資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
課前診測
求出下列圖形中 x 的值:
精準作業
必做題
1. 求出下列圖形中的 x 的值:
2.△ABC 中，∠B = ∠A + 10°，∠C = ∠B + 10°.
求△ABC 的各內角的度數.
3.如圖，AD⊥ BC，∠1 =∠2，∠C = 65°.求∠BAC 的度數.
4、如圖,某同學把一塊三角形的玻璃打碎成三片,現在他要到玻璃店去配一塊形狀完全一樣的玻璃,那么最省事的辦法是 ( )
(A)帶①去　　　　(B)帶②去　　　　　(C)帶③去　　　　(D)帶①和②去
探究題
如圖，在△ABC中，OB，OC是∠ABC，∠ACB的平分線.
（1）填寫下面的表格：
∠A的度數 50° 60° 70°
∠BOC的度數
（2）試猜想∠A與∠BOC之間存在的數量關系，并證明你的猜想；
（3）如圖，△ABC的高BE，CD交于點O，試說明圖中∠A與∠BOD的關系.
參考答案
課前診斷
解：(1) 40 (2) 70 (3) 60
精準作業
(1) 33 (2) 60 (3) 54 (4) 60
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠A+10°，
∠C=∠B+10°=∠A+20°，∴∠A+∠A+10°+∠A+20°=180°.
即3∠A+30°=180°.∴∠A=50°，∠B=∠A+10°=60°，∠C=∠B+10°=70°.
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵∠1=∠2， ∴∠2=∠1=×（180°-∠ADB）=×90°=45°.
∴∠BAC=180°-（∠2+∠C）=180°-（45°+65°）=70°.
4.C
探究題
解：(1) 115° 120° 125°
猜想：∠BOC=90°+ ∠A.
理由：∵在△ABC中，OB、OC是∠ABC、∠ACB的平分線
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°-∠A）=90°- ∠A.
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°- ∠A）=90°+ ∠A.
相等；理由：∵△ABC的高BE、CD交于O點，∴∠BDC=∠BEA=90°，
∴∠ABE+∠BOD=90°，∠ABE+∠A=90°，
∴∠A=∠BOD.中小學教育資源及組卷應用平臺
11.2.1 三角形的內角 教學設計
教學目標
1.通過經歷探究活動的過程，得出三角形的內角和定理.
2.能運用平行線的性質證明內角和定理，能應用內角和定理推導并歸納直角三角形的性質與判定.
3.經歷“實驗—猜想—證明”的過程，體驗自然科學的一般研究方法，提高研究和學習的興趣.
教學重點
三角形的內角和定理.
教學難點
證明三角形的內角和定理.
教學過程
問題引入
內角三兄弟之爭：
在一個直角三角形里住著三個內角，平時，它們三兄弟非常團結。可是有一天，老二突然不高興，發起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數最大，我也要和你一樣大！”“不行啊！”老大說：“這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起來了……”“為什么？” 老二很納悶。
在小學我們已經知道：任意一個三角形三個內角的和等于__180°_.
你還記得是怎么發現這個結論的嗎？
請大家利用手中的三角形紙片進行探究．
探究新知
1.方法：度量、剪拼、折疊
問題1：運用度量的方法，得出的三個內角的和都是180°嗎？為什么？
不一定，測量可能會有誤差．　　　
問題2：通過度量、剪拼或折疊的方法驗證了手中的三角形紙片的三個內角和等于180°，
如何能得出“所有的三角形的三個內角的和都等于180°？
需要通過推理去證明．　　　
2.如何證明“三角形內角和等于180°？
思路：∠B 和∠C 分別拼在∠A 的左右，三個角合起來形成一個平角，出現了一條過點 A 的直線 l，直線 l 與邊 BC 平行.
通過添加與邊 BC 平行的輔助線 l，利用平行線的性質和平角的定義即可證明該結論．　　　
證明：三角形內角和等于180°.
已知：△ABC．
求證：∠A +∠B + ∠C = 180°．
證明：過點A 作直線l ，使l ∥BC．
∵　 l ∥BC ，
∴　∠2 = ∠4，∠3 = ∠5
（兩直線平行，內錯角相等） ．
∵　∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角定義），
∴　∠A + ∠B + ∠C = 180°（等量代換）．
在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線。在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線。
　例1　如圖，在△ABC 中， ∠BAC =40°， ∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分線．求∠ADB 的度數．
解：∵　由∠BAC=40 ° ， AD 是△ABC 的角平分線，得
∠BAD=∠BAC = 20°.
在△ABD中，∠ADB =180°–∠B –∠BAD
=180°–75°–20°
=85°.
　例2　如圖，C 島在A 島的北偏東50°方向，B 島在A 島的北偏東80°方向，C 島在B 島的北偏西40°方向．從B 島看A，C 兩島的視角∠ABC 是多少度？從C島看A，B 兩島的視角∠ACB 呢？
解：∠CAB=∠BAD - ∠CAD
=80 °- 50 °
=30 °.
3.問題：在△ABC 中，∠A =60°，∠B =30°，∠C 等于多少度？
解：根據三角形內角和等于180°
∠A+∠B+∠C =180°
所以∠C=180°-60°-30°=90°.
則△ABC是直角三角形.
　　直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以寫成Rt△ABC ．
在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度數嗎？為什么？ 不能
你能求出∠A +∠B 的度數嗎？ 90°
你能得出什么結論？ 　　直角三角形的兩個銳角互余．　　
　　例3　如圖，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于點E，∠CAE 與∠DBE 有什么關系？為什么？
解：在Rt△AEC 中，∵　∠C =90°，
∴　∠CAE +∠AEC =90°
（直角三角形兩銳角互余）．
在Rt△BDE 中，∵　∠D =90°，
∴　∠DBE +∠BED =90°
（直角三角形兩銳角互余）．
∵　∠AEC =∠BED （對頂角相等），∴　∠CAE =∠DBE
（等角的余角相等）．
問題：我們知道，如果一個三角形是直角三角形，那么這個三角形有兩個角互余．反過來，你能得出什么結論？這個結論成立嗎？如何驗證你的想法？
有兩個角互余的三角形是直角三角形．　　
　　 成立，利用三角形內角和定理可得.
推理格式：在Rt△ABC 中，∵　∠A +∠B =90°，∴　△ABC 是直角三角形．
當堂練習
1.如圖，求各圖中∠1 的度數．　　
2.如圖，從A 處觀測C 處的仰角∠CAD = 30°，從B 處觀測C 處的仰角∠CBD = 45°．從C 處觀測A， B 兩處的視角∠ACB 是多少？ 　　
解：∠ACB =∠ACD – ∠BCD
= 60°– 45°=15°.
3.如圖，一種滑翔傘的形狀是左右對稱的四邊形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°. 求∠C的度數.
解：∵∠1+∠2+∠B= 180°，∠3+∠4+∠D=180°，
∴∠l+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=180°+180°.
∴(∠1+∠4)+(∠2+∠3)+∠B+∠D= 360°.
即∠BCD+∠BAD+40°+40°= 360°.
則∠BCD= 360°－ 150°－80°= 130°.
4 .在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4,求∠A 、∠B、 ∠C的度數。
解：設每一份角為X度，則∠A＝2X 度、∠B=3X度、 ∠C=4X度，由三角形內角和定理，可得：
2X+3X+4X=180
解之，得 X=20
2X=2×20=40, 3X=3×20=60, 4X=4×20=80
答： ∠A 為40度，∠B為60度、 ∠C為80度
四、課堂小結
談談你本節課的收獲.
五、作業布置
見精準作業布置單
六、板書設計
11.2.1 三角形的內角 右邊板書
1.三角形三個內角和等于180° 練習題板書過程
2.直角三角形的兩個銳角互余
有兩個角互余的三角形是直角三角形
第 5 頁 共 5 頁(共18張PPT)
11.2.1 三角形的內角
在一個直角三角形里住著三個內角，平時，它們三兄弟非常團結。可是有一天，老二突然不高興，發起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數最大，我也要和你一樣大！”“不行啊！”老大說：“這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起來了……”“為什么？” 老二很納悶。
同學們，你們知道其中的道理嗎？
內角三兄弟之爭
問 題 引 入
在小學我們已經知道：
任意一個三角形三個內角的和等于_______.
180°
你還記得是怎么發現這個結論的嗎？
請大家利用手中的三角形紙片進行探究．
探 究 新 知
方法：度量、剪拼、折疊
B
B
C
C
A
A
A
B
B
C
A
B
C
問題1：運用度量的方法，得出的三個內角的和都是180°嗎？
為什么？
不一定，測量可能會有誤差．　　　
問題2：通過度量、剪拼或折疊的方法驗證了手中的三角形紙片的三個內角和等于180°，如何能得出“所有的三角形的三個內角的和都等于180°？
需要通過推理去證明．　　　
如何證明“三角形內角和等于180°？
B
B
C
C
A
l
通過添加與邊 BC 平行的輔助線 l，利用平行線的性質和平角的定義即可證明該結論．　　　
思路：∠B 和∠C 分別拼在∠A 的左右，三個角合起來形成一個平角，出現了一條過點 A 的直線 l，直線 l 與邊 BC 平行.
探 究 新 知
證明：三角形內角和等于180°.
A
B
C
2
4
1
5
3
　 l
已知：△ABC．
求證：∠A +∠B + ∠C = 180°．
證明：過點A 作直線l ，使l ∥BC．
∵　 l ∥BC ，
∴　∠2 = ∠4，∠3 = ∠5
（兩直線平行，內錯角相等） ．
∵　∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角定義），
∴　∠A + ∠B + ∠C = 180°（等量代換）．
探 究 新 知
在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線。在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線。
探 究 新 知
　　例1　如圖，在△ABC 中， ∠BAC =40°， ∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分線．求∠ADB 的度數．
解：∵　由∠BAC=40 ° ，
AD 是△ABC 的角平分線，得
∠BAD = ∠BAC = 20°.
在△ABD中，
∠ADB =180°– ∠B – ∠BAD
=180° – 75° – 20°
=85°.
　　例2　如圖，C 島在A 島的北偏東50°方向，B 島在A 島的北偏東80°方向，C 島在B 島的北偏西40°方向．從B 島看A，C 兩島的視角∠ABC 是多少度？從C島看A，B 兩島的視角∠ACB 呢？
探 究 新 知
北
北
C
A
B
D
E
解：
∠CAB=∠BAD - ∠CAD
=80 °- 50 °
=30 °.
問題：在△ABC 中，∠A =60°，∠B =30°，∠C 等于多少度？
A
B
C
解：根據三角形內角和等于180°
∠A+∠B+∠C =180°
所以∠C=180°-60°-30°=90°.
則△ABC是直角三角形.
　　直角三角形可以用符號“Rt△”表示，
直角三角形ABC 可以寫成Rt△ABC ．
在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度數嗎？為什么？
你能求出∠A +∠B 的度數嗎？
　　直角三角形的兩個銳角互余．　　
你能得出什么結論？
90°
探 究 新 知
　　例3　如圖，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于點E，∠CAE 與∠DBE 有什么關系？為什么？
C
D
E
A
B
解：在Rt△AEC 中，∵　∠C =90°，
∴　∠CAE +∠AEC =90°
（直角三角形兩銳角互余）．
在Rt△BDE 中，∵　∠D =90°，
∴　∠DBE +∠BED =90°
（直角三角形兩銳角互余）．
∵　∠AEC =∠BED （對頂角相等），∴　∠CAE =∠DBE
（等角的余角相等）．
探 究 新 知
問題：我們知道，如果一個三角形是直角三角形，那么這個三角形有兩個角互余．反過來，你能得出什么結論？這個結論成立嗎？如何驗證你的想法？
探 究 新 知
有兩個角互余的三角形是直角三角形．　　
　　成立，利用三角形內角和定理可得.
推理格式：
在Rt△ABC 中，
∵　∠A +∠B =90°，
∴　△ABC 是直角三角形．
A
B
C
當 堂 練 習
1.如圖，求各圖中∠1 的度數．　　
30°
105°
1
（2）
80°
50°
1
（1）
22°
1
（3）
50°
45°
68°
2.如圖，從A 處觀測C 處的仰角∠CAD = 30°，從B 處觀測C 處的仰角∠CBD = 45°．從C 處觀測A，B 兩處的視角∠ACB 是多少？ 　　
當 堂 練 習
解：∠ACB =∠ACD – ∠BCD
= 60°– 45°=15°.
A
B
D
C
3.如圖，一種滑翔傘的形狀是左右對稱的四邊形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°. 求∠C的度數.
解：∵∠1+∠2+∠B= 180°，∠3+∠4+∠D=180°，
∴∠l+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=180°+180°.
∴(∠1+∠4)+(∠2+∠3)+∠B+∠D= 360°.
即∠BCD+∠BAD+40°+40°= 360°.
則∠BCD= 360°－ 150°－80°= 130°.
(4) 在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4,求∠A 、∠B、 ∠C的度數。
解：設每一份角為X度，則∠A＝2X 度、∠B=3X度、 ∠C=4X度，由三角形內角和定理，可得：
2X+3X+4X=180
解之，得 X=20
答： ∠A 為40度，∠B為60度、 ∠C為80度
2X=2×20=40, 3X=3×20=60, 4X=4×20=80
課 堂 小 結
B
B
C
C
A
l
三角形內角和等于180°.
有兩個角互余的三角形是直角三角形．　　
A
B
C
　　直角三角形
的兩個銳角互余．　　
作 業 布 置
見精準作業單.中小學教育資源及組卷應用平臺
11.2.1 三角形的內角 導學案
學習目標：
1.通過經歷探究活動的過程，得出三角形的內角和定理.
2.能運用平行線的性質證明內角和定理，能應用定理推導并歸納直角三角形的性質與判定.
3.經歷“實驗—猜想—證明”的過程，體驗自然科學的一般研究方法，提高學習的興趣.
重點：三角形的內角和定理.
難點：證明三角形的內角和定理.
問題引入
內角三兄弟之爭：
在一個直角三角形里住著三個內角，平時，它們三兄弟非常團結。可是有一天，老二突然不高興，發起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數最大，我也要和你一樣大！”“不行啊！”老大說：“這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起來了……”“為什么？” 老二很納悶。
同學們，你們知道其中的道理嗎？
在小學我們已經知道：任意一個三角形三個內角的和等于_______.
你還記得是怎么發現這個結論的嗎？
請大家利用手中的三角形紙片進行探究．
探究新知
1.方法：度量、剪拼、折疊
問題1：運用度量的方法，得出的三個內角的和都是180°嗎？為什么？
問題2：通過度量、剪拼或折疊的方法驗證了手中的三角形紙片的三個內角和等于180°，
如何能得出“所有的三角形的三個內角的和都等于180°？
　
2.如何證明“三角形內角和等于180°？
證明：三角形內角和等于180°.
在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做 。在平面幾何里，輔助線通常畫成 。
　例1　如圖，在△ABC 中， ∠BAC =40°， ∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分線．求∠ADB 的度數．
　例2　如圖，C 島在A 島的北偏東50°方向，B 島在A 島的北偏東80°方向，C 島在B 島的北偏西40°方向．從B 島看A，C 兩島的視角∠ABC 是多少度？從C島看A，B 兩島的視角∠ACB 呢？
問題：在△ABC 中，∠A =60°，∠B =30°，∠C 等于多少度？
在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度數嗎？為什么？
你能求出∠A +∠B 的度數嗎？
你能得出什么結論？ 　　　　
例3　如圖，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于點E，∠CAE 與∠DBE 有什么關系？為什么？
問題：我們知道，如果一個三角形是直角三角形，那么這個三角形有兩個角互余．反過來，你能得出什么結論？這個結論成立嗎？如何驗證你的想法？
推理格式：在Rt△ABC 中，∵　∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．
三、當堂練習
1.如圖，求各圖中∠1 的度數．　　
2.如圖，從A 處觀測C 處的仰角∠CAD = 30°，從B 處觀測C 處的仰角∠CBD = 45°．從C 處觀測A，B 兩處的視角∠ACB 是多少？ 　　
如圖，一種滑翔傘的形狀是左右對稱的四邊形ABCD，其中∠A=150°，
∠B=∠D=40°. 求∠C的度數.
4 .在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4,求∠A 、∠B、 ∠C的度數。
四、課堂小結
談談你本節課的收獲.
五、作業布置
見精準作業布置單

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