之間的關(guān)系是解好本題的關(guān)鍵．
（1）由表格數(shù)據(jù)直接求解即可；
（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，所掛物體質(zhì)量每增加，彈簧長度增加，據(jù)此得到函數(shù)關(guān)系式即可．
【詳解】（1）解：由表格知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
答：當(dāng)所掛重物為時，彈簧有，不掛重物時，彈簧有；
（2）解：∵所掛物體質(zhì)量每增加，彈簧長度增加，
∴彈簧長度y與所掛物體質(zhì)量x之間的函數(shù)關(guān)系式，
當(dāng)時，，即當(dāng)重物為時，彈簧有．
2．（2022下·福建漳州·七年級福建省詔安縣第二實驗中學(xué)校考期中）如圖，是駱駝的體溫隨時間變化而變化的的關(guān)系圖，據(jù)圖回答下列問題：
(1)一天中，駱駝體溫的變化范圍是什么？它的體溫從最低上升到最高需要多少時間？
(2)從16時到24時，駱駝的體溫下降了多少？
(3)在什么時間范圍內(nèi)駱駝的體溫在上升？在什么時間范圍內(nèi)駱駝的體溫在下降？
(4)A點表示的是什么？
【答案】(1)35℃~40℃；12小時
(2)3℃
(3)4時到16時體溫上升；0時到4時，16時到24時體溫下降
(4)12時，駱駝的體溫為39℃
【分析】觀察0時到24時，駱駝的體溫變化，進行解答即可．
【詳解】（1）解：由圖可知，最低體溫為，最高體溫為，
∴駱駝體溫的變化范圍為；
∵，
∴從最低體溫上升到最高體溫需要12小時．
（2）解：由圖可知16時體溫為，24時體溫為
∵
∴駱駝體溫下降了．
（3）解：由圖可知，在4時到16時，駱駝體溫上升；在0時到4時，16時到24時，駱駝體溫下降．
（4）解：點表示，在12時，駱駝的體溫為．
【點睛】本題考查了圖象表示變量間的關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于從圖中獲取正確的信息．
3．（2023上·河南焦作·八年級統(tǒng)考期中）新學(xué)期，兩摞規(guī)格相同準(zhǔn)備發(fā)放的課本整齊地疊放在講臺上，請根據(jù)圖中所給出的數(shù)據(jù)信息，解答下列問題：

(1)若（本）表示課本數(shù)，表示整齊疊放在桌面上的課本距離地面的高度，則是的一次函數(shù)，請求出關(guān)于的函數(shù)表達式；
(2)桌面上有55本與題（1）中相同的課本，整齊疊放成一摞，求這些數(shù)學(xué)課本距離地面的高度；
(3)小馬說：如果把我班60名學(xué)生的這種課本整齊疊成一摞放在地面上，則它離地面有高．你認(rèn)為小馬的說法正確嗎？請說明理由．
【答案】(1)
(2)這些課本距離地面的高度為
(3)小馬的說法錯誤，理由見解析
【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，求函數(shù)值：
（1）求出一本課本的高度，講臺高度，即可；
（2）將代入（1）中的解析式，求函數(shù)值即可；
（3）求出60本課本整齊疊成一摞放在地面上離地面的高度，即可求解．
【詳解】（1）解：一本課本的高度，
講臺高度，
關(guān)于的函數(shù)表達式為：；
（2）解：當(dāng)時，；
故這些課本距離地面的高度為；
（3）解：如果把這種課本整齊疊成一摞放在地面上，則它離地面的高度為，
，
小馬的說法錯誤．
4．（2023下·陜西西安·七年級西安市第二十六中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖表示一輛汽車在行駛途中的速度v（千米/時）隨時間t（分鐘）的變化示意圖，請根據(jù)圖象回答下列問題：

(1)汽車勻速行駛了______分鐘，時速是______千米/時；
(2)汽車在行駛途中在哪段時間停車休息？休息了多長時間？
(3)若司機從第28分鐘開始先勻速行駛8分鐘后，立即減速行駛2分鐘，至停止．請你按照以上敘述在途中補畫出從第28分鐘以后汽車的速度與行駛時間的關(guān)系圖．
【答案】(1)4，45
(2)汽車在行駛途中，在分鐘這個時間段停車休息，休息了6分鐘
(3)見解析
【分析】（1）直接由圖象知汽車在段勻速行駛，進而可得結(jié)論；
（2）直接由圖知，汽車在段的速度為0，進而可求解；
（3）根據(jù)題中描述補畫圖象即可．
【詳解】（1）解：由圖知，汽車勻速行駛了（分鐘），時速是45千米/時，
故答案為：4，45；
（2）解：由圖可知，汽車在段的速度為0，所以汽車在行駛途中，在分鐘這個時間段停車休息，休息了（分鐘）．
（3）解：如圖所示：

【點睛】本題考查用圖象表示變量間的關(guān)系，理解題意，從圖象上獲取所需信息是解答的關(guān)鍵．
題型三 判別是否一次函數(shù)
例題：（2024上·甘肅蘭州·八年級統(tǒng)考期末）下列各式①；②；③；④；⑤，是一次函數(shù)有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查了一次函數(shù)的定義，一般地，形如，（k為常數(shù)，）的函數(shù)叫做一次函數(shù)．根據(jù)定義分析即可．
【詳解】解：①的右邊不是整式，不是一次函數(shù)；
②的右邊不是整式，不是一次函數(shù)；；
③是一次函數(shù)；
④的自變量的次數(shù)是2，不是一次函數(shù)；
⑤是一次函數(shù)．
故選B．
變式訓(xùn)練
1．（2023上·江蘇淮安·八年級淮安市浦東實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)（1） （2） （3） （4） （5） 中一次函數(shù)有 （ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】本題考查的是一次函數(shù)的定義，解決本題的關(guān)鍵是明確一次函數(shù)的定義，一般地，形如 (，k，b是常數(shù))的函數(shù)，叫做一次函數(shù)．
利用一次函數(shù)的定義分析得出即可．
【詳解】解：（1）是一次函數(shù)，符合題意；
（2）是一次函數(shù)，符合題意；
（3）中不是整式，不是一次函數(shù)，不符合題意；
（4）是一次函數(shù)，符合題意；
（5）的自變量的次數(shù)是2，不是一次函數(shù)，不符合題意；
故是一次函數(shù)的有3個．
故選：B．
2．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）函數(shù)①；②；③；④；⑤．是一次函數(shù)的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查了一次函數(shù)的定義，形如的函數(shù)，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：①，當(dāng)時，不是一次函數(shù)；
②是一次函數(shù)；
③不是一次函數(shù)；
④是一次函數(shù)；
⑤不是一次函數(shù)；
所以是一次函數(shù)的有2個．
故選：B．
題型四 根據(jù)一次函數(shù)的定義求參數(shù)的值
例題：（2023上·浙江·八年級期末）若函數(shù)是一次函數(shù)，則m的值為_____．
【答案】1
【分析】本題考查了一次函數(shù)的定義，一般地，形如，（k為常數(shù)，）的函數(shù)叫做一次函數(shù)．由一次函數(shù)的定義可知且，從而可求得m的值．
【詳解】解：∵是一次函數(shù)，
∴且，
解得且，
所以，
故答案為：1．
變式訓(xùn)練
1．（2024·全國·八年級假期作業(yè)）已知函數(shù)是關(guān)于的一次函數(shù)，則______，若該函數(shù)是正比例函數(shù)，則______，______．
【答案】 0
【分析】本題考查了正比例函數(shù)的定義：一般地，形如（k是常數(shù)，）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)．一次函數(shù)的定義：一般地，形如（，k、b是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)．根據(jù)一次函數(shù)的定義，正比例函數(shù)的定義求解即可．
【詳解】解：當(dāng)函數(shù)是關(guān)于x的一次函數(shù)時，，且，解得；
當(dāng)函數(shù)是關(guān)于x的正比例函數(shù)時，，，且，解得，．
故答案為：，，0．
2．（2022上·四川成都·八年級成都嘉祥外國語學(xué)校校考期末）已知函數(shù)是關(guān)于x的一次函數(shù)，則_____．
【答案】
【分析】該題主要考查了一次函數(shù)的定義，解答的關(guān)鍵是熟悉一次函數(shù)的定義；
根據(jù)函數(shù)是一次函數(shù)，得出，進行解答即可；
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
解得：．
故答案為：．
題型五 畫一次函數(shù)的圖象
例題：（2023上·安徽滁州·八年級校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)請在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象．
(2)結(jié)合所畫圖象，分別求出在函數(shù)圖象上滿足下列條件的點的坐標(biāo)：
①橫坐標(biāo)是；
②和軸的距離是2個單位長度．
【答案】(1)見解析
(2)①橫坐標(biāo)是的點是；②和軸的距離是2個單位長度的點的坐標(biāo)為或
【分析】本題考查了畫一次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)解析式先求出函數(shù)與軸、軸的交點，即可畫出圖象；
（2）①將代入解析式進行計算求出的值即可；②由和軸的距離是2個單位長度得出或，分別代入計算，求出的值即可．
【詳解】（1）解：在函數(shù)中，
當(dāng)時，，則過，
當(dāng)時，，解得：，則過，
畫出該函數(shù)圖象如圖所示：
；
（2）解：①當(dāng)時，，
橫坐標(biāo)是的點是；
②和軸的距離是2個單位長度，
或，
當(dāng)時，，解得：，此時點的坐標(biāo)為，
當(dāng)時，，解得：，此時點的坐標(biāo)為，
綜上所述，和軸的距離是2個單位長度的點的坐標(biāo)為或．
變式訓(xùn)練
1．（2023上·福建漳州·八年級福建省漳州第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，一次函數(shù)的圖像分別與軸，軸交于點A，B．
(1)請直接寫出兩點坐標(biāo)：A：__________，B：__________；
(2)在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象（不用列表，直接描點、連線）；
(3)點是一次函數(shù)上一動點，則的最小值為___________．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點問題，勾股定理．
（1）根據(jù)題目即可求出A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)（1）中A、B兩點的坐標(biāo)即可畫出函數(shù)圖象；
（3）先利用勾股定理求出，當(dāng)與一次函數(shù)垂直時，有最小值，再根據(jù)等面積法，即可求出的最短距離．
【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于點A、B，
∴當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
∴A、B兩點的坐標(biāo)為，
故答案為：；
（2）解：由（1）得：A、B兩點的坐標(biāo)為，
∴函數(shù)圖象如圖所示：
（3）解：如圖所示，當(dāng)與一次函數(shù)垂直時，有最小值，
此時，，
，
，
，
，
故答案為：．
2．（2023上·寧夏銀川·八年級銀川唐徠回民中學(xué)校考期中）已知函數(shù)回答下列問題：
(1)畫出函數(shù)的圖象；當(dāng)_________時，．
(2)設(shè)直線與軸交于點，與軸交于點，求出的面積．
(3)直線上是否存在一點（與不重合），使的面積等于8？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)圖象見解析，
(2)4
(3)存在，點C的坐標(biāo)為或
【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)的性質(zhì)，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，求出點A，B的坐標(biāo)并畫出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．
（1）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，描點、連線，即可畫出一次函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)圖象，即可得出當(dāng)時，；
（2）由點A，B的坐標(biāo)可得出，的長，再利用三角形的面積計算公式，即可求出的面積；
（3）設(shè)點的縱坐標(biāo)為a，根據(jù)題意可得：，得出，再分別求出C點的坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
解得：，
描點、連線，畫出函數(shù)圖象，如圖所示．
由圖象可知：當(dāng)時，．
故答案為：；
（2）解：∵點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，
∴，，
的面積為；
（3）存在點，使的面積等于8，理由如下：
設(shè)點的縱坐標(biāo)為a，
根據(jù)題意可得：，
解得：，
當(dāng)時，，解得：，
當(dāng)時，，解得：，
所以點C的坐標(biāo)為：或．
題型六 一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
例題：（2023上·廣東深圳·八年級校考期中）下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中，錯誤的是（ ）
A．圖象經(jīng)過點
B．點，在該函數(shù)圖象上，若，則
C．將函數(shù)圖象向下平移2個單位長度后，經(jīng)過點
D．圖象不經(jīng)過第四象限
【答案】C
【分析】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點可判斷A，根據(jù)一次函數(shù)的增減性可判斷B，根據(jù)一次函數(shù)圖象的平移可判斷C，根據(jù)一次函數(shù)系數(shù)與經(jīng)過的象限的關(guān)系可判斷D，熟記一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
【詳解】解：A、當(dāng)時，，故圖象經(jīng)過點，故本選項正確，不合題意；
B、函數(shù)中，，
隨的增大而增大，
∵，
，故本選項正確，不合題意；
C、根據(jù)平移的規(guī)律，函數(shù)的圖象向下平移2個單位長度得解析式為，所以當(dāng)時，，則圖象經(jīng)過點，故本選項錯誤，符合題意；
D、，，，函數(shù)經(jīng)過第一，二，三象限，不經(jīng)過第四象限，故本選項正確，不符合題意．
故選：C．
變式訓(xùn)練
1．（2023下·廣西南寧·八年級校考階段練習(xí)）對于一次函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．圖象不經(jīng)過第三象限
B．當(dāng)時，
C．圖象由直線向上平移2個單位長度得到
D．圖象與x軸交于點
【答案】C
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：∵一次函數(shù)解析式為，
∴圖象經(jīng)過第一、二、三象限，故A不符合題意；
當(dāng)時，，故B不符合題意；
直線向上平移2個單位得到的新解析式為，故C符合題意；
對于，令，則，
∴圖象與x軸交于點，故D不符合題意．
故選C．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2．（2023上·安徽六安·八年級校考階段練習(xí)）一次函數(shù)，下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．若兩點A()，B()在該函數(shù)圖象上，且，則
B．函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限
C．函數(shù)的圖象向下平移4個單位長度得到的圖象
D．函數(shù)的圖象與軸的交點坐標(biāo)是
【答案】D
【分析】分別根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象平移的法則進行解答即可．
【詳解】A、因為一次函數(shù)中，因此函數(shù)值隨x的增大而減小，故A選項正確；
B、因為一次函數(shù)中，，因此此函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限，故B選項正確；
C、由“上加下減”的原則可知，函數(shù)的圖象向下平移4個單位長度得的圖象，故C選項正確；
D、令，則，因此函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標(biāo)是，故D選項錯誤．
故選：D．
【點睛】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)及一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知一次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．
題型七 根據(jù)一次函數(shù)經(jīng)過的象限求參數(shù)問題
例題：（2023上·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第________象限．
【答案】四/4
【分析】本題考查一次函數(shù)解析式及其性質(zhì)，根據(jù)一次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到即可得出該函數(shù)的圖象經(jīng)過哪幾個象限，不經(jīng)過哪個象限．
【詳解】解：∵一次函數(shù)，，
∴一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，
故答案為：四．
變式訓(xùn)練
1．（2023上·內(nèi)蒙古包頭·八年級校考期中）一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，則m的取值范圍是____．
【答案】/
【分析】本題主要考查一次函數(shù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置與k、b的關(guān)系．解答本題注意理解：直線所在的位置與k、b的符號有直接的關(guān)系． 時，直線必經(jīng)過一、三象限．時，直線必經(jīng)過二、四象限．時，直線與y軸正半軸相交．時，直線過原點；時，直線與y軸負(fù)半軸相交．
【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，
∴，
解得：，
故答案為：．
2．（2024上·陜西西安·八年級西安市第二十六中學(xué)校聯(lián)考期末）已知直線經(jīng)過第二、四象限，則直線不經(jīng)過第______象限．
【答案】三
【分析】本題考查正比例函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)，先利用正比例函數(shù)的性質(zhì)得到，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．熟練掌握相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵直線經(jīng)過第二、四象限，
∴，
∴，
又∵，
∴直線經(jīng)過第一、二、四象限，
即直線不經(jīng)過第三象限．
故答案為：三．
題型八 根據(jù)一次函數(shù)的增減性求參數(shù)問題
例題：（2024上·陜西西安·八年級統(tǒng)考期末）在一次函數(shù)中，隨的增大而減小，則m的值可以是______．（寫出一個即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)隨的增大而減小，則，據(jù)此寫出的值即可，答案不唯一．解題的關(guān)鍵是掌握：一次函數(shù)中，若，則隨的增大而增大；若，則隨的增大而減小，反過來也成立．
【詳解】解：∵在一次函數(shù)中，隨的增大而減小，
∴，
不妨設(shè)，
∴的值可以是．
故答案為：．
變式訓(xùn)練
1．（2023上·江蘇徐州·八年級校考階段練習(xí)）一次函數(shù)中，若y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是___．
【答案】/
【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．在一次函數(shù)中，函數(shù)值y隨x的增大而減小；函數(shù)值y隨x的增大而增大．當(dāng)時，直線中y的值隨x的增大而增大．通過解不等式來求m的取值范圍．
【詳解】解：∵直線中y的值隨x的增大而減小，
，
解得，．
故答案為：．
2．（2024上·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考周測）若一次函數(shù) 的函數(shù)值隨x的增大而增大，且函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二象限，則k的取值范圍是 _________
【答案】
【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握當(dāng)k大于零時，函數(shù)值隨x的增大而增大；圖像與y軸的交點不高于原點，列式計算即可．
【詳解】∵一次函數(shù) 的函數(shù)值隨x的增大而增大，且函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二象限，
∴，
解得，
故答案為：．
題型九 一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點問題
例題：（2023上·陜西咸陽·八年級校考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象與軸的交點是________．
【答案】
【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟記“一次函數(shù)與軸有交點時函數(shù)值y為0”
【詳解】解：當(dāng)與軸有交點時，，
有，
解得：．
故答案為：．
變式訓(xùn)練
1．（2023上·海南海口·九年級海南中學(xué)校考階段練習(xí)）一次函數(shù)與軸交點的坐標(biāo)為________，與軸交點的坐標(biāo)為________．
【答案】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式為，求出當(dāng)時，的值，得出與軸交點的坐標(biāo)；求出當(dāng)時，的值，得出與軸交點的坐標(biāo)即可．
【詳解】解：∵一次函數(shù)解析式為，
∴當(dāng)時，則，
解得：，
當(dāng)時，則，
∴一次函數(shù)與軸交點的坐標(biāo)為，與軸交點的坐標(biāo)為．
故答案為：；．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題，明白坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特點是解題的關(guān)鍵．
2．（2023上·福建福州·八年級福建省福州格致中學(xué)校考期中）直線與x軸的交點坐標(biāo)是_____；與y軸的交點坐標(biāo)是_____；與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_____．
【答案】
【分析】分別令，，求出直線與x軸的交點坐標(biāo)是；與y軸的交點坐標(biāo)是，即可求解．
【詳解】解：令，，
令，，
解得：，
∴直線與x軸的交點坐標(biāo)是；與y軸的交點坐標(biāo)是，
∴與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為．
故答案為：；；
【點睛】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，熟知一次函數(shù)函數(shù)圖象上各點的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．另外要記住一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積計算公式．
題型十 用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達式
例題：（2023上·江蘇揚州·八年級揚州教育學(xué)院附中校考階段練習(xí)）已知一次函數(shù)．當(dāng)時，；當(dāng)時．
(1)求該一次函數(shù)的表達式；
(2)當(dāng)時，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，已知函數(shù)值求自變量的取值等知識．
（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）把代入一次函數(shù)解析式得到，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，
∴，
∴，
∴一次函數(shù)的表達式為；
（2）解：當(dāng)時，，
解得．
變式訓(xùn)練
1．（2024上·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)的圖象與直線平行，且與軸交于點，求該一次函數(shù)的表達式．
【答案】
【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩條平行直線的函數(shù)解析式的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直線與軸的交點問題，熟知兩直線平行則k相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直線與直線平行得到k的值；再根據(jù)直線交軸于點得到b的值，進而得出函數(shù)的表達式．
【詳解】解：一次函數(shù)的圖象與直線平行，
，
將點代入中，可得
，
一次函數(shù)的表達式為：．
2．（2024上·陜西榆林·八年級校考期末）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點，且經(jīng)過點．
(1)求一次函數(shù)的表達式．
(2)求的長．
【答案】(1)
(2)10
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，勾股定理；
（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）先求得點的坐標(biāo)為，然后根據(jù)勾股定理，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意可得，解得．
一次函數(shù)的表達式為．
（2）令，則，
解得，
點的坐標(biāo)為，
．
令，則，
點的坐標(biāo)為，
．
．
3．（2024上·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）已知與成正比例，當(dāng)時，．
(1)求y與x之間的關(guān)系式；
(2)求（1）中的函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點問題；
（1）設(shè)，當(dāng)時，，求出，即可求出與之間的函數(shù)表達式；
（2）求出直線與、軸交點的坐標(biāo)，即可得到，的長，根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．
【詳解】（1）解：與成正比例
設(shè)，
當(dāng)時，，
，
，
，
即
與之間的函數(shù)表達式是，
（2）設(shè)直線與、軸分別交于、兩點，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
的坐標(biāo)是，的坐標(biāo)是，
，，
函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是．
題型十一 一次函數(shù)與三角形的面積問題
例題：（2023春·河南鄭州·八年級鄭州外國語中學(xué)校考期末）如圖，已知函數(shù)的圖象與軸交于點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸以及的圖象分別交于點、，且點的橫坐標(biāo)為1．
(1)點的坐標(biāo)是______直線的解析式是_______
(2)連接，求的面積．
(3)點是直線上一點（不與點重合），設(shè)點的橫坐標(biāo)為，的面積為，請直接寫出與之間的關(guān)系式．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)D點橫坐標(biāo)及得出縱坐標(biāo)進而得出D點坐標(biāo)；最后通過兩點坐標(biāo)得出一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)各點坐標(biāo)即三角形面積公式即可求出；
（3）分情況討論，利用圖形面積的和差以及三角形的面積公式列式求解即可；
【詳解】（1）將代入函數(shù)得D點縱坐標(biāo)為2，將點，代入得：，解得，
故解析式為：
故答案為： ；；
（2）
如圖：點A的坐標(biāo)為，，點C的坐標(biāo)為，
∴
；
（3）①如圖，點P在之間：
；
②點P在B點下方,如圖：
；
③點P在D點的上面
；
綜上所述：
【點睛】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積的求解，會分割圖形面積是關(guān)鍵．
變式訓(xùn)練
1．（2023秋·陜西西安·八年級校考期末）已知一次函數(shù)與的圖像都過點，且與y軸分別交于點B，C．
(1)求m，n的值；
(2)求的面積．
【答案】(1)，；
(2)4
【分析】（1）直接把點代入解析式，即可求出答案；
（2）分別求出B，C兩點的坐標(biāo)，然后利用面積公式，即可求出答案．
【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)與的圖像都過點，
∴把點分別代入，得
，，
∴，；
（2）解：由（1）可知，，，
∴，，
分別令，則
，，
∴點B的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為；
∴，
∴的面積為：；
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)進行解題．
2．（2023·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考期末）已知，一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，點P的坐標(biāo)為．
(1)若一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點P，求m的值；
(2)若點P在x軸上，求的面積．
【答案】(1)0
(2)9
【分析】（1）將點P坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達式中，即可求出m值；
（2）首先根據(jù)一次函數(shù)表達式求出點A和點B坐標(biāo)，再根據(jù)點P在x軸，可得縱坐標(biāo)為0，可求出m值，從而得到點P坐標(biāo)，結(jié)合坐標(biāo)可得的面積．
【詳解】（1）解：將點P代入中，
得，
解得：；
（2）在中，令，則，令，則，
∴，，
∵點P在x軸上，
∴，
∴，即，
∴．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖像上的點，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題，解題的關(guān)鍵是求出相應(yīng)點的坐標(biāo)．
3．（2022秋·山東東營·七年級統(tǒng)考期末）已知某一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且與正比例函數(shù)的圖象相交于點，求：
(1)的值；
(2)一次函數(shù)y與x的函數(shù)解析式；
(3)這兩個函數(shù)圖象與軸所圍成的三角形的面積．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把交點坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式中求出a的值；
（2）將兩點的坐標(biāo)代入中，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；
（3）先求得與x軸的交點A的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形面積公式進行計算．
【詳解】（1）解：∵點在正比例函數(shù)的圖象上，
∴；
（2）解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為，
∵經(jīng)過點，點，
∴，
解得，
∴一次函數(shù)的解析式為；
（3）解：∵時，，
∴，
∴與x軸的交點A為，
∵，
∴．
【點睛】本題主要是考查了待定系數(shù)法求解一次函數(shù)表達式以及求解與坐標(biāo)軸的面積，正確利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)表達式，合理確定坐標(biāo)軸圍成的三角形的底和高，這是解決本題的關(guān)鍵．
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