資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024-2025學年度九年級數學上冊學案
3.6二次函數的應用（3）
【學習目標】
1.體會二次函數是一類最優化問題的數學模型，解決設計生活中的最值問題，了解數學的應用價值;
2.利用二次函數解決實際最值問題.
【知識梳理】
1.建立直角坐標系解決二次函數問題
(1)建立合適的 .(2)根據題意找出有關點的坐標.(3)列出含有未知參數的式子并解決問題.
【典型例題】
知識點一應用二次函數解決問題
1.教練對小明推鉛球的錄像進行技術分析，發現鉛球行進高度y(m)與水平距離x(m)之間的關系為y＝－(x－4)2＋3，由此可知鉛球推出的距離是 m.
2.為促進經濟發展，方便居民出行．某施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道．拋物線的最高點P離路面OM的距離為6m，寬度OM為12m．
（1）按如圖所示的平面直角坐標系，求表示該拋物線的函數表達式；
（2）一貨運汽車裝載某大型設備后高為4m，寬為3.5m．如果該隧道內設雙向行車道（正中間是一條寬1m的隔離帶），那么這輛貨車能否安全通過？
（3）施工隊計劃在隧道口搭建一個矩形“腳手架”ABCD，使A，D點在拋物線上．B，C點在地面OM線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根支桿AB，AD，DC的長度之和的最大值是多少？請你幫施工隊計算一下．
【鞏固訓練】
1.某種正方形合金板材的成本y(元)與它的面積成正比，設邊長為x cm，當x＝3時，
y＝18，那么當成本為72元時，邊長為 .
2.某車的剎車距離y(m)與開始剎車時的速度x(m/s)之間滿足二次函數y＝x2(x>0)．
若該車某次的剎車距離為5 m，則開始剎車時的速度為 .
3.如圖，已知拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C，連接BC.
(1)求A、B、C三點的坐標；
(2)若點P為線段BC上的一點(不與B、C重合)，PM∥y軸，且PM交拋物線于點M，交x軸于點N，當△BCM的面積最大時，求△BPN的周長；
(
3題圖
)(3)在(2)的條件下，當△BCM的面積最大時，在拋物線的對稱軸上存在點Q，使得△CNQ為直角三角形，求點Q的坐標．
(
4
題圖
)4.如圖，對稱軸為直線x＝－1的拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交于A、B兩點，其中點A的坐標為(－3，0)．
(1)求點B的坐標；(2)已知a＝1，C為拋物線與y軸的交點．
①若點P在拋物線上，且S△POC＝4S△BOC.求點P的坐標；
②設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，
求線段QD長度的最大值．
　
(
5
題圖
)5.已知,如圖，拋物線y＝ax2－2ax＋c(a≠0)與y軸交于點C(0，4)，與x軸交于點A、B，點A的坐標為(4，0)．
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ，當△CQE的面積最大時，求點Q的坐標.
3.6二次函數的應用（3）
【典型例題】1.10
【鞏固訓練】1.A 2.C
3. 解：(1)當y＝0時，即－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴A(－1，0)，B(3，0)，當x＝0時，y＝3，
∴C(0，3)，
∴點A、B、C的坐標分別是A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)；
(2)設△BCM的面積為S，點M的坐標為(a，－a2＋2a＋3)，
則OC＝3，OB＝3，ON＝a，MN＝－a2＋2a＋3，BN＝3－a，
根據題意，得S△BCM＝S四邊形OCMN＋S△MNB－S△COB
＝(OC＋MN)·ON＋MN·NB－OC·OB
＝[3＋(－a2＋2a＋3)]a＋(－a2＋2a＋3)(3－a)－ ×3×3
＝－a2＋a＝－(a－)2＋，
∴當a＝時，S△BCM有最大值，
此時，ON＝a＝，BN＝3－a＝，
∵OC＝OB＝3，∠COB＝90°，
∴∠PBN＝45°，
∴PN＝BN＝，
根據勾股定理，得PB＝＝，
∴△BPN的周長＝PN＋BN＋PB＝＋＋＝3＋；
(3)拋物線y＝－x2＋2x＋3的對稱軸為直線x＝1，與x軸交于點E(1，0)，如解圖，
設Q(1，y)，根據勾股定理CN2＝CO2＋ON2＝()2＋32＝，
過點Q作QD⊥y軸于點D，則D(0，y)，利用勾股定理可得：
CQ2＝CD2＋DQ2＝(y－3)2＋12＝y2－6y＋10，
NQ2＝QE2＋EN2＝y2＋，
∵△CNQ為直角三角形，
∴有以下三種情況：
①當CN2＋CQ2＝NQ2，即∠NCQ＝90°時，
＋y2－6y＋10＝y2＋，解得y＝，
∴Q(1，)；
②當CN2＋NQ2＝CQ2，即∠CNQ＝90°時，
＋y2＋＝y2－6y＋10，解得y＝－，
∴Q(1，－)；
③當CQ2＋NQ2＝CN2，即∠CQN＝90°時，
y2－6y＋10＋y2＋＝，解得y＝，
∴Q(1，)或(1，)．
綜上所述，△CNQ為直角三角形時，
點Q的坐標為(1，)或(1，)或(1，－)或(1, )．
4.解：(1)∵點A(－3，0)與點B關于直線x＝－1對稱，
∴點B的坐標為(1，0)；
(2)∵a＝1，
∴y＝x2＋bx＋c，
∵拋物線過點(－3，0)，且對稱軸為直線x＝－1，
∴，解得，
∴拋物線解析式為y＝x2＋2x－3，
∴點C的坐標為(0，－3)
①設點P的坐標為(x，y)，由題意得
S△BOC＝OB·OC＝×1×3＝，
∴S△POC＝4S△BOC＝4×＝6.
當x>0時，S△POC＝OC·x＝×3×x＝6，
∴x＝4，
∴y＝42＋2×4－3＝21；
當x<0時，S△POC＝OC·(－x)＝×3×(－x)＝6，
∴x＝－4，
∴y＝(－4)2＋2×(－4)－3＝5，
∴點P的坐標為(4，21)或(－4，5)；
②設點A、C所在直線的解析式為y＝mx＋n(m≠0)，
把A(－3，0)、C(0，－3)代入得，
解得：
∴y＝－x－3，
設點Q的坐標為(x，－x－3)，其中－3≤x≤0，
∵QD⊥x軸，且點D在拋物線上，
∴點D的坐標為(x，x2＋2x－3)，
∴QD＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x＝－(x＋)2＋
∵－3<－<0，
∴當x＝－時，QD有最大值，
∴線段QD長度的最大值為
5.解：(1)∵拋物線y＝ax2－2ax＋c與y軸交于點C(0，4)且經過A(4，0)，
可得，解得，
∴所求拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋4；
設點Q的坐標為(m，0)，過點E作EG⊥x軸于點G
由－x2＋x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝4，
(
4題圖
)∴點B的坐標為(－2，0)
∴AB＝6，BQ＝m＋2，
∵QE∥AC，
∴∠BQE＝∠BAC，∠BEQ＝∠BCA，
∴△BQE∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴EG＝，
∴S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ＝BQ·CO－BQ·EG＝(m＋2)(4－)
＝－m2＋m＋＝－(m－1)2＋3.
∵－2≤m≤4，
∴當m＝1時，S△CQE有最大值3，此時Q(1，0)
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