資源簡介

4.1.1　實數指數冪及其運算
[學習目標]　1.理解n次方根及根式的概念.2.正確運用根式的運算性質進行根式運算.3.掌握根式與分數指數冪的互化.4.掌握有理數指數冪的運算性質.
導語
古希臘有一個數學學派名叫畢達哥拉斯學派,其學派中的一個成員希伯斯考慮了一個問題:邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢 他發現這一長度既不能用整數,也不能用分數來表示,希伯斯的發現導致了數學史上第一個無理數的誕生,這就是本節課我們要學習的根式.
一、n次方根
問題1　若x2=3,這樣的x有幾個 它們叫做3的什么 怎樣表示
提示　這樣的x有2個,它們叫做3的平方根,表示為,-.
問題2　如果x2=a,那么x叫做a的什么 這樣的x有幾個 x3=a呢
提示　如果x2=a,那么x叫做a的平方根(或二次方根),當a>0時,這樣的x有兩個;當a=0時,a只有一個平方根;當a<0時,a在實數范圍內沒有平方根.如果x3=a,那么x叫做a的立方根(或三次方根),這樣的x有且只有一個.
問題3　類比平方根、立方根的概念,試著說說4次方根、5次方根的定義,你認為n次方根應該是什么
提示　比如(±2)4=16,我們把±2叫做16的4次方根;(±3)4=81,我們把±3叫做81的4次方根;(-2)5=-32,我們把-2叫做-32的5次方根;類比上述過程,我們可以得到:如果2n=a,那么我們把2叫做a的n次方根.
知識梳理
1.a的n次方根的概念
一般地,給定大于1的正整數n和實數a,如果存在實數x,使得xn=a,則x稱為a的n次方根.
2.根式的意義和性質
當有意義的時候,稱為根式,n稱為根指數,a稱為被開方數.
根式的性質:
(1)()n=a.
(2)=
注意點:
(1)對于()n=a,若n為奇數,則a∈R;若n為偶數,則a≥0.
(2)()n與意義不同,比如=-3,=3,而沒有意義,故()n≠.
(3)當a≥0時,()n=;當a<0且n為奇數時,()n=;當a<0且n為偶數時,對于要注意運算次序.
例1　(1)化簡下列各式:
①+()5;
②+()6;
③.
解　①原式=(-2)+(-2)=-4.
②原式=|-2|+2=2+2=4.
③原式=|x+2|=
(2)已知-3解　原式=-=|x-1|-|x+3|,
∵-3原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;
當1≤x<3時,原式=(x-1)-(x+3)=-4.
∴原式=
延伸探究　在本例(2)中,若將“-3解　原式=-=|x-1|-|x+3|.
∵x≤-3,∴x-1<0,x+3≤0,
∴原式=-(x-1)+(x+3)=4.
反思感悟　正確區分與()n
(1)中的a可以是全體實數,的值取決于n的奇偶性.
(2)()n已暗含了有意義,根據n的奇偶性可知a的范圍.
跟蹤訓練1　化簡下列各式:
(1);
(2)+;
(3)(a≤1);
(4)+.
解　(1)=-2.
(2)+=|π-4|+π-4=4-π+π-4=0.
(3)∵a≤1,
∴=|3a-3|=3|a-1|=3-3a.
(4)+=a+|1-a|=
二、根式、分數指數冪的化簡與求值
問題4　被開方數的指數不能被根指數整除的根式,比如,a>0,是否也可以表示為分數指數冪的形式 如何表示
提示　======.
問題5　根據所學知識,猜測23,2π,24之間的大小關系.
提示　23<2π<24.
知識梳理
1.分數指數冪的意義
分數指數冪 正分數指數冪 當a>0時,規定==()m=
負分數指數冪 當a>0時,規定=(n,m∈N+)
0的分數指數冪 0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義
2.有理數指數冪的運算法則
(1)asat=as+t(a>0,s,t∈Q);
(2)(as)t=ast(a>0,s,t∈Q);
(3)(ab)s=asbs(a>0,b>0,s∈Q).
拓展:(1)=as-t(a>0,s,t∈Q).
(2)=(a>0,b>0,s∈Q).
3.實數指數冪
一般地,當a>0且t是無理數時,at都是一個確定的實數,有理數指數冪的運算性質對于無理數指數冪同樣適用.因此當a>0,t為任意實數時,實數指數冪at都有意義,對任意實數s和t,類似有理數指數冪的運算法則仍然成立.
注意點:
(1)分數指數冪不可理解為個a相乘,它是根式的一種寫法.
(2)正數的負分數指數冪總表示正數,而不是負數.
例2　(1)若(x-2有意義,則實數x的取值范圍是 (　　)
A.[2,+∞) B.(-∞,2]
C.(2,+∞) D.(-∞,2)
答案　C
解析　由負分數指數冪的意義可知,
(x-2=,
所以x-2>0,即x>2,
所以x的取值范圍是(2,+∞).
(2)根式(a>0)的分數指數冪的形式為 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　===.
(3)(多選)下列各式正確的是(式中字母都是正數) (　　)
A.=(m+n
B.=a-2b2
C.=(-3
D.=
答案　BD
解析　選項A中,(m+n=,因此不正確;
選項B中,=a-2b2,因此正確;
選項C中,==,因此不正確;
選項D中,===,因此正確.
反思感悟　根式與分數指數冪互化的規律及技巧
(1)規律:根指數分數指數冪的分母.
被開方數(式)的指數分數指數冪的分子.
(2)技巧:當表達式中的根號較多時,由里向外用分數指數冪的形式寫出來,然后再利用相關的運算性質進行化簡.
跟蹤訓練2　將下列各式化為分數指數冪的形式:
(1)(x>0);
(2)(a>0,b>0).
解　(1)原式==
====.
(2)原式=[ab3(ab5=(a··b3·
=(=.
例3　計算與化簡:
(1)+2-2×-0.010.5;
(2)0.06-+[(-2)3+16-0.75;
(3)·(a>0,b>0).
解　(1)原式=1+×-
=1+-=.
(2)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3
=-1++=.
(3)原式=····
=a0b0=.
反思感悟　利用指數冪的運算法則化簡求值的方法
(1)進行指數冪的運算時,一般化負指數為正指數,化根式為分數指數冪,化小數為分數,同時兼顧運算的順序.
(2)在明確根指數的奇偶數(或具體次數)時,若能明確被開方數的符號,則可以對根式進行化簡運算.
(3)對于含有字母的化簡求值的結果,一般用分數指數冪的形式表示.
跟蹤訓練3　計算與化簡:
(1)+(0.002-10(-2)-1+(-)0;
(2)(··z-1)·(x-1··z3(x>0,y>0,z>0).
解　(1)原式=(-1·+-+1=+50-10(+2)+1
=+10-10-20+1=-.
(2)原式=(z-1)·(z-1)
=··z-1-1=xz-2.
三、指數式的條件求值問題
例4　已知+=3,求下列各式的值.
(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)+.
解　(1)∵+=3,∴=9,
即a+2+a-1=9,∴a+a-1=7.
(2)∵a+a-1=7,∴(a+a-1)2=49,
即a2+2+a-2=49.
∴a2+a-2=47.
(3)+=()3+()3
=(+)(a-1+a-1)=3×(7-1)=18.
反思感悟　條件求值問題的常用方法
(1)整體代入:從已知條件中解出所含字母的值,然后再代入求值,這種方法一般是不可取的,而應設法從整體尋求結果與條件的聯系,進而整體代入求值.
(2)求值后代入:所求結果涉及的某些部分,可以作為一個整體先求出其值,然后再代入求最終結果.
跟蹤訓練4　設-=m,則等于 (　　)
A.m2-2 B.2-m2
C.m2+2 D.m2
答案　C
解析　將-=m平方得(-)2=m2,
即a-2+a-1=m2,所以a+a-1=m2+2,
即a+=m2+2,得=a+=m2+2.
1.知識清單:
(1)n次方根的概念.
(2)根式與分數指數冪的化簡與求值.
(3)指數式的條件求值問題.
2.方法歸納:轉化化歸、整體代換法.
3.常見誤區:
(1)對于,當n為偶數時,a≥0.
(2)在運用分數指數冪的運算法則化簡時,其結果不能同時含有根式和分數指數,也不能既含有分母又含有負指數.
(3)條件求值問題,一般先化簡,再代入求值.有時通過“整體代入法”巧妙地求出代數式的值.
1.若+(a-4)0有意義,則a的取值范圍是 (　　)
A.a≥2 B.2≤a<4或a>4
C.a≠2 D.a≠4
答案　B
解析　要使原式有意義,需滿足
解得2≤a<4或a>4.
2.(多選)下列各式錯誤的是 (　　)
A.=-3 B.=a
C.=2 D.=2
答案　ABD
解析　=3,故A錯誤;=|a|,故B錯誤;=2,故C正確;=-2,故D錯誤.
3.(a>0)的化簡結果是 (　　)
A.1 B.a
C. D.
答案　D
解析　原式===.
4.計算:-(-9.6)0-+(1.5)-2=　　　　.
答案　
解析　原式=-1-+
=-1-+=.
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共35分;多選題每小題6分,共6分
1.若+有意義,則a的取值范圍是 (　　)
A.a≥0 B.a≥1
C.a≥2 D.a∈R
答案　B
解析　∵∴a≥1.
2.化簡[的結果為 (　　)
A.5 B.
C.- D.-5
答案　B
解析　[===.
3.-(1-0.5-2)÷的值為 (　　)
A.- B.
C. D.
答案　D
解析　原式=1-(1-22)÷
=1-(-3)×=.
4.(多選)下列各式,其中正確的是 (　　)
A.若a∈R,則(a2-a+1)0=1
B.=x+y
C.=
D.若=-,則a=0
答案　AD
解析　A項,因為a2-a+1=+>0,
所以(a2-a+1)0=1成立;
B項,無法化簡;
C項,<0,>0,故不相等;
D項,因為與-互為相反數,所以a=0成立.
5.已知ab=-5,則a+b的值是 (　　)
A.2 B.0
C.-2 D.±2
答案　B
解析　由題意知ab=-5,
所以b=-,a=-,且ab<0,
a+b
=a+b=a+b=0.
6.已知3a-1+3a-2+3a-3=117,則(a+1)(a+2)(a+3)等于 (　　)
A.120 B.210
C.336 D.504
答案　C
解析　3a-1+3a-2+3a-3=(9+3+1)×3a-3=117,得3a-3=9,解得a=5,
所以(a+1)(a+2)(a+3)=336.
7.(5分)已知3a=2,3b=,則32a-b=　　　　.
答案　20
解析　32a-b====20.
8.(5分)計算:++-·=　　　　.
答案　2-3
解析　原式=+++1-22=2-3.
9.(10分)化簡與計算:
(1)+0.1-2+-3π0+;(5分)
(2)÷(a>0,b>0).(5分)
解　(1)原式=++-3+
=+100+-3+=100.
(2)原式=[·]÷(·
=()÷(
=()÷()==.
10.(12分)已知a,b是方程x2-6x+4=0的兩根,且a>b>0,求的值.
解　因為a,b是方程x2-6x+4=0的兩根,
所以
===.
因為a>b>0,所以>>0,
所以==.
11.計算(n∈N+)的結果為 (　　)
A. B.22n+5
C.2n2-2n+6 D.27-2n
答案　D
解析　原式===27-2n.
12.已知x2+x-2=2,且x>1,則x2-x-2等于 (　　)
A.2或-2 B.-2
C. D.2
答案　D
解析　方法一　∵x>1,∴x2>1,
由x2+x-2=2,解得x2=+1,
∴x2-x-2=+1-=+1-(-1)=2.
方法二　令x2-x-2=t, ①
又x2+x-2=2, ②
由①2-②2,得t2=4.
∵x>1,∴x2>x-2,∴t>0,
∴t=2,即x2-x-2=2.
13.(5分)設α,β是方程5x2+10x+1=0的兩個根,則2α·2β=　　　　,(2α)β=　　　　.
答案　　
解析　由根與系數的關系得α+β=-2,αβ=.
則2α·2β=2α+β=2-2=,(2α)β=2αβ=.
14.(5分)已知a1,n∈N+,化簡+=　　　　.
答案　
解析　∵a當n是奇數時,原式=(a-b)+(a+b)=2a;
當n是偶數時,原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b)=-2a.
∴+=
15.(5分)已知2x=72y=A,其+=2,x>0,y>0,則A=　　　　.
答案　7
解析　∵2x=72y=A,∴=2,=72=49,
∴=·=2×49=98,
∵+=2,A>0,∴A=9=7.
16.(12分)(1)已知2x+2-x=a(a為常數),求8x+8-x的值;(6分)
(2)已知x+y=12,xy=9且x解　(1)∵4x+4-x=(2x)2+(2-x)2
=(2x+2-x)2-2·2x·2-x=a2-2,
∴8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3
=(2x+2-x)[(2x)2-2x·2-x+(2-x)2]
=(2x+2-x)(4x+4-x-1)
=a(a2-2-1)=a3-3a.
(2)=
=. ①
∵x+y=12,xy=9, ②
∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.
又∵x將②③代入①,得==-.4.1.1　實數指數冪及其運算
[學習目標]　1.理解n次方根及根式的概念.2.正確運用根式的運算性質進行根式運算.3.掌握根式與分數指數冪的互化.4.掌握有理數指數冪的運算性質.
一、n次方根
問題1　若x2=3,這樣的x有幾個 它們叫做3的什么 怎樣表示
問題2　如果x2=a,那么x叫做a的什么 這樣的x有幾個 x3=a呢
問題3　類比平方根、立方根的概念,試著說說4次方根、5次方根的定義,你認為n次方根應該是什么
知識梳理
1.a的n次方根的概念
一般地,給定大于1的正整數n和實數a,如果存在實數x,使得xn=a,則x稱為　　　　　　.
2.根式的意義和性質
當有意義的時候,稱為根式,　　　　稱為根指數,a稱為被開方數.
根式的性質:
(1)()n=　　　.
(2)=
例1　(1)化簡下列各式:
①+()5;
②+()6;
③.
(2)已知-3延伸探究　在本例(2)中,若將“-3反思感悟　正確區分與()n
(1)中的a可以是全體實數,的值取決于n的奇偶性.
(2)()n已暗含了有意義,根據n的奇偶性可知a的范圍.
跟蹤訓練1　化簡下列各式:
(1);
(2)+;
(3)(a≤1);
(4)+.
二、根式、分數指數冪的化簡與求值
問題4　被開方數的指數不能被根指數整除的根式,比如,a>0,是否也可以表示為分數指數冪的形式 如何表示
問題5　根據所學知識,猜測23,2π,24之間的大小關系.
知識梳理
1.分數指數冪的意義
分數指數冪 正分數指數冪 當a>0時,規定=　　　,=()m=　　　　　　
負分數指數冪 當a>0時,規定=　　　　　　(n,m∈N+)
0的分數指數冪 0的正分數指數冪等于　　　　,0的負分數指數冪　　　　　
2.有理數指數冪的運算法則
(1)asat=as+t(a>0,s,t∈Q);
(2)(as)t=ast(a>0,s,t∈Q);
(3)(ab)s=asbs(a>0,b>0,s∈Q).
拓展:(1)=as-t(a>0,s,t∈Q).
(2)=(a>0,b>0,s∈Q).
3.實數指數冪
一般地,當a>0且t是無理數時,at都是一個確定的　　　　,有理數指數冪的運算性質對于無理數指數冪同樣適用.因此當a>0,t為任意實數時,實數指數冪at都有意義,對任意實數s和t,類似有理數指數冪的運算法則仍然成立.
例2　(1)若(x-2有意義,則實數x的取值范圍是 (　　)
A.[2,+∞) B.(-∞,2]
C.(2,+∞) D.(-∞,2)
(2)根式(a>0)的分數指數冪的形式為 (　　)
A. B.
C. D.
(3)(多選)下列各式正確的是(式中字母都是正數) (　　)
A.=(m+n
B.=a-2b2
C.=(-3
D.=
反思感悟　根式與分數指數冪互化的規律及技巧
(1)規律:根指數分數指數冪的分母.
被開方數(式)的指數分數指數冪的分子.
(2)技巧:當表達式中的根號較多時,由里向外用分數指數冪的形式寫出來,然后再利用相關的運算性質進行化簡.
跟蹤訓練2　將下列各式化為分數指數冪的形式:
(1)(x>0);
(2)(a>0,b>0).
例3　計算與化簡:
(1)+2-2×-0.010.5;
(2)0.06-+[(-2)3+16-0.75;
(3)·(a>0,b>0).
反思感悟　利用指數冪的運算法則化簡求值的方法
(1)進行指數冪的運算時,一般化負指數為正指數,化根式為分數指數冪,化小數為分數,同時兼顧運算的順序.
(2)在明確根指數的奇偶數(或具體次數)時,若能明確被開方數的符號,則可以對根式進行化簡運算.
(3)對于含有字母的化簡求值的結果,一般用分數指數冪的形式表示.
跟蹤訓練3　計算與化簡:
(1)+(0.002-10(-2)-1+(-)0;
(2)(··z-1)·(x-1··z3(x>0,y>0,z>0).
三、指數式的條件求值問題
例4　已知+=3,求下列各式的值.
(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)+.
反思感悟　條件求值問題的常用方法
(1)整體代入:從已知條件中解出所含字母的值,然后再代入求值,這種方法一般是不可取的,而應設法從整體尋求結果與條件的聯系,進而整體代入求值.
(2)求值后代入:所求結果涉及的某些部分,可以作為一個整體先求出其值,然后再代入求最終結果.
跟蹤訓練4　設-=m,則等于 (　　)
A.m2-2 B.2-m2
C.m2+2 D.m2
1.知識清單:
(1)n次方根的概念.
(2)根式與分數指數冪的化簡與求值.
(3)指數式的條件求值問題.
2.方法歸納:轉化化歸、整體代換法.
3.常見誤區:
(1)對于,當n為偶數時,a≥0.
(2)在運用分數指數冪的運算法則化簡時,其結果不能同時含有根式和分數指數,也不能既含有分母又含有負指數.
(3)條件求值問題,一般先化簡,再代入求值.有時通過“整體代入法”巧妙地求出代數式的值.
1.若+(a-4)0有意義,則a的取值范圍是 (　　)
A.a≥2 B.2≤a<4或a>4
C.a≠2 D.a≠4
2.(多選)下列各式錯誤的是 (　　)
A.=-3 B.=a
C.=2 D.=2
3.(a>0)的化簡結果是 (　　)
A.1 B.a
C. D.
4.計算:-(-9.6)0-+(1.5)-2=　　　　　　.
答案精析
問題1　這樣的x有2個,它們叫做3的平方根,表示為,-.
問題2　如果x2=a,那么x叫做a的平方根(或二次方根),當a>0時,這樣的x有兩個;當a=0時,a只有一個平方根;當a<0時,a在實數范圍內沒有平方根.如果x3=a,那么x叫做a的立方根(或三次方根),這樣的x有且只有一個.
問題3　比如(±2)4=16,我們把±2叫做16的4次方根;(±3)4=81,我們把±3叫做81的4次方根;(-2)5=-32,我們把-2叫做-32的5次方根;類比上述過程,我們可以得到:如果2n=a,那么我們把2叫做a的n次方根.
知識梳理
1.a的n次方根　2.n　(1)a
(2)a　|a|
例1　(1)解　①原式=(-2)+(-2)=-4.
②原式=|-2|+2=2+2=4.
③原式=|x+2|=
(2)解　原式=-=|x-1|-|x+3|,
∵-3原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;
當1≤x<3時,原式=(x-1)-(x+3)=-4.
∴原式=
延伸探究　解　原式=-=|x-1|-|x+3|.
∵x≤-3,∴x-1<0,x+3≤0,
∴原式=-(x-1)+(x+3)=4.
跟蹤訓練1　(1)-2　(2)0
(3)3-3a　(4)
問題4　======.
問題5　23<2π<24.
知識梳理
1.　　　0　沒有意義　3.實數
例2　(1)C　(2)A　(3)BD
跟蹤訓練2　(1)　(2)
例3　解　(1)原式=1+×-=1+-=.
(2)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3
=-1++=.
(3)原式=····=a0b0=.
跟蹤訓練3　(1)-　(2)xz-2
例4　解　(1)∵+=3,
∴=9,
即a+2+a-1=9,∴a+a-1=7.
(2)∵a+a-1=7,∴(a+a-1)2=49,
即a2+2+a-2=49.
∴a2+a-2=47.
(3)+=()3+()3
=(+)(a-1+a-1)
=3×(7-1)=18.
跟蹤訓練4　C
隨堂演練
1.B　2.ABD　3.D　4.

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