資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
11.3.2 多邊形的內角和
教學設計
一、教學目標：
1.探索并證明多邊形內角和公式.
2.運用多邊形內角和公式解決簡單問題.
二、教學重、難點：
重點：理解多邊形內角和公式的推導過程，并掌握多邊形的內角和與外角和公式.
難點：靈活運用多邊形的內角和與外角和定理解決有關問題.
三、教學過程：
（一）復習導入
我們已經證明了三角形的內角和為180°，在小學我們用量角器量過四邊形的內角的度數，知道四邊形內角的和為360°，現在你能利用三角形的內角和定理證明嗎？
新知講解
如圖，從四邊形的一個頂點出發可以引幾條對角線？它們將四邊形分成幾個三角形？那么四邊形的內角和等于多少度？
在四邊形ABCD中，連接對角線AC，則四邊形ABCD被分為△ABC和△ACD兩個三角形.
由此可得:∠BAD+∠B+∠BCD+∠D
=∠DAC+∠BAC+∠B+∠BCA+∠DCA+∠D
=（∠DAC+∠DCA+∠D）+（∠BAC+∠B+∠BCA）
=180°+180°
=360°
思考：你還有其他證明方法嗎？
歸納：四邊形的內角和為360°
類似地，你能知道五邊形、六邊形…… n邊形的內角和是多少度嗎？
歸納：一般地，從n邊形的一個頂點出發，可以作(n － 3)條對角線，它們將n邊形分為（n － 2)個三角形，n邊形的內角和等于180°×(n － 2).
n邊形的內角和等于（n一2）·180°．
例題講解
例1 如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？
如圖，已知四邊形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B與∠D的關系．
解：如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°,
∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180°=360°
∴∠B+∠D=360°－ (∠A+∠C )=360°－180°=180°
這就是說，如果四邊形一組對角互補，那么另一組對角也互補．
例2 如圖，在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和．六邊形的外角和等于多少？
如圖，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分別為六邊形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
分析：多邊形的一個外角同與它相鄰的內角有什么關系？六邊形的內角和是多少度？
解：由多邊形的內角和公式（n-2）180°可得
六邊形的內角和=（6-2）×180°=720°
即∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=720°
∵∠1=180°-∠FAB，∠2=180°-∠ABC，∠3=180°-∠BCD
∠4=180°-∠CDE，∠5=180°-∠DEF，∠6=180°-∠EFA
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°×6-720°=360°
這就是說，六邊形形的外角和為360°。
思考：當n＞3時，n邊形的外角和等于多少度？
n邊形的外角和=n×180°-（n-2）×180°
=180°n-180°n+360°
=360°
結論：n邊形的外角和等于360°。
當堂練習
1. 一個十二邊形的內角和等于（ D ）
A.2160° B.2080° C.1980° D.1800°
2.一個多邊形的內角和時900°，則這個多邊形的邊數是（ C ）
A.9 B.8 C.7 D.6
3.一個多邊形的內角和是外角和的2倍，它是__六____邊形
四、課堂小結
通過本節課的探究與學習，你有哪些收獲與體會？
①多邊形內角和定理及外角和定理的內容、推導和應用。
②體會數學中的類比和轉化的數學思想。
作業
見精準作業中小學教育資源及組卷應用平臺
11.3.2 多邊形的內角和
精準作業
課前診測
從四邊形的一個頂點出發，可以畫1條對角線，它把四邊形分成了_____個三角形；
從五邊形的一個頂點出發，可以畫____條對角線，它們把五邊形分成了_____個三角形.
必做題
十邊形的內角和是_______
一個多邊形的內角和為720°，則這個多邊形是______
一個多邊形的每個外角都等于72°，則這個多邊形的邊數是____
探究題
有一張長方形紙片，現在用剪刀剪去它的一個角，剩下的紙片所有的內角和是多少？
答案：
課前診斷
1.2
2.2；3
必做題
1.1440°
2.六邊形
5
探究題
解：減去一個角后剩下的紙片形狀有三種情況：
①三角形，內角和為180°
②四邊形，內加和360°
③五邊形，內角和為540°(共14張PPT)
11.3.2 多邊形的內角和
人教版.八年級上冊
學習目標
1.探索并證明多邊形內角和公式.
2.運用多邊形內角和公式解決簡單問題.
知識回顧
思考
我們知道，三角形的內角和等于180°，正方形、長方形的內角和都 等于360°.那么，任意一個四邊形的內角和是否也等于360°呢？你能利用 三角形內角和定理證明四邊形的內角和等于360°嗎？
探究新知
思考：任意四邊形的內角和等于多少度？
A
B
C
D
在四邊形ABCD中，連接對角線AC，則四邊形ABCD被分為△ABC和△ACD兩個三角形.
由此可得:∠BAD+∠B+∠BCD+∠D
=∠DAC+∠BAC+∠B+∠BCA+∠DCA+∠D
=（∠DAC+∠DCA+∠D）+（∠BAC+∠B+∠BCA）
=180°+180°
=360°
你還有其他證明方法嗎？
探究新知
180°×2=360°
180°×3-180°=360°
180°×4-360°=360°
四邊形的內角和是360
探究新知
邊數 3 4 5 6 n
從一個頂點出發的對角線的條數 0 1
對角線分成的 三角形的個數 1 2
多邊形的內角和 180° 180°×2 =360°
3
3
n-3
2
4
n-2
180°×3
=540°
180°×4
=720°
180°(n-2)
歸納總結
一般地，從n邊形的一個頂點出發，可以作(n － 3)條對角線，它們將n邊形分為（n － 2)個三角形，n邊形的內角和等于180°×(n － 2).
多邊形內角和公式（n-2）180°
例題講解
例1 如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？
A
B
C
D
解：如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°,
∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180°
=360°
∴∠B+∠D=360°－ (∠A+∠C )
=360°－180°
=180°
這就是說，如果四邊形一組對角互補，那么另一組對角也互補．
如圖，已知四邊形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B與∠D的關系．
例題講解
例2 如圖，在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和。六邊形的外角和等于多少？
解：由多邊形的內角和公式（n-2）180°可得
六邊形的內角和=（6-2）×180°=720°
即∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=720°
∵∠1=180°-∠FAB，∠2=180°-∠ABC，∠3=180°-∠BCD
∠4=180°-∠CDE，∠5=180°-∠DEF，∠6=180°-∠EFA
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°×6-720°=360°
歸納總結
思考：當n＞3時，n邊形的外角和等于多少度？
n邊形的外角和=n×180°-（n-2）×180°
=180°n-180°n+360°
=360°
多邊形外角和等于360°
當堂練習
1. 一個十二邊形的內角和等于（ ）
A.2160° B.2080° C.1980° D.1800°
2.一個多邊形的內角和時900°，則這個多邊形的邊數是（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
3.一個多邊形的內角和是外角和的2倍，它是________邊形
D
C
六
課堂小結
通過本節課的探究與學習，你有哪些收獲與體會？
①多邊形內角和定理及外角和定理的內容、推導和應用。
②體會數學中的類比和轉化的數學思想。
作業布置
見精準作業
謝謝觀看
謝謝觀看中小學教育資源及組卷應用平臺
11.3.2 多邊形的內角和
導學案
學習目標：
1.探索并證明多邊形內角和公式.
2.運用多邊形內角和公式解決簡單問題.
一、復習導入
我們已經證明了三角形的內角和為180°，在小學我們用量角器量過四邊形的內角的度數，知道四邊形內角的和為360°，現在你能利用三角形的內角和定理證明嗎？
二、新知講解
如圖，從四邊形的一個頂點出發可以引幾條對角線？它們將四邊形分成幾個三角形？那么四邊形的內角和等于多少度？
在四邊形ABCD中，連接對角線AC，則四邊形ABCD被分為△ABC和△ACD兩個三角形.
由此可得:∠BAD+∠B+∠BCD+∠D
=∠DAC+∠BAC+∠B+∠BCA+∠DCA+∠D
=（∠DAC+∠DCA+∠D）+（∠BAC+∠B+∠BCA）
=180°+180°
=360°
思考：你還有其他證明方法嗎？
歸納：四邊形的內角和為360°
類似地，你能知道五邊形、六邊形…… n邊形的內角和是多少度嗎？
歸納：一般地，從n邊形的一個頂點出發，可以作(n － 3)條對角線，它們將n邊形分為（n － 2)個三角形，n邊形的內角和等于180°×(n － 2).
n邊形的內角和等于（n一2）·180°．
三、例題講解
例1 如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？
如圖，已知四邊形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B與∠D的關系．
解：如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°,
∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180°=360°
∴∠B+∠D=360°－ (∠A+∠C )=360°－180°=180°
這就是說，如果四邊形一組對角互補，那么另一組對角也互補．
例2 如圖，在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和．六邊形的外角和等于多少？
如圖，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分別為六邊形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
分析：多邊形的一個外角同與它相鄰的內角有什么關系？六邊形的內角和是多少度？
解：由多邊形的內角和公式（n-2）180°可得
六邊形的內角和=（6-2）×180°=720°
即∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=720°
∵∠1=180°-∠FAB，∠2=180°-∠ABC，∠3=180°-∠BCD
∠4=180°-∠CDE，∠5=180°-∠DEF，∠6=180°-∠EFA
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°×6-720°=360°
這就是說，六邊形形的外角和為360°。
思考：當n＞3時，n邊形的外角和等于多少度？
n邊形的外角和=n×180°-（n-2）×180°
=180°n-180°n+360°
=360°
結論：n邊形的外角和等于360°。
四、當堂練習
1. 一個十二邊形的內角和等于（ D ）
A.2160° B.2080° C.1980° D.1800°
2.一個多邊形的內角和時900°，則這個多邊形的邊數是（ C ）
A.9 B.8 C.7 D.6
3.一個多邊形的內角和是外角和的2倍，它是__六____邊形
五、課堂小結
通過本節課的探究與學習，你有哪些收獲與體會？
六、作業
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