資源簡介

4.2.2　對數運算法則
[學習目標]　1.掌握對數的運算法則,理解其推導過程和成立條件.2.掌握換底公式及其推論.3.會運用對數運算法則進行一些簡單的化簡與證明.
導語
同學們,數學運算的發展可謂是貫穿了整個人類進化史,從人們對天文、航天、航海感興趣開始,發現數太大了,天文學家開普勒利用他的對數表簡化了行星軌道的復雜計算,對數被譽為“用縮短計算時間而使天文學家延長壽命”,對整個科學的發展起了重要作用.
一、對數的運算法則
問題1　將指數式M=ap,N=aq化為對數式,結合指數運算性質MN=apaq=ap+q能否將其化為對數式 它們之間有何聯系(用一個等式表示)
提示　由M=ap,N=aq得p=logaM,q=logaN.
由MN=ap+q得p+q=loga(MN).
從而得出loga(MN)=logaM+logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0).
問題2　結合問題1,若==ap-q,又能得到什么結論
提示　將指數式=ap-q化為對數式,得
loga=p-q=logaM-logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0).
問題3　結合問題1,若Mn=(ap)n=anp(n∈R),又能有何結果
提示　由Mn=anp,得logaMn=np=nlogaM(a>0且a≠1,M>0,n∈R).
知識梳理
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R,那么
(1)loga(MN)=logaM+logaN.
(2)logaMα=αlogaM.
(3)loga=logaM-logaN.
為方便記憶,上述法則可表述為:積的對數等于對數之和,商的對數等于對數之差,冪的對數等于冪指數乘以冪的底數的對數.
注意點:
(1)法則的逆運算仍然成立.
(2)公式成立的條件是M>0,N>0,而不是MN>0,比如式子log2[(-2)×(-3)]有意義,而log2(-2)與log2(-3)都沒有意義.
(3)性質(1)可以推廣為:loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk,其中Nk>0,k∈N+.
例1　計算下列各式的值:
(1)log345-log35;
(2)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2;
(3)lg 14-2 lg+lg 7-lg 18;
(4)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.
解　(1)原式=log3=log39=log332=2.
(2)原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+2lg 2
=lg 10(lg 5-lg 2)+2lg 2
=lg 5-lg 2+2lg 2=lg 5+lg 2=1.
(3)原式=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2)
=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0.
(4)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2
=2lg 10+(lg 5+lg 2)2
=2+(lg 10)2=2+1=3.
反思感悟　利用對數運算法則化簡與求值的原則和方法
(1)基本原則:
①正用或逆用運算法則,對真數進行處理;
②選哪種策略化簡,取決于問題的實際情況,一般本著便于真數化簡的原則進行.
(2)兩種常用的方法:
①“收”,將同底的兩對數的和(差)收成積(商)的對數;
②“拆”,將積(商)的對數拆成同底的兩對數的和(差).
跟蹤訓練1　計算下列各式的值:
(1)2log23-log2+log27-;
(2)log3+lg 25+lg 4-log2(log216).
解　(1)原式=log29-log2+log27-2
=log2-2=3-2=1.
(2)原式=log33+lg(25×4)-2=+2-2=.
二、換底公式
問題4　上節課我們學習了對數的運算性質,但對于一些式子,比如log48,log927等式子的化簡求值問題還不能做到,你能解決這個問題嗎
提示　設log48=x,故有4x=8,即22x=23,故x=,而log28=3,log24=2,于是我們大膽猜測log48=,同樣log927=.
問題5　是否對任意的logab都可以表示成logab=(a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1) 說出你的理由.
提示　依據當a>0且a≠1時,ax=N logaN=x推導得出.
令=x,則logcb=xlogca=logcax,
故b=ax,
∴x=logab,∴logab=.
知識梳理
1.logab=(a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1).
2.對數換底公式的重要推論
(1)logaN=(N>0且N≠1,a>0且a≠1).
(2)bm=logab(a>0且a≠1,b>0,n≠0).
(3)logab·logbc·logcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0且a≠1,b≠1,c≠1).
注意點:
(1)公式成立的條件要使每一個對數式都有意義.
(2)在具體運算中,我們習慣換成常用對數或自然對數,即logab=或logab=(a>0且a≠1,b>0).
例2　(1)計算:(log43+log83)log32=　　　　.
答案　
解析　原式=log32
=log32=+=.
(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)
解　方法一　因為18b=5,所以b=log185.
所以log3645==
===
==.
方法二　因為18b=5,所以b=log185,
所以log3645==
==.
方法三　因為log189=a,18b=5,
所以lg 9=alg 18,lg 5=blg 18,
所以log3645===
==.
反思感悟　換底公式可實現不同底數的對數式之間的轉化,然后再運用對數運算法則進行同底數的對數運算.可正用、逆用;使用的關鍵是恰當選擇底數,換底的目的是利用對數的運算法則進行對數式的化簡.
跟蹤訓練2　已知log23=a,log37=b,用a,b表示log4256.
解　因為log23=a,所以=log32,
又因為log37=b,
所以log4256===.
三、對數運算的綜合問題
例3　(1)設a=lg 2,b=lg 3,試用a,b表示lg.
解　因為108=4×27=22×33,
所以lg=lg 108=lg(22×33)
=lg 22+lg 33=lg 2+lg 3=a+b.
(2)已知x,y,z為正數,若3x=4y=6z,求-的值.
解　令3x=4y=6z=a(a>1),
所以x=log3a,y=log4a,z=log6a,
所以-=-=×-×=-==.
反思感悟　(1)與對數相關的帶有附加條件的代數式求值問題,要整體把握對數式的結構特征,靈活運用指數式與對數式的互化.
(2)對于連等式可令其等于k(k>0),然后將指數式用對數式表示,再由換底公式可將指數的倒數化為同底的對數,從而使問題得解.
跟蹤訓練3　已知3a=4b=c,且+=2,求實數c的值.
解　由題意知c>0且c≠1,由3a=4b=c,得a=log3c,b=log4c,
所以==logc3,==logc4.
又+=2,
所以logc3+logc4=logc12=2,即c2=12,
所以c=2.
1.知識清單:
(1)對數的運算法則.
(2)換底公式.
2.方法歸納:轉化法.
3.常見誤區:利用對數的運算法則化簡求值時忽略對數有意義的條件.
1.log5+log53等于 (　　)
A.0 B.1
C.-1 D.log5
答案　A
解析　log5+log53=log5=log51=0.
2.計算:log232-2log24等于 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　A
解析　log232-2log24=log2=log22=1.
3.若log5×log36×log6x=2,則x等于 (　　)
A.9 B.
C.25 D.
答案　D
解析　由題意得××=-=2,
所以lg x=-2lg 5=lg 5-2,所以x=5-2=.
4.計算:+2lg 2-lg =　　　　.
答案　
解析　原式=(23+lg 4-(lg 1-lg 25)
=+lg(4×25)=+2=.
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共35分;多選題每小題6分,共18分
1.(多選)下列各式(各式均有意義)不正確的為 (　　)
A.loga(MN)=logaM+logaN
B.loga(M-N)=
C.=
D.lob=-nlogab
答案　BD
2.log29×log34的值為 (　　)
A.14 B.12
C.2 D.4
答案　D
解析　log29×log34=×=×=4.
3.(log312-2log32)等于 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
答案　B
解析　∵log64+log63=log6+log63
=log62+log63=log66=1,
log312-2log32=log312-log34=log33=1,
∴(log312-2log32)=1.
4.已知log3x=m,log3y=n,則log3用m,n可表示為 (　　)
A.m-n B.m-n
C.- D.m-n
答案　D
解析　log3=log3-log3=log3-log3(y·=log3x-log3y
=m-n.
5.若2.5x=1 000,0.25y=1 000,則-等于 (　　)
A. B.3
C.- D.-3
答案　A
解析　由2.5x=1 000,0.25y=1 000得
x=log2.51 000=,y=log0.251 000=,
∴-=-=.
6.(多選)若log2m=log4n,則 (　　)
A.n=2m B.log9n=log3m
C.ln n=2ln m D.log2m=log8mn
答案　BCD
解析　因為log2m=log4n,所以m>0,n>0,又log2m=lon=log2n=log2,所以m=,即m2=n,故A錯誤;log9n=lom2=log3m=log3m,故B正確;ln n=ln m2=2ln m,故C正確;log8mn=lom3=log2m=log2m,故D正確.
7.(5分)log3+lg 4+lg 25+=　　　　.
答案　
解析　原式=+lg 102+1=+2+1=.
8.(5分)設log23·log36·log6m=log4(2m+8),則實數m=　　　　.
答案　4
解析　左邊=××=log2m=log4m2,所以m2=2m+8,解得m=4或m=-2(負值舍去).
9.(10分)計算下列各式的值:
(1)log535+2lo-log5-log514;(5分)
(2)(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).(5分)
解　(1)原式=log535+log550-log514+2lo
=log5+lo2=log553-1=2.
(2)方法一　原式=
=
=log25·3log52=13log25·=13.
方法二　原式=
=
=×=13.
10.(10分)若2a=3,3b=5,試用a與b表示log4572.
解　∵2a=3,3b=5,∴log23=a,log35=b,
∴log25=log23×log35=ab,
∴log4572==
==.
11.(多選)已知a,b均為正實數,若logab+logba=,則logab等于 (　　)
A. B.
C. D.2
答案　AD
解析　令logab=t,則logba=,即t+=,
所以2t2-5t+2=0,即(2t-1)(t-2)=0,
解得t=或t=2,
所以logab=或logab=2.
12.方程log3(x2-10)=1+log3x的解是 (　　)
A.-2 B.-2或5
C.5 D.3
答案　C
解析　原方程可化為log3(x2-10)=log3(3x),
所以x2-10=3x,
解得x=-2或x=5.
又解得x>,故x=5.
13.設log83=p,log35=q,則lg 5等于 (　　)
A.p2+q2 B.(3p+2q)
C. D.pq
答案　C
解析　∵log83===p,
∴lg 3=3plg 2.
∵log35==q,
∴lg 5=qlg 3=3pqlg 2=3pq(1-lg 5),
∴lg 5=.
14.(5分)計算:=　　　　.
答案　-4
解析　=
==-4.
15.設f(n)=logn+1(n+2)(n∈N+),現把滿足乘積f(1)·f(2)·…·f(n)為整數的n叫做“賀數”,則在區間(1,2 023)內所有“賀數”的個數是 (　　)
A.9 B.10
C.29 D.210
答案　A
解析　∵f(n)=logn+1(n+2)=,
∴f(1)·f(2)·…·f(n)=××…×==log2(n+2).
∵n∈(1,2 023),∴n+2∈(3,2 025).
∵210=1 024,211=2 048,
∴在(3,2 025)內含有22,23,…,210,共9個數.
∴在區間(1,2 023)內所有“賀數”的個數是9.
16.(12分)已知x,y,z為正數,3x=4y=6z,2x=py.
(1)求p;(6分)
(2)求證:-=.(6分)
(1)解　設3x=4y=6z=k(顯然k>0且k≠1),
則x=log3k,y=log4k,z=log6k,
由2x=py,得2log3k=plog4k=p·,
∵log3k≠0,∴p=2log34.
(2)證明　∵-=-=logk6-logk3
=logk2=logk4=,
∴-=.4.2.2　對數運算法則
[學習目標]　1.掌握對數的運算法則,理解其推導過程和成立條件.2.掌握換底公式及其推論.3.會運用對數運算法則進行一些簡單的化簡與證明.
一、對數的運算法則
問題1　將指數式M=ap,N=aq化為對數式,結合指數運算性質MN=apaq=ap+q能否將其化為對數式 它們之間有何聯系(用一個等式表示)
問題2　結合問題1,若==ap-q,又能得到什么結論
問題3　結合問題1,若Mn=(ap)n=anp(n∈R),又能有何結果
知識梳理
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R,那么
(1)loga(MN)=　　　　　　　　　　.
(2)logaMα=αlogaM.
(3)loga=　　　　　　　　　　　　.
為方便記憶,上述法則可表述為:積的對數等于對數之和,商的對數等于對數之差,冪的對數等于冪指數乘以冪的底數的對數.
例1　計算下列各式的值:
(1)log345-log35;
(2)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2;
(3)lg 14-2 lg+lg 7-lg 18;
(4)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.
反思感悟　利用對數運算法則化簡與求值的原則和方法
(1)基本原則:
①正用或逆用運算法則,對真數進行處理;
②選哪種策略化簡,取決于問題的實際情況,一般本著便于真數化簡的原則進行.
(2)兩種常用的方法:
①“收”,將同底的兩對數的和(差)收成積(商)的對數;
②“拆”,將積(商)的對數拆成同底的兩對數的和(差).
跟蹤訓練1　計算下列各式的值:
(1)2log23-log2+log27-;
(2)log3+lg 25+lg 4-log2(log216).
二、換底公式
問題4　上節課我們學習了對數的運算性質,但對于一些式子,比如log48,log927等式子的化簡求值問題還不能做到,你能解決這個問題嗎
問題5　是否對任意的logab都可以表示成logab=(a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1) 說出你的理由.
知識梳理
1.logab=(a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1).
2.對數換底公式的重要推論
(1)logaN=　　　　　　(N>0且N≠1,a>0且a≠1).
(2)bm=logab(a>0且a≠1,b>0,n≠0).
(3)logab·logbc·logcd=　　　　(a>0,b>0,c>0,d>0且a≠1,b≠1,c≠1).
例2　(1)計算:(log43+log83)log32=　　　　.
(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)
反思感悟　換底公式可實現不同底數的對數式之間的轉化,然后再運用對數運算法則進行同底數的對數運算.可正用、逆用;使用的關鍵是恰當選擇底數,換底的目的是利用對數的運算法則進行對數式的化簡.
跟蹤訓練2　已知log23=a,log37=b,用a,b表示log4256.
三、對數運算的綜合問題
例3　(1)設a=lg 2,b=lg 3,試用a,b表示lg.
(2)已知x,y,z為正數,若3x=4y=6z,求-的值.
反思感悟　(1)與對數相關的帶有附加條件的代數式求值問題,要整體把握對數式的結構特征,靈活運用指數式與對數式的互化.
(2)對于連等式可令其等于k(k>0),然后將指數式用對數式表示,再由換底公式可將指數的倒數化為同底的對數,從而使問題得解.
跟蹤訓練3　已知3a=4b=c,且+=2,求實數c的值.
1.知識清單:
(1)對數的運算法則.
(2)換底公式.
2.方法歸納:轉化法.
3.常見誤區:利用對數的運算法則化簡求值時忽略對數有意義的條件.
1.log5+log53等于 (　　)
A.0 B.1
C.-1 D.log5
2.計算:log232-2log24等于 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
3.若log5×log36×log6x=2,則x等于 (　　)
A.9 B.
C.25 D.
4.計算:+2lg 2-lg=　　　　.
答案精析
問題1　由M=ap,N=aq
得p=logaM,q=logaN.
由MN=ap+q得p+q=loga(MN).
從而得出loga(MN)=logaM+logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0).
問題2　將指數式=ap-q化為對數式,得
loga=p-q=logaM-logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0).
問題3　由Mn=anp,得logaMn=np=nlogaM(a>0且a≠1,M>0,n∈R).
知識梳理
(1)logaM+logaN
(3)logaM-logaN
例1　解　(1)原式=log3=log39=log332=2.
(2)原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+2lg 2
=lg 10(lg 5-lg 2)+2lg 2
=lg 5-lg 2+2lg 2=lg 5+lg 2=1.
(3)原式=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2)
=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0.
(4)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2
=2lg 10+(lg 5+lg 2)2
=2+(lg 10)2=2+1=3.
跟蹤訓練1　解　(1)原式=log29-log2+log27-2
=log2-2=3-2=1.
(2)原式=log33+lg(25×4)-2=+2-2=.
問題4　設log48=x,故有4x=8,
即22x=23,故x=,而log28=3,log24=2,于是我們大膽猜測log48=,同樣log927=.
問題5　依據當a>0且a≠1時,ax=N logaN=x推導得出.
令=x,
則logcb=xlogca=logcax,
故b=ax,
∴x=logab,∴logab=.
知識梳理
2.(1)　(3)logad
例2　(1)
解析　原式=log32
=log32=+=.
(2)解　因為18b=5,所以b=log185.
所以log3645=======.
跟蹤訓練2　解　因為log23=a,
所以=log32,
又因為log37=b,
所以log4256===.
例3　(1)解　因為108=4×27=22×33,
所以lg=lg 108=lg(22×33)
=lg 22+lg 33=lg 2+lg 3
=a+b.
(2)解　令3x=4y=6z=a(a>1),
所以x=log3a,y=log4a,z=log6a,
所以-=-=×-×=-==.
跟蹤訓練3　解　由題意知c>0且c≠1,由3a=4b=c,得a=log3c,
b=log4c,
所以==logc3,
==logc4.
又+=2,
所以logc3+logc4=logc12=2,
即c2=12,
所以c=2.
隨堂演練
1.A　2.A　3.D　4.

展開更多......

收起↑