資源簡介

習題課　指數(shù)函數(shù)的綜合問題
[學習目標]　1.掌握指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法及單調(diào)性的判斷.2.掌握指數(shù)函數(shù)在現(xiàn)實生活中的應用.
3.掌握指數(shù)函數(shù)的綜合性問題.
一、指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性
例1　(1)求函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)y=-8·+17的單調(diào)區(qū)間.
解　(1)y=的定義域為R.
令μ=x2-6x+17,y=在R上是減函數(shù),
在(-∞,3)上,μ=x2-6x+17是減函數(shù),
所以y=在(-∞,3)上是增函數(shù).
在(3,+∞)上,μ=x2-6x+17是增函數(shù),
所以y=在(3,+∞)上是減函數(shù).
所以y=的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,3),單調(diào)遞減區(qū)間是(3,+∞).
(2)y=-8·+17的定義域為R,
設t=,t>0,所以y=t2-8t+17,
又y=t2-8t+17在(0,4)上單調(diào)遞減,在(4,+∞)上單調(diào)遞增.令<4,解得x>-2.
所以當-2>,
即4>t1>t2,所以-8t1+17<-8t2+17.
所以y=-8·+17的單調(diào)遞增區(qū)間是(-2,+∞).
同理可得單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-2).
反思感悟　函數(shù)y=af(x)(a>0且a≠1)的單調(diào)性的處理方法
(1)關于指數(shù)型函數(shù)y=af(x)(a>0且a≠1)的單調(diào)性由兩點決定,一是底數(shù)a>1還是0(2)求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,首先求出函數(shù)的定義域,然后把函數(shù)分解成y=f(u),u=φ(x),通過考查f(u)和φ(x)的單調(diào)性,求出y=f(φ(x))的單調(diào)性,即同增異減.
跟蹤訓練1　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(1)y=(a>0且a≠1);
(2)y=.
解　(1)易知y=(a>0且a≠1)的定義域為R,設y=au,u=x2+2x-3,
由u=x2+2x-3=(x+1)2-4,
得u在(-∞,-1)上為減函數(shù),在(-1,+∞)上為增函數(shù).
當a>1時,y關于u為增函數(shù);
當0所以當a>1時,原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1);
當0(2)已知函數(shù)y=的定義域為{x|x≠0}.
設y=,u=0.2x,易知u=0.2x為減函數(shù).
而根據(jù)y=的圖象可知在區(qū)間(-∞,1)和(1,+∞)上,y是關于u的減函數(shù),所以原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞).
二、指數(shù)函數(shù)的實際應用
例2　某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人,如果年自然增長率為1.2%,試解答下面的問題:
(1)寫出該城市的人口總數(shù)y(萬人)與經(jīng)過x(年)后的函數(shù)關系式;
(2)計算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人).(參考數(shù)據(jù):1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)
解　(1)1年后該城市人口總數(shù)為
y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%);
2年后該城市人口總數(shù)為
y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%
=100×(1+1.2%)2;
3年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)3;
…
x年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)x.
(2)10年后該城市人口總數(shù)為
y=100×(1+1.2%)10
=100×1.01210≈112.7(萬人).
反思感悟　(1)解決指數(shù)函數(shù)應用題的流程
①審題:理解題意,弄清楚關鍵字詞和字母的意義,從題意中提取信息.
②建模:根據(jù)已知條件,列出指數(shù)函數(shù)的關系式.
③解模:運用數(shù)學知識解決問題.
④回歸:還原為實際問題,歸納得出結(jié)論.
(2)在實際問題中,經(jīng)常會遇到指數(shù)函數(shù)增長模型:設基數(shù)為N,平均增長率為p,則對于經(jīng)過時間x后的總量y可以用y=N(1+p)x來表示,這是非常有用的函數(shù)模型.
(3)注意指數(shù)函數(shù)實際應用中多采用估算比較大小,要注重培養(yǎng)估算的能力.
跟蹤訓練2　(1)當生物死亡后,其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5 730年衰減為原來的一半,這個時間稱為“半衰期”.在一次考古挖掘中,考古學家發(fā)現(xiàn)一批魚化石,經(jīng)檢測其碳14含量約為原始含量的3.1%,則該生物生存的年代距今約 (　　)
A.1.7萬年 B.2.3萬年
C.2.9萬年 D.3.5萬年
答案　C
解析　∵碳14的含量大約每經(jīng)過5 730年衰減為原來的一半,3.1%=≈=,∴該生物生存的年代距今約5 730×5=28 650≈2.9(萬年).
(2)已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x滿足關系y=a·0.5x+b,現(xiàn)已知該廠今年1月、2月生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬件、1.5萬件.則此廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為　　　　萬件.
答案　1.75
解析　∵y=a·0.5x+b,且當x=1時,y=1,
當x=2時,y=1.5,
則有解得
∴y=-2×0.5x+2.
當x=3時,y=-2×0.125+2=1.75(萬件).
三、指數(shù)函數(shù)的綜合運用
例3　設函數(shù)f(x)=-.
(1)證明:函數(shù)f(x)是奇函數(shù);
(2)證明:函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù);
(3)求函數(shù)f(x)在[1,2]上的值域.
(1)證明　函數(shù)f(x)的定義域為R,關于原點對稱.
f(-x)=-=-=
=-+=-f(x),
所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
(2)證明　設x1,x2是(-∞,+∞)內(nèi)任意兩個實數(shù),且x1則f(x1)-f(x2)=--+
=.
因為x1所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù).
(3)解　因為函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù),
所以函數(shù)f(x)在[1,2]上也是增函數(shù),
所以f(x)min=f(1)=,f(x)max=f(2)=.
所以函數(shù)f(x)在[1,2]上的值域為.
反思感悟　解決指數(shù)函數(shù)的綜合問題的注意點
(1)注意代數(shù)式的變形,如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等變形技巧.
(2)解答函數(shù)問題注意應在函數(shù)定義域內(nèi)進行.
(3)由于指數(shù)函數(shù)單調(diào)性與底數(shù)有關,因此要注意是否需要討論.
跟蹤訓練3　已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)=.
(1)求a,b的值;
(2)判斷并證明f(x)在R上的單調(diào)性;
(3)求該函數(shù)的值域.
解　(1)因為f(x)是R上的奇函數(shù),
所以
即解得
(2)f(x)在R上是增函數(shù),證明如下:
由(1)知f(x)=.
設x1,x2∈R,且x1f(x1)-f(x2)=-
=
=.
因為y=2x是R上的增函數(shù),且x1所以-<0.
又因為(+1)(+1)>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)在R上是增函數(shù).
(3)f(x)===1-.
由2x>0,得2x+1>1,所以0<<2,
所以-1<1-<1,即-1所以函數(shù)f(x)的值域為(-1,1).
1.知識清單:
(1)指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性.
(2)指數(shù)函數(shù)在現(xiàn)實生活中的應用.
(3)指數(shù)函數(shù)的綜合應用.
2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸、換元法.
3.常見誤區(qū):用換元法求解指數(shù)型復合函數(shù)的值域時,易忽視中間變量的范圍致誤.
1.函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間為 (　　)
A.(-∞,0] B.[0,+∞)
C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)
答案　A
解析　因為f(x)=,0<<1,
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為u(x)=x2-1的單調(diào)遞減區(qū)間,即(-∞,0].
2.若函數(shù)f(x)=,則該函數(shù)在(-∞,+∞)上 (　　)
A.單調(diào)遞減且無最小值
B.單調(diào)遞減且有最小值
C.單調(diào)遞增且無最大值
D.單調(diào)遞增且有最大值
答案　A
解析　函數(shù)f(x)=為減函數(shù),2x+1>1,
故f(x)=∈(0,1),無最值.
3.為響應國家退耕還林的號召,某地的耕地面積在最近50年內(nèi)減少了10%,如果按此規(guī)律,設2018年的耕地面積為m,則2023年的耕地面積為 (　　)
A.(1-0.1250)m B.0.m
C.0.9250m D.(1-0.)m
答案　B
解析　設每年年平均減少的百分率為a,
由題意得,(1-a)50=1-10%=0.9,
∴1-a=0.,
由2018年的耕地面積為m,
得2023年的耕地面積為(1-a)5m=0.m.
4.函數(shù)y=在(-∞,1)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是　　　　.
答案　[2,+∞)
解析　令t=-x2+ax,y=2t在R上為增函數(shù),由題意得t=-x2+ax在(-∞,1)上單調(diào)遞增,所以≥1,解得a≥2,所以a的取值范圍是[2,+∞).
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共40分;多選題每小題6分,共6分
1.函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是 (　　)
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[1,2] D.[1,3]
答案　A
解析　令u=-3+4x-x2,y=3u為增函數(shù),所以y=的單調(diào)遞增區(qū)間就是u=-3+4x-x2=-(x-2)2+1的單調(diào)遞增區(qū)間(-∞,2].
2.函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是 (　　)
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)和(0,+∞)
答案　D
解析　設u=,則y=3u,對任意的0u2.
又因為y=3u在R上是增函數(shù),所以y1>y2,
所以y=在(0,+∞)上是減函數(shù).
對任意的x1u2,
又因為y=3u在R上是增函數(shù),
所以y1>y2,所以y=在(-∞,0)上是減函數(shù).
所以函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)和(0,+∞).
3.某種細菌經(jīng)60分鐘培養(yǎng),可繁殖為原來的2倍,且知該細菌的繁殖規(guī)律為y=10ekt,其中k,e為常數(shù),t表示時間(單位:小時),y表示細菌個數(shù),10個細菌經(jīng)過7小時培養(yǎng),細菌能達到的個數(shù)為 (　　)
A.640 B.1 280
C.2 560 D.5 120
答案　B
解析　設原來的細菌數(shù)為a.
由題意可得,在函數(shù)y=10ekt中,當t=1時,y=2a.
∴2a=10ek,即ek=.
當a=10時,ek=2,y=10ekt=10·2t,
若t=7,則可得此時的細菌數(shù)為y=10×27=1 280.
4.(多選)關于函數(shù)f(x)=,下列說法正確的是 (　　)
A.偶函數(shù)
B.奇函數(shù)
C.在(0,+∞)上是增函數(shù)
D.在(0,+∞)上是減函數(shù)
答案　BC
解析　f(x)的定義域為R,
因為f(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),
又因為y=2x是增函數(shù),y=2-x為減函數(shù),
故f(x)=為增函數(shù).
5.已知f(x)=3x-t(2≤x≤4,t為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(2,1),則f(x)的值域為 (　　)
A.[9,81] B.[3,9]
C.[1,9] D.[1,+∞)
答案　C
解析　因為f(x)的圖象經(jīng)過點(2,1),
所以32-t=1,得t=2.
因為f(x)=3x-2在[2,4]上是增函數(shù),
所以f(x)min=f(2)=32-2=1,
f(x)max=f(4)=34-2=9.所以f(x)的值域為[1,9].
6.若≤,則函數(shù)y=2x的值域是 (　　)
A. B.
C. D.[2,+∞)
答案　B
解析　由≤=24-2x得,x2+1≤4-2x,
解得-3≤x≤1,所以2-3≤2x≤2,
即函數(shù)y=2x的值域是.
7.(5分)函數(shù)y=4x-2x+1+3,x∈(-∞,1]的最小值為　　　　,最大值為　　　　.
答案　2　3
解析　原函數(shù)可化為y=22x-2·2x+3.
令t=2x,x∈(-∞,1],∴t∈(0,2].
∴y=t2-2t+3=(t-1)2+2.
∴當t=1時,ymin=2;當t=2時,ymax=3.
8.(5分)偶函數(shù)f(x)=(a∈R)的值域為　　　.
答案　
解析　由題設,f(-x)===f(x),故a=1,所以f(x)=≤=,
當且僅當x=0時等號成立,又f(x)>0,
所以f(x)的值域為.
9.(10分)判斷y=的單調(diào)性,并求其值域.
解　令u=x2-2x,則原函數(shù)變?yōu)閥=.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
又y=在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,
∴y=在(-∞,1]上單調(diào)遞增,
在(1,+∞)上單調(diào)遞減.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
∴y=,u∈[-1,+∞),
∴0<≤=3,∴原函數(shù)的值域為(0,3].
10.(12分)已知函數(shù)f(x)=3x,且f(a+2)=18,g(x)=3ax-4x的定義域為[-1,1].
(1)求3a的值及函數(shù)g(x)的解析式;(4分)
(2)試判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性;(4分)
(3)若方程g(x)=m有解,求實數(shù)m的取值范圍.(4分)
解　(1)f(a+2)=3a+2=32·3a=18,
所以3a=2,所以g(x)=(3a)x-4x=2x-4x.
(2)g(x)=2x-4x=-(2x)2+2x,
令2x=t∈,
所以g(x)=μ(t)=-t2+t=-+在t∈上單調(diào)遞減,
又t=2x為增函數(shù),所以g(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減.
(3)由(2)知g(x)=μ(t)=-t2+t=-+在t∈上單調(diào)遞減,
所以g(x)∈,即m∈.
11.已知+>+,則下列關系式正確的是 (　　)
A.xy
C.x<-y D.x>-y
答案　A
解析　不等式可變?yōu)?>-,因為f(x)=-在R上是減函數(shù),所以必有x12.設函數(shù)f(x)定義在實數(shù)集上,且y=f(x+1)是偶函數(shù),且當x≥1時,f(x)=3x-1,則有 (　　)
A.fB.fC.fD.f答案　B
解析　∵y=f(x+1)是偶函數(shù),
故函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱,
則f=f,f=f,
又∵當x≥1時,f(x)=3x-1為增函數(shù),
且<<,故f即f13.(5分)已知a為正實數(shù),且f(x)=-是奇函數(shù),則f(x)的值域為　　　　.
答案　
解析　由f(x)為奇函數(shù)可知f(0)=0,
即-=0,
解得a=2,則f(x)=-,
∵2x>0,∴2x+1>1,∴0<<1,
∴-1<-<0,∴-<-<.
故f(x)的值域為.
14.(5分)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0且a≠1).若g(2)=a,則f(2)=　　　　.
答案　
解析　∵f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),
∴由f(x)+g(x)=ax-a-x+2, ①
得f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=a-x-ax+2, ②
①+②,得g(x)=2,①-②,得f(x)=ax-a-x.
又g(2)=a,∴a=2,
∴f(x)=2x-2-x,∴f(2)=22-2-2=.
15.若函數(shù)f(x)=πx-π-x+2 023x,則不等式f(x+1)+f(2x-4)≥0的解集為 (　　)
A.[1,+∞) B.(-∞,1]
C.(0,1] D.[-1,1]
答案　A
解析　由題可知f(x)的定義域為R,因為f(-x)=π-x-πx-2 023x=-(πx-π-x+2 023x)=-f(x),
所以f(x)是奇函數(shù),所以不等式f(x+1)+f(2x-4)≥0可化為f(x+1)≥f(4-2x),因為y=πx,y=-π-x,y=2 023x在R上均為增函數(shù),所以f(x)在R上為增函數(shù),所以x+1≥4-2x,解得x≥1,故該不等式的解集為[1,+∞).
16.(12分)對于函數(shù)f(x)=a-(x∈R).
(1)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性;(6分)
(2)是否存在實數(shù)a,使函數(shù)f(x)為奇函數(shù) 證明你的結(jié)論.(6分)
解　(1)函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).
證明如下:函數(shù)f(x)的定義域為R.
任取x1,x2∈R,且x1有f(x1)-f(x2)=-
=-=.
因為y=2x是R上的增函數(shù),x1所以-<0,
又+1>0,+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函數(shù)f(x)為R上的增函數(shù).
(2)因為x∈R,f(x)是奇函數(shù),
所以f(0)=0,即a=1.
所以存在實數(shù)a=1,使函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
證明如下:當a=1時,f(x)=1-=.
對任意x∈R,f(-x)=
==-=-f(x),
又f(x)的定義域為R,故f(x)為奇函數(shù).習題課　指數(shù)函數(shù)的綜合問題
[學習目標]　1.掌握指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法及單調(diào)性的判斷.2.掌握指數(shù)函數(shù)在現(xiàn)實生活中的應用.3.掌握指數(shù)函數(shù)的綜合性問題.
一、指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性
例1　(1)求函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)y=-8·+17的單調(diào)區(qū)間.
反思感悟　函數(shù)y=af(x)(a>0且a≠1)的單調(diào)性的處理方法
(1)關于指數(shù)型函數(shù)y=af(x)(a>0且a≠1)的單調(diào)性由兩點決定,一是底數(shù)a>1還是0(2)求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,首先求出函數(shù)的定義域,然后把函數(shù)分解成y=f(u),u=φ(x),通過考查f(u)和φ(x)的單調(diào)性,求出y=f(φ(x))的單調(diào)性,即同增異減.
跟蹤訓練1　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(1)y=(a>0且a≠1);
(2)y=.
二、指數(shù)函數(shù)的實際應用
例2　某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人,如果年自然增長率為1.2%,試解答下面的問題:
(1)寫出該城市的人口總數(shù)y(萬人)與經(jīng)過x(年)后的函數(shù)關系式;
(2)計算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人).(參考數(shù)據(jù):1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)
反思感悟　(1)解決指數(shù)函數(shù)應用題的流程
①審題:理解題意,弄清楚關鍵字詞和字母的意義,從題意中提取信息.
②建模:根據(jù)已知條件,列出指數(shù)函數(shù)的關系式.
③解模:運用數(shù)學知識解決問題.
④回歸:還原為實際問題,歸納得出結(jié)論.
(2)在實際問題中,經(jīng)常會遇到指數(shù)函數(shù)增長模型:設基數(shù)為N,平均增長率為p,則對于經(jīng)過時間x后的總量y可以用y=N(1+p)x來表示,這是非常有用的函數(shù)模型.
(3)注意指數(shù)函數(shù)實際應用中多采用估算比較大小,要注重培養(yǎng)估算的能力.
跟蹤訓練2　(1)當生物死亡后,其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5 730年衰減為原來的一半,這個時間稱為“半衰期”.在一次考古挖掘中,考古學家發(fā)現(xiàn)一批魚化石,經(jīng)檢測其碳14含量約為原始含量的3.1%,則該生物生存的年代距今約 (　　)
A.1.7萬年 B.2.3萬年
C.2.9萬年 D.3.5萬年
(2)已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x滿足關系y=a·0.5x+b,現(xiàn)已知該廠今年1月、2月生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬件、1.5萬件.則此廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為　　　　萬件.
三、指數(shù)函數(shù)的綜合運用
例3　設函數(shù)f(x)=-.
(1)證明:函數(shù)f(x)是奇函數(shù);
(2)證明:函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù);
(3)求函數(shù)f(x)在[1,2]上的值域.
反思感悟　解決指數(shù)函數(shù)的綜合問題的注意點
(1)注意代數(shù)式的變形,如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等變形技巧.
(2)解答函數(shù)問題注意應在函數(shù)定義域內(nèi)進行.
(3)由于指數(shù)函數(shù)單調(diào)性與底數(shù)有關,因此要注意是否需要討論.
跟蹤訓練3　已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)=.
(1)求a,b的值;
(2)判斷并證明f(x)在R上的單調(diào)性;
(3)求該函數(shù)的值域.
1.知識清單:
(1)指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性.
(2)指數(shù)函數(shù)在現(xiàn)實生活中的應用.
(3)指數(shù)函數(shù)的綜合應用.
2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸、換元法.
3.常見誤區(qū):用換元法求解指數(shù)型復合函數(shù)的值域時,易忽視中間變量的范圍致誤.
1.函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間為 (　　)
A.(-∞,0] B.[0,+∞)
C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)
2.若函數(shù)f(x)=,則該函數(shù)在(-∞,+∞)上 (　　)
A.單調(diào)遞減且無最小值
B.單調(diào)遞減且有最小值
C.單調(diào)遞增且無最大值
D.單調(diào)遞增且有最大值
3.為響應國家退耕還林的號召,某地的耕地面積在最近50年內(nèi)減少了10%,如果按此規(guī)律,設2018年的耕地面積為m,則2023年的耕地面積為 (　　)
A.(1-0.1250)m B.0.m
C.0.9250m D.(1-0.)m
4.函數(shù)y=在(-∞,1)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是　　　　.
答案精析
例1　解　(1)y=的定義域為R.
令μ=x2-6x+17,y=在R上是減函數(shù),
在(-∞,3)上,μ=x2-6x+17是減函數(shù),
所以y=在(-∞,3)上是增函數(shù).
在(3,+∞)上,μ=x2-6x+17是增函數(shù),
所以y=在(3,+∞)上是減函數(shù).
所以y=的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,3),單調(diào)遞減區(qū)間是(3,+∞).
(2)y=-8·+17的定義域為R,
設t=,t>0,
所以y=t2-8t+17,
又y=t2-8t+17在(0,4)上單調(diào)遞減,在(4,+∞)上單調(diào)遞增.
令<4,解得x>-2.
所以當-24>>,
即4>t1>t2,
所以-8t1+17<-8t2+17.
所以y=-8·+17的單調(diào)遞增區(qū)間是(-2,+∞).
同理可得單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-2).
跟蹤訓練1　解　(1)易知y=(a>0且a≠1)的定義域為R,設y=au,u=x2+2x-3,
由u=x2+2x-3=(x+1)2-4,
得u在(-∞,-1)上為減函數(shù),
在(-1,+∞)上為增函數(shù).
當a>1時,y關于u為增函數(shù);
當0所以當a>1時,原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1);
當0(2)已知函數(shù)y=的定義域為{x|x≠0}.
設y=,u=0.2x,
易知u=0.2x為減函數(shù).
而根據(jù)y=的圖象可知在區(qū)間(-∞,1)和(1,+∞)上,y是關于u的減函數(shù),所以原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞).
例2　解　(1)1年后該城市人口總數(shù)為
y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%);
2年后該城市人口總數(shù)為
y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%
=100×(1+1.2%)2;
3年后該城市人口總數(shù)為
y=100×(1+1.2%)3;
…
x年后該城市人口總數(shù)為
y=100×(1+1.2%)x.
(2)10年后該城市人口總數(shù)為
y=100×(1+1.2%)10
=100×1.01210≈112.7(萬人).
跟蹤訓練2　(1)C　(2)1.75
例3　(1)證明　函數(shù)f(x)的定義域為R,關于原點對稱.
f(-x)=-
=-=
=-+=-f(x),
所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
(2)證明　設x1,x2是(-∞,+∞)內(nèi)任意兩個實數(shù),且x1則f(x1)-f(x2)
=--+
=.
因為x1所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)所以函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù).
(3)解　因為函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù),
所以函數(shù)f(x)在[1,2]上也是增函數(shù),
所以f(x)min=f(1)=,
f(x)max=f(2)=.
所以函數(shù)f(x)在[1,2]上的值域為.
跟蹤訓練3　解　(1)因為f(x)是R上的奇函數(shù),
所以
即解得
(2)f(x)在R上是增函數(shù),證明如下:
由(1)知f(x)=.
設x1,x2∈R,且x1f(x1)-f(x2)=-
=
=.
因為y=2x是R上的增函數(shù),且x1所以-<0.
又因為(+1)(+1)>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)所以f(x)在R上是增函數(shù).
(3)f(x)==
=1-.
由2x>0,得2x+1>1,
所以0<<2,
所以-1<1-<1,
即-1所以函數(shù)f(x)的值域為(-1,1).
隨堂演練
1.A　2.A　3.B　4.[2,+∞)

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