資源簡介

第2課時　對數函數的圖象與性質的應用
[學習目標]　1.進一步理解對數函數的圖象和性質.2.能運用對數函數的圖象與性質解決和對數函數相關的綜合性問題.
導語
通過本節課的學習,進一步理解對數函數的圖象和性質,并能利用對數函數的圖象和性質解決比較大小、解不等式、判斷單調性、求最值等綜合問題.
一、對數函數圖象的辨識
例1　已知y=lg x的圖象如圖所示,由圖象作出y=lg|x|和y=|lg x|的圖象,并解答以下問題:
(1)函數y=lg|x| (　　)
A.是偶函數,在區間(-∞,0)上單調遞增
B.是偶函數,在區間(-∞,0)上單調遞減
C.是奇函數,在區間(0,+∞)上單調遞增
D.是奇函數,在區間(0,+∞)上單調遞減
答案　B
解析　作出y=lg|x|的圖象如圖(1)所示.
從圖可以看出,選項B正確.
(2)函數f(x)=|lg x|,若0f(b).
證明:ab<1.
證明　作出y=|lg x|的圖象如圖(2)所示,由圖可以看出,若0f(b),此時有ab<1成立;
若0則f(a)=|lg a|=-lg a,
f(b)=|lg b|=lg b.
因為f(a)>f(b),所以-lg a>lg b,
即lg a+lg b<0,
lg(ab)<0,所以ab<1;
若1f(b)相矛盾.
綜上可知,當0f(b)時,
ab<1.
反思感悟　(1)對有關對數函數的圖象問題,一般是從基本初等函數的圖象入手,通過平移、伸縮、對稱變化得到所要求的函數圖象.特別地,當底數與1的大小關系不確定時應注意分類討論.
(2)常見的函數圖象的變換技巧
①平移符合“左加右減,上加下減”的規律.
②y=f(x)y=f(|x|).
③y=f(x)y=|f(x)|.
④y=f(x)y=f(-x).
⑤y=f(x)y=-f(x).
⑥y=f(x)y=-f(-x).
跟蹤訓練1　(1)已知a>0且a≠1,則函數y=ax與y=loga(-x)的圖象可能是 (　　)
答案　B
解析　若0若a>1,則函數y=ax為增函數且過點(0,1),函數y=loga(-x)為減函數且過點(-1,0).故只有選項B中的圖象符合.
(2)已知函數f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的圖象如圖所示,則函數g(x)=b+logax的圖象大致是 (　　)
答案　D
解析　由函數f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的圖象可知0因為b<-1,所以函數g(x)=b+logax的圖象與x軸的交點位于(0,0)與(1,0)之間.
二、對數函數性質的應用
例2　(1)比較下列各組中兩個值的大小:
①ln 0.3,ln 2;
②loga3.1,loga5.2(a>0且a≠1);
③log30.2,log40.2;
④log3π,logπ3.
解　①因為函數y=ln x在(0,+∞)上是增函數,且0.3<2,所以ln 0.3②當a>1時,函數y=logax在(0,+∞)上是增函數,
又3.1<5.2,所以loga3.1當0又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.
綜上所述,當a>1時,loga3.1當0loga5.2.
③因為0>log0.23>log0.24,所以<,
即log30.2④因為函數y=log3x在(0,+∞)上是增函數,
且π>3,
所以log3π>log33=1.
同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3.
(2)求lox>lo(4-x)關于x的解集.
解　由題意得
解得0所以原不等式的解集為{x|0反思感悟　(1)比較對數值大小時常用的4種方法
①若底數為同一常數,則可由對數函數的單調性直接進行比較.
②若底數為同一字母,則根據底數對對數函數單調性的影響,對底數進行分類討論.
③若底數不同,真數相同,則可以先用換底公式化為同底后,再進行比較,也可以利用順時針方向底數增大畫出對數函數的圖象,再進行比較.
④若底數與真數都不同,則常借助1,0等中間量進行比較.
(2)常見對數不等式的2種解法
①形如logax>logab的不等式,借助y=logax的單調性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0②形如logax>b的不等式,應將b化為以a為底數的對數式的形式,再借助y=logax的單調性求解.
跟蹤訓練2　(1)已知a=,b=log2,c=lo,則 (　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
答案　D
解析　∵0lo=1,∴c>a>b.
(2)若loga<1(a>0且a≠1),求實數a的取值范圍.
解　loga<1,即loga當a>1時,函數y=logax在定義域內是增函數,
所以loga當0由loga所以實數a的取值范圍為∪(1,+∞).
三、對數函數的綜合問題
例3　(1)求函數y=lo(1-x2)的單調遞增區間,并求函數的最小值.
解　要使y=lo(1-x2)有意義,則1-x2>0,
所以x2<1,即-1因此函數y=lo(1-x2)的定義域為(-1,1).
令t=1-x2,x∈(-1,1).
當x∈(-1,0]時,若x增大,
則t增大,y=lot減小,
所以當x∈(-1,0]時,y=lo(1-x2)是減函數;
同理當x∈[0,1)時,y=lo(1-x2)是增函數.
故函數y=lo(1-x2)的單調遞增區間為[0,1),且函數的最小值ymin=lo(1-02)=0.
(2)已知函數f(x)=loga(a>0且a≠1).
①求f(x)的定義域;
②判斷函數的奇偶性和單調性.
解　①要使此函數有意義,
則有>0,即(x+1)(x-1)>0,
解得x>1或x<-1,
故此函數的定義域為(-∞,-1)∪(1,+∞).
②f(-x)=loga=loga
=-loga=-f(x).
又由①知f(x)的定義域關于原點對稱,
所以f(x)為奇函數.
f(x)=loga=loga,
函數u=1+在區間(-∞,-1)和區間(1,+∞)上單調遞減.
所以當a>1時,f(x)=loga在(-∞,-1),(1,+∞)上單調遞減;
當0反思感悟　(1)解決對數型復合函數的單調性問題的關鍵:一是要注意其定義域;二是看底數是否需要進行分類討論;三是利用換元法解決復合函數單調性與最值問題;四是運用同增異減來判斷復合函數單調性.
(2) 判斷函數的奇偶性,應先求出定義域,看是否關于原點對稱,再利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)判斷是奇函數還是偶函數.
跟蹤訓練3　(1)求下列函數的值域:
①y=log2(x2+4);
②y=lo(3+2x-x2).
解　①y=log2(x2+4)的定義域為R.
因為x2+4≥4,所以log2(x2+4)≥log24=2.
所以y=log2(x2+4)的值域為[2,+∞).
②設u=3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4.
因為u>0,所以0又y=lou在(0,4]上為減函數,
所以lou≥lo4=-2,
所以y=lo(3+2x-x2)的值域為[-2,+∞).
(2)已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=f2(x)+f(x2)的最大值及y取最大值時x的值.
解　∵f(x)=2+log3x,
∴y=f2(x)+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2
=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3.
∵函數f(x)的定義域為[1,9],
∴要使函數y=f2(x)+f(x2)有意義,必須滿足∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1,
∴6≤(log3x+3)2-3≤13,
∴函數y=f2(x)+f(x2)取得最大值13,此時x=3.
1.知識清單:
(1)對數值的大小比較.
(2)利用單調性解對數不等式.
(3)求對數型復合函數的單調區間或值域.
(4)對數函數的綜合應用.
2.方法歸納:換元法、分類討論法.
3.常見誤區:求對數型復合函數的單調性易忽視定義域.
1.若lg(2x-4)≤1,則x的取值范圍是 (　　)
A.(-∞,7] B.(2,7]
C.[7,+∞) D.(2,+∞)
答案　B
解析　因為lg(2x-4)≤1,所以0<2x-4≤10,
解得22.函數f(x)=log2|2x-4|的圖象為 (　　)
答案　A
解析　函數f(x)=log2|2x-4|的圖象可以看作是將函數y=log2|2x|的圖象向右平移2個單位得到的.
3.若a=20.2,b=log43.2,c=log20.5,則 (　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
答案　A
解析　∵a=20.2>1>b=log43.2>0>c=-1,
∴a>b>c.
4.函數f(x)=的值域為　　　　.
答案　(-∞,2)
解析　當x≥1時,lox≤lo1=0,
所以當x≥1時,f(x)≤0,
當x<1時,0<2x<21,即0因此函數f(x)的值域為(-∞,2).
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共35分;多選題每小題6分,共6分
1.已知實數a=log45,b=,c=log30.4,則a,b,c的大小關系為 (　　)
A.bC.c答案　D
解析　由題意知,a=log45>1,b==1,
c=log30.4<0,故c2.若ax≥1的解集為{x|x≤0}且函數y=loga(x2+2)的最大值為-1,則實數a的值為 (　　)
A.2 B.
C.3 D.
答案　B
解析　因為ax≥1=a0的解集為{x|x≤0},所以03.(多選)使lo(2x-3)>-2成立的一個充分不必要條件是 (　　)
A.x> B.x<或x>3
C.2答案　CD
解析　∵lo(2x-3)>-2=lo=lo4,
∴0<2x-3<4,解得不等式的解集為.
根據題意,題目答案所對應的集合必須是所求集合的真子集.故選C,D.
4.已知函數f(x)=|lox|的定義域為,值域為[0,1],則m的取值范圍為 (　　)
A.[1,2] B.(1,2]
C.[1,2) D.(1,2)
答案　A
解析　作出f(x)=|lox|的圖象(如圖)可知,
f=f(2)=1,f(1)=0,
由題意結合圖象知1≤m≤2.
5.函數y=lo(-3+4x-x2)的單調遞增區間是 (　　)
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(1,2) D.(2,3)
答案　D
解析　由-3+4x-x2>0,得x2-4x+3<0,
得1設t=-3+4x-x2(1∵函數y=lot為減函數,
∴要求函數y=lo(-3+4x-x2)的單調遞增區間,
即求函數t=-3+4x-x2,1∵函數t=-3+4x-x2,1∴函數y=lo(-3+4x-x2)的單調遞增區間是(2,3).
6.若函數f(x)=ln(ax-2)在(1,+∞)上單調遞增,則實數a的取值范圍為 (　　)
A.(0,+∞) B.(2,+∞)
C.(0,2] D.[2,+∞)
答案　D
解析　令u=ax-2,則函數y=ln u在(0,+∞)上單調遞增,而函數f(x)=ln(ax-2)在(1,+∞)上單調遞增,則函數u=ax-2在(1,+∞)上單調遞增,且 x>1,ax-2>0,因此解得a≥2,所以實數a的取值范圍為[2,+∞).
7.(5分)函數y=lo(1-3x)的值域為　　　　.
答案　(0,+∞)
解析　因為3x>0,所以-3x<0,所以1-3x<1.
設t=1-3x,0又y=lot是關于t的減函數,
所以y=lot>lo1=0,
即所求函數值域為(0,+∞).
8.(5分)設a>1,函數f(x)=logax在區間[a,2a]上的最大值與最小值之差為,則a=　　　　.
答案　4
解析　因為a>1,
所以f(x)=logax在[a,2a]上單調遞增,
所以loga(2a)-logaa=,
即loga2=,
所以=2,解得a=4.
9.(10分)已知f(x)=log4(4x-1).
(1)求f(x)的定義域;(3分)
(2)討論f(x)的單調性;(3分)
(3)求f(x)在區間上的值域.(4分)
解　(1)由4x-1>0,解得x>0,
因此f(x)的定義域為(0,+∞).
(2)設0因此log4(-1)即f(x1)故f(x)在(0,+∞)上單調遞增.
(3)由(2)知f(x)在區間上單調遞增,
又f=0,f(2)=log415,
因此f(x)在上的值域為[0,log415].
10.(12分)已知函數f(x)=lo(x2-2ax+3).
(1)當a=-1時,求函數f(x)的值域;(6分)
(2)若函數f(x)的值域為R,求實數a的取值范圍.(6分)
解　(1)當a=-1時,f(x)=lo(x2+2x+3),
∵x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,
∴lo(x2+2x+3)≤lo 2=-1,
∴函數f(x)的值域為(-∞,-1].
(2)要使函數f(x)的值域為R,則y=x2-2ax+3的值域包含(0,+∞),即與x軸有交點,
∴Δ=(-2a)2-4×1×3≥0,
解得a≤-或a≥,
∴實數a的取值范圍為(-∞,-]∪[,+∞).
11.若函數f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0且a≠1)在R上既是奇函數,又是增函數,則g(x)=loga(x+k)的大致圖象是 (　　)
答案　B
解析　∵函數f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0且a≠1)在R上是奇函數,
∴f(0)=0,∴k=2,
經檢驗k=2滿足題意,
又函數為增函數,
∴a>1,∴g(x)=loga(x+2),
定義域為{x|x>-2},且為增函數.
12.若兩個函數的圖象經過平移后能夠重合,則稱這兩個函數為“同形函數”.給出下列四個函數:f1(x)=2log2(x+1),f2(x)=log2(x+2),f3(x)=log2x2,f4(x)=log2(2x),則是“同形函數”的是 (　　)
A.f2(x)與f4(x) B.f1(x)與f3(x)
C.f1(x)與f4(x) D.f3(x)與f4(x)
答案　A
解析　∵f4(x)=log2(2x)=1+log2x,
∴f2(x)=log2(x+2)的圖象沿著x軸先向右平移2個單位,得到y=log2x的圖象,然后再沿著y軸向上平移1個單位,得到f4(x)=log2(2x)=1+log2x的圖象,根據“同形函數”的定義,可知選A.
13.(5分)已知函數f(x)=直線y=a與函數f(x)的圖象恒有兩個不同的交點,則a的取值范圍是　　　　.
答案　(0,1]
解析　函數f(x)的圖象如圖所示,
要使y=a與f(x)的圖象有兩個不同交點,則014.(5分)當0答案　
解析　易知0,解得a>,所以15.(5分)已知f(x)是定義在R上的偶函數,且在[0,+∞)上為增函數,f=0,則不等式f(lox)>0的解集為　　　　.
答案　∪(2,+∞)
解析　∵f(x)是R上的偶函數,
∴它的圖象關于y軸對稱.
∵f(x)在[0,+∞)上為增函數,
∴f(x)在(-∞,0]上為減函數,
作出函數圖象如圖所示.
由f=0,得f=0.
∴f(lox)>0 lox<-或lox> x>2或0∴x∈∪(2,+∞).
16.(12分)已知函數f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).
(1)用定義證明f(x)在定義域上是增函數;(6分)
(2)求不等式f(2x-5)+f(2-x)<0的解集.(6分)
(1)證明　由對數函數的定義得
解得
即-1設-1則f(x1)-f(x2)=lg(1+x1)-lg(1-x1)-lg(1+x2)+lg(1-x2)=lg .
∵-1∴0<1+x1<1+x2,
0<1-x2<1-x1,
于是0<<1,0<<1,
則0<<1,
∴lg<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)即函數f(x)是(-1,1)上的增函數.
(2)解　∵f(x)的定義域為(-1,1),
f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x),
∴f(x)為奇函數.
∴不等式f(2x-5)+f(2-x)<0可轉化為f(2x-5)<-f(2-x)=f(x-2),
∵f(x)在(-1,1)上是增函數,
∴
解得2∴不等式的解集為{x|2[學習目標]　1.進一步理解對數函數的圖象和性質.2.能運用對數函數的圖象與性質解決和對數函數相關的綜合性問題.
一、對數函數圖象的辨識
例1　已知y=lg x的圖象如圖所示,由圖象作出y=lg|x|和y=|lg x|的圖象,并解答以下問題:
(1)函數y=lg|x| (　　)
A.是偶函數,在區間(-∞,0)上單調遞增
B.是偶函數,在區間(-∞,0)上單調遞減
C.是奇函數,在區間(0,+∞)上單調遞增
D.是奇函數,在區間(0,+∞)上單調遞減
(2)函數f(x)=|lg x|,若0f(b).證明:ab<1.
反思感悟　(1)對有關對數函數的圖象問題,一般是從基本初等函數的圖象入手,通過平移、伸縮、對稱變化得到所要求的函數圖象.特別地,當底數與1的大小關系不確定時應注意分類討論.
(2)常見的函數圖象的變換技巧
①平移符合“左加右減,上加下減”的規律.
②y=f(x)y=f(|x|).
③y=f(x)y=|f(x)|.
④y=f(x)y=f(-x).
⑤y=f(x)y=-f(x).
⑥y=f(x)y=-f(-x).
跟蹤訓練1　(1)已知a>0且a≠1,則函數y=ax與y=loga(-x)的圖象可能是 (　　)
(2)已知函數f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的圖象如圖所示,則函數g(x)=b+logax的圖象大致是 (　　)
二、對數函數性質的應用
例2　(1)比較下列各組中兩個值的大小:
①ln 0.3,ln 2;
②loga3.1,loga5.2(a>0且a≠1);
③log30.2,log40.2;
④log3π,logπ3.
(2)求lox>lo(4-x)關于x的解集.
反思感悟　(1)比較對數值大小時常用的4種方法
①若底數為同一常數,則可由對數函數的單調性直接進行比較.
②若底數為同一字母,則根據底數對對數函數單調性的影響,對底數進行分類討論.
③若底數不同,真數相同,則可以先用換底公式化為同底后,再進行比較,也可以利用順時針方向底數增大畫出對數函數的圖象,再進行比較.
④若底數與真數都不同,則常借助1,0等中間量進行比較.
(2)常見對數不等式的2種解法
①形如logax>logab的不等式,借助y=logax的單調性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0②形如logax>b的不等式,應將b化為以a為底數的對數式的形式,再借助y=logax的單調性求解.
跟蹤訓練2　(1)已知a=,b=log2,c=lo,則 (　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
(2)若loga<1(a>0且a≠1),求實數a的取值范圍.
三、對數函數的綜合問題
例3　(1)求函數y=lo(1-x2)的單調遞增區間,并求函數的最小值.
(2)已知函數f(x)=loga(a>0且a≠1).
①求f(x)的定義域;
②判斷函數的奇偶性和單調性.
跟蹤訓練3　(1)求下列函數的值域:
①y=log2(x2+4);
②y=lo(3+2x-x2).
(2)已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=f2(x)+f(x2)的最大值及y取最大值時x的值.
1.知識清單:
(1)對數值的大小比較.
(2)利用單調性解對數不等式.
(3)求對數型復合函數的單調區間或值域.
(4)對數函數的綜合應用.
2.方法歸納:換元法、分類討論法.
3.常見誤區:求對數型復合函數的單調性易忽視定義域.
1.若lg(2x-4)≤1,則x的取值范圍是 (　　)
A.(-∞,7] B.(2,7]
C.[7,+∞) D.(2,+∞)
2.函數f(x)=log2|2x-4|的圖象為 (　　)
3.若a=20.2,b=log43.2,c=log20.5,則 (　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
4.函數f(x)=的值域為　　　　.
答案精析
例1　(1)B
(2)證明　作出y=|lg x|的圖象如圖(2)所示,
由圖可以看出,
若0f(b),此時有
ab<1成立;
若0則f(a)=|lg a|=-lg a,
f(b)=|lg b|=lg b.
因為f(a)>f(b),所以-lg a>lg b,
即lg a+lg b<0,
lg(ab)<0,所以ab<1;
若1f(b)相矛盾.
綜上可知,當0f(b)時,
ab<1.
跟蹤訓練1　(1)B　(2)D
例2　(1)解　①因為函數y=ln x在(0,+∞)上是增函數,且0.3<2,
所以ln 0.3②當a>1時,函數y=logax在(0,+∞)上是增函數,
又3.1<5.2,所以loga3.1當0又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.
綜上所述,當a>1時,
loga3.1當0loga5.2.
③因為0>log0.23>log0.24,
所以<,
即log30.2④因為函數y=log3x在(0,+∞)上是增函數,且π>3,
所以log3π>log33=1.
同理,1=logππ>logπ3,
所以log3π>logπ3.
(2)解　由題意得
解得0所以原不等式的解集為{x|0跟蹤訓練2　(1)D
(2)解　loga<1,
即loga當a>1時,函數y=logax在定義域內是增函數,
所以loga當0由loga即0所以實數a的取值范圍為
∪(1,+∞).
例3　(1)解　要使y=lo(1-x2)有意義,則1-x2>0,
所以x2<1,即-1因此函數y=lo(1-x2)的定義域為(-1,1).
令t=1-x2,x∈(-1,1).
當x∈(-1,0]時,若x增大,
則t增大,y=lot減小,
所以當x∈(-1,0]時,
y=lo(1-x2)是減函數;
同理當x∈[0,1)時,y=lo(1-x2)是增函數.
故函數y=lo(1-x2)的單調遞增區間為[0,1),且函數的最小值
ymin=lo(1-02)=0.
(2)解　①要使此函數有意義,
則有>0,即(x+1)(x-1)>0,
解得x>1或x<-1,
故此函數的定義域為(-∞,-1)∪(1,+∞).
②f(-x)=loga=loga
=-loga=-f(x).
又由①知f(x)的定義域關于原點對稱,所以f(x)為奇函數.
f(x)=loga=loga,
函數u=1+在區間(-∞,-1)和區間(1,+∞)上單調遞減.
所以當a>1時,f(x)=loga在(-∞,-1),(1,+∞)上單調遞減;
當0跟蹤訓練3　(1)解　①y=log2(x2+4)的定義域為R.
因為x2+4≥4,
所以log2(x2+4)≥log24=2.
所以y=log2(x2+4)的值域為[2,+∞).
②設u=3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4.
因為u>0,所以0又y=lou在(0,4]上為減函數,
所以lou≥lo4=-2,
所以y=lo(3+2x-x2)的值域為[-2,+∞).
(2)解　∵f(x)=2+log3x,
∴y=f2(x)+f(x2)
=(2+log3x)2+2+log3x2
=(log3x)2+6log3x+6
=(log3x+3)2-3.
∵函數f(x)的定義域為[1,9],
∴要使函數y=f2(x)+f(x2)有意義,必須滿足∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1,
∴6≤(log3x+3)2-3≤13,
∴函數y=f2(x)+f(x2)取得最大值13,此時x=3.
隨堂演練
1.B　2.A　3.A　4.(-∞,2)

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