資源簡介

4.1.2　指數函數的性質與圖象
第1課時　指數函數的概念、性質與圖象
[學習目標]　1.理解指數函數的概念,了解底數的限制條件的合理性.2.掌握指數函數圖象的性質.3.會應用指數函數的性質求復合函數的定義域、值域.
導語
古希臘著名數學家阿基米德與國王下棋.國王輸了,問阿基米德要什么獎賞 阿基米德說:“我只要在棋盤上的第一格放一粒米,第二格放二粒,第三格放四粒,第四格放八粒…….按此方法放到第64個格子就行了.”國王一聽,隨即答應了.但是所有64個方格上的顆粒總數為1+2+4+8+…+263,經過計算約為18.447億噸大米!國王如何賞得起 我們就從這個關于數學指數增長的故事開始今天的學習吧!
一、指數函數的概念
問題1　用列表、描點、連線的畫圖步驟,先完成下列表格,再畫出指數函數y=2x與y=的圖象.
x -2 -1 0 1 2
y=2x
y=
提示　(1)　　1　2　4　4　2　1　　
(2)y=2x和y=的圖象如圖所示.
知識梳理
指數函數的定義
一般地,函數y=ax稱為指數函數,其中a是常數,a>0且a≠1.
注意點:
指數函數解析式的三個特征
(1)ax的系數為1.
(2)底數為大于0且不等于1的常數a.
(3)自變量x為指數.
例1　(1)下列函數中是指數函數的是 (　　)
A.y=2·3x B.y=
C.y=3x D.y=(-2)x
答案　C
解析　A中,3x的系數是2,故A不是指數函數;B中,的指數是x+1,不是自變量x,故B不是指數函數;C中,3x的系數是1,冪的指數是自變量x,且只有3x一項,故C是指數函數;D中,底數-2<0,故D不是指數函數.
(2)已知指數函數y=(2b-3)ax經過點(1,2),則a=　　　　,b=　　　　.
答案　2　2
解析　由指數函數定義可知2b-3=1,即b=2.將點(1,2)代入y=ax,得a=2.
反思感悟　判斷一個函數是否為指數函數的方法
(1)看形式:判斷其解析式是否符合y=ax(a>0且a≠1)這一結構形式.
(2)明特征:看是否具備指數函數解析式具有的三個特征.只要有一個特征不具備,該函數就不是指數函數.
跟蹤訓練1　(1)若函數y=a2(2-a)x是指數函數,則 (　　)
A.a=1或-1 B.a=1
C.a=-1 D.a>0且a≠1
答案　C
解析　因為函數y=a2(2-a)x是指數函數,
所以即a=-1.
(2)已知函數f(x)是指數函數,且f=,則f(3)=　　　　.
答案　125
解析　設f(x)=ax(a>0且a≠1),由f=得===,
所以a=5,即f(x)=5x,所以f(3)=53=125.
二、簡單指數函數的圖象
問題2　再選取底數,a=3,a=4,a=,a=,在同一個坐標系中畫出相應的指數函數的圖象,觀察這些圖象的位置和變化趨勢.
提示　
知識梳理
函數y=ax(a>0且a≠1)的圖象
a>1 0圖象
注意點:
(1)函數圖象只出現在x軸上方.
(2)當x=0時,有a0=1,故指數函數過定點(0,1).
(3)當0(4)當a>1時,底數越大,圖象越靠近y軸.
(5)任意底數互為倒數的兩個指數函數的圖象關于y軸對稱.
例2　(1)下列幾個函數的圖象如圖所示:①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx.則a,b,c,d與0和1的關系是 (　　)
A.0B.0C.0D.1答案　B
解析　由指數函數圖象知當底數大于1時為增函數,并且底數越大增加的越快,因此得到c>d>1,當底數大于0小于1時,1>a>b>0,所以0(2)若函數y=ax+b-1(a>0且a≠1)的圖象經過第二、三、四象限,則一定有 (　　)
A.00 B.a>1,且b>0
C.01,且b<0
答案　C
解析　函數y=ax+b-1(a>0且a≠1)的圖象是由函數y=ax的圖象經過向上或向下平移而得到的,因其圖象不經過第一象限,所以a∈(0,1).若經過第二、三、四象限,則需將函數y=ax(0反思感悟　(1)解決指數函數圖象問題的注意點
①熟記當底數a>1和0②在y軸右側,指數函數的圖象“底大圖高”.
(2)與指數函數相關的定點問題
由指數函數y=ax(a>0,且a≠1)過定點(0,1),可令所給函數解析式中的指數為0,即可求出橫坐標,再求縱坐標即可.
跟蹤訓練2　(1)函數y=ax-3+3(a>0且a≠1)的圖象過定點　　　　.
答案　(3,4)
解析　因為指數函數y=ax(a>0且a≠1)的圖象過定點(0,1),
所以在函數y=ax-3+3中,
令x-3=0,得x=3,此時y=1+3=4,
即函數y=ax-3+3的圖象過定點(3,4).
(2)函數y=a|x|(a>1)的圖象是 (　　)
答案　B
解析　函數y=a|x|是偶函數,
當x>0時,y=ax.
由已知a>1,所以y=ax在(0,+∞)上是增函數.
又當x=0時,函數y=a0=1,
即過定點(0,1),所以選項B的圖象符合.
三、簡單指數型函數的性質
問題3　由問題2中的函數圖象,比一比y=ax與y=(a>0且a≠1)的圖象有哪些相同點 有哪些不同點
提示　相同點:定義域、值域、最值的情況、奇偶性、經過一個共同點;不同點:單調性、函數值的變化.我們還發現y=ax與y=(a>0且a≠1)這兩個底數互為倒數的函數圖象關于y軸對稱.
知識梳理
函數y=ax(a>0且a≠1)的圖象和性質
a>1 0圖象
性質 定義域 定義域為R
值域 值域為(0,+∞)
過定點 過定點(0,1)
函數值 的變化 當x>0時,y>1; 當x<0時, 00時, 01
單調性 在R上是增函數 在R上是減函數
對稱性 y=ax與y=的圖象關于y軸對稱
例3　求下列函數的定義域和值域:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=.
解　(1)∵x應滿足x-4≠0,∴x≠4,
∴定義域為{x|x≠4,x∈R}.
∵≠0,∴≠1,
∴y=的值域為{y|y>0且y≠1}.
(2)定義域為R.
∵|x|≥0,∴y==≥=1,
∴此函數的值域為[1,+∞).
(3)由題意知1-≥0,
∴≤1=,
∴x≥0,∴定義域為[0,+∞).
∵x≥0,∴≤1.
又∵>0,∴0<≤1.
∴0≤1-<1,
∴0≤y<1,∴此函數的值域為[0,1).
反思感悟　y=af(x)(a>0且a≠1)型的定義域與值域的求法
(1)形如y=af(x)(a>0且a≠1)的函數的定義域就是f(x)的定義域.
(2)形如y=af(x)(a>0且a≠1)的值域,應先求出f(x)的值域,再由函數的單調性求出af(x)的值域.若a的取值范圍不確定,則需對a進行分類討論.
跟蹤訓練3　(1)函數f(x)=+的定義域是　　　　.
答案　[2,4)∪(4,+∞)
解析　依題意有
解得x∈[2,4)∪(4,+∞).
(2)函數y=在(0,3)上的值域為　　　.
答案　
解析　令x2-2x=t,因為x∈(0,3),則t∈[-1,3),
函數y=在[-1,3)上單調遞減,
則y≤=2,且y>=,
即函數的值域為.
1.知識清單:
(1)指數函數的概念.
(2)指數函數的圖象.
(3)指數函數的性質:定義域、值域、單調性及過定點.
2.方法歸納:數形結合法.
3.常見誤區:
(1)在求值域時易忽視指數函數隱含的條件ax>0(a>0且a≠1).
(2)形如函數y=af(x)(a>0且a≠1)過定點的問題,要使f(x)=0.
1.若函數y=(k+2)ax+2-b(a>0且a≠1)是指數函數,則k+b等于 (　　)
A.-1 B.1
C.-2 D.2
答案　B
解析　由題意可知解得
所以k+b=1.
2.函數y=(a>1)的圖象的大致形狀是 (　　)
答案　C
解析　由題意得y=(a>1)
=(a>1)
所以當x>0時,其圖象與y=ax(a>1)在第一象限內的圖象一樣;當x<0時,其圖象與y=ax(a>1)的圖象關于x軸對稱,故選項C的圖象符合題意.
3.函數y=ax+1+2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點　　　　.
答案　(-1,3)
解析　令x+1=0,得x=-1,
此時y=1+2=3,
即函數y=ax+1+2的圖象過定點(-1,3).
4.若函數f(x)=則函數f(x)的值域是　　　　.
答案　(-1,0)∪(0,1)
解析　由x<0,得0<2x<1.
∵x>0,∴-x<0,0<2-x<1,
∴-1<-2-x<0.
∴函數f(x)的值域為(-1,0)∪(0,1).
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共30分;多選題每小題6分,共18分
1.(多選)若函數f(x)=·ax(a>0且a≠1)是指數函數,則下列說法正確的是 (　　)
A.a=8 B.f(0)=-3
C.f=2 D.a=4
答案　AC
解析　因為函數f(x)是指數函數,所以a-3=1,所以a=8,所以f(x)=8x,所以f(0)=1,f==2,故B,D錯誤,A,C正確.
2.指數函數y=ax與y=bx的圖象如圖所示,則 (　　)
A.a<0,b<0
B.a<0,b>0
C.01
D.0答案　C
3.函數f(x)=+的定義域為 (　　)
A.(-3,0]
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0]
D.(-∞,-3)∪(-3,1]
答案　A
解析　由題意,自變量x應滿足
解得-34.若函數y=(1-2a)x是實數集R上的增函數,則實數a的取值范圍為 (　　)
A. B.(-∞,0)
C. D.
答案　B
解析　∵y=(1-2a)x是R上的增函數,
則1-2a>1,∴a<0.
5.函數y=的值域是 (　　)
A.(-∞,1) B.(-∞,0)∪(0,+∞)
C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
答案　D
解析　由知,當-1<2x-1<0時,
y∈(-∞,-1);當2x-1>0時,y∈(0,+∞);
綜上,函數的值域是(-∞,-1)∪(0,+∞).
6.已知函數f(x)=ax+b(a>0且a≠1)經過點(-1,5),(0,4),則f(-2)的值為 (　　)
A.3 B.5
C.7 D.9
答案　C
解析　由題意得
解得所以f(x)=+3,
所以f(-2)=+3=4+3=7.
7.(5分)函數y=ax-2+1(a>0且a≠1)的圖象必經過點　　　　.
答案　(2,2)
解析　∵a0=1,∴當x=2時,ax-2+1=2,
∴函數y=ax-2+1必經過點(2,2).
8.(5分)函數f(x)=-1,x∈[-1,2]的值域為　　　　.
答案　
解析　∵-1≤x≤2,
∴≤≤3.
∴-≤-1≤2.
∴函數f(x)的值域為.
9.(10分)已知函數f(x)=ax-1(x≥0)的圖象經過點,其中a>0且a≠1.
(1)求a的值;(4分)
(2)求函數y=f(x)(x≥0)的值域.(6分)
解　(1)因為函數f(x)的圖象經過點,
所以a2-1=,則a=.
(2)由(1)知f(x)=(x≥0),
由x≥0,得x-1≥-1.
于是0<≤=2,
所以函數的值域為(0,2].
10.(10分)求下列函數的定義域和值域.
(1)y=;(5分)
(2)y=5-x-1.(5分)
解　(1)由1-x≥0,得x≤1.
∴定義域為(-∞,1].
設t=≥0,則3t≥30=1,
∴值域為[1,+∞).
(2)定義域為R,
∵5-x>0,∴5-x-1>-1,
∴值域為(-1,+∞).
11.(多選)下列說法中正確的是 (　　)
A.任取x>0,均有3x>2x
B.y=()-x是增函數
C.y=2|x|的最小值為1
D.在同一坐標系中,y=2x與y=2-x的圖象關于y軸對稱
答案　ACD
解析　任取x>0,均有3x>2x,故A正確;
y=()-x=是減函數,故B錯誤;
y=2|x|的最小值為1,故C正確;
在同一坐標系中,y=2x與y=2-x=的圖象關于y軸對稱,故D正確.
12.函數y=ax-a(a>0且a≠1)的大致圖象可能是 (　　)
答案　C
解析　如果函數的圖象是A,那么由1-a=1,得a=0,這與a>0且a≠1相矛盾,故A不可能;如果函數的圖象是B,那么由a1-a<0,得0<0,這是不可能的,故B不可能;如果函數的圖象是C,那么由0<1-a<1,得0如果函數的圖象是D,那么由a1-a<0,得0<0,這是不可能的,故D不可能.
13.(5分)函數y=0.的定義域為　　　　　　　　,值域為　　　　　　　　.
答案　{x|x≠±1}　(0,1)∪
解析　由x2-1≠0,得x≠±1,
∴函數y=0.的定義域為{x|x≠±1}.
∵x2-1≥-1且x2-1≠0,∴≤-1或>0,
∴0<0.<1或0.≥,
∴函數y=0.的值域為(0,1)∪.
14.(5分)已知函數f(x)=若f(a)+f(1)=0,則實數a的值等于　　　　.
答案　-3
解析　由已知,得f(1)=2;
又當x>0時,f(x)=2x>1,
而f(a)+f(1)=0,
∴f(a)=-2,即a≤0,
∴a+1=-2,解得a=-3.
15.(多選)已知實數a,b滿足=,給出下面幾種關系,則其中可能成立的是 (　　)
A.0C.a答案　BCD
解析　在同一坐標系中作出函數y=與函數y=的圖象,如圖所示,
若=>1,
則a若0<=<1,則0若==1,則b=a=0.
16.(12分)已知函數y=.
(1)畫出函數的圖象(簡圖);(6分)
(2)由圖象指出函數的單調區間;(3分)
(3)由圖象指出當x取何值時函數有最值,并求出最值.(3分)
解　(1)方法一　y==
其圖象由兩部分組成:
一部分:y=(x≥0)的圖象y=(x≥-1)的圖象;
另一部分:y=3x(x<0)的圖象y=3x+1(x<-1)的圖象.
得到的函數圖象如圖中實線部分所示.
方法二?、倏芍瘮祔=是偶函數,其圖象關于y軸對稱,故先作出y=(x≥0)的圖象,當x<0時,其圖象與y=(x≥0)的圖象關于y軸對稱,從而得出y=的圖象.
②將y=的圖象向左平移1個單位即可得y=的圖象,如圖中實線部分所示.
(2)由圖象知函數的單調遞增區間是(-∞,-1],單調遞減區間是(-1,+∞).
(3)由圖象知當x=-1時,函數有最大值1,無最小值.4.1.2　指數函數的性質與圖象
第1課時　指數函數的概念、性質與圖象
[學習目標]　1.理解指數函數的概念,了解底數的限制條件的合理性.2.掌握指數函數圖象的性質.3.會應用指數函數的性質求復合函數的定義域、值域.
一、指數函數的概念
問題1　用列表、描點、連線的畫圖步驟,先完成下列表格,再畫出指數函數y=2x與y=的圖象.
x -2 -1 0 1 2
y=2x
y=
知識梳理
指數函數的定義
一般地,函數　　　　　　稱為指數函數,其中a是常數,　　　　　　.
例1　(1)下列函數中是指數函數的是 (　　)
A.y=2·3x B.y=
C.y=3x D.y=(-2)x
(2)已知指數函數y=(2b-3)ax經過點(1,2),則a=　　　　,b=　　　　.
反思感悟　判斷一個函數是否為指數函數的方法
(1)看形式:判斷其解析式是否符合y=ax(a>0且a≠1)這一結構形式.
(2)明特征:看是否具備指數函數解析式具有的三個特征.只要有一個特征不具備,該函數就不是指數函數.
跟蹤訓練1　(1)若函數y=a2(2-a)x是指數函數,則 (　　)
A.a=1或-1 B.a=1
C.a=-1 D.a>0且a≠1
(2)已知函數f(x)是指數函數,且f=,則f(3)=　　　　.
二、簡單指數函數的圖象
問題2　再選取底數,a=3,a=4,a=,a=,在同一個坐標系中畫出相應的指數函數的圖象,觀察這些圖象的位置和變化趨勢.
知識梳理
函數y=ax(a>0且a≠1)的圖象
a>1 0圖象
例2　(1)下列幾個函數的圖象如圖所示:①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx.則a,b,c,d與0和1的關系是 (　　)
A.0C.0(2)若函數y=ax+b-1(a>0且a≠1)的圖象經過第二、三、四象限,則一定有 (　　)
A.00 B.a>1,且b>0
C.01,且b<0
反思感悟　(1)解決指數函數圖象問題的注意點
①熟記當底數a>1和0②在y軸右側,指數函數的圖象“底大圖高”.
(2)與指數函數相關的定點問題
由指數函數y=ax(a>0,且a≠1)過定點(0,1),可令所給函數解析式中的指數為0,即可求出橫坐標,再求縱坐標即可.
跟蹤訓練2　(1)函數y=ax-3+3(a>0且a≠1)的圖象過定點　　　　.
(2)函數y=a|x|(a>1)的圖象是 (　　)
三、簡單指數型函數的性質
問題3　由問題2中的函數圖象,比一比y=ax與y=(a>0且a≠1)的圖象有哪些相同點 有哪些不同點
知識梳理
函數y=ax(a>0且a≠1)的圖象和性質
a>1 0圖象
性質 定義域 定義域為　　　
值域 值域為　　　　　
過定點 過定點　　　　　
函數值 的變化 當x>0時, 　　　　　; 當x<0時, 　　　　 當x>0時, 　　　　　; 當x<0時, 　　　　
單調性 在R上是　　 在R上是　　
對稱性 y=ax與y=的圖象關于y軸對稱
例3　求下列函數的定義域和值域:
(1)y=;　(2)y=;
(3)y=.
跟蹤訓練3　(1)函數f(x)=+的定義域是　　　　　　　　　　　　　　　.
(2)函數y=在(0,3)上的值域為　　　 .
1.知識清單:
(1)指數函數的概念.
(2)指數函數的圖象.
(3)指數函數的性質:定義域、值域、單調性及過定點.
2.方法歸納:數形結合法.
3.常見誤區:
(1)在求值域時易忽視指數函數隱含的條件ax>0(a>0且a≠1).
(2)形如函數y=af(x)(a>0且a≠1)過定點的問題,要使f(x)=0.
1.若函數y=(k+2)ax+2-b(a>0且a≠1)是指數函數,則k+b等于 (　　)
A.-1 B.1
C.-2 D.2
2.函數y=(a>1)的圖象的大致形狀是 (　　)
3.函數y=ax+1+2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點　　　　　　.
4.若函數f(x)=則函數f(x)的值域是　　　　　　　　　　　.
答案精析
問題1　(1)　　1　2　4　4　2　1　　
(2)y=2x和y=的圖象如圖所示.
知識梳理
y=ax　a>0且a≠1
例1　(1)C　(2)2　2
跟蹤訓練1　(1)C　(2)125
問題2
例2　(1)B　(2)C
跟蹤訓練2　(1)(3,4)　(2)B
問題3　相同點:定義域、值域、最值的情況、奇偶性、經過一個共同點;不同點:單調性、函數值的變化.我們還發現y=ax與y=(a>0且a≠1)這兩個底數互為倒數的函數圖象關于y軸對稱.
知識梳理
R　(0,+∞)　(0,1)　y>1　01　增函數　減函數
例3　解　(1)∵x應滿足x-4≠0,
∴x≠4,
∴定義域為{x|x≠4,x∈R}.
∵≠0,∴≠1,
∴y=的值域為{y|y>0且y≠1}.
(2)定義域為R.
∵|x|≥0,∴y==≥=1,
∴此函數的值域為[1,+∞).
(3)由題意知1-≥0,
∴≤1=,
∴x≥0,∴定義域為[0,+∞).
∵x≥0,∴≤1.
又∵>0,∴0<≤1.
∴0≤1-<1,
∴0≤y<1,∴此函數的值域為[0,1).
跟蹤訓練3　(1)[2,4)∪(4,+∞)　(2)
隨堂演練
1.B　2.C　3.(-1,3)
4.(-1,0)∪(0,1)

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