資源簡介

4.2.3　對數函數的性質與圖象
第1課時　對數函數的概念、性質與圖象
[學習目標]　1.理解對數函數的概念,會求簡單對數函數的定義域.2.能畫出具體對數函數的圖象,并能根據對數函數的圖象說明對數函數的性質.
導語
同學們,還記得我們是如何研究指數函數的嗎 實際上,研究對數函數的思路和研究指數函數的思路是一致的,我們可以用類比的方法來研究對數函數.
一、對數函數的概念
問題1　你能解出指數方程2x=3嗎 你能把2y=x化成對數式嗎 x,y的范圍如何
提示　x=log23;y=log2x;x>0,y∈R.
知識梳理
對數函數的定義
一般地,函數y=logax稱為對數函數,其中a是常數,a>0且a≠1.
注意點:
(1)系數為1.
(2)底數為常數a(a>0且a≠1).
(3)變量x為真數.
例1　(1)下列函數中是對數函數的有 (　　)
A.y=lox2 B.y=log3(x-1)
C.y=log(x+1)x D.y=logπx
答案　D
解析　只有D滿足對數函數的定義.
(2)已知對數函數的圖象過點M(8,3),則f=　　　　.
答案　-1
解析　設f(x)=logax(a>0且a≠1),
由圖象過點M(8,3),得3=loga8,解得a=2.
所以對數函數的解析式為f(x)=log2x,
所以f=log2=-1.
反思感悟　判斷一個函數是否為對數函數的方法
判斷一個函數是對數函數必須是形如y=logax(a>0,且a≠1)的形式,即必須滿足以下條件:
(1)系數為1.
(2)底數為大于0且不等于1的常數.
(3)對數的真數僅有自變量x.
跟蹤訓練1　(1)若函數f(x)=(a2-a+1)·log(a+1)x是對數函數,則實數a=　　　　.
答案　1
解析　由a2-a+1=1,解得a=1或a=0,
又a+1>0,且a+1≠1,所以a=1.
(2)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,且當x∈(0,+∞)時,f(x)=log2x,則f(-8)=　　　　.
答案　-3
解析　因為f(x)是定義在R上的奇函數,
所以f(-8)=-f(8)=-log28=-3.
二、簡單對數函數的圖象
問題2　請同學們利用列表、描點、連線的畫圖步驟,先完成下列表格,再在同一坐標系下畫出對數函數y=log2x和y=x的函數圖象.
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 …
y=log2x … …
y=x … …
提示　(1)-2　-1　0　1　2　3　4　5
2　1　0　　-1　-2　-3　-4　-5
(2)描點、連線.
問題3　為了更好地研究對數函數的性質,我們特別選取了底數a=3,4,,你能在同一坐標系下作出它們的函數圖象嗎
提示　
知識梳理
對數函數的圖象
y=logax (a>0且a≠1)
底數 a>1 0圖象
注意點:
(1)函數圖象只出現在y軸右側.
(2)對任意底數a,當x=1時,y=0,故過定點(1,0).
(3)任意底數互為倒數的兩個對數函數的圖象關于x軸對稱.
例2　(1)如圖所示,曲線是對數函數y=logax的圖象,已知a取,則對應于c1,c2,c3,c4的a值依次為 (　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　方法一　觀察在(1,+∞)上的圖象,先排c1,c2底數的順序,底數都大于1,當x>1時圖象靠近x軸的底數大,c1,c2對應的a值分別為.然后考慮c3,c4底數的順序,底數都小于1,當x<1時圖象靠近x軸的底數小,c3,c4對應的a值分別為.綜合以上分析,可得c1,c2,c3,c4的a值依次為.
方法二　如圖,作直線y=1與四條曲線交于四點,由y=logax=1,得x=a(即交點的橫坐標等于底數),所以橫坐標小的底數小,所以c1,c2,c3,c4對應的a值分別為.
(2)函數y=lg(x+1)的大致圖象是 (　　)
答案　C
解析　由底數大于1可排除A,B,y=lg(x+1)可看作是y=lg x的圖象向左平移1個單位.(或令x=0得y=0,而且函數為增函數)
反思感悟　函數y=logax(a>0且a≠1)的底數變化對圖象位置的影響(如圖)
(1)上下比較:在直線x=1的右側,a>1時,a越大,圖象越靠近x軸,0(2)左右比較:比較圖象與y=1的交點,交點的橫坐標越大,對應的對數函數的底數越大.
跟蹤訓練2　(1)函數y=loga(x+2)+1的圖象過定點 (　　)
A.(1,2) B.(2,1)
C.(-2,1) D.(-1,1)
答案　D
解析　令x+2=1,即x=-1,
得y=loga1+1=1,
故函數y=loga(x+2)+1的圖象過定點(-1,1).
(2)如圖,若C1,C2分別為函數y=logax和y=logbx的圖象,則 (　　)
A.0B.0C.a>b>1
D.b>a>1
答案　B
解析　作直線y=1(圖略),則直線y=1與C1,C2的交點的橫坐標分別為a,b,易知0三、簡單對數函數的性質
知識梳理
函數y=logax(a>0且a≠1)的圖象和性質
a>1 0圖象
性質 定義域 (0,+∞)
值域 R
單調性 在(0,+∞)上是增函數 在(0,+∞)上是減函數
過定點 圖象過定點(1,0),即當x=1時,y=0
函數值 的變化 當x∈(0,1)時,y∈(-∞,0);當x∈[1,+∞)時,y∈[0,+∞) 當x∈(0,1)時,y∈(0,+∞);當x∈[1,+∞)時,y∈(-∞,0]
對稱性 函數y=logax與y=lox的圖象關于x軸對稱
例3　求下列函數的定義域:
(1)y=loga(3-x)+loga(3+x);
(2)y=;
(3)y=.
解　(1)由題意得
解得-3因此函數y=loga(3-x)+loga(3+x)的定義域為(-3,3).
(2)由題意得
即解得x≤1.
因此函數y=的定義域為(-∞,1].
(3)要使函數有意義,需滿足
即
解得-1因此函數y=的定義域為(-1,0).
反思感悟　求對數型函數的定義域需注意:
(1)真數大于0.
(2)底數大于零且不等于1.
(3)當對數出現在分母上時,真數除了大于0,還不能為1.
跟蹤訓練3　求下列函數的定義域:
(1)y=;
(2)y=log2(16-4x).
解　(1)要使函數有意義,需
解得
即-3故所求函數的定義域為(-3,-2)∪[2,+∞).
(2)要使函數有意義,需16-4x>0,得4x<16=42,
由指數函數的單調性得x<2,
∴函數y=log2(16-4x)的定義域為{x|x<2}.
1.知識清單:
(1)對數函數的概念.
(2)對數函數的圖象.
(3)對數函數的性質.
2.方法歸納:定義法、數形結合法.
3.常見誤區:對數函數底數有限制條件易忽視.
1.(多選)下列函數是對數函數的是 (　　)
A.y=loga(2x)
B.y=log(2a-1)x
C.y=log2x+1
D.y=lg x
答案　BD
解析　選項A,C中的函數都不具有“y=logax(a>0且a≠1)”的形式.
2.對數函數的圖象過點M(16,4),則此對數函數的解析式為 (　　)
A.y=log4x B.y=lox
C.y=lox D.y=log2x
答案　D
解析　設該函數為y=logax(a>0且a≠1),由于對數函數的圖象過點M(16,4),所以4=loga16,解得a=2.所以對數函數的解析式為y=log2x.
3.已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,且當x>0時,f(x)=ln(x+1),則函數f(x)的圖象為 (　　)
答案　D
解析　由f(x)是R上的奇函數,即函數圖象關于原點對稱,排除A,B;又x>0時,f(x)=ln(x+1),排除C.
4.函數f(x)=的定義域為　　　　.
答案　∪(0,+∞)
解析　由題意得
解得x>-且x≠0,所以函數f(x)的定義域為∪(0,+∞).
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共35分;多選題每小題6分,共6分
1.下列函數是對數函數的是 (　　)
A.y=log2x B.y=ln(x+1)
C.y=logxe D.y=logxx
答案　A
解析　由對數函數的特征可得只有A選項符合.
2.函數y=|log2x|的圖象是 (　　)
答案　B
解析　此函數圖象過點(1,0),且函數值為非負.
3.函數y=ln(1-x)的定義域為 (　　)
A.(0,1) B.[0,1)
C.(0,1] D.[0,1]
答案　B
解析　因為y=ln(1-x),
所以
解得0≤x<1.
4.函數y=ax與y=-logax(a>0且a≠1)在同一坐標系中的圖象形狀可能是 (　　)
答案　A
解析　函數y=-logax恒過定點(1,0),排除B項;
當a>1時,y=ax是增函數,y=-logax是減函數,排除C項;
當05.如圖,函數f(x)的圖象為折線ACB,則不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是 (　　)
A.{x|-1B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|-1D.{x|-1答案　C
解析　令g(x)=y=log2(x+1),函數g(x)的定義域為(-1,+∞),作出函數g(x)的圖象,如圖,
由
得
結合圖象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集為{x|-16.(多選)已知函數f(x)=loga(1-x)(a>0且a≠1),下列關于f(x)的說法正確的是 (　　)
A.f(x)的定義域是(-∞,1)
B.f(x)的值域是R
C.f(x)的圖象過原點
D.當a>1時,f(x)在定義域上是增函數
答案　ABC
解析　對于A,函數f(x)=loga(1-x)(a>0且a≠1),由1-x>0,解得x<1,所以函數f(x)的定義域是(-∞,1),故A正確;對于B,1-x>0,函數f(x)的值域是R,故B正確;對于C,因為f(0)=loga1=0,所以函數f(x)的圖象過原點,故C正確;對于D,當a>1時,令函數u=1-x,則u在(-∞,1)上為減函數,又y=logau為增函數,所以函數f(x)在定義域上是減函數,故D錯誤.
7.(5分)若函數f(x)=loga(x+3)+(a>0且a≠1)的圖象恒過定點P,且點P在函數y=bx(b>0且b≠1)上,則b=　　　　.
答案　
解析　因為f(x)=loga(x+3)+恒過定點P,
所以b-2=,又b>0,b≠1,解得b=.
8.(5分)函數y=lg(x2+2x+a)的定義域為R,則實數a的取值范圍為　　　　.
答案　(1,+∞)
解析　因為函數的定義域為R,即x2+2x+a>0,對 x∈R恒成立,
所以Δ=4-4a<0,解得a>1,
所以實數a的取值范圍為(1,+∞).
9.(10分)若函數y=loga(x+a)(a>0且a≠1)的圖象過點(-1,0).
(1)求a的值;(5分)
(2)求函數的定義域.(5分)
解　(1)將(-1,0)代入y=loga(x+a)(a>0且a≠1)中,
有0=loga(-1+a),則-1+a=1,所以a=2.
(2)由(1)知y=log2(x+2),
由x+2>0,解得x>-2,
所以函數的定義域為(-2,+∞).
10.(12分)已知函數f(x)=lg|x|.
(1)判斷函數f(x)的奇偶性;(4分)
(2)畫出函數f(x)的草圖;(4分)
(3)寫出函數f(x)的單調區間.(4分)
解　(1)要使函數有意義,x的取值需滿足|x|>0,解得x≠0,
即函數的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).
又f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),
∴f(-x)=f(x).
∴函數f(x)是偶函數.
(2)由(1)知函數f(x)是偶函數,則其圖象關于y軸對稱,如圖所示.
(3)由圖可得函數f(x)的單調遞減區間是(-∞,0),單調遞增區間是(0,+∞).
11.已知函數f(x)=的值域為R,則實數a的取值范圍是 (　　)
A.(-∞,-4] B.(-4,1)
C.[-4,1) D.(0,1)
答案　C
解析　當x≥1時,f(x)=ln x-2a在(1,+∞)上為增函數,∴當x≥1時,f(x)≥f(1)=-2a,
∵f(x)的值域為R,∴當x<1時,f(x)=(1-a)x+3的值域需包含(-∞,-2a),
∴解得-4≤a<1.
∴實數a的取值范圍是[-4,1).
12.已知函數f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直線y=a(a<0)與這三個函數圖象的交點的橫坐標分別是x1,x2,x3,則x1,x2,x3的大小關系是 (　　)
A.x2C.x1答案　A
解析　分別作出三個函數的大致圖象和直線y=a,如圖所示.
由圖可知,x213.(5分)函數f(x)=的定義域為(0,10],則實數a的值為　　　　.
答案　1
解析　由已知,得a-lg x≥0的解集為(0,10],
由a-lg x≥0,得lg x≤a,
又當014.(5分)函數y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A,若點A在函數y=-x-的圖象上,其中m>0,n>0,則+的最小值為　　　　.
答案　8
解析　∵x=-2時,y=loga1-1=-1,
∴函數y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A(-2,-1),
∵點A在函數y=-x-的圖象上,
∴-2m-n+1=0,即2m+n=1,
∵m>0,n>0,
∴+=(2m+n)=2+++2
≥4+2·=8,
當且僅當m=,n=時取等號.
15.(5分)如圖,四邊形OABC是面積為8的平行四邊形,OC⊥AC,AC與BO交于點E.某對數函數y=logax(a>0且a≠1)的圖象經過點E和點B,則a=　　　　.
答案　
解析　設點E(b,c),則C(b,0),A(b,2c),B(2b,2c).
則解得b=c=2,a=.
16.(12分)已知f(x)=log2(x+1),當點(x,y)在函數y=f(x)的圖象上時,點在函數y=g(x)的圖象上.
(1)寫出y=g(x)的解析式;(6分)
(2)求方程f(x)-g(x)=0的根.(6分)
解　(1)依題意得
則g=log2(x+1),
故g(x)=log2(3x+1).
(2)由f(x)-g(x)=0得,
log2(x+1)=log2(3x+1),
所以解得x=0或x=1.4.2.3　對數函數的性質與圖象
第1課時　對數函數的概念、性質與圖象
[學習目標]　1.理解對數函數的概念,會求簡單對數函數的定義域.2.能畫出具體對數函數的圖象,并能根據對數函數的圖象說明對數函數的性質.
一、對數函數的概念
問題1　你能解出指數方程2x=3嗎 你能把2y=x化成對數式嗎 x,y的范圍如何
知識梳理
對數函數的定義
一般地,函數　　　　　　稱為對數函數,其中a是常數,a>0且a≠1.
例1　(1)下列函數中是對數函數的有 (　　)
A.y=lox2 B.y=log3(x-1)
C.y=log(x+1)x D.y=logπx
(2)已知對數函數的圖象過點M(8,3),則f=　　　　.
反思感悟　判斷一個函數是否為對數函數的方法
判斷一個函數是對數函數必須是形如y=logax(a>0,且a≠1)的形式,即必須滿足以下條件:
(1)系數為1.
(2)底數為大于0且不等于1的常數.
(3)對數的真數僅有自變量x.
跟蹤訓練1　(1)若函數f(x)=(a2-a+1)·log(a+1)x是對數函數,則實數a=　　　　.
(2)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,且當x∈(0,+∞)時,f(x)=log2x,則f(-8)=　　　　.
二、簡單對數函數的圖象
問題2　請同學們利用列表、描點、連線的畫圖步驟,先完成下列表格,再在同一坐標系下畫出對數函數y=log2x和y=x的函數圖象.
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 …
y=log2x … …
y=x … …
問題3　為了更好地研究對數函數的性質,我們特別選取了底數a=3,4,,你能在同一坐標系下作出它們的函數圖象嗎
知識梳理
對數函數的圖象
y=logax (a>0且a≠1)
底數 a>1 0圖象
例2　(1)如圖所示,曲線是對數函數y=logax的圖象,已知a取,則對應于c1,c2,c3,c4的a值依次為 (　　)
A. B.
C. D.
(2)函數y=lg(x+1)的大致圖象是 (　　)
反思感悟　函數y=logax(a>0且a≠1)的底數變化對圖象位置的影響(如圖)
(1)上下比較:在直線x=1的右側,a>1時,a越大,圖象越靠近x軸,0(2)左右比較:比較圖象與y=1的交點,交點的橫坐標越大,對應的對數函數的底數越大.
跟蹤訓練2　(1)函數y=loga(x+2)+1的圖象過定點 (　　)
A.(1,2) B.(2,1) C.(-2,1) D.(-1,1)
(2)如圖,若C1,C2分別為函數y=logax和y=logbx的圖象,則 (　　)
A.0B.0C.a>b>1
D.b>a>1
三、簡單對數函數的性質
知識梳理
函數y=logax(a>0且a≠1)的圖象和性質
a>1 0圖象
性質 定義域
值域
單調性 在(0,+∞)上是　　　函數 在(0,+∞)上是　　　函數
性質 過定點 圖象過定點　　　　　　　, 即當x=1時,y=0
函數值 的變化 當x∈(0,1)時,y∈　　　　;當x∈[1,+∞)時,y∈　　　　　 當x∈(0,1)時,y∈　　　　　;當x∈[1,+∞)時,y∈　　　　　
對稱性 函數y=logax與y=lox的圖象關于　　　　對稱
例3　求下列函數的定義域:
(1)y=loga(3-x)+loga(3+x);
(2)y=;　(3)y=.
反思感悟　求對數型函數的定義域需注意:
(1)真數大于0.
(2)底數大于零且不等于1.
(3)當對數出現在分母上時,真數除了大于0,還不能為1.
跟蹤訓練3　求下列函數的定義域:
(1)y=;
(2)y=log2(16-4x).
1.知識清單:
(1)對數函數的概念.
(2)對數函數的圖象.
(3)對數函數的性質.
2.方法歸納:定義法、數形結合法.
3.常見誤區:對數函數底數有限制條件易忽視.
1.(多選)下列函數是對數函數的是 (　　)
A.y=loga(2x)
B.y=log(2a-1)x
C.y=log2x+1
D.y=lg x
2.對數函數的圖象過點M(16,4),則此對數函數的解析式為 (　　)
A.y=log4x B.y=lox
C.y=lox D.y=log2x
3.已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,且當x>0時,f(x)=ln(x+1),則函數f(x)的圖象為 (　　)
4.函數f(x)=的定義域為　　　　　　　　　　　　　.
答案精析
問題1　x=log23;y=log2x;x>0,y∈R.
知識梳理
y=logax
例1　(1)D　(2)-1　
跟蹤訓練1　(1)1　(2)-3
問題2　(1)-2　-1
0　1　2　3　4　5
2　1　0　　-1
-2　-3　-4　-5
(2)描點、連線.
問題3
例2　(1)A　(2)C
跟蹤訓練2　(1)D　(2)B
知識梳理
(0,+∞)　R　增　減　(1,0)
(-∞,0)　[0,+∞)
(0,+∞)　(-∞,0]　x軸
例3　解　(1)由題意得
解得-3因此函數y=loga(3-x)+loga(3+x)的定義域為(-3,3).
(2)由題意得
即解得x≤1.
因此函數y=的定義域為(-∞,1].
(3)要使函數有意義,需滿足
即
解得-1因此函數y=的定義域為(-1,0).
跟蹤訓練3　解　(1)要使函數有意義,需
解得
即-3故所求函數的定義域為
(-3,-2)∪[2,+∞).
(2)要使函數有意義,需16-4x>0,得4x<16=42,
由指數函數的單調性得x<2,
∴函數y=log2(16-4x)的定義域為{x|x<2}.
隨堂演練
1.BD　2.D　3.D
4.∪(0,+∞)

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