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(共14張PPT)
人教版九年級(jí)上冊(cè)
21.2降次——解一元二次方程（7）
復(fù)習(xí)回顧
1. 解一元二次方程的基本思路是：_______________________________________
2. 一元二次方程的基本解法
（1）直接開(kāi)平方法； （2）配方法；
（3）公式法； （4）因式分解法.
將二次方程化為一次方程，即降次.
典例探究
類(lèi)型一　根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的方法解方程
例1　 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>（1）2（2 x －1）2－4＝0；
解：變形，得（2 x －1）2＝2，
即2 x －1＝± ，解得 x 1＝ ， x 2＝ .
解一元二次方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）若 b ＝0，選直接開(kāi)平方法
典例探究
題型一　根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的方法解方程
例1　 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>（2） x 2－6 x ＋5＝0；
解：配方，得（ x －3）2＝4，即 x －3＝±2.
解得 x 1＝5， x 2＝1.
當(dāng)方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1時(shí)，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)的絕對(duì)值很大時(shí)，可以考慮用配方法；
典例探究
（3）2 x 2－2 x －1＝0；
解：∵ a ＝2， b ＝－2 ， c ＝－1，
∴Δ＝ b 2－4 ac ＝16.
∴ x ＝ ＝ .
解得 x 1＝ ， x 2＝ .
如果 ax 2＋ bx ＋ c 不能因式分解，且方程的一次項(xiàng)系數(shù)為奇數(shù)時(shí)，配方法可能計(jì)算量較大，宜選用公式法來(lái)解.
題型一　根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的方法解方程
例1　 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>典例探究
（4）2（2 x －3）2＝3（2 x －3）.
解：移項(xiàng)，得2(2 x －3)2－3(2 x －3)＝0.
因式分解，得(4 x －9)(2 x －3)＝0.
解得 x 1＝ ， x 2＝ .
如果 ax 2＋ bx ＋ c 能在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，用分解因式法計(jì)算量小；
題型一　根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的方法解方程
例1　 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>跟蹤訓(xùn)練
1. 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>（1）4（3 x －2）2＝36；
（2）3 x 2＋5（2 x ＋1）＝0；
解：變形，得(3x －2)2＝9，
即3x －2＝±3，
解得 x 1＝ ， x 2＝ .
解：化一般形式，得
3x2+10x+5=0，
a ＝3， b ＝10 ， c ＝5，
∴Δ＝ b 2－4 ac ＝40.
∴ x ＝ ＝ .
解得 x 1＝ ， x 2＝.
跟蹤訓(xùn)練
1. 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>（3） x 2－4 x ＝7；
解： x 1＝2＋ ，
x 2＝2－ .　　
（4）2 x －6＝（ x －3）2.
解： x 1＝3， x 2＝5.
典例探究
類(lèi)型二　解一元二次方程的綜合應(yīng)用
例2　 關(guān)于 x 的一元二次方程為（ m －1） x 2－2 mx ＋ m
＋1＝0.
（1）求出此方程的根；
解：（1）根據(jù)題意，得 m ≠1.
∵Δ＝ b 2－4 ac
＝（－2 m ）2－4（ m －1）（ m ＋1）＝4＞0，
∴ x 1＝ ＝ ， x 2＝ ＝1.
典例探究
（2） m 為何整數(shù)時(shí)，此方程的兩個(gè)根都為正整數(shù)？
解：（2）由（1）知， x 1＝ ＝1＋ .
∵方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)，且 m 為整數(shù)，
∴ 是正整數(shù).
∴ m －1＝1或 m －1＝2，解得 m 1＝2， m 2＝3.
∴ m 為2或3時(shí)，此方程的兩個(gè)根都為正整數(shù).
跟蹤訓(xùn)練
2. 對(duì)于實(shí)數(shù) a ， b ，定義運(yùn)算“*”：
a*b＝
例如：4*2，∵4＞2，∴4*2＝42－4×2＝8.若 x 1， x 2是
一元二次方程 x 2－5 x ＋6＝0的兩個(gè)根，則 x 1*x2＝
.
－3
或3　
課堂總結(jié)
方法 適合方程類(lèi)型 注意事項(xiàng)
直接開(kāi) 平方法 （ mx ＋ n ）2＝ p p ≥0時(shí)有解，
p ＜0時(shí)無(wú)解
配方法 x 2＋ px ＋ q ＝0 二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。
課堂總結(jié)
方法 適合方程類(lèi)型 注意事項(xiàng)
公式法 ax 2＋ bx ＋ c ＝0 （ a ≠0） ① b 2－4 ac ≥0時(shí)，方程有實(shí)
數(shù)解； b 2－4 ac ＜0時(shí)，方程
無(wú)實(shí)數(shù)解；
②先化為一般形式再運(yùn)用公式
因式分 解法 方程的一邊為0，
另一邊分解成兩
個(gè)一次因式的積 方程的一邊必須是0，另一
邊可用任何方法因式分解
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降次——解一元二次方程（7）教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo)
1.靈活選取直接開(kāi)方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程；
2.會(huì)用一元二次方程的判別式解決實(shí)際問(wèn)題；
教學(xué)重點(diǎn)
會(huì)用合適的方法解一元二次方程。
教學(xué)難點(diǎn)
合理選擇不同的方法解一元二次方程。
教學(xué)過(guò)程
復(fù)習(xí)回顧
1.解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為一次方程，即降次．
2.一元二次方程的基本解法
（1）直接開(kāi)平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法.
二、典例探究
類(lèi)型一　根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的方法解方程
例1　 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>（1）2(2x－1)2－4＝0；
小結(jié)：解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）若b＝0，選直接開(kāi)平方法
（2）x2－6x＋5＝0；
小結(jié)：當(dāng)方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1時(shí)，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)的絕對(duì)值很大時(shí)，可以考慮用配方法；
（3）2x2－2√2 x－1＝0；
小結(jié)：如果ax2＋bx＋c不能因式分解，且方程的一次項(xiàng)系數(shù)為奇數(shù)時(shí)，配方法可能計(jì)算量較大，宜選用公式法來(lái)解.
（4）2(2 x－3)2＝3(2 x－3).
如果ax2＋bx＋c能在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，用分解因式法計(jì)算量小；
練習(xí)1. 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>（1）4(3x－2)2＝36；（2）3x2＋5(2x+1)＝0；（3）x2－4x＝7；（4）2x－6＝(x－3)2.
答案：（1）, （2）,
（3）, （4）,
類(lèi)型二　解一元二次方程的綜合應(yīng)用
例2　 關(guān)于 x 的一元二次方程為(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
（1）求出此方程的根；
解：（1）根據(jù)題意，得 m ≠1.
∵Δ＝b2－4ac＝(－2m )2－4( m－1)(m＋1)＝4＞0，
∴ x1＝ ，x2＝1
（2）m為何整數(shù)時(shí)，此方程的兩個(gè)根都為正整數(shù)？
解：（2）由（1）知， x1＝ ，x2＝1 .
∵方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)，且 m 為整數(shù)，
∴是正整數(shù).
∴ m－1＝1或m－1＝2，解得 m1＝2，m2＝3.
∴ m為2或3時(shí)，此方程的兩個(gè)根都為正整數(shù).
練習(xí)2. 對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“*”：
例如：4*2，∵4＞2，∴4*2＝42－4×2＝8.若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的兩個(gè)根，則x1*x2＝ _3或-3____ .
三、課堂總結(jié)
作業(yè)布置
見(jiàn)精品作業(yè)設(shè)計(jì)
板書(shū)設(shè)計(jì)
第 2 頁(yè) 共 5 頁(yè)課前診測(cè)
1．用因式分解法解下列方程：
(1) ； (2) ；
精準(zhǔn)作業(yè)
必做題
1．解方程：
（1）； （2）；
(3) (4)．
2．已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)若該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則a的值為_(kāi)_____；
(2)易錯(cuò)若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍為_(kāi)_____；
(3)若該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍為_(kāi)_____；
(4)若該方程有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍為_(kāi)_____．
3．已知T=
(1)化簡(jiǎn)T；
(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求T的值．
4．已知關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，
(1)求k的取值范圍；
(2)若該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，分別為，滿足，求k的值．
探究題
5．觀察下列一元二次方程，并回答問(wèn)題：
第1個(gè)方程：，方程的兩個(gè)根分別是，；
第2個(gè)方程：，方程的兩個(gè)根分別是，；
第3個(gè)方程：；方程的兩個(gè)根分別是，；
第4個(gè)方程：；方程的兩個(gè)根分別是，；
……
(1)請(qǐng)按照此規(guī)律寫(xiě)出兩個(gè)根分別是，的一元二次方程 ．
(2)如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根比另一個(gè)根大1，那么我們稱(chēng)這樣的方程為“鄰根方程”．上述各方程都是“鄰根方程”．請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，判斷方程是否是“鄰根方程”；
中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
(3)已知關(guān)于x的方程（m是常數(shù)）是“鄰根方程”，且這兩個(gè)根是某個(gè)直角三角形的兩條邊，求此三角形第三邊的長(zhǎng)是多少？試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
課前診測(cè)
（1）解：原方程可化為．
移項(xiàng)，得．
因式分解，得．
于是得或，
∴，．
（2）解：原方程可化為．
因式分解，得，
即．
于是得或，
∴ ．
精準(zhǔn)作業(yè)
1.（1）（x+1）2=4x，
∴x2-2x+1=0，
∴（x-1）2=0，
∴x-1=0，
解得：x1=x2=1．
（2）（x+4）2=5（x+4），
∴（x+4）2-5（x+4）=0，
∴（x+4）（x+4-5）=0，
∴x+4=0，x+4-5=0，
解得：x1=-4，x2=1．
（3）解:
（x-1）（3x-1）=0
x-1=0或3x-1=0
，．
（4）解：因式分解，得，
即．
于是得或，
∴，
2．(1)4；
(2)且；
(3)；
(4)且．
3．(1)；
(2)T=
4．(1)
(2)
5．(1)
(2)是“鄰根方程”
(3)或；5或．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
降次——解一元二次方程（7）導(dǎo)學(xué)案
復(fù)習(xí)回顧
1.解一元二次方程的基本思路是：___________________________________．
2.一元二次方程的基本解法
（1）直接開(kāi)平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法.
二、典例探究
類(lèi)型一　根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的方法解方程
例1　 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>（1）2(2x－1)2－4＝0；
小結(jié)：解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）若b＝0，選直接開(kāi)平方法
（2）x2－6x＋5＝0；
小結(jié)：當(dāng)方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1時(shí)，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)的絕對(duì)值很大時(shí)，可以考慮用配方法；
（3）2x2－2√2 x－1＝0；
小結(jié)：如果ax2＋bx＋c不能因式分解，且方程的一次項(xiàng)系數(shù)為奇數(shù)時(shí)，配方法可能計(jì)算量較大，宜選用公式法來(lái)解.
（4）2(2 x－3)2＝3(2 x－3).
如果ax2＋bx＋c能在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，用分解因式法計(jì)算量小；
練習(xí)1. 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>（1）4(3x－2)2＝36；（2）3x2＋5(2x+1)＝0；（3）x2－4x＝7；（4）2x－6＝(x－3)2.
類(lèi)型二　解一元二次方程的綜合應(yīng)用
例2　 關(guān)于 x 的一元二次方程為(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
（1）求出此方程的根；
（2）m為何整數(shù)時(shí)，此方程的兩個(gè)根都為正整數(shù)？
練習(xí)2. 對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“*”：
例如：4*2，∵4＞2，∴4*2＝42－4×2＝8.若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的兩個(gè)根，則x1*x2＝ ____ . 課堂總結(jié)
第 2 頁(yè) 共 5 頁(yè)

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