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練習主題 函數的奇偶性
觀察函數f(x)=x2和f(x)=(x≠0)的圖象，我們發現，函數f(x)=x2的圖象關于y軸對稱，而函數f(x)=的圖象關于原點對稱. 對于函數f(x)=x2，當自變量取一對相反數時，它們的函數值相等.例如： f(-2)=4=f(2)， f(-1)=1=f(1)， 實際上，對于函數f(x)=x2定義域R內任意一個x，都有f(-x)=x2=f(x).這時我們稱函數f(x)=x2為偶函數. 對于函數f(x)=(x≠0)，當自變量取一對相反數時，它們的函數值也互為相反數.例如： f(-2)==-f(2)， f(-1)=1=-f(1)， 實際上，對于函數f(x)=定義域{x∣x∈R，x≠0}內任意一個x，都有f(-x)==-f(x).這時我們稱函數f(x)=(x≠0)為奇函數. 奇函數的的圖像特征（幾何意義） 如果一個函數是奇函數，那么這個函數的圖像關于原點對稱；反之，如果一個函數的圖像關于原點對稱，那么這個函數是奇函數； 偶函數的圖像特征（幾何意義） 如果一個函數是偶函數，那么這個函數的圖像關于y軸對稱；反之，如果一個函數的圖像關于y軸對稱，那么這個函數是偶函數. 例1、判定下列函數是否為偶函數或奇函數： （1）f(x)=x2-1； （2）f(x)=2x； （3）f(x)=； 對應練習： 1、函數f(x)=0(x∈R)是（ ） A.奇函數 B.偶函數 C.非奇非偶函數 D.既是奇函數又是偶函數 2、（多選）下列說法中正確的是（ ） A.圖象關于坐標原點對稱的函數是奇函數 B.圖象關于y軸對稱的函數是偶函數 C.奇函數的圖象一定過坐標原點 D.偶函數的圖象一定與y軸相交 3、如圖，表示具有奇偶性的函數圖象是（ ） A. B. C. D. 4、函數f(x)=x2+的奇偶性為（ ） A.奇函數 B.偶函數 C.既是奇函數又是偶函數 D.非奇非偶函數 5、下列函數中是奇函數的是（ ） A.f(x)=x2-2x B.f(x)=2x+1 C.f(x)=x3+x D.f(x)=x3+1 例2、（1）若函數f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數，定義域為[a-1，2a]，則a= ，b= . （2）若函數f(x)=為奇函數，則a= . （3）已知函數f(x)= 為奇函數，則a+b= . 對應練習： 1、若函數y=（3x+1）（x-a）為偶函數，則a的值為 . 2、已知函數f(x)=+a（a∈R）為奇函數，則實數a的值是 ． 3、f（x）=ax2+bx-4a是偶函數，其定義域為[a-1，-2a]，則a= ，b= . 奇、偶函數的單調性 根據奇、偶函數的圖像特征，我們不難得出以下結論： （1）奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性.上述結論可簡記為“奇同偶異”.如若f(x)是奇函數，且在（0，+∞）上是減函數，則f(x)在（-∞，0）上也是減函數；若f(x)是偶函數，且在（0，+∞）上是減函數，則f(x)在（-∞，0）上增減函數； （2）偶函數在關于原點對稱的區間上有相同的最大（小）值，取得最值的時候，自變量互為相反數；奇函數在關于原點對稱的期間數十年該取得的最值互為相反數，取得最值時，自變量也互為相反數. 奇、偶函數的圖象問題 例3、（1）奇函數y=f(x)的局部圖象如圖所示，則f(2)與f(4)的大小關系為 . （2）已知f(x)是定義在[-2，0）∪（0，2]上的奇函數，當x＞0時，f(x)的圖像如圖所示，那么f(x)的值域是 . 對應練習： 1、已知f（x）為奇函數，其局部圖象如圖所示，那么（ ） A.f(2)=2 B.f(2)=-2 C.f(2)＞-2 D.f(2)＜-2 2、已知y=f(x)是偶函數，y=g(x)是奇函數，它們的定義域都是[-3，3]，且它們在區間[0，3]的圖像如圖所示，則不等式f(x)g(x)＜0的解集是 . 例4、（1）已知f(x)是R上的奇函數，當x＞0時，f(x)=-2x2+3x+1，求f(x)的解析式； （2）已知函數f(x)為R上的偶函數，且當x＜0時，f(x)=x（x-1），求當x＞0時f(x)的解析式. 對應練習： 1、設函數f(x)是R上的奇函數，當x＞0時，f(x)=x2-2x-3，求函數f(x)在R上的解析式． 2、設f(x)是R上的奇函數，當x＞0時，f(x)=x3+x+1，求函數f(x)在R上的解析式． 鞏固練習： 1、下列四個函數中為偶函數的是（ ） A.y=2x B.y= C.y=x2-2x D.y=∣x∣ 2、函數f(x)=的圖像關于（ ） A．y軸對稱 B．直線y=-x對稱 C．坐標原點對稱 D．直線y=x對稱 3、函數f(x)=（ ） A.是奇函數 B.是偶函數 C.是非奇非偶函數 D.既是奇函數又是偶函數 4、函數y=x∣x∣+px，x∈R是（ ） A．偶函數 B．奇函數 C．不具有奇偶函數 D．與p有關 5、已知f(x)為奇函數，且當x＞0時，f(x)=x-2，則f()的值為（ ） A. B. C. D. 6、已知函數f(x)=為奇函數，則實數a=（ ） A.-1 B.1 C.0 D.-2 7、已知定義在[m-5，1-2m]上的奇函數f（x），當x≥0時，f（x）=x2-2x，則f（m）= A.-8 B.8 C.-24 D.24 8、已知奇函數f（x）在x≥0時的圖像如圖所示，則不等式xf（x）＜0的解集為（ ） A.（-2，-1）∪（1，2） B.（-2，-1） C.（-1，0）∪（1，2） D.（-1，0） 9、已知函數y=f(x)是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f(x)=x3+2x2-1，則當x＜0時，f(x)= . 10、已知函數f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)為偶函數，則m的值是 ． 11、若函數f（x）=（k-2）x2+（k-1）x+3是偶函數，則f（x）的單調遞減區間是 . 12、已知函數f（x）=，若f（a）=1，則f（-a）= . 13、已知f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)+g(x)=x2+x-2，則f(x)= ，g(x)= . 14、已知函數f（x）為R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=. （1）求當x＜0時，f（x）的解析式； （2）試確定函數y=f（x）（x≥0）的單調區間，并證明你的結論. 15、已知函數f（x）為R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=x2+2x-3. （1）求f（x）的解析式； （2）求f（x）在[t,t+2]（t∈R）上的最大值M（t）.

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