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2024-2025學年度九年級數學學案
5.6 直線和圓的位置關系（4）
【學習目標】
1.了解三角形的內切圓、三角形的內心、圓的外切三角形的概念；
2.通過探究三角形內切圓的過程，歸納內心的性質.
【知識梳理】
1.定義：和三角形各邊都 的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的 ，這個三角形叫做圓的 三角形。
2.性質：三角形的內心是三角形的三條 的交點，它到 的距離相等.若內心和各頂點相連，則連線 各內角.
3.思考：一個三角形有幾個內切圓，一個圓有幾個外切三角形？
4.直角三角形內切圓的半徑= 一般三角形內切圓的半徑 =
【典型例題】
如圖7-63，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，點O是內心，求∠BOC的度數．
【鞏固訓練】
1.如圖，點I為的內心，連接并延長交的外接圓于點D，點E為弦的中點，連接，，，當，，時，的長為（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
2.如圖，⊙O內切于，切點分別為．已知， ，連結，那么= .
3.如圖，AB與⊙O相切于點B，連接OA交⊙O于點C，點D為優弧BDC上一點，連接DB，DC，若∠BDC＝30°，⊙O的半徑OC＝2，則AB的長為（　　）
A．4 B．2 C．2 D．1
(
D
O
A
F
C
B
E
)
第1題圖 第2題圖 第3題圖 第4題圖
4.如圖，是的內切圓，點D，E是切點，，，則_______．
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，△ABC的內切圓半徑為1，則△ABC周長為 .
6．已知直角三角形外接圓半徑為6，內切圓半徑為2，那么這個三角形面積是 .
7.如圖，O是△ABC的內心，過點O作EF∥AB，與AC、BC分別交E、F，則（　　）
A.EF＞AE+BF B.EF＜AE+BF C.EF=AE+BF D.EF≤AE+BF
(
第
8
題
) (
第
9
題
) (
第
7
題
)
8.如圖，在平面直角坐標系中，⊙I與x軸，y軸，AB分別切于點D，E，C，且C，E不重合，I點坐標為（－1，－1），B點坐標為（0，－4），則直線AB的表達式為 ．
【拓展延伸】
9.如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓⊙O相交于點D，過D作直線．
(1)求證：DG是⊙O的切線；(2)求證：DE＝CD；(3)若，BC＝8，求⊙O的半徑．
5.6直線和圓的位置關系（4）
【典型例題】 117.5°
【鞏固訓練】1.C 2.55° 3.B 4.110° 5.14 6.28 7.C 8.
【拓展延伸】
9.（1）如圖1，連接OD，由點E是△ABC的內心，可知AD平分∠BAC，則，，可得，，則，進而結論得證；
（2）如圖2，連接BD，由點E是△ABC的內心，可知，由，可得，根據等角對等邊證明結論即可；
（3）如圖3，連接OB、，連接交于，由（2）可知，由題意知，，在中，由勾股定理得，設半徑為，則，，在中，由勾股定理得即，計算求解即可．
(1)
證明：如圖1，連接OD，
∵點E是△ABC的內心，
∴AD平分∠BAC，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是⊙O的半徑，
∴DG是⊙O的切線．
(2)
證明：如圖2，連接BD，
∵點E是△ABC的內心，
∴，
∵，
∴
∴．
(3)
解：如圖3，連接OB、，連接交于
由（2）可知，
由題意知，，
在中，由勾股定理得，
設半徑為，則，，
在中，由勾股定理得即，
解得，
∴的半徑為5．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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