資源簡介

4.2.1　對數運算
[學習目標]　1.理解對數的概念,能進行指數式與對數式的互化.2.理解對數的底數和真數的取值范圍.3.掌握對數的基本性質及對數恒等式.
導語
蘇格蘭數學家納皮爾,在研究天文學的過程中,為了簡化其中的計算而發明了對數.對數的出現是基于當時天文、航海、工程、貿易以及軍事快速發展的需要而出現的.經過不斷發展,人們發現,對數與指數存在互逆的關系,然而更有意思的是“對數源自于指數”,而對數的發明卻先于指數,對數是用來解決指數所不能解決的問題,讓我們一起來發現對數與指數的關系吧!
一、對數的概念及應用
問題1　我們知道若2x=4,則x=2;若3x=81,則x=4;若=128,則x=-7等等這些方程,我們可以輕松求出x的值,但對于2x=3,1.11x=2,10x=5等這樣的指數方程,你能求出方程的解嗎
提示　用指數方程不能解決上述方程,為了解決這個問題,早在18世紀的歐拉為我們提供了解決問題的方案,那就是發現了指數與對數的互逆關系,用對數來表示指數方程的解.
問題2　現在你能解指數方程2x=3,1.11x=2,10x=5了嗎
提示　x=log23;x=log1.112;x=log105.
知識梳理
1.對數的概念:在表達式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,當a與N確定之后,只有唯一的b能滿足這個式子,此時,冪指數b稱為以a為底N的對數,記作b=logaN,其中a稱為對數的底數,N稱為對數的真數.
2.兩種特殊對數
常用對數:以10為底的對數稱為常用對數,log10N可簡寫為lg N.
自然對數:以無理數e(e=2.718 28…)為底的對數稱為自然對數,logeN通常簡寫為ln N.
3.對數式與指數式的互化關系:
若a>0且a≠1,則ax=N logaN=x.
注意點:
(1)因為對數是由指數轉化而來,所以底數a、指數或對數x、冪或真數N的范圍不變,只是位置和名稱發生了變化.
(2)logaN的讀法:以a為底N的對數.
例1　將下列指數式與對數式互化:
(1)2-2=;(2)102=100;
(3)ea=16;(4)6=;
(5)log39=2;(6)logxy=z(x>0且x≠1,y>0).
解　(1)log2=-2.
(2)log10100=2,即lg 100=2.
(3)loge16=a,即ln 16=a.
(4)log64=-.
(5)32=9.
(6)xz=y.
反思感悟　指數式與對數式互化的思路
(1)將指數式化為對數式:將指數式的冪作為真數,指數作為對數,底數不變,寫出對數式.
(2)將對數式化為指數式:將對數式的真數作為冪,對數作為指數,底數不變,寫出指數式.
跟蹤訓練1　將下列指數式與對數式互化:
(1)log216=4;(2)lox=6;
(3)43=64;(4)3-3=.
解　(1)因為log216=4,所以24=16.
(2)因為lox=6,所以()6=x.
(3)因為43=64,所以log464=3.
(4)因為3-3=,所以log3=-3.
例2　(1)求下列各式中x的值:
①log64x=-;②logx8=6;
③lg 100=x;④-ln e2=x.
解　①x=6=(43=4-2=.
②因為x6=8,x>0,且x≠1,
所以x=(x6==(23==.
③因為10x=100=102,所以x=2.
④由-ln e2=x,得-x=ln e2,
即e-x=e2.
所以x=-2.
(2)設a=log310,b=log37,求3a-b的值.
解　因為a=log310,b=log37,
所以3a=10,3b=7.
則3a-b==.
反思感悟　對數式中求值的基本方法
(1)將對數式化為指數式,構建方程轉化為指數問題.
(2)利用指數冪的運算性質求解.
跟蹤訓練2　(1)計算log927,lo81的值;
解　設x=log927,則9x=27,32x=33,
∴2x=3,x=.
設x=lo81,則()x=81,=34,
∴=4,x=16.
(2)求下列各式中x的值:
①log27x=-;②logx16=-4.
解　①∵log27x=-,
∴x=2=(33=3-1=.
②∵logx16=-4,
∴x-4=16,即x4==,
又x>0,且x≠1,∴x=.
二、對數的性質及對數恒等式
知識梳理
1.對數恒等式:=N(a>0且a≠1);logaab=b(a>0且a≠1).
2.對數的性質
(1)loga1=0(a>0且a≠1).
(2)logaa=1(a>0且a≠1).
(3)0和負數沒有對數.
注意點:
對數恒等式中logaN前系數為1.
例3　求下列各式中x的值:
(1)log2(log5x)=0;(2)log3(lg x)=1;
(3)x=.
解　(1)∵log2(log5x)=0,
∴log5x=20=1,∴x=51=5.
(2)∵log3(lg x)=1,∴lg x=31=3,
∴x=103=1 000.
(3)x===.
反思感悟　(1)此類題型應利用對數的基本性質從整體入手,由外到內逐層深入來解決問題.logaN=0 N=1;logaN=1 N=a可頻繁使用,應在理解的基礎上靈活運用.
(2)符合對數恒等式的,可以直接應用對數恒等式:=N,logaaN=N.
跟蹤訓練3　(1)若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0,則x+y+z的值為 (　　)
A.9 B.8
C.7 D.6
答案　A
解析　∵log2(log3x)=0,∴log3x=1.∴x=3.
同理y=4,z=2.∴x+y+z=9.
(2)設=27,則x=　　　　.
答案　13
解析　∵=27,
∴2x+1=27,解得x=13.
三、常用對數與自然對數及求值
例4　求下列各式的值:
(1)e3ln 7;(2)lg 0.0012.
解　(1)e3ln 7=(eln 7)3=73=343.
(2)lg 0.0012=lg 10-6=-6.
反思感悟　求解此類問題時,應根據對數的性質和對數恒等式進行變形求解,還要注意指數式與對數式的互化運算.
跟蹤訓練4　(1)若lg 2=a,則100a=　　　　.
答案　4
解析　100a==(10lg 2)2=4.
(2)已知9b=3,lg x=3b,則x=　　　　.
答案　10
解析　因為9b=3,所以32b=3,即2b=1,解得b=.
因此lg x=,所以x==10.
1.知識清單:
(1)對數的概念.
(2)自然對數、常用對數.
(3)指數式與對數式的互化.
(4)對數的性質.
2.方法歸納:轉化法.
3.常見誤區:易忽視對數式中底數與真數的范圍.
1.將=9寫成對數式,正確的是 (　　)
A.log9=-2 B.lo9=-2
C.lo(-2)=9 D.log9(-2)=
答案　B
2.(多選)下列指數式與對數式互化正確的一組是 (　　)
A.e0=1與ln 1=0
B.=與log8=-
C.log39=2與=3
D.log77=1與71=7
答案　ABD
解析　由指對互化的關系ax=N x=logaN可知A,B,D都正確;C中log39=2 9=32.
3.若log2(logx3)=-1,則x的值為 (　　)
A.3 B.
C. D.9
答案　D
解析　∵log2(logx3)=-1,∴logx3=2-1=,解得x=9.
4.計算:+2log31-3lg 10+3ln 1=　　　　.
答案　0
解析　+2log31-3lg 10+3ln 1
=3+2×0-3×1+3×0=0.
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共40分;多選題每小題6分,共6分
1.(多選)下列說法正確的有 (　　)
A.零和負數沒有對數
B.任何一個指數式都可以化成對數式
C.以10為底的對數稱為常用對數
D.以e為底的對數稱為自然對數
答案　ACD
解析　A,C,D正確,B不正確,只有當a>0且a≠1時,ax=N才能化為對數式.
2.log3等于 (　　)
A.4 B.-4
C. D.-
答案　B
解析　∵3-4=,∴log3=-4.
3.方程=的解是 (　　)
A.x= B.x=
C.x= D.x=9
答案　A
解析　因為=2-2,所以log3x=-2,
所以x=3-2=.
4.若loga=c(a>0且a≠1),則下列等式正確的是 (　　)
A.b5=ac B.b=a5c
C.b=5ac D.b=c5a
答案　B
解析　由loga=c,得ac=,所以b=a5c.
5.方程lg(x2-1)=lg(2x+2)的根為 (　　)
A.-3 B.3
C.-1或3 D.1或-3
答案　B
解析　由題意得解得x>1.
由lg(x2-1)=lg(2x+2),
得x2-1=2x+2,
即x2-2x-3=0,解得x=-1(舍)或x=3.
所以原方程的根為x=3.
6.若loga3=m,loga5=n(a>0且a≠1),則a2m+n的值是 (　　)
A.15 B.75
C.45 D.225
答案　C
解析　由loga3=m,得am=3,
由loga5=n,得an=5,
∴a2m+n=(am)2·an=32×5=45.
7.(5分)ln(lg 10)+=　　　　.
答案　4-π
解析　ln(lg 10)+=ln 1+4-π
=0+4-π=4-π.
8.(5分)十六、十七世紀之交,隨著天文、航海、工程、貿易及軍事的發展,改進計算方法成了當務之急,約翰·納皮爾正是在研究天文學的過程中,為了簡化其中的計算而發明了對數,后來天才數學家歐拉發現了對數與指數的關系,即ab=N b=logaN.現已知2a=6,3b=36,則=　　　　.
答案　
解析　∵2a=6,3b=36,
∴a=log26,b=log336,
∴====.
9.(10分)先將下列式子改寫成指數式,再求各式中x的值.
(1)log2x=-;(5分)(2)logx3=-.(5分)
解　(1)因為log2x=-,
所以x====.
(2)因為logx3=-,所以=3,
即x=3-3=.
10.(12分)(1)已知log189=a,log1854=b,求182a-b的值;(6分)
(2)已知logx27=,求x的值.(6分)
解　(1)∵log189=a,log1854=b,
∴18a=9,18b=54,∴182a-b===.
(2)logx27==3×=3×2=6.
∴x6=27,∴x6=33,
又x>0且x≠1,∴x=.
11.“2a=2b”是“ln a=ln b”的 (　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案　B
解析　因為2a=2b a=b,ln a=ln b
所以“2a=2b”是“ln a=ln b”的必要不充分條件.
12.已知logax=2,logbx=1,logcx=4(a,b,c,x>0且a,b,c,x≠1),則logx(abc)等于 (　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由題意得,x=a2=b=c4,
所以(abc)4=x7,
所以abc=.即logx(abc)=.
13.若a>0,=,則loa等于 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
答案　B
解析　因為=,a>0,所以a==,
所以loa=3.
14.(5分)若log(1-x)(1+x)2=1,則x=　　　　.
答案　-3
解析　由log(1-x)(1+x)2=1,
得(1+x)2=1-x,
∴x2+3x=0,∴x=0或x=-3.
又∴x=-3.
15.(5分)已知log5(log3(log2 a))=0,則3的值為　　　　.
答案　64
解析　因為log5(log3(log2a))=0,所以log3(log2a)=1,所以log2a=3,解得a=8,所以3=3=(62==()2=82=64.
16.(12分)若lox=m,loy=m+2,求的值.
解　因為lox=m,所以=x,x2=.
因為loy=m+2,
所以=y,y=.
所以====16.4.2.1　對數運算
[學習目標]　1.理解對數的概念,能進行指數式與對數式的互化.2.理解對數的底數和真數的取值范圍.3.掌握對數的基本性質及對數恒等式.
一、對數的概念及應用
問題1　我們知道若2x=4,則x=2;若3x=81,則x=4;若=128,則x=-7等等這些方程,我們可以輕松求出x的值,但對于2x=3,1.11x=2,10x=5等這樣的指數方程,你能求出方程的解嗎
問題2　現在你能解指數方程2x=3,1.11x=2,10x=5了嗎
知識梳理
1.對數的概念:在表達式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,當a與N確定之后,只有唯一的b能滿足這個式子,此時,冪指數b稱為以a為底N的對數,記作b=　　　　,其中a稱為對數的　　　　　,N稱為對數的　　　　　.
2.兩種特殊對數
常用對數:以10為底的對數稱為　　　　,log10N可簡寫為　　　　　.
自然對數:以無理數e(e=2.718 28…)為底的對數稱為　　　　　,logeN通常簡寫為　　　　　.
3.對數式與指數式的互化關系:
若a>0且a≠1,則ax=N logaN=　　　.
例1　將下列指數式與對數式互化:
(1)2-2=;(2)102=100;
(3)ea=16;(4)6=;
(5)log39=2;
(6)logxy=z(x>0且x≠1,y>0).
反思感悟　指數式與對數式互化的思路
(1)將指數式化為對數式:將指數式的冪作為真數,指數作為對數,底數不變,寫出對數式.
(2)將對數式化為指數式:將對數式的真數作為冪,對數作為指數,底數不變,寫出指數式.
跟蹤訓練1　將下列指數式與對數式互化:
(1)log216=4;　(2)lox=6;
(3)43=64;　(4)3-3=.
例2　(1)求下列各式中x的值:
①log64x=-;　②logx8=6;
③lg 100=x;　④-ln e2=x.
(2)設a=log310,b=log37,求3a-b的值.
反思感悟　對數式中求值的基本方法
(1)將對數式化為指數式,構建方程轉化為指數問題.
(2)利用指數冪的運算性質求解.
跟蹤訓練2　(1)計算log927,lo81的值;
(2)求下列各式中x的值:
①log27x=-;　②logx16=-4.
二、對數的性質及對數恒等式
知識梳理
1.對數恒等式:=　　　(a>0且a≠1);logaab=　　　(a>0且a≠1).
2.對數的性質
(1)loga1=　　　(a>0且a≠1).
(2)logaa=　　　(a>0且a≠1).
(3)0和負數沒有對數.
例3　求下列各式中x的值:
(1)log2(log5x)=0;　(2)log3(lg x)=1;
(3)x=.
反思感悟　(1)此類題型應利用對數的基本性質從整體入手,由外到內逐層深入來解決問題.logaN=0 N=1;logaN=1 N=a可頻繁使用,應在理解的基礎上靈活運用.
(2)符合對數恒等式的,可以直接應用對數恒等式:=N,logaaN=N.
跟蹤訓練3　(1)若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0,則x+y+z的值為 (　　)
A.9 B.8
C.7 D.6
(2)設=27,則x=　　　　.
三、常用對數與自然對數及求值
例4　求下列各式的值:
(1)e3ln 7;　(2)lg 0.0012.
反思感悟　求解此類問題時,應根據對數的性質和對數恒等式進行變形求解,還要注意指數式與對數式的互化運算.
跟蹤訓練4　(1)若lg 2=a,則100a=　　　　.
(2)已知9b=3,lg x=3b,則x=　　　　.
1.知識清單:
(1)對數的概念.
(2)自然對數、常用對數.
(3)指數式與對數式的互化.
(4)對數的性質.
2.方法歸納:轉化法.
3.常見誤區:易忽視對數式中底數與真數的范圍.
1.將=9寫成對數式,正確的是 (　　)
A.log9=-2 B.lo9=-2
C.lo(-2)=9 D.log9(-2)=
2.(多選)下列指數式與對數式互化正確的一組是 (　　)
A.e0=1與ln 1=0
B.=與log8=-
C.log39=2與=3
D.log77=1與71=7
3.若log2(logx3)=-1,則x的值為 (　　)
A.3 B.
C. D.9
4.計算:+2log31-3lg 10+3ln 1=　　　　.
答案精析
問題1　用指數方程不能解決上述方程,為了解決這個問題,早在18世紀的歐拉為我們提供了解決問題的方案,那就是發現了指數與對數的互逆關系,用對數來表示指數方程的解.
問題2　x=log23;x=log1.112;x=log105.
知識梳理
1.logaN　底數　真數　2.常用對數　lg N　自然對數　ln N　3.x
例1　解　(1)log2=-2.
(2)log10100=2,即lg 100=2.
(3)loge16=a,即ln 16=a.
(4)log64=-.
(5)32=9.
(6)xz=y.
跟蹤訓練1　解　(1)因為log216=4,所以24=16.
(2)因為lox=6,所以()6=x.
(3)因為43=64,所以log464=3.
(4)因為3-3=,所以log3=-3.
例2　(1)解　①x=6=(43
=4-2=.
②因為x6=8,x>0,且x≠1,
所以x=(x6==(23==.
③因為10x=100=102,所以x=2.
④由-ln e2=x,得-x=ln e2,
即e-x=e2.
所以x=-2.
(2)解　因為a=log310,b=log37,
所以3a=10,3b=7.
則3a-b==.
跟蹤訓練2　(1)解　設x=log927,則9x=27,32x=33,
∴2x=3,x=.
設x=lo81,則()x=81,=34,
∴=4,x=16.
(2)解　①∵log27x=-,
∴x=2=(33=3-1=.
②∵logx16=-4,
∴x-4=16,即x4==,
又x>0,且x≠1,∴x=.
知識梳理
1.N　b　2.(1)0　(2)1
例3　解　(1)∵log2(log5x)=0,
∴log5x=20=1,∴x=51=5.
(2)∵log3(lg x)=1,∴lg x=31=3,
∴x=103=1 000.
(3)x===.
跟蹤訓練3　(1)A　(2)13
例4　解　(1)e3ln 7=(eln 7)3=73=343.
(2)lg 0.0012=lg 10-6=-6.
跟蹤訓練4　(1)4　(2)10
隨堂演練
1.B　2.ABD　3.D　4.0

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