資源簡介

第十九章　一次函數（12類壓軸題專練）
題型一 兩個一次函數圖象共存問題
例題：（2023上·陜西西安·八年級統考期末）直線與直線在同一坐標系中的大致圖象可能是圖中（ ）
A． B．
C． D．
變式訓練
1．（2024上·重慶沙坪壩·八年級重慶一中校考期末）一次函數與在同一平面直角坐標系內的圖像可能為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·遼寧鐵嶺·八年級統考期末）下列圖形中，表示一次函數與正比例函數（m、n為常數，且）的圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
題型二 一次函數中的規律探究問題
例題：（2024上·河北保定·八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點，，…都在x軸上，點，，…都在直線上，，，，，…都是等腰直角三角形，且，則點的坐標是________，點的坐標是________．
變式訓練
1．（2023上·四川成都·八年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，，，，，……，都是等腰直角三角形，點B，，，，…，都在x軸上，點與原點重合，點A，，，，…，都在直線l：上，點C在y軸上，軸，軸，若點A的橫坐標為，則點的坐標為______，點的坐標為______．
2．（2022上·貴州貴陽·八年級統考期末）如圖，已知直線，過點作軸的垂線交直線于點，以為邊作正方形，過點作軸的垂線交直線于點，以為邊作正方形，按此規律進行，則點的坐標為________．

題型三 一次函數與三角形全等問題
例題：（2022·山東威海·七年級期末）如圖，直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點，把射線AB繞點A順時針旋轉90°得射線AC，點P是射線AC上一個動點，點Q是x軸上一個動點．若與△AOB全等，試確定點Q的橫坐標．
變式訓練
1．（2022秋·江蘇常州·八年級統考期末）如圖，直線與x軸、y軸交于A、B兩點，在y軸上有一點C(0，4)，動點M從A點發以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動．當動到△COM 與△AOB全等時，移的時間t是（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或6
2．（2022春·四川成都·八年級校考階段練習）如圖，直線l：與x軸、y軸分別交于A、B兩點，，，垂足為點M，點P為直線l上的一個動點（不與A、B重合）．
(1)求直線的解析式；
(2)當點P運動到什么位置時的面積是6；
(3)在y軸上是否存在點Q，使得以O，P，Q為頂點的三角形與全等，若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由．
題型四 一次函數與三角形存在問題
例題：（2023秋·廣東梅州·八年級豐順縣豐順中學校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線AB：與軸交于點C，且點，.
(1)點C的坐標為
(2)求原點O到直線的距離；
(3)在x軸上是否存在一點P，使得是直角三角形 若存在，求出點P的坐標.
變式訓練
1．（2023秋·遼寧沈陽·八年級校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸和y軸分別交于點B和點C，與直線相交于點，動點M在線段和射線上運動．
(1)求點B和點C的坐標．
(2)求的面積．
(3)是否存在點M，使的面積是面積的？若存在，求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理由．
題型五 一次函數中折疊問題
例題：（2023秋·山東濟南·八年級統考期末）如圖1，在同一平面直角坐標系中，直線：與直線：相交于點．與軸交于點，直線與軸交于點
(1)填空：______，______，______；
(2)如圖2．點為線段上一動點，將沿直線翻折得到，線段交軸于點．
①求線段的長度；
②當點落在軸上時，求點的坐標；
③若為直角三角形，請直接寫出滿足條件的點的坐標．
變式訓練
1．（2022·廣東·平洲一中八年級期中）已知：直線y＝x+6與x軸、y軸分別相交于點A和點B，點C在線段AO上．將△ABO沿BC折疊后，點O恰好落在AB邊上點D處，
(1)求A點的坐標 _______和B點的坐標 _______；
(2)求AB的長？
(3)求出OC的長？
2．（2023秋·山東濟南·八年級統考期末）如圖1，在平面直角坐標系xoy中，點O是坐標原點，直線： 與直線：交于點A，兩直線與x軸分別交于點和．
(1)求直線和的表達式．
(2)點P是y軸上一點，當最小時，求點P的坐標．
(3)如圖2，點D為線段上一動點，將沿直線翻折得到，線段交x軸于點F，若為直角三角形，求點D坐標．
題型六 利用一次函數解決分配方案問題
例題：（2023·全國·九年級專題練習）已知某酒店的三人間和雙人間客房標價為：三人間和雙人間每天都是600元，為吸引客源，促進旅游，在“十 一”黃金周期間酒店進行優惠大酬賓，凡團體入住一律五折優惠．一個50人的旅游團在十月二號到該酒店住宿，租住了一些三人間、雙人間客房，要求租住的房間正好被住滿．
（1）如果一天一共花去住宿費6300元．求租住了三人間、雙人間客房各多少間？
（2）設三人間共住了x人，這個團一天一共花去住宿費y元，請寫出y與x的函數關系式；
（3）一天6300元的住宿費是否為最低？如果不是，請設計一種方案，并使住宿費用最低，請寫出設計方案，并求出最低的費用．
變式訓練
1．（2021下·廣東廣州·八年級統考期末）為了滿足開展“陽光體育”大課間活動的需求，某學校計劃購買一批籃球．根據學校的規模，需購買、兩種不同型號的籃球共300個．已知購買3個型籃球和2個型籃球共需340元，購買2個型籃球和1個型籃球共需要210元．
（1）求購買一個型籃球、一個型籃球各需多少元？
（2）若該校計劃投入資金元用于購買這兩種籃球，設購進的型籃球為個，求關于的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，若購買型籃球的數量不超過型籃球數量的2倍，則該校至少需要投入資金多少元？
2．（2020下·甘肅慶陽·八年級校考期末）某校決定購買一批羽毛球拍和足球，1副羽毛球拍和2個足球共需190元；2副羽毛球拍和3個足球共需300元．
（1）求每副羽毛球拍和每個足球各需多少元？
（2）商場搞促銷活動，若購買的足球個數超過10個，足球就給予九折優惠，學校打算購買羽毛球拍和足球一共50件，設購買足球個，總費用為元，寫出關于的函數關系式；
（3）在（2）的條件下學校要求購買的足球的數量不少于球拍副數的一半，本次如何購買，才能使總費用最少？最少費用是多少元？
題型七 利用一次函數解決最大利潤問題
例題：（2023下·黑龍江雙鴨山·八年級統考期末）某網店直接從工廠購進A、B兩款自拍桿，進貨價和銷售價如表：
類別 A款自拍桿 B款自拍桿
進貨價（元/個） 30 25
銷售價（元/個） 45 37
(1)網店第一次用850元購進A、B兩款自拍桿共30個，求這兩款自拍桿分別購進多少個？
(2)第一次購進的自拍桿售完后，該網店計劃再次購進A、B兩款自拍桿共80個（進貨價和銷售價都不變），且進貨總價不高于2200元．如何購進A、B兩款自拍桿，才能使所獲得的銷售利潤最大？最大利潤值為多少？
變式訓練
1．（2022·廣東深圳·統考一模）某超市計劃購進甲、乙兩種水果進行銷售．經了解，甲種水果和乙種水果的進價與售價如下表所示：
水果單價 甲 乙
進價（元/千克）
售價（元/千克） 20 25
已知用1200元購進甲種水果的重量與用1500元購進乙種水果的重量相同．
(1)求甲、乙兩種水果的進價；
(2)若該超市購進這兩種水果共100千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍，若全部賣完所購進的這兩種水果，則超市應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？
2．（2022上·安徽亳州·八年級校考階段練習）夏季來臨，某商場準備購進甲、乙兩種空調，其中甲種空調比乙種空調進價每臺少500元，用40000元購進甲種空調數量與用50000元購進乙種空調數量相同．該商場計劃一次性從空調生產廠家購進甲、乙兩種空調共100臺，其中乙種空調的數量不超過甲種空調的2倍．若甲種空調每臺售價2400元，乙種空調每臺售價3000元．請解答下列問題：
(1)求甲、乙兩種空調每臺的進價分別是多少元？
(2)設購進甲種空調x臺，100臺空調的銷售總利潤為y元，求出y與x之間的函數關系式及自變量x的取值范圍；
(3)該商店購進甲、乙兩種空調各多少臺才能使銷售總利潤最大，最大利潤是多少？
題型八 利用一次函數解決行程問題
例題：（2024上·山西太原·八年級統考期末）某校組織八年級學生進行研學活動，他們沿著同樣的路線從學校出發步行前往科技館．甲班比乙班先出發5分鐘，如圖線段表示甲班離開學校的路程（米）與甲班步行時間（分）的函數圖像；折線表示乙班離開學校的路程（米）與甲班步行時間（分）的函數圖像，圖中軸，與相交于點．請根據圖像解答下列問題：
(1)學校到科技館的路程為______米；線段對應的函數表達式為______（）；
(2)求線段對應的函數表達式（不必寫自變量的取值范圍）；
(3)圖像中線段與線段的交點的坐標為______，點坐標表示的實際意義是_________．
變式訓練
1．（2024上·四川達州·八年級校考期末）一輛客車與一輛出租車分別從甲、乙兩地同時出發，相向而行．設客車離甲地的距離為千米，出租車離甲地的距離為千米，兩車行駛的時間為小時，、關于的函數圖像如圖所示：
(1)根據圖像，直接寫出、關于的函數圖像關系式；
(2)試計算：何時兩車相距300千米？
2．（2023上·山東青島·八年級統考期中）共享電動車是一種新理念下的交通工具，主要面向的出行市場，現有兩種品牌的共享電動車，給出的圖象反映了收費（元）與騎行時間之間的對應關系，其中品牌收費方式對應，品牌的收費方式對應，且超過十分鐘時，對應的函數關系式是，請根據相關信息，解答下列問題：

(1)求出圖中函數，的圖象交點的坐標；
(2)求關于的函數解析式；
(3)①如果小明每天早上需要騎行品牌或品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車的平均行駛速度均為，小明家到工廠的距離為，那么小明選擇___________品牌共享電動車更省錢．（填“”或“”）
②當為何值時，兩種品牌共享電動車收費相差元？
題型九 利用一次函數解決幾何問題
例題：（2022上·河北邯鄲·八年級校考開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，軸，軸，且，，，動點從點出發，以每秒的速度，沿路線向點運動；動點從點出發，以每秒的速度，沿路線向點運動.若，兩點同時出發，其中一點到達終點時，運動停止.
(1)直接寫出，，三個點的坐標；
(2)當，兩點出發時，求的面積；
(3)設兩點運動的時間為，用含的式子表示運動過程中的面積；
(4)在點，運動過程中，點被包含在區域包含邊界的時長是______
變式訓練
1．（2023上·內蒙古包頭·八年級包頭市第二十九中學校考期中）等邊三角形的位置如圖所示，等邊三角形的邊長為2．
(1)求點的坐標；
(2)直線過點，求該直線的表達式；
(3)在軸上找一點，使得三角形為等腰三角形，直接寫出點的坐標；
(4)在（2）的條件下，直線與軸交于點，在該直線上找一點，使得三角形的面積為．
題型十 一次函數——分段函數
例題：在一次函數學習中，我們經歷了列表、描點、連線畫函數圖象，結合圖象研究函數性質的過程．小紅對函數的圖象和性質進行了如下探究，請同學們認真閱讀探究過程并解答：
（1）請同學們把小紅所列表格補充完整，并在平面直角坐標系中畫出該函數的圖象：
x … -1 0 1 2 3 4 5 6 …
y … ﹣2 ﹣1 0 2 2 2 …
（2）根據函數圖象，以下判斷該函數
性質的說法，正確的有_____．
①函數圖象關于y軸對稱；
②此函數無最小值；
③當x＜3時，y隨x的增大而增大；當x≥3時，y的值不變．
（3）若直線y＝x+b與函數y＝的圖象只有一個交點，則b＝_____．
變式訓練
1．已知函數，其中m為常數，該函數的圖象記為G．
（1）當時，若點在圖象G上，求n的值；
（2）當時，若函數最大值與最小值的差為，求m的值；
（3）已知點，，，當圖象G與有兩個公共點時，直接寫出m的取值范圍．
題型十一 絕對值的一次函數
例題：（2022·河南·長葛市教學研究室八年級期末）小慧根據學習函數的經驗，對函數y=的圖象與性質進行了探究．
x … －1 0 1 2 3 …
y … b 1 0 1 2 …
下面是小慧的探究過程，請補充完成：
(1)函數y=的自變量x的取值范圍是______；
(2)列表，找出y與x的幾組對應值．其中，b＝_____；
(3)在平面直角坐標系xOy中，描出以上表中各對對應值為坐標的點，并畫出該函數的圖象；
(4)函數y=的最小值為____________．
(5)結合函數的圖象，寫出該函數的其他性質（一條即可）：_________________．
變式訓練
1．（2022·河南漯河·八年級期末）有這樣一個問題：探究函數y＝|x＋1|的圖象與性質．下面是小明的探究過程，請補充完整：
(1)函數y＝|x＋1|的自變量x的取值范圍是_________；
(2)下表是x與y的幾組對應值．
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 …
m的值為_________；
(3)在如圖網格中，建立平面直角坐標系xOy，描出表中各對對應值為坐標的點，并畫出該函數的圖象；
(4)小明根據畫出的函數圖象，寫出此函數的兩條性質．
題型十二 新定義型一次函數
例題：（2023上·安徽合肥·八年級統考期末）定義：在平面直角坐標系xOy中，函數圖象上到兩坐標軸的距離之和等于的點，叫做該函數圖象的“n階和點”．例如，為一次函數的“3階和點”．
(1)若點是y關于x的正比例函數的“n階和點”，則______， ______；
(2)若y關于x的一次函數的圖象經過一次函數圖象的“7階和點”，求k的值．
變式訓練
1．（2022上·浙江寧波·八年級校考期末）定義：一次函數和一次函數為“逆反函數”，如和為“逆反函數”．
(1)點在的“逆反函數”圖象上，則_；
(2) 圖象上一點又是它的“逆反函數”圖象上的點，求點B的坐標；
(3)若和它的“逆反函數”與y軸圍成的三角形面積為3，求b的值．
2．（2022上·廣東深圳·八年級深圳市寶安中學（集團）統考期末）定義：我們把一次函數與正比例函數的交點稱為一次函數的“不動點”．例如求的“不動點”；聯立方程，解得，則的“不動點”為．
(1)由定義可知，一次函數的“不動點”為_．
(2)若一次函數的“不動點”為，求m、n的值．
(3)若直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，且直線上沒有“不動點”，若P點為x軸上一個動點，使得，求滿足條件的P點坐標．
第十九章　一次函數（12類壓軸題專練）
答案全解全析
題型一 兩個一次函數圖象共存問題
例題：（2023上·陜西西安·八年級統考期末）直線與直線在同一坐標系中的大致圖象可能是圖中（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了根據一次函數解析式判斷其經過的象限，對于一次函數，當時，圖象必過一、三象限；當時，圖象必過二、四象限；當時，圖象必過一、二象限；當時，圖象必過三、四象限；熟記相關結論即可求解．
【詳解】解：若，則，
此時直線經過一、二、四象限；直線經過一、三象限；
無此種情況的選項；
若，則，
此時直線經過一、三、四象限；直線經過二、四象限；
選項B符合題意；
故選：B
變式訓練
1．（2024上·重慶沙坪壩·八年級重慶一中校考期末）一次函數與在同一平面直角坐標系內的圖像可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查一次函數的圖像，根據函數圖像所在象限可判斷出，的取值范圍．一次函數圖像的性質：當，時，圖像經過一、二、三象限；當，時，圖像經過一、三、四象限；當，時，圖像經過二、三、四象限；當，時，圖像經過一、二、四象限．通過分類討論，的正負情況解題是解題的關鍵．
【詳解】解：A．由圖像知：中的，，中的，，故此選項不符合題意；
B．由圖像知：中的，，中的，，故此選項符合題意；
C．由圖像知：中的，，中的，，故此選項不符合題意；
D．由圖像知：中的，，中的，，故此選項不符合題意．
故選：B．
2．（2023上·遼寧鐵嶺·八年級統考期末）下列圖形中，表示一次函數與正比例函數（m、n為常數，且）的圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了一次函數的圖象與性質；根據一次函數圖象的升降及直線與y軸交點的位置即可確定m、n的符號，從而確定的符號，再與正比例函數的一次項系數的符號比較．
【詳解】解：A、由一次函數圖象知，，則，由正比例函數圖象知，，故正確；
B、由一次函數圖象知，，則，由正比例函數圖象知，，矛盾，故不正確；
C、由一次函數圖象知，，則，由正比例函數圖象知，，矛盾，故不正確；
D、由一次函數圖象知，，則，由正比例函數圖象知，，矛盾，故不正確；
故選：A．
題型二 一次函數中的規律探究問題
例題：（2024上·河北保定·八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點，，…都在x軸上，點，，…都在直線上，，，，，…都是等腰直角三角形，且，則點的坐標是________，點的坐標是________．
【答案】
【分析】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質，點的坐標規律，找到規律是解題的關鍵．由得到點B1的坐標，然后利用等腰直角三角形的性質得到點的坐標，進而得到點的坐標，然后再一次類推得到點Bn的坐標．
【詳解】解：∵，點在直線上，
∴，
∴，
即，
∴或（舍去），
∴，
∴點的坐標為，
∵是等腰直角三角形，
∴， ，
∵為等腰直角三角形，
∴，
∴，
同理可得，，，…，．
故答案為：，．
變式訓練
1．（2023上·四川成都·八年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，，，，，……，都是等腰直角三角形，點B，，，，…，都在x軸上，點與原點重合，點A，，，，…，都在直線l：上，點C在y軸上，軸，軸，若點A的橫坐標為，則點的坐標為______，點的坐標為______．
【答案】
【分析】本題考查等腰直角三角形的性質，一次函數的應用，規律型問題等知識．分別求出，，，，……，探究規律，利用規律解決問題即可．
【詳解】解：當時，，
∴點A的坐標為，
根據題意得：點C的坐標為，
∵是等腰直角三角形，
∴可設點的坐標為，
∴，解得：，
∴點的坐標為，
設點的坐標為，
∴，解得：，
∴點的坐標為，
設點的坐標為，
∴，解得：，
∴點的坐標為，
同理點的坐標為，
……
點的坐標為．
故答案為：；
2．（2022上·貴州貴陽·八年級統考期末）如圖，已知直線，過點作軸的垂線交直線于點，以為邊作正方形，過點作軸的垂線交直線于點，以為邊作正方形，按此規律進行，則點的坐標為________．

【答案】
【分析】先根據一次函數方程式求出點的坐標，再根據點的坐標求出、的坐標，以此類推總結規律便可求出點的坐標．
【詳解】解：直線，點坐標為，過點作x軸的垂線交直線于點，可知點的坐標為；
∴以為邊作正方形，則，
∴，點的坐標為，的坐標為，
根據這種方法可求得的坐標為，故點的坐標為，的坐標為，
以此類推便可求出點的坐標為，
∴點的坐標為．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了一次函數的應用，做題時要注意數形結合思想的運用，是各地的中考熱點，學生在平常要多加訓練，屬于中檔題．
題型三 一次函數與三角形全等問題
例題：（2022·山東威海·七年級期末）如圖，直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點，把射線AB繞點A順時針旋轉90°得射線AC，點P是射線AC上一個動點，點Q是x軸上一個動點．若與△AOB全等，試確定點Q的橫坐標．
【答案】7或8
【分析】根據與△AOB全等分兩種情況分類討論即可解答．
【詳解】解：在直線中，
當x=0時，y=0+4=4，即，
當y=0時，0=，
∴ ，即；
∵與△AOB全等，
∴分兩種情況：
當時，△AOB，如圖所示，
則，
∴點Q的橫坐標為：，
當時，△OAB，如圖所示，
則，
∵ ，
∴點Q的橫坐標為：；
綜上所述：點Q的橫坐標為7或8．
【點睛】本題主要考查三角形全等的應用，一次函數的應用，勾股定理，掌握相關知識并靈活應用是解題的關鍵．
變式訓練
1．（2022秋·江蘇常州·八年級統考期末）如圖，直線與x軸、y軸交于A、B兩點，在y軸上有一點C(0，4)，動點M從A點發以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動．當動到△COM 與△AOB全等時，移的時間t是（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或6
【答案】D
【分析】先求解的坐標，再利用全等三角形的性質求解 再結合軸對稱的性質可得答案.
【詳解】解： 直線與x軸、y軸交于A、B兩點，
令 則
令，則
如圖，當關于軸對稱時，
此時△CM1O△ABO
此時
故選：D
【點睛】本題考查的是一次函數的性質，全等三角形的判定與性質，熟悉全等三角形的基本圖形是解本題的關鍵.
2．（2022春·四川成都·八年級校考階段練習）如圖，直線l：與x軸、y軸分別交于A、B兩點，，，垂足為點M，點P為直線l上的一個動點（不與A、B重合）．
(1)求直線的解析式；
(2)當點P運動到什么位置時的面積是6；
(3)在y軸上是否存在點Q，使得以O，P，Q為頂點的三角形與全等，若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)點P坐標為；
(3)存在，符合條件的點P的坐標為，，，．
【分析】（1）通過求出點A坐標，用待定系數法即求出解析式；
（2）先畫圖，確定面積可以為底，P到y軸距離為高求得，作出輔助線幫助思考．求出P到y軸距離后，要注意分類討論；
（3）題目問法說明兩三角形三邊對應關系不確定，故需要分類討論．觀察，得到即為斜邊．所以也是直角三角形且為對應斜邊，因此只能，兩直角邊對應關系不確定，分兩類與．具體每類再分析時，發現長度求出后對應坐標值可正可負，結合圖像分析再分類討論．
【詳解】（1）解：∵直線l：與y軸交于點B，
∴，，
∵，
∴，即，
∵點A在直線l上，
∴，
解得：，
∴直線l的解析式為；
（2）解：過P作軸于C，如圖1，
∴，
∴，
∴點P的橫坐標為4或，
∵點P為直線l上的一個動點且不與A、B重合，
∴橫坐標不為4，縱坐標為：，
∴點P坐標為時，的面積是6；
（3）解：存在滿足條件的P、Q，
∵，，
∴，，
∴以O，P，Q為頂點的三角形與全等時，斜邊為對應邊，，
①，
∴，即P點橫坐標為或，如圖2和圖3，
，，
∴點P或；
②，
∴，即點P、點Q縱坐標為或，如圖4和圖5，
，
解得：，
，
解得：，
∴點或，
綜上所述，符合條件的點P的坐標為，，，．
【點睛】本題以一次函數為背景考查了三角形及全等三角形判定，體現了數形結合思想和分類討論思想．解題關鍵是通過畫圖進行分析，解題時應注意在坐標系里線段長度對應坐標的絕對值，所以坐標可正可負要分類討論．全等三角形存在性問題要通過畫圖分析，找到確定對應的邊角，再根據不確定對應的邊角分類討論．
題型四 一次函數與三角形存在問題
例題：（2023秋·廣東梅州·八年級豐順縣豐順中學校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線AB：與軸交于點C，且點，.
(1)點C的坐標為
(2)求原點O到直線的距離；
(3)在x軸上是否存在一點P，使得是直角三角形 若存在，求出點P的坐標.
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，點的坐標為或
【分析】(1)令，即可求解；
(2)首先可求得點A、B的坐標，根據兩點間距離公式可求得的長，再根據，設原點到直線的距離為，列方程即可求解；
(3)設點的坐標為，根據題意可知不為直角，分兩種情況，利用勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：令，則，
解得：，
所以點的坐標為；
（2）解：代入A、兩點可得：，，
解得：，，
故，，
，
，
設原點到直線的距離為，
則，
解得：，
故原點到直線的距離為；
（3）解：存在，
設點的坐標為，根據題意可知不為直角，
所以當是直角三角形分兩種情況：
①當時，此時點的坐標為；
②當，，
故，
解得：，
此時點的坐標為；
綜上所述，滿足條件的點的坐標為或．
【點睛】本題考查了兩點間距離公式，坐標與圖形，求不規則圖形的面積，直角三角形的判定，解答的關鍵是采用分類討論的思想．
變式訓練
1．（2023秋·遼寧沈陽·八年級校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸和y軸分別交于點B和點C，與直線相交于點，動點M在線段和射線上運動．
(1)求點B和點C的坐標．
(2)求的面積．
(3)是否存在點M，使的面積是面積的？若存在，求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)B的坐標為，點C的坐標為
(2)12
(3)存在，點M的坐標是或或
【分析】（1）在中，令，則；令，則，從而可得答案；
（2）直接利用三角形的面積公式進行計算即可；
（3）設點M的坐標為，求解直線的表達式是，由，可得，當點M在線段上時，如圖①，則，此時，當點M在射線上時，如圖②，時，，則點的坐標是；時，，則點的坐標是．從而可得答案．
【詳解】（1）解：在中，令，則；令，則．
故點B的坐標為，點C的坐標為．
（2）∵，，
∴．
（3）存在點M使． 理由如下：
設點M的坐標為，直線的表達式是．
∵，
∴，解得．
∴直線的表達式是．
∵，
∴．
∴．
當點M在線段上時，如圖①，則，此時，
∴點M的坐標是．
當點M在射線上時，如圖②，時，，則點的坐標是；
時，，則點的坐標是．
綜上所述，點M的坐標是或或．
【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解一次函數的解析式，求解一次函數與坐標軸的交點坐標，坐標與圖形，熟練的利用數形結合的方法解題是關鍵．
題型五 一次函數中折疊問題
例題：（2023秋·山東濟南·八年級統考期末）如圖1，在同一平面直角坐標系中，直線：與直線：相交于點．與軸交于點，直線與軸交于點
(1)填空：______，______，______；
(2)如圖2．點為線段上一動點，將沿直線翻折得到，線段交軸于點．
①求線段的長度；
②當點落在軸上時，求點的坐標；
③若為直角三角形，請直接寫出滿足條件的點的坐標．
【答案】(1)
(2)①；②點的坐標為；③點的坐標為或
【分析】（1）把代入，求出，得直線：，再把代入，求出，得點的坐標，然后把代入，求出；
（2）①根據折疊的性質得出，勾股定理即可求解；
②過點作軸于點，作軸于點，求出，即可得出，②求出，可得，即可得答案；
③分兩種情況討論，當時，求出，得，得，得點坐標；當時，設，則，由勾股定理得：，求出，得點坐標．
【詳解】（1）解：把代入，
×（-4），
，
直線：，
把代入，
，
把代入，
，
，
；
故答案為：．
（2）①∵直線：令，解得，
∴點的坐標為，
∵
∴，
∵折疊，
∴；
②如下圖，過點作軸于點，作軸于點，則，，
，
∴，
，
點的坐標為；
③ 如下圖，
當時，由翻折得，
，
，
，
，
點的坐標為；
如圖，
當時，
設，則，
在中由勾股定理得：
，
解得：
，
點的坐標為，
綜上，點的坐標為或．
【點睛】此題考查了一次函數，勾股定理，直角三角形的性質和判定，翻折的性質，解題的關鍵是作輔助線．
變式訓練
1．（2022·廣東·平洲一中八年級期中）已知：直線y＝x+6與x軸、y軸分別相交于點A和點B，點C在線段AO上．將△ABO沿BC折疊后，點O恰好落在AB邊上點D處，
(1)求A點的坐標 _______和B點的坐標 _______；
(2)求AB的長？
(3)求出OC的長？
【答案】(1)(-8，0) 、(0，6)
(2)10
(3)3
【分析】（1）分別令，即可得出點A和點B坐標．
（2）點A和點B坐標已知，根據坐標系內兩點距離公式即可解出．
（3）根據已知條件可得出，設OC長為x，列出等式解方程即可．
(1)
∵直線y＝x+6與x軸、y軸分別相交于點A和點B
∴分別令，
解得：時
時
∴點A坐標為(-8，0)，點B坐標為(0，6)．
故答案為(-8，0) 、(0，6) ．
(2)
∵點A坐標為(-8，0)，點B坐標為(0，6)
∴．
(3)
∵將△ABO沿BC折疊后，點O恰好落在AB邊上點D處
∴
∴
∴
∵點A坐標為(-8，0)，點B坐標為(0，6)
∴，
設OC的長為x
則，
∵
∴
解得
故OC長為3．
【點睛】本題考查了一次函數與坐標軸交點、折疊的性質、三角形面積及坐標系中兩點的距離公式等知識點，熟練掌握上述知識點是解答本題的關鍵．
2．（2023秋·山東濟南·八年級統考期末）如圖1，在平面直角坐標系xoy中，點O是坐標原點，直線： 與直線：交于點A，兩直線與x軸分別交于點和．
(1)求直線和的表達式．
(2)點P是y軸上一點，當最小時，求點P的坐標．
(3)如圖2，點D為線段上一動點，將沿直線翻折得到，線段交x軸于點F，若為直角三角形，求點D坐標．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】(1)把點的坐標分別代入相應的函數解析式求解即可．
(2) 作點C關于y軸的對稱點M，連接，交y軸于點P，點P即所求，設直線表達式為，確定解析式，并求出與y軸的交點坐標即可．
(3) 分兩種情況求解即可．
【詳解】（1）將代入得，
解得，
故直線的解析式為；
把代入，得，
解得，
故直線的解析式為．
（2）作點C關于y軸的對稱點M，連接，交y軸于點P，則點P滿足的值最小，
∵，，
∴，，
∴，，設直線表達式為，
∴，
解得，
∴直線表達式為，
令，
∴．
（3）設點，
如圖，當時，過點A作于點G，
∵，，沿直線翻折得到△ADE，
∴，，，，
∴==135°，
∴，，
解得，
故點；
如圖，當時，過點D作于點G，
∵，，沿直線翻折得到△ADE，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，，，
解得，
故點；
綜上所述，點或．
【點睛】本題考查了一次函數解析式的確定，折疊的性質，勾股定理，角平分線的性質定理，線段和的最小值，熟練掌握待定系數法，勾股定理，分類思想是解題的關鍵．
題型六 利用一次函數解決分配方案問題
例題：（2023·全國·九年級專題練習）已知某酒店的三人間和雙人間客房標價為：三人間和雙人間每天都是600元，為吸引客源，促進旅游，在“十 一”黃金周期間酒店進行優惠大酬賓，凡團體入住一律五折優惠．一個50人的旅游團在十月二號到該酒店住宿，租住了一些三人間、雙人間客房，要求租住的房間正好被住滿．
（1）如果一天一共花去住宿費6300元．求租住了三人間、雙人間客房各多少間？
（2）設三人間共住了x人，這個團一天一共花去住宿費y元，請寫出y與x的函數關系式；
（3）一天6300元的住宿費是否為最低？如果不是，請設計一種方案，并使住宿費用最低，請寫出設計方案，并求出最低的費用．
【答案】（1）三人間客房8間，雙人間客房13間；（2）y＝﹣50x+7500；（3）不是，租住3人間客房16間，租住2人間客房1間，此時費用為5100元
【分析】（1）根據在“十 一”黃金周期間酒店進行優惠大酬賓，凡團體入住一律五折優惠．一個50人的旅游團在十月二號到該酒店住宿，一天一共花去住宿費6300元，可以列出相應的方程組，然后求解即可；
（2）根據題意可以寫出y與x的函數關系式；
（3）根據（2）中的函數關系式和一次函數的性質，可以求得x為何值時，費用最低，并寫出最低費用時的住宿方案．
【詳解】解：（1）設租住了三人間客房a間，雙人間客房b間，
根據題意得：，
解得：，
答：租住了三人間客房8間，雙人間客房13間；
（2）由題意可得，
y600×0.5600×0.5＝﹣50x+7500，
即y與x的函數關系式是y＝﹣50x+7500；
（3）∵y＝﹣50x+7500，k＝﹣50，
∴y隨x的增大而減小，
∴當x滿足、為整數，且最大時，住宿費用最低，
∴當x＝48時，y取得最小值，此時y＝﹣50×48+7500＝5100，=16，=1，
∵5100＜6300，∴一天6300元的住宿費不是最低，
答：一天6300元的住宿費不是最低，住宿費用最低的設計方案為：租住3人間客房16間，租住2人間客房1間，此時費用為5100元．
【點睛】本題考查一次函數的應用、二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出等量關系，列出相應的方程，寫出相應的函數關系式，利用一次函數的性質解答．
變式訓練
1．（2021下·廣東廣州·八年級統考期末）為了滿足開展“陽光體育”大課間活動的需求，某學校計劃購買一批籃球．根據學校的規模，需購買、兩種不同型號的籃球共300個．已知購買3個型籃球和2個型籃球共需340元，購買2個型籃球和1個型籃球共需要210元．
（1）求購買一個型籃球、一個型籃球各需多少元？
（2）若該校計劃投入資金元用于購買這兩種籃球，設購進的型籃球為個，求關于的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，若購買型籃球的數量不超過型籃球數量的2倍，則該校至少需要投入資金多少元？
【答案】（1）購買一個型籃球需80元，一個型籃球需50元；（2）；（3）該校至少需要投入資金元．
【分析】（1）設購買一個型籃球需元，一個型籃球需元，根據兩種購買方式建立方程組，解方程組即可得；
（2）根據（1）的結論可得購買型籃球的費用和購買型籃球的費用，再求和，然后根據兩種型號的籃球個數均大于0求出的取值范圍即可；
（3）先根據“購買型籃球的數量不超過型籃球數量的2倍”建立不等式求出的取值范圍，再利用一次函數的性質即可得．
【詳解】解：（1）設購買一個型籃球需元，一個型籃球需元，
由題意得：，
解得，符合題意，
答：購買一個型籃球需80元，一個型籃球需50元；
（2）由題意得：購買型籃球的個數為個，
則，
即，
，
，
則關于的函數關系式為；
（3）購買型籃球的數量不超過型籃球數量的2倍，
，
解得，
又，
，
對于一次函數，
在內，隨的增大而增大，
則當時，取得最小值，最小值為，
因此，在內，，
答：該校至少需要投入資金元．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、一次函數的應用等知識點，正確建立方程組和函數關系式是解題關鍵．
2．（2020下·甘肅慶陽·八年級校考期末）某校決定購買一批羽毛球拍和足球，1副羽毛球拍和2個足球共需190元；2副羽毛球拍和3個足球共需300元．
（1）求每副羽毛球拍和每個足球各需多少元？
（2）商場搞促銷活動，若購買的足球個數超過10個，足球就給予九折優惠，學校打算購買羽毛球拍和足球一共50件，設購買足球個，總費用為元，寫出關于的函數關系式；
（3）在（2）的條件下學校要求購買的足球的數量不少于球拍副數的一半，本次如何購買，才能使總費用最少？最少費用是多少元？
【答案】（1）每副羽毛球拍需30元，每個足球需80元；（2）；（3）購買羽毛球拍33個，足球17個，才能使總費用最少，最少費用是2214元．
【分析】（1）設每副羽毛球拍需a元，每個足球需b元，再建立二元一次方程組，解方程組即可得；
（2）分和兩種情況，結合（1）的結論，根據促銷活動列出等式即可得；
（3）先求出x的取值范圍，再根據一次函數的性質即可得．
【詳解】（1）設每副羽毛球拍需a元，每個足球需b元，
由題意得：，
解得，
答：每副羽毛球拍需30元，每個足球需80元；
（2）設購買足球個，則購買羽毛球拍個，
由題意，分以下兩種情況：
①當時，，
②當時，，
綜上，關于的函數關系式為；
（3）由題意得：，
解得，
為正整數，
的最小值為17，
，
，
由一次函數的性質可知，在內，隨x的增大而增大，
則當時，取得最小值，最小值為（元），
此時，
答：購買羽毛球拍33個，足球17個，才能使總費用最少，最少費用是2214元．
【點睛】本題考查了一次函數的實際應用、一元一次不等式的實際應用、二元一次方程組的應用，依據題意，正確建立一次函數和方程組是解題關鍵．
題型七 利用一次函數解決最大利潤問題
例題：（2023下·黑龍江雙鴨山·八年級統考期末）某網店直接從工廠購進A、B兩款自拍桿，進貨價和銷售價如表：
類別 A款自拍桿 B款自拍桿
進貨價（元/個） 30 25
銷售價（元/個） 45 37
(1)網店第一次用850元購進A、B兩款自拍桿共30個，求這兩款自拍桿分別購進多少個？
(2)第一次購進的自拍桿售完后，該網店計劃再次購進A、B兩款自拍桿共80個（進貨價和銷售價都不變），且進貨總價不高于2200元．如何購進A、B兩款自拍桿，才能使所獲得的銷售利潤最大？最大利潤值為多少？
【答案】(1)網店第一次購進20個A款自拍桿，10個B款自拍桿
(2)A、B兩款自拍桿各購進40個時，銷售利潤最大，最大利潤為1080元
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，找出w關于m的函數關系式．
（1）設網店第一次購進x個A款自拍桿，y個B款自拍桿，利用總價=單價×數量，結合網店第一次用850元購進A、B兩款自拍桿共30個，可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）設購進m個A款自拍桿，則購進個B款自拍桿，利用總價=單價×數量，結合總價不超過2200元，可得出關于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，設再次購進A、B兩款自拍桿的銷售利潤為w元，利用總利潤=每個的銷售利潤×銷售數量（購進數量），可得出w關于m的函數關系式，再利用一次函數的性質，即可解決最值問題．
【詳解】（1）解：設網店第一次購進x個A款自拍桿，y個B款自拍桿，
根據題意得：，
解得：．
答：網店第一次購進20個A款自拍桿，10個B款自拍桿；
（2）解：設購進m個A款自拍桿，則購進個B款自拍桿，
根據題意得：
解得：，
設再次購進A、B兩款自拍桿的銷售利潤為w元，
則，
即．
∵，
∴w隨m的增大而增大，
∴當時，w取得最大值，，
．
答：A、B兩款自拍桿各購進40個時，銷售利潤最大，最大利潤為1080元．
變式訓練
1．（2022·廣東深圳·統考一模）某超市計劃購進甲、乙兩種水果進行銷售．經了解，甲種水果和乙種水果的進價與售價如下表所示：
水果單價 甲 乙
進價（元/千克）
售價（元/千克） 20 25
已知用1200元購進甲種水果的重量與用1500元購進乙種水果的重量相同．
(1)求甲、乙兩種水果的進價；
(2)若該超市購進這兩種水果共100千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍，若全部賣完所購進的這兩種水果，則超市應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？
【答案】(1)甲水果的進價是16元/千克，乙水果的進價是20元/千克
(2)購進甲種水果75千克，則乙種水果25千克，獲得最大利潤425元
【分析】（1）根據用1200元購進甲種水果的重量與用1500元購進乙種水果的重量相同列出分式方程，解之即可；
（2）設購進甲種水果m千克，則乙種水果千克，利潤為y，列出y關于m的表達式，根據甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍，求出m的范圍，再利用一次函數的性質求出最大值．
【詳解】（1）解：由題意可知：
，
解得：，
經檢驗：是原方程的解，且符合題意，
，
甲水果的進價是16元/千克，乙水果的進價是20元/千克；
（2）設購進甲種水果m千克，則乙種水果千克，利潤為y元，
由題意可知：
甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍，
，
解得：，即，
在中，，則y隨m的增大而減小，
當時，y最大，且為（元），
購進甲種水果75千克，則乙種水果25千克，獲得最大利潤425元．
【點睛】本題考查了分式方程和一次函數的實際應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出方程和函數表達式．
2．（2022上·安徽亳州·八年級校考階段練習）夏季來臨，某商場準備購進甲、乙兩種空調，其中甲種空調比乙種空調進價每臺少500元，用40000元購進甲種空調數量與用50000元購進乙種空調數量相同．該商場計劃一次性從空調生產廠家購進甲、乙兩種空調共100臺，其中乙種空調的數量不超過甲種空調的2倍．若甲種空調每臺售價2400元，乙種空調每臺售價3000元．請解答下列問題：
(1)求甲、乙兩種空調每臺的進價分別是多少元？
(2)設購進甲種空調x臺，100臺空調的銷售總利潤為y元，求出y與x之間的函數關系式及自變量x的取值范圍；
(3)該商店購進甲、乙兩種空調各多少臺才能使銷售總利潤最大，最大利潤是多少？
【答案】(1)甲、乙兩種空調每臺的進價分別是2000元和2500元
(2)，，且x為整數
(3)商店購進甲種空調34臺，乙種空調66臺，才能使總利潤最大，最大利潤是46600元
【分析】（1）設甲種空調每臺的進價m元，則乙種空調每臺的進價（）元，根據“用40000元購進甲種空調數量與用50000元購進乙種空調數量相同”列分式方程求解即可；
（2）直接根據題意列出函數關系式，再根據“從空調生產廠家購進甲、乙兩種空調共100臺，其中乙種空調的數量不超過甲種空調的2倍”求取值范圍；
（3）根據一次函數的性質作答即可．
【詳解】（1）解：設甲種空調每臺的進價m元，則乙種空調每臺的進價（）元，
由題意得：，
解得，
經檢驗是原分式方程的解，
∴，
答：甲、乙兩種空調每臺的進價分別是2000元和2500元．
（2）解：根據題意，y與x之間的函數關系式為：
，
∵乙種空調的數量不超過甲種空調的2倍，
∴，
解得，
又∵，
∴自變量 x的取值范圍是，且x為整數．
（3）解：在中，
∵，
∴y隨x的增大而減小，
又∵，且x為整數
∴時，y取得最大值，最大值為，
此時，
答：商店購進甲種空調34臺，乙種空調66臺，才能使總利潤最大，最大利潤是46600元．
【點睛】本題考查了列分式方程求解，列一次函數關系式，求自變量取值范圍，一次函數的性質，熟練掌握一次函數的性質是解題的關鍵．
題型八 利用一次函數解決行程問題
例題：（2024上·山西太原·八年級統考期末）某校組織八年級學生進行研學活動，他們沿著同樣的路線從學校出發步行前往科技館．甲班比乙班先出發5分鐘，如圖線段表示甲班離開學校的路程（米）與甲班步行時間（分）的函數圖像；折線表示乙班離開學校的路程（米）與甲班步行時間（分）的函數圖像，圖中軸，與相交于點．請根據圖像解答下列問題：
(1)學校到科技館的路程為______米；線段對應的函數表達式為______（）；
(2)求線段對應的函數表達式（不必寫自變量的取值范圍）；
(3)圖像中線段與線段的交點的坐標為______，點坐標表示的實際意義是_________．
【答案】(1)3600；
(2)
(3)；當甲班步行20分鐘時，乙班追上甲班，他們離開學校的路程為1440米
【分析】本題考查函數綜合，涉及從函數圖像中得到信息、待定系數法確定函數關系式、函數圖像交點求法及其實際意義，熟練掌握待定系數法確定函數關系式是解決問題的關鍵．
（1）由線段表示甲班離開學校的路程（米）與甲班步行時間（分）的函數圖像即可得到答案；利用待定系數法將代入確定函數關系式即可得到答案；
（2）根據題意，數形結合，得到、，利用待定系數法將、代入確定函數關系式即可得到答案；
（3）由（1），（2）所得函數表達式，聯立方程組求解即可得到點的坐標，從而根據函數圖像交點的實際意義即可得到答案．
【詳解】（1）解：由線段表示甲班離開學校的路程（米）與甲班步行時間（分）的函數圖像可知，學校到科技館的路程為3600米；
設線段的函數關系式為，
將代入得，
解得，
線段對應的函數表達式為
故答案為：3600；；
（2）解：甲班比乙班先出發5分鐘，
，
設線段對應的函數表達式為，
將、代入得，
解得，
線段對應的函數表達式為；
（3）解：聯立，
解得，
圖像中線段與線段的交點的坐標為，點坐標表示的實際意義是當甲班步行20分鐘時，乙班追上甲班，他們離開學校的路程為1440米，
故答案為：；當甲班步行20分鐘時，乙班追上甲班，他們離開學校的路程為1440米．
變式訓練
1．（2024上·四川達州·八年級校考期末）一輛客車與一輛出租車分別從甲、乙兩地同時出發，相向而行．設客車離甲地的距離為千米，出租車離甲地的距離為千米，兩車行駛的時間為小時，、關于的函數圖像如圖所示：
(1)根據圖像，直接寫出、關于的函數圖像關系式；
(2)試計算：何時兩車相距300千米？
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本題主要考查了一次函數的應用、一元一次方程的應用等知識，正確求出兩函數解析式是解題關鍵．
（1）直接運用待定系數法就可以求出、關于的函數圖像關系式即可；
（2）分為兩種情況：在相遇前，；當兩車相遇后，，然后求解即可．
【詳解】（1）解：設，將點代入，
可得，解得，
∴；
設，將點，代入，
可得，解得，
∴；
（2）①兩車相遇前，可有，
即
解得；
②兩車相遇后，可有，
即，
解得．
答：兩車行駛或時兩車相距300千米．
2．（2023上·山東青島·八年級統考期中）共享電動車是一種新理念下的交通工具，主要面向的出行市場，現有兩種品牌的共享電動車，給出的圖象反映了收費（元）與騎行時間之間的對應關系，其中品牌收費方式對應，品牌的收費方式對應，且超過十分鐘時，對應的函數關系式是，請根據相關信息，解答下列問題：

(1)求出圖中函數，的圖象交點的坐標；
(2)求關于的函數解析式；
(3)①如果小明每天早上需要騎行品牌或品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車的平均行駛速度均為，小明家到工廠的距離為，那么小明選擇___________品牌共享電動車更省錢．（填“”或“”）
②當為何值時，兩種品牌共享電動車收費相差元？
【答案】(1)點的坐標為
(2)關于的函數解析式為
(3)①；②當為或時，兩種品牌共享電動車收費相差元
【分析】本題主要考查一次函數與行程問題的綜合，掌握待定系數法求一次函數解析式，一次函數圖象的性質是解題的關鍵．
（1）根據兩條函數圖象的交點的縱坐標為，代入函數解析式中計算即可；
（2）運用待定系數法求解析式即可；
（3）①根據行程問題算出騎行的時間，分別算出兩種品牌的費用即可求解；②分兩種情況討論，第一種情況，；第二種情況，；由此即可求解．
【詳解】（1）解：∵函數，的圖象交點，且點的縱坐標為，品牌的收費方式對應，且超過十分鐘時，對應的函數關系式是，
∴，解得，，
∴點的坐標為．
（2）解：函數經過點，，
∴設，
∴，解得，，
∴，
∴關于的函數解析式為．
（3）解：①，平均行駛速度均為，
∴行駛時間為，即，
∴騎行品牌的費用（元）；
騎行品牌共享電動車，且，
∴費用（元）；
∵，
∴小明選擇騎行品牌共享電動車，
故答案為：；
②第一種情況，，
∴，解得，；
第二種情況，，
∴，解得，；
∴當為或時，兩種品牌共享電動車收費相差元．
題型九 利用一次函數解決幾何問題
例題：（2022上·河北邯鄲·八年級校考開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，軸，軸，且，，，動點從點出發，以每秒的速度，沿路線向點運動；動點從點出發，以每秒的速度，沿路線向點運動.若，兩點同時出發，其中一點到達終點時，運動停止.
(1)直接寫出，，三個點的坐標；
(2)當，兩點出發時，求的面積；
(3)設兩點運動的時間為，用含的式子表示運動過程中的面積；
(4)在點，運動過程中，點被包含在區域包含邊界的時長是______
【答案】(1)，，
(2)的面積為
(3)
(4)
【分析】（1）根據坐標與圖形性質求出三個點的坐標；
（2）根據三角形的面積公式計算即可；
（3）分，兩種情況，根據三角形的面積公式、梯形的面積公式計算，得到答案；
（4）計算邊界點：當在上時，計算，通過畫圖發現，在時，點被包含在區域包含邊界，從而可計算其時長．
【詳解】（1）解：軸，軸，，，，
，，．
故答案為：，，；
（2）當兩點出發時，如圖1，，，
點在線段上，
的面積cm2；
（3）分兩種情況：
①當時，在線段上，在上，如圖，
由題意得：，
則；
②當時，在線段上，在上，如圖，
過點作軸交的延長線于，
由題意得：
，，，，
，
則
；
綜上所述，；
（4）①如圖，點在上，過點作于，過作于，交于，
，
，
，
，
，
≌（SAS），
，
，
；
如圖，當與重合時，點仍在的內部；
，
在點運動過程中，點被包含在區域包含邊界的時長是．
故答案為：．
【點睛】本題考查的是坐標與圖形性質，幾何動點問題，三角形的面積，線段三角形全等的判定與性質，從動態問題中得出一次函數的表達式等知識，是綜合題，有一定的難度，靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．
變式訓練
1．（2023上·內蒙古包頭·八年級包頭市第二十九中學校考期中）等邊三角形的位置如圖所示，等邊三角形的邊長為2．
(1)求點的坐標；
(2)直線過點，求該直線的表達式；
(3)在軸上找一點，使得三角形為等腰三角形，直接寫出點的坐標；
(4)在（2）的條件下，直線與軸交于點，在該直線上找一點，使得三角形的面積為．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
(4)或
【分析】（1）由題意得，，則，故，即可求解；
（2）將點的坐標代入函數表達式，可得，即可求解；
（3）當時，則，即可求解；當或時，同理可解；
（4）首先確定點坐標，由三角形的面積，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得，為等邊三角形，且邊長為2，
∴，，
∴，
過點作軸于點，
則，，
∴，
則點，
即點的坐標分別為：，；
（2）將點的坐標代入函數表達式，
可得 ，
則，
則該一次函數的表達式為；
（3）設點，
由點的坐標得，，，
當時，則有，
解得，則點；
當時，可有，
解得（舍去）或；
當時，可有，
解得．
綜上所述，點的坐標為：或或或；
（4）對于直線，
令，即有，
解得，
∴，
∴，
則三角形的面積，
則，
將當時，將其代入，
可得，解得，
將當時，將其代入，
可得，解得，
即點的坐標為或．
【點睛】本題主要考查了坐標與圖形、待定系數法則求一次函數解析式、一次函數的圖像與性質、等邊三角形的性質、勾股定理、等腰三角形的性質等知識，運用數形結合和分類討論的思想分析問題是解題的關鍵．
題型十 一次函數——分段函數
例題：在一次函數學習中，我們經歷了列表、描點、連線畫函數圖象，結合圖象研究函數性質的過程．小紅對函數的圖象和性質進行了如下探究，請同學們認真閱讀探究過程并解答：
（1）請同學們把小紅所列表格補充完整，并在平面直角坐標系中畫出該函數的圖象：
x … -1 0 1 2 3 4 5 6 …
y … ﹣2 ﹣1 0 2 2 2 …
（2）根據函數圖象，以下判斷該函數
性質的說法，正確的有_____．
①函數圖象關于y軸對稱；
②此函數無最小值；
③當x＜3時，y隨x的增大而增大；當x≥3時，y的值不變．
（3）若直線y＝x+b與函數y＝的圖象只有一個交點，則b＝_____．
【答案】（1）見解析；（2）②③；（3）
【分析】（1）根據所給的函數解析式填表，然后描點連線即可得到答案；
（2）根據函數圖像進行逐一判斷即可；
（3）根據函數圖像可知，只有當直線經過點（3，2）時，才滿足題意，由此求解即可．
【詳解】解：（1）列表如下：
x … -1 0 1 2 3 4 5 6 …
y … ﹣2 ﹣1 0 1 2 2 2 2 …
函數圖像如下圖所示：
（2）根據函數圖像可知，這個函數圖像不關于y軸對稱，故①錯誤；
觀察函數圖像可知，此函數沒有最小值，故②正確；
觀察圖像可知當x＜3時，y隨x的增大而增大；當x≥3時，y的值不變，故③正確；
故答案為：②③；
（3）∵直線與函數只有一個交點，
∴根據函數圖像可知，只有當直線經過點（3，2）時，才滿足題意，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了一次函數的圖像與性質，解題的關鍵在于能夠熟練掌握一次函數的圖像與性質．
變式訓練
1．已知函數，其中m為常數，該函數的圖象記為G．
（1）當時，若點在圖象G上，求n的值；
（2）當時，若函數最大值與最小值的差為，求m的值；
（3）已知點，，，當圖象G與有兩個公共點時，直接寫出m的取值范圍．
【答案】（1）-5；（2）；（3），
【分析】（1）將代入解析式求解即可；
（2）根據一次函數的圖像的性質，分類討論①當時，②當時，③當時，根據一次函數的定義分別求得最大和最小值，再求其差為，從而求得m的值；
（3）設,，分類討論①當經過點時，求得的最小值， ②當經過點時，③當與線段有交點時，④當經過點的時，⑤如圖，當經過點時，分別判斷圖象G與的交點個數，得出符合題意的m的取值范圍．
【詳解】解：（1）當時，函數
∵點在圖像G上
∴當時，．
（2）①當時，即時，對于函數，隨著x的增大y也增大．
∴當時，函數有最小值．
當時，函數有最大值．
∴．
∴當時，不存在m值使最大值與最小值的差為．
②當時，即時，對于函數，隨著x的增大，y反而減小．
∴當時，函數有最小值．
當時，函數有最大值．
∴，故當時，不存在m值使最大值與最小值的差為．
③當時，即時，圖象G從左到右先上升，再下降，即隨著x的增大y值先增大，再減小，當時有最大值．
當時，，當時，．
ⅰ當時，．
ⅱ當時，．
∴時，當時，函數最大值與最小值的差為．
綜上述：．
（3）設,
①如圖，當經過點時，
圖象G與有一個公共點，
將代入，得：
解得
②當經過點時，將點代入
解得
當時，當圖象G與有兩個公共點
如圖，當時，即，也經過點
此時，當圖象G與有兩個公共點
③當與線段有交點時，
將點代入，得
此時與交于點
當繼續增大時，圖象G與有四個公共點，
分別與線段各有一個交點，與線段各有一個交點；
④如圖，當經過點的時，將代入
解得：
此時分別與各有一個交點，此時圖象G與有三個公共點
當繼續增大時，圖象G與有兩個公共點
⑤如圖，當經過點時，圖象G與有一個公共點，此時可以求得的最大值
將代入，得：
解得：
綜上所述，當圖象G與有兩個公共點時，或．
【點睛】本題考查了一次函數的定義，一次函數圖像與性質等知識點，分類討論，數形結合是解題的關鍵．
題型十一 絕對值的一次函數
例題：（2022·河南·長葛市教學研究室八年級期末）小慧根據學習函數的經驗，對函數y=的圖象與性質進行了探究．
x … －1 0 1 2 3 …
y … b 1 0 1 2 …
下面是小慧的探究過程，請補充完成：
(1)函數y=的自變量x的取值范圍是______；
(2)列表，找出y與x的幾組對應值．其中，b＝_____；
(3)在平面直角坐標系xOy中，描出以上表中各對對應值為坐標的點，并畫出該函數的圖象；
(4)函數y=的最小值為____________．
(5)結合函數的圖象，寫出該函數的其他性質（一條即可）：_________________．
【答案】(1)任意實數
(2)2
(3)見解析
(4)0
(5)x<1時，y隨x增大而減小；x>1時，y隨x增大而增大；圖象關于直線y=1對稱（寫一條即可）
【分析】（1）根據一次函數的性質即可得出結論；
（2）把x=-1代入函數解析式，求出y的值即可；
（3）在坐標系內描出各點，再順次連接即可；
（4）根據函數圖象即可得出結論．
（5）根據函數圖象解答即可．
（1）
∵x無論為何值，函數均有意義，
∴x為任意實數．
故答案為：任意實數；
（2）
∵當x=-1時，y=|-1-1|=2，
∴b=2．
故答案為：2；
（3）如圖，
（4）
由函數圖象可知，函數的最小值為0．
故答案為：0．
（5）
x<1時，y隨x增大而減小；x>1時，y隨x增大而增大；圖象關于直線y=1對稱（寫一條即可）．
【點睛】本題考查的是一次函數的性質，根據題意畫出函數圖象，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．
變式訓練
1．（2022·河南漯河·八年級期末）有這樣一個問題：探究函數y＝|x＋1|的圖象與性質．下面是小明的探究過程，請補充完整：
(1)函數y＝|x＋1|的自變量x的取值范圍是_________；
(2)下表是x與y的幾組對應值．
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 …
m的值為_________；
(3)在如圖網格中，建立平面直角坐標系xOy，描出表中各對對應值為坐標的點，并畫出該函數的圖象；
(4)小明根據畫出的函數圖象，寫出此函數的兩條性質．
【答案】(1)任意實數
(2)1
(3)見解析
(4)見解析
【分析】（1）根據題目中的函數解析式，可知x的取值范圍；
（2）根據函數解析式可以得到m的值；
（3）根據表格中的數據可以畫出相應的函數圖象；
（4）根據函數圖象可以寫出該函數的性質．
（1）
解：在函數y=|x+1|中，自變量x的取值范圍是x為任意實數，
故答案為：任意實數；
（2）
解：當x=-2時，m=|-2+1|=1，
故答案為：1；
（3）
解：描點、連線，畫出函數的圖象如圖：
；
（4）
解：由函數圖象可知，
①函數有最小值為0；
②當x＞-1時，y隨x的增大而增大；
③圖象關于過點（-1，0）且垂直于x軸的直線對稱．（任寫兩條即可）
【點睛】本題考查一次函數的性質、一次函數的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，畫出相應的函數圖象，利用數形結合的思想解答．
題型十二 新定義型一次函數
例題：（2023上·安徽合肥·八年級統考期末）定義：在平面直角坐標系xOy中，函數圖象上到兩坐標軸的距離之和等于的點，叫做該函數圖象的“n階和點”．例如，為一次函數的“3階和點”．
(1)若點是y關于x的正比例函數的“n階和點”，則______， ______；
(2)若y關于x的一次函數的圖象經過一次函數圖象的“7階和點”，求k的值．
【答案】(1)；4
(2)2或
【分析】本題主要考查了一次函數的圖形與性質，一次函數圖象上點的坐標的特征，待定系數法，本題是新定義型：
（1）利用待定系數法和“階和點”的都有即點即可；
（2）利用分類討論的方法和“7階和點”的定義求得“7階和點”，再利用待定系數法解答即可；
【詳解】（1）解：把點代入，得：
，解得：；
∵點是y關于x的正比例函數的“n階和點”，
∴點到兩坐標軸的距離之和等于，
∴點是y關于x的正比例函數的“4階和點”，
即．
故答案為：；4；
（2）解：設一次函數圖象的“7階和點”為，則，，
∵一次函數圖象經過第一、二、三象限，
當在第一象限時，，
∴；
∴一次函數圖象的“7階和點”為；
把代入得：
，解得：；
當在第二象限時，，由于，此種情形不存在；
當在第三象限時，，
∴；
∴一次函數圖象的“7階和點”為，
把代入得：
，解得：；
綜上，k的值為2或．
變式訓練
1．（2022上·浙江寧波·八年級校考期末）定義：一次函數和一次函數為“逆反函數”，如和為“逆反函數”．
(1)點在的“逆反函數”圖象上，則_；
(2) 圖象上一點又是它的“逆反函數”圖象上的點，求點B的坐標；
(3)若和它的“逆反函數”與y軸圍成的三角形面積為3，求b的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）根據定義得到“逆反函數”為，把代入即可求得；
（2）根據題意得到關于、的方程組，解方程組即可求得；
（3）求得兩函數與軸的交點以及兩函數的交點，根據題意得到，解得或．
【詳解】（1）解：∵，
∴的“逆反函數”為，
∵點在的“逆反函數”圖象上，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）∵，
∴的“逆反函數”為，
∵圖象上一點又是它的“逆反函數”圖象上的點，
∴，
解得：
∴；
（3）∵，
∴它的“逆反函數”為，
∴兩函數與軸的交點分別為，，
由，解得：，
∴兩函數的交點為，
∵和它的“逆反函數”與y軸圍成的三角形面積為3，
∴，
∴或．
【點睛】本題考查了一次函數圖象和性質的關系，一次函數圖象上點的坐標特征，明確新定義，求得“逆反函數”是解題的關鍵．
2．（2022上·廣東深圳·八年級深圳市寶安中學（集團）統考期末）定義：我們把一次函數與正比例函數的交點稱為一次函數的“不動點”．例如求的“不動點”；聯立方程，解得，則的“不動點”為．
(1)由定義可知，一次函數的“不動點”為_．
(2)若一次函數的“不動點”為，求m、n的值．
(3)若直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，且直線上沒有“不動點”，若P點為x軸上一個動點，使得，求滿足條件的P點坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）聯立一次函數解析式與正比例函數，解二元一次方程組即可；
（2）將“不動點”為，代入求得，進而代入求得即可；
（3）根據題意可得，進而設，根據三角形面積公式求解即可．
【詳解】（1）解：由定義可知，一次函數的“不動點”為一次函數解析式與正比例函數的交點，即
解得
一次函數的“不動點”為
（2）解：根據定義可得，點在上，
解得
點又在上，
，
又
解得
（3）直線上沒有“不動點”，
直線與平行
，令，
令，則
設
即或
解得或
或
【點睛】本題考查了一次函數的性質，一次函數與坐標軸圍成的三角形的面積，兩直線交點問題，掌握一次函數的性質是解題的關鍵．
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