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第2課時(shí)　指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.進(jìn)一步熟練掌握指數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì).2.能夠利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較大小、解不等式.
導(dǎo)語
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),今天就探討一下,利用這些知識去解決一些常見問題.
一、指數(shù)型函數(shù)圖象的辨識
例1 (1)已知函數(shù)f(x)=ax+b的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=ax+b的圖象可能是 (　　)
答案　B
解析　由f(x)=ax+b的圖象可得f(0)=b<-1,f(1)=a+b>0,
所以a>1,b<-1,
故函數(shù)g(x)=ax+b為增函數(shù),相對y=ax向下平移大于1個(gè)單位,故B符合.
(2)二次函數(shù)y=ax2+2bx的圖象頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為(-2,-1),則y=-1的圖象大致為 (　　)
答案　C
解析　因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax2+2bx的圖象頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為(-2,-1),所以-∈(-2,-1),即∈(1,2),所以0<-1<1,
則函數(shù)y=是減函數(shù),又函數(shù)y=-1的圖象是由函數(shù)y=的圖象向下平移一個(gè)單位得到的,
故函數(shù)y=-1是減函數(shù)且圖象過原點(diǎn).
反思感悟　與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的圖象問題
(1)熟記當(dāng)?shù)讛?shù)a>1和0(2)巧用圖象變換
①平移變換:
y=ax的圖象y=ax±b(b>0)的圖象.
y=ax的圖象y=ax±b(b>0)的圖象.
②對稱變換:
y=ax(a>0且a≠1)的圖象 與y=a-x的圖象關(guān)于y軸對稱
與y=-ax的圖象關(guān)于x軸對稱
與y=-a-x的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱
跟蹤訓(xùn)練1　(1)函數(shù)y=2x-1的圖象一定不經(jīng)過第　　　　象限;若函數(shù)y=+b的圖象不經(jīng)過第一象限,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是　　　　.
答案　二、四　(-∞,-1]
解析　當(dāng)x<0時(shí),2x<1,y<0,在第三象限,
當(dāng)x>0時(shí),2x>1,y>0,在第一象限,
且當(dāng)x=0時(shí),y=0,
故y=2x-1的圖象一定不經(jīng)過第二、四象限.
若函數(shù)y=+b的圖象不經(jīng)過第一象限,
則當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),y=+b≤0,
又∵0<<1,且x∈[0,+∞),
∴y=是[0,+∞)上的減函數(shù),
∴0<≤1,
∴+b≤1+b≤0,
解得b≤-1.
(2)已知直線y=2a與函數(shù)y=|2x-2|的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解　函數(shù)y=|2x-2|的圖象如圖中實(shí)線部分所示,要使直線y=2a與該圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),則有0<2a<2,即0二、利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小
例2　比較下列各組數(shù)的大小:
(1)1.52.5與1.53.2;
(2)與;
(3)1.50.3與0.81.2.
解　(1)∵函數(shù)y=1.5x在R上是增函數(shù),2.5<3.2,
∴1.52.5<1.53.2.
(2)指數(shù)函數(shù)y=與y=的圖象(如圖),
由圖知>.
(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知1.50.3>1.50=1,
而0.81.2<0.80=1,
∴1.50.3>0.81.2.
反思感悟　比較指數(shù)式大小的3種類型及處理方法
跟蹤訓(xùn)練2　比較下列各組數(shù)的大小:
(1)0.8-0.1與1.250.2;
(2)1.70.3與0.93.1;
(3)a0.5與a0.6(a>0且a≠1).
解　(1)∵0<0.8<1,
∴y=0.8x在R上是減函數(shù).
∵-0.2<-0.1,
∴0.8-0.2>0.8-0.1,
而0.8-0.2==1.250.2,
即0.8-0.1<1.250.2.
(2)∵1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,
∴1.70.3>0.93.1.
(3)a0.5與a0.6可看作指數(shù)函數(shù)y=ax的兩個(gè)函數(shù)值.
當(dāng)0∵0.5<0.6,∴a0.5>a0.6;
當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=ax在R上是增函數(shù).
∵0.5<0.6,∴a0.5綜上所述,當(dāng)0a0.6;
當(dāng)a>1時(shí),a0.5三、利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解不等式
例3　(1)若不等式<成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是　　　　.
答案　(-3,1)
解析　由于<等價(jià)于<5-x,
又y=5x為增函數(shù),
故x2+x-3<-x,
即x2+2x-3<0,解得-3即實(shí)數(shù)x的取值范圍是(-3,1).
(2)解關(guān)于x的不等式:a2x+1≤ax-5(a>0且a≠1).
解　①當(dāng)0∵a2x+1≤ax-5,
∴2x+1≥x-5,解得x≥-6.
②當(dāng)a>1時(shí),∵a2x+1≤ax-5,
∴2x+1≤x-5,解得x≤-6.
綜上所述,當(dāng)0當(dāng)a>1時(shí),不等式的解集為{x|x≤-6}.
反思感悟　指數(shù)型不等式的解法
(1)指數(shù)型不等式af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)的解法:
當(dāng)a>1時(shí),f(x)>g(x);
當(dāng)0(2)如果不等式的形式不是同底指數(shù)式的形式,要首先進(jìn)行變形將不等式兩邊的底數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一,此時(shí)常用到以下結(jié)論:1=a0(a>0且a≠1),a-x=(a>0且a≠1)等.
跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知不等式≤3x<27,則x的取值范圍為 (　　)
A.-≤x<3 B.≤x<3
C.R D.-≤x<
答案　A
解析　由題意可得≤3x<33,再根據(jù)函數(shù)y=3x在R上是增函數(shù),可得-≤x<3.
(2)已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,則x的取值范圍是　　　　.
答案　
解析　∵a2+a+2=+>1,
∴(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x x>1-x x>.
∴x∈.
1.知識清單:
(1)指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用.
(2)利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小.
(3)利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解不等式.
2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合.
3.常見誤區(qū):研究y=af(x)型函數(shù),易忽視討論a>1還是01.(多選)下列判斷正確的是 (　　)
A.2.52.5>2.53 B.0.82<0.83
C.π2> D.0.90.3>0.90.5
答案　CD
解析　∵y=2.5x是增函數(shù),且2.5<3,
∴2.52.5<2.53,故A錯誤;
∵y=0.8x是減函數(shù),且2<3,
∴0.82>0.83,故B錯誤;
∵y=πx是增函數(shù),且2>,∴π2>,故C正確;
∵y=0.9x是減函數(shù),且0.3<0.5,
∴0.90.3>0.90.5,故D正確.
2.函數(shù)y=ax-(a>0且a≠1)的圖象可能是 (　　)
答案　D
解析　當(dāng)a>1時(shí),y=ax-為增函數(shù),當(dāng)x=0時(shí),y=1-<1且y=1->0,故A,B 不符合.
當(dāng)03.若a3.1>a3(a>0且a≠1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
答案　(1,+∞)
解析　因?yàn)?.1>3,且a3.1>a3,
所以函數(shù)y=ax是增函數(shù),
所以a>1.
4.設(shè)0的解集為　　　　.
答案　(1,+∞)
解析　因?yàn)?所以y=ax在R上是減函數(shù),
又因?yàn)?,
所以2x2-3x+2<2x2+2x-3,
解得x>1.
課時(shí)對點(diǎn)練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共55分
1.若2x+1<1,則x的取值范圍是 (　　)
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(0,1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)
答案　D
解析　∵2x+1<1=20,且y=2x是增函數(shù),
∴x+1<0,∴x<-1.
2.已知函數(shù)f(x)=(a2-1)x,若x>0時(shí)總有f(x)>1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　)
A.1<|a|<2 B.|a|<2
C.|a|>1 D.|a|>
答案　D
解析　由題意知a2-1>1,解得a2>2,即|a|>.
3.函數(shù)①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的圖象如圖所示,a,b,c,d分別是下列四個(gè)數(shù):中的一個(gè),則a,b,c,d的值分別是 (　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　直線x=1與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)從上到下依次為c,d,a,b,而>>>,所以a,b,c,d的值分別是.
4.函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)在[0,1]上的最大值與最小值的和為3,則函數(shù)y=2ax-1在[0,1]上的最大值是 (　　)
A.6 B.1
C.3 D.
答案　C
解析　函數(shù)y=ax在[0,1]上是單調(diào)的,最大值與最小值都在端點(diǎn)處取到,故有a0+a1=3,解得a=2,因此函數(shù)y=2ax-1=4x-1在[0,1]上是增函數(shù),當(dāng)x=1時(shí),ymax=3.
5.在下列圖象中,二次函數(shù)y=ax2+bx及指數(shù)函數(shù)y=的圖象只可能是 (　　)
答案　A
解析　根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義,可知a,b同號且不相等,∴-<0,可排除B,D;由選項(xiàng)C中二次函數(shù)的圖象,可知a-b>0,a<0,∴>1,∴指數(shù)函數(shù)y=單調(diào)遞增,故C不正確,排除C,故選A.
6.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,則a,b,c的大小關(guān)系正確的是 (　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
答案　C
解析　因?yàn)楹瘮?shù)y=0.8x是R上的減函數(shù),
且0.7<0.9,
所以a=0.80.7>0.80.9=b.
又因?yàn)閍=0.80.7<0.80=1,c=1.20.8>1.20=1,
所以c>a,故c>a>b.
7.(5分)函數(shù)f(x)=3x-3(1答案　
解析　因?yàn)?而函數(shù)y=3x在(-2,2]上是增函數(shù),
于是有即所求函數(shù)的值域?yàn)?
8.(5分)已知方程|2x-1|=a有兩個(gè)不等實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
答案　(0,1)
解析　函數(shù)y=|2x-1|=其圖象如圖所示.方程|2x-1|=a有兩個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于直線y=a與y=|2x-1|的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),所以由圖可知09.(10分)已知a-5x0且a≠1),求x的取值范圍.
解　當(dāng)a>1時(shí),∵a-5x解得x>;
當(dāng)0x-7,
解得x<.
綜上所述,當(dāng)a>1時(shí),x的取值范圍是;
當(dāng)010.(12分)已知函數(shù)f(x)=ax+b(a>0且a≠1).
(1)若函數(shù)f(x)的圖象不經(jīng)過第二象限,求a,b的取值范圍;(6分)
(2)當(dāng)b=1時(shí),f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值之比為3∶2,求a的值.(6分)
解　(1)①當(dāng)0②當(dāng)a>1時(shí),f(x)單調(diào)遞增,f(x)的圖象與y軸的交點(diǎn)為(0,b+1),根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的圖象可知,要使f(x)的圖象不經(jīng)過第二象限,則b+1≤0,b≤-1.
所以a>1,b≤-1.
綜上,a,b的取值范圍是a>1,b≤-1.
(2)當(dāng)b=1時(shí),f(x)=ax+1.
①當(dāng)0②當(dāng)a>1時(shí),f(x)單調(diào)遞增,f(x)在[1,2]上的最大值為f(2)=a2+1,最小值為f(1)=a+1,由題意可得=,解得a=,因?yàn)閍>1,
所以a=.綜上,a的值是.
11.已知函數(shù)f(x)=a-x(a>0且a≠1),且f(-2)>f(-3),則a的取值范圍是 (　　)
A.a>0 B.a>1
C.a<1 D.0答案　D
解析　因?yàn)?2>-3,f(-2)>f(-3),
又f(x)=a-x=,所以>,
所以>1,所以012.設(shè)y1=40.9,y2=80.48,y3=,則 (　　)
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3
C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
答案　D
解析　40.9=21.8,80.48=21.44,=21.5,
由于y=2x在R上是增函數(shù),
所以21.8>21.5>21.44,即y1>y3>y2.
13.已知函數(shù)f(x)=且對于任意的x1,x2,都有>0(x1≠x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　)
A.(1,2] B.(1,3]
C.[1,+∞) D.
答案　B
解析　依題意可知函數(shù)f(x)=
在(-∞,+∞)上是增函數(shù),
則解得1故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3].
14.設(shè)函數(shù)f(x)=則滿足f(x+1)A.(-∞,-1] B.(0,+∞)
C.(-1,0) D.(-∞,0)
答案　D
解析　函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,
觀察圖象可知會有
解得x<0,
所以滿足f(x+1)15.設(shè)x<0,且1A.0C.1答案　B
解析　∵1∴0又當(dāng)x=-1時(shí),<,
即b>a,∴016.(13分)已知函數(shù)f(x)=b·ax(其中a,b為常量,且a>0,a≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,6),B(3,24).
(1)求f(x);(5分)
(2)若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(8分)
解　(1)把A(1,6),B(3,24)代入f(x)=b·ax,得結(jié)合a>0且a≠1,
解得
∴f(x)=3·2x.
(2)要使+≥m在(-∞,1]上恒成立,
只需保證函數(shù)y=+在(-∞,1]上的最小值不小于m即可.
∵函數(shù)y=+在(-∞,1]上為減函數(shù),
∴當(dāng)x=1時(shí),y=+有最小值.
∴只需m≤即可.
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為.第2課時(shí)　指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.進(jìn)一步熟練掌握指數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì).2.能夠利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較大小、解不等式.
一、指數(shù)型函數(shù)圖象的辨識
例1 (1)已知函數(shù)f(x)=ax+b的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=ax+b的圖象可能是 (　　)
(2)二次函數(shù)y=ax2+2bx的圖象頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為(-2,-1),則y=-1的圖象大致為 (　　)
反思感悟　與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的圖象問題
(1)熟記當(dāng)?shù)讛?shù)a>1和0(2)巧用圖象變換
①平移變換:
y=ax的圖象y=ax±b(b>0)的圖象.
y=ax的圖象y=ax±b(b>0)的圖象.
②對稱變換:
y=ax(a>0且a≠1)的圖象 與y=a-x的圖象關(guān)于y軸對稱
與y=-ax的圖象關(guān)于x軸對稱
與y=-a-x的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱
跟蹤訓(xùn)練1　(1)函數(shù)y=2x-1的圖象一定不經(jīng)過第　　　　象限;若函數(shù)y=+b的圖象不經(jīng)過第一象限,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是　　　　　　　　　　　　.
(2)已知直線y=2a與函數(shù)y=|2x-2|的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
二、利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小
例2　比較下列各組數(shù)的大小:
(1)1.52.5與1.53.2;
(2)與;
(3)1.50.3與0.81.2.
反思感悟　比較指數(shù)式大小的3種類型及處理方法
跟蹤訓(xùn)練2　比較下列各組數(shù)的大小:
(1)0.8-0.1與1.250.2;
(2)1.70.3與0.93.1;
(3)a0.5與a0.6(a>0且a≠1).
三、利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解不等式
例3　(1)若不等式<成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是　　　　　　.
(2)解關(guān)于x的不等式:a2x+1≤ax-5(a>0且a≠1).
反思感悟　指數(shù)型不等式的解法
(1)指數(shù)型不等式af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)的解法:
當(dāng)a>1時(shí),f(x)>g(x);
當(dāng)0(2)如果不等式的形式不是同底指數(shù)式的形式,要首先進(jìn)行變形將不等式兩邊的底數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一,此時(shí)常用到以下結(jié)論:1=a0(a>0且a≠1),a-x=(a>0且a≠1)等.
跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知不等式≤3x<27,則x的取值范圍為 (　　)
A.-≤x<3 B.≤x<3
C.R D.-≤x<
(2)已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,則x的取值范圍是　　　　　　.
1.知識清單:
(1)指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用.
(2)利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小.
(3)利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解不等式.
2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合.
3.常見誤區(qū):研究y=af(x)型函數(shù),易忽視討論a>1還是01.(多選)下列判斷正確的是 (　　)
A.2.52.5>2.53 B.0.82<0.83
C.π2> D.0.90.3>0.90.5
2.函數(shù)y=ax-(a>0且a≠1)的圖象可能是 (　　)
3.若a3.1>a3(a>0且a≠1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　　　.
4.設(shè)0的解集為　　　　　　.
答案精析
例1　(1)B　(2)C
跟蹤訓(xùn)練1　(1)二、四　(-∞,-1]
(2)解　函數(shù)y=|2x-2|的圖象如圖中實(shí)線部分所示,要使直線y=2a與該圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),則有0<2a<2,即0例2　解　(1)∵函數(shù)y=1.5x
在R上是增函數(shù),2.5<3.2,
∴1.52.5<1.53.2.
(2)指數(shù)函數(shù)y=與y=的圖象(如圖),
由圖知>.
(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知1.50.3>1.50=1,
而0.81.2<0.80=1,
∴1.50.3>0.81.2.
跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)∵0<0.8<1,
∴y=0.8x在R上是減函數(shù).
∵-0.2<-0.1,
∴0.8-0.2>0.8-0.1,
而0.8-0.2==1.250.2,
即0.8-0.1<1.250.2.
(2)∵1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,
∴1.70.3>0.93.1.
(3)a0.5與a0.6可看作指數(shù)函數(shù)
y=ax的兩個(gè)函數(shù)值.
當(dāng)0∵0.5<0.6,∴a0.5>a0.6;
當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=ax在R上是增函數(shù).
∵0.5<0.6,∴a0.5綜上所述,當(dāng)0a0.6;
當(dāng)a>1時(shí),a0.5例3　(1)(-3,1)
(2)解　①當(dāng)0∵a2x+1≤ax-5,
∴2x+1≥x-5,解得x≥-6.
②當(dāng)a>1時(shí),∵a2x+1≤ax-5,
∴2x+1≤x-5,解得x≤-6.
綜上所述,當(dāng)0當(dāng)a>1時(shí),不等式的解集為{x|x≤-6}.
跟蹤訓(xùn)練3　(1)A　(2)
隨堂演練
1.CD　2.D　3.(1,+∞)　4.(1,+∞)

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