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4.3指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.了解反函數(shù)的概念,知道指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),弄清它們的圖象間的對(duì)稱關(guān)系.2.會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù).3.利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.
導(dǎo)語(yǔ)
在研究函數(shù)問(wèn)題的過(guò)程中,我們經(jīng)常遇到同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù),例如函數(shù)y=2x與y=log2x,它們究竟有著怎樣的關(guān)系呢 今天我們從它們的圖象、性質(zhì)等方面一起去探討這一類函數(shù).
一、反函數(shù)的概念
問(wèn)題1　在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi),畫出函數(shù)y=2x與y=log2x的圖象,觀察兩函數(shù)圖象的關(guān)系.
提示　
知識(shí)梳理
反函數(shù)的概念
(1)一般地,如果在函數(shù)y=f(x)中,給定值域中任意一個(gè)y的值,只有唯一的x與之對(duì)應(yīng),那么x是y的函數(shù),這個(gè)函數(shù)稱為y=f(x)的反函數(shù).此時(shí),稱y=f(x)存在反函數(shù).
(2)反函數(shù)的記法:函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)記作y=f-1(x).
注意點(diǎn):
(1)同底的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).
(2)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱.
例1　判定下列函數(shù)是否存在反函數(shù).
(1)
x 1 2 3 4 5
f(x) 0 0 1 3 5
(2)函數(shù)y=f(x)的圖象是如圖所示的三點(diǎn)A,B,C.
解　(1)∵f(x)=0時(shí),x=1或x=2,即對(duì)應(yīng)的x不唯一,因此f(x)的反函數(shù)不存在.
(2)由圖可知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閧-1,1,2},值域?yàn)閧-1,1,-2},且對(duì)值域中的任一個(gè)值,在定義域中都有唯一的x值與之對(duì)應(yīng),∴y=f(x)存在反函數(shù).
反思感悟　判定存在反函數(shù)的方法
(1)用定義:若函數(shù)y=f(x)值域中任意一個(gè)y的值,在定義域中有唯一的x與之對(duì)應(yīng),則此函數(shù)的反函數(shù)存在,否則,反函數(shù)不存在.
(2)用單調(diào)性:若函數(shù)y=f(x)在定義域上單調(diào),則它的反函數(shù)存在.
跟蹤訓(xùn)練1　判定下列函數(shù)的反函數(shù)是否存在.
(1)
x 1 2 3 4 5
g(x) -1 0 1 -2 5
(2)函數(shù)y=f(x)的圖象是如圖所示的三點(diǎn)A,B,C.
解　(1)因?yàn)閷?duì)g(x)的值域{-1,0,1,-2,5}中任意一個(gè)值,都只有唯一的x與之對(duì)應(yīng),因此g(x)的反函數(shù)g-1(x)存在.
(2)由y=f(x)的圖象知,當(dāng)y=1時(shí),與之對(duì)應(yīng)的x=-1或x=3,即與y=1對(duì)應(yīng)的x的值不唯一,所以此函數(shù)的反函數(shù)不存在.
二、求反函數(shù)
問(wèn)題2　函數(shù)y=2x+1,你能用y表示x嗎 你能把函數(shù)解析式y(tǒng)=中的x和y互換嗎
提示　x+1=log2y,x=-1+log2y;x=.
例2　求下列函數(shù)的反函數(shù):
(1)f(x)=log2x;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=5x+1.
解　(1)令y=log2x,得x=2y且y∈R,
∴f-1(x)=2x,x∈R.
(2)令y=,得x=loy且y>0,
∴f-1(x)=lox,x>0.
(3)令y=5x+1,得x=且y∈R,
∴f-1(x)=,x∈R.
反思感悟　(1)求反函數(shù)時(shí),要先確定原函數(shù)的值域.
(2)求反函數(shù)解析式的兩種方法:
①可以通過(guò)對(duì)調(diào)y=f(x)中的x與y,然后從x=f(y)中求出y,得到反函數(shù)y=f-1(x).
②從y=f(x)反解得到x=f-1(y),然后把x=f-1(y)中的x,y對(duì)調(diào)得到y(tǒng)=f-1(x).
(3)最后要注明反函數(shù)的定義域.
跟蹤訓(xùn)練2　求下列函數(shù)的反函數(shù):
(1)f(x)=+1(x≥0);
(2)f(x)=(x≠1).
解　(1)令y=+1,x≥0,
∴y≥1且x=(y-1)2.
∴f(x)=+1(x≥0)的反函數(shù)為f-1(x)=(x-1)2,
x∈[1,+∞).
(2)令y==,
∴y=2+.
∴y≠2且x=.
∴f(x)=(x≠1)的反函數(shù)為f-1(x)=,x∈(-∞,2)∪(2,+∞).
三、互為反函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用
問(wèn)題3　函數(shù)y=2x的定義域和值域與y=log2x的定義域和值域關(guān)系如何
提示　y=2x的定義域與y=log2x的值域相同,y=2x的值域與y=log2x的定義域相同.
知識(shí)梳理
1.反函數(shù)的性質(zhì)
(1)y=f(x)的定義域與y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域與y=f-1(x)的定義域相同,y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.
(2)如果y=f(x)是單調(diào)函數(shù),那么它的反函數(shù)y=f-1(x)一定存在,此時(shí),如果y=f(x)是增函數(shù),則y=f-1(x)也是增函數(shù);如果y=f(x)是減函數(shù),則y=f-1(x)也是減函數(shù).
2.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系
(1)指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù).
(2)指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.
注意點(diǎn):
(1)原函數(shù)與反函數(shù)定義域與值域的關(guān)系.
(2)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性一致.
(3)互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱;圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù).
例3　(1)若函數(shù)y=f(x)的圖象位于第一、二象限,則它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象位于 (　　)
A.第一、二象限 B.第三、四象限
C.第二、三象限 D.第一、四象限
答案　D
解析　結(jié)合函數(shù)與反函數(shù)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,
即可得出反函數(shù)位于第一、四象限.
(2)已知函數(shù)f(x)=ax-k的圖象過(guò)點(diǎn)(1,3),其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,0),則f(x)的解析式為　　　　.
答案　f(x)=2x+1
解析　∵y=f-1(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,0),
∴y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,2),
∴2=a0-k,∴k=-1,
∴f(x)=ax+1.
又∵y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,3),
∴3=a1+1,
∴a=2,∴f(x)=2x+1.
反思感悟　互為反函數(shù)的函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,所以若點(diǎn)(a,b)在函數(shù)y=f(x)的圖象上,則點(diǎn)(b,a)必在其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象上.
跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知函數(shù)f(x)=ax+b的圖象過(guò)點(diǎn)(1,7),其反函數(shù)f-1(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,0),則f(x)的解析式為 (　　)
A.f(x)=4x+3 B.f(x)=3x+4
C.f(x)=5x+2 D.f(x)=2x+5
答案　A
解析　∵f(x)的反函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(4,0),
∴f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,4),
又f(x)=ax+b的圖象過(guò)點(diǎn)(1,7),
∴聯(lián)立方程組解得
故f(x)=4x+3.
(2)若函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則a的值為　　　　.
答案　-1
解析　由y=可得x=,
則原函數(shù)的反函數(shù)是y=,
∴=,得a=-1.
1.知識(shí)清單:
(1)反函數(shù)的圖象與原函數(shù)圖象之間的關(guān)系.
(2)求函數(shù)的反函數(shù).
(3)互為反函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用.
2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸.
3.常見誤區(qū):不是所有函數(shù)都有反函數(shù);y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數(shù).
1.函數(shù)y=lox(x>0)的反函數(shù)是 (　　)
A.y=,x>0 B.y=,x∈R
C.y=x2,x∈R D.y=2x,x∈R
答案　B
解析　互為反函數(shù)的一組對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的底數(shù)相同.
2.已知函數(shù)f(x)=3x-1,則它的反函數(shù)y=f-1(x)的大致圖象是 (　　)
答案　C
解析　由f(x)=3x-1可得f-1(x)=log3x+1,
∴圖象為C.
3.(多選)已知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,且f(1)=-1,若f(x)的反函數(shù)為f-1(x),則 (　　)
A.f-1(-1)=1
B.f-1(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增
C.f-1(1)=1
D.f-1(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減
答案　AB
解析　由反函數(shù)的性質(zhì)可知,f-1(-1)=1且f-1(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.
4.已知f(x)=2x+b的反函數(shù)為f-1(x),若y=f-1(x)的圖象過(guò)點(diǎn)Q(5,2),則b=　　　　.
答案　1
解析　因?yàn)閒-1(x)的圖象過(guò)Q(5,2),
所以f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,5),
則f(2)=5,
即22+b=5,解得b=1.
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共30分;多選題每小題6分,共12分
1.已知y=的反函數(shù)為y=f(x),若f(x0)=-,則x0等于 (　　)
A.-2 B.-1
C.2 D.
答案　C
解析　∵y=的反函數(shù)是f(x)=lox,
∴f(x0)=lox0=-.
∴x0===2.
2.(多選)函數(shù)y=1+ax(a>0且a≠1)的反函數(shù)的圖象可能是 (　　)
答案　AC
解析　方法一　先畫出y=1+ax的圖象,由反函數(shù)的圖象與原函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱可畫出反函數(shù)的圖象.
方法二　因?yàn)楹瘮?shù)y=1+ax(a>0且a≠1)過(guò)(0,2),所以它的反函數(shù)必過(guò)(2,0)點(diǎn).
3.已知函數(shù)f(x)=1+2lg x,則f(1)+f-1(1)等于 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
答案　C
解析　根據(jù)題意,f(1)=1+2lg 1=1,
若f(x)=1+2lg x=1,解得x=1,
則f-1(1)=1,
故f(1)+f-1(1)=1+1=2.
4.若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的反函數(shù),其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),則a等于 (　　)
A. B.2
C. D.
答案　A
解析　因?yàn)辄c(diǎn)在y=f(x)的圖象上,
所以點(diǎn)在y=ax的圖象上,則有=,
即a2=2,
又因?yàn)閍>0,所以a=.
5.設(shè)函數(shù)f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,1),其反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,8),則a+b等于 (　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
答案　B
解析　f(x)=loga(x+b)的反函數(shù)為f-1(x)=ax-b,又f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,1),
∴f-1(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,2),
∴解得或
又a>0,∴∴a+b=4.
6.(多選)已知函數(shù)f(x)=ax(a>1),其反函數(shù)為y=f-1(x),實(shí)數(shù)t滿足f-1(t)<1-tA.-1 B.
C. D.
答案　BC
解析　∵函數(shù)f(x)=ax(a>1),
∴反函數(shù)為y=f-1(x)=logax,
又實(shí)數(shù)t滿足f-1(t)<1-t∴l(xiāng)ogat<1-t1,
當(dāng)t≤0時(shí),顯然不符合題意;
當(dāng)01,logat<1-t∴0當(dāng)t=1時(shí),logat=0,1-t=0,at=a,不符合題意;
當(dāng)t>1時(shí),logat>0,1-t<0,at>a,不符合題意,
故t的取值范圍為(0,1).
7.(5分)已知f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3),f(x)的反函數(shù)為f-1(x),則f-1(x-2)的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)　　　　.
答案　(5,2)
解析　由題意可得f(2)=3,則f-1(3)=2,
即f-1(5-2)=2,
故函數(shù)f-1(x-2)的圖象必過(guò)點(diǎn)(5,2).
8.(5分)若點(diǎn)既在f(x)=2ax+b的圖象上,又在其反函數(shù)的圖象上,則a+b=　　　　.
答案　
解析　由題意知均在函數(shù)f(x)=2ax+b的圖象上,故有
∴∴a+b=-+=.
9.(10分)求函數(shù)y=3x-4(x≥2)的反函數(shù).
解　∵y=3x-4,∴3x=y+4,
∴x=log3(y+4),
∴y=log3(x+4),
又∵x≥2,
∴3x-4≥5,∴定義域?yàn)閇5,+∞).
∴函數(shù)y=3x-4的反函數(shù)為y=log3(x+4)(x≥5).
10.(11分)已知函數(shù)f(x)=loga(2-x)(a>1).
(1)求函數(shù)f(x)的定義域、值域;(3分)
(2)求函數(shù)f(x)的反函數(shù)f-1(x);(4分)
(3)判斷并證明f-1(x)的單調(diào)性.(4分)
解　(1)要使函數(shù)f(x)有意義,需滿足2-x>0,即x<2,
故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,2),值域?yàn)镽.
(2)由y=loga(2-x) ,得2-x=ay,
即x=2-ay.
∴f-1(x)=2-ax(x∈R).
(3)f-1(x)在R上是減函數(shù).
證明如下:任取x1,x2∈R且x1∵f-1(x2)-f-1(x1)=2--2+
=-,
∵a>1,x1∴<,
即-<0,
∴f-1(x2)∴y=f-1(x)在R上是減函數(shù).
11.已知a,b均為不等于1的正數(shù),且滿足lg a+lg b=0,則函數(shù)f(x)=ax與函數(shù)g(x)=-logbx的圖象可能是 (　　)
答案　B
解析　方法一　∵lg a+lg b=0,∴ab=1.
∵g(x)=-logbx的定義域是(0,+∞),∴排除A;若a>1,則0若01,
此時(shí)f(x)=ax是減函數(shù),g(x)=-logbx是減函數(shù).結(jié)合圖象知選B.
方法二　∵lg a+lg b=0,
∴ab=1,即b=,
∴g(x)=-lox=logax,
∴f(x)與g(x)互為反函數(shù),圖象關(guān)于y=x對(duì)稱,故選B.
12.(5分)若函數(shù)f(x)=x-(x>0)的反函數(shù)為y=f-1(x),則關(guān)于x的不等式f-1(x)≤3的解集為　　　　.
答案　
解析　易得f(x)=x-在(0,+∞)上單調(diào)遞增,值域?yàn)镽.則其反函數(shù)在R上也單調(diào)遞增,
又f(3)=3-=,則f-1=3,
∴f-1(x)≤3,即f-1(x)≤f-1,
∴x≤,
即關(guān)于x的不等式f-1(x)≤3的解集為.
13.(5分)已知函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)=lox的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則函數(shù)f(x2+2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是　　　　.
答案　(-∞,-1]
解析　由題意得f(x)=,
∴f(x2+2x)=,
∵f(x)在R上是減函數(shù),
∴由同增異減的原則可知,所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即為t=x2+2x的單調(diào)遞減區(qū)間,即(-∞,-1].
14.(5分)函數(shù)y=的值域是(-∞,-1)∪(1,+∞),則此函數(shù)的定義域?yàn)椤　　　　　　　?
答案　(0,1)∪(1,2)
解析　由y=,得x=+1,y∈(-∞,-1)∪(1,+∞),
即函數(shù)y=的反函數(shù)為y=+1,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),
當(dāng)x>1時(shí),0<<1,
所以1<+1<2;
當(dāng)x<-1時(shí),-1<<0,
所以0<+1<1,
即反函數(shù)y=+1,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)的值域?yàn)?0,1)∪(1,2).
所以原函數(shù)y=的定義域?yàn)?0,1)∪(1,2).
15.已知函數(shù)y=f(x)的定義域是[-1,1],其圖象如圖所示,則不等式-1≤f-1(x)≤的解集是 (　　)
A.
B.
C.[-2,0)∪
D.[-1,0]∪
答案　C
解析　由題意,可得-1≤f-1(x)≤的解集即為f(x)在上的值域.
當(dāng)-1≤x<0時(shí),由題圖可知f(x)∈[-2,0),
當(dāng)0≤x≤時(shí),由題圖可知f(x)∈,
故不等式-1≤f-1(x)≤的解集為[-2,0)∪.
16.(12分)已知函數(shù)f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1).
(1)求定義域;(4分)
(2)若函數(shù)f(x)的反函數(shù)是其本身,求a的值;(4分)
(3)求函數(shù)y=f(x)+f(-x)的值域.(4分)
解　(1)由8-2x>0,得2x<8,
解得x<3,
∴f(x)的定義域?yàn)?-∞,3).
(2)令y=f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1),
解得x=log2(8-ay),
對(duì)調(diào)x,y,得y=log2(8-ax).
由于函數(shù)f(x)的反函數(shù)是其本身,
∴a=2.
(3)y=f(x)+f(-x)=loga(8-2x)+loga(8-2-x)=loga[65-8(2x+2-x)].
令65-8(2x+2-x)>0,得8·(2x)2-65·2x+8<0,解得-3∴函數(shù)y=loga[65-8(2x+2-x)]的定義域?yàn)?-3,3).
∵2x+2-x=2x+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào),
∴0<65-8(2x+2-x)≤49,
故65-8(2x+2-x)的取值范圍為(0,49].
故當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=f(x)+f(-x)的值域?yàn)?-∞,loga49];當(dāng)0[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.了解反函數(shù)的概念,知道指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),弄清它們的圖象間的對(duì)稱關(guān)系.2.會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù).3.利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.
一、反函數(shù)的概念
問(wèn)題1　在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi),畫出函數(shù)y=2x與y=log2x的圖象,觀察兩函數(shù)圖象的關(guān)系.
知識(shí)梳理
反函數(shù)的概念
(1)一般地,如果在函數(shù)y=f(x)中,給定值域中　　　　　　y的值,只有　　　　　x與之對(duì)應(yīng),那么x是y的函數(shù),這個(gè)函數(shù)稱為y=f(x)的反函數(shù).此時(shí),稱y=f(x)存在反函數(shù).
(2)反函數(shù)的記法:函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)記作　　　　　.
例1　判定下列函數(shù)是否存在反函數(shù).
(1)
x 1 2 3 4 5
f(x) 0 0 1 3 5
(2)函數(shù)y=f(x)的圖象是如圖所示的三點(diǎn)A,B,C.
反思感悟　判定存在反函數(shù)的方法
(1)用定義:若函數(shù)y=f(x)值域中任意一個(gè)y的值,在定義域中有唯一的x與之對(duì)應(yīng),則此函數(shù)的反函數(shù)存在,否則,反函數(shù)不存在.
(2)用單調(diào)性:若函數(shù)y=f(x)在定義域上單調(diào),則它的反函數(shù)存在.
跟蹤訓(xùn)練1　判定下列函數(shù)的反函數(shù)是否存在.
(1)
x 1 2 3 4 5
g(x) -1 0 1 -2 5
(2)函數(shù)y=f(x)的圖象是如圖所示的三點(diǎn)A,B,C.
二、求反函數(shù)
問(wèn)題2　函數(shù)y=2x+1,你能用y表示x嗎 你能把函數(shù)解析式y(tǒng)=中的x和y互換嗎
例2　求下列函數(shù)的反函數(shù):
(1)f(x)=log2x;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=5x+1.
反思感悟　(1)求反函數(shù)時(shí),要先確定原函數(shù)的值域.
(2)求反函數(shù)解析式的兩種方法:
①可以通過(guò)對(duì)調(diào)y=f(x)中的x與y,然后從x=f(y)中求出y,得到反函數(shù)y=f-1(x).
②從y=f(x)反解得到x=f-1(y),然后把x=f-1(y)中的x,y對(duì)調(diào)得到y(tǒng)=f-1(x).
(3)最后要注明反函數(shù)的定義域.
跟蹤訓(xùn)練2　求下列函數(shù)的反函數(shù):
(1)f(x)=+1(x≥0);
(2)f(x)=(x≠1).
三、互為反函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用
問(wèn)題3　函數(shù)y=2x的定義域和值域與y=log2x的定義域和值域關(guān)系如何
知識(shí)梳理
1.反函數(shù)的性質(zhì)
(1)y=f(x)的定義域與y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的　　　　　與y=f-1(x)的　　　　　相同,y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線　　　　對(duì)稱.
(2)如果y=f(x)是單調(diào)函數(shù),那么它的反函數(shù)y=f-1(x)一定存在,此時(shí),如果y=f(x)是增函數(shù),則y=f-1(x)也是增函數(shù);如果y=f(x)是減函數(shù),則y=f-1(x)也是減函數(shù).
2.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系
(1)指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)　　　　　　　　　　　.
(2)指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象關(guān)于直線　　　　　對(duì)稱.
例3　(1)若函數(shù)y=f(x)的圖象位于第一、二象限,則它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象位于 (　　)
A.第一、二象限 B.第三、四象限
C.第二、三象限 D.第一、四象限
(2)已知函數(shù)f(x)=ax-k的圖象過(guò)點(diǎn)(1,3),其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,0),則f(x)的解析式為　　　　　.
反思感悟　互為反函數(shù)的函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,所以若點(diǎn)(a,b)在函數(shù)y=f(x)的圖象上,則點(diǎn)(b,a)必在其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象上.
跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知函數(shù)f(x)=ax+b的圖象過(guò)點(diǎn)(1,7),其反函數(shù)f-1(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,0),則f(x)的解析式為 (　　)
A.f(x)=4x+3 B.f(x)=3x+4
C.f(x)=5x+2 D.f(x)=2x+5
(2)若函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則a的值為　　　　.
1.知識(shí)清單:
(1)反函數(shù)的圖象與原函數(shù)圖象之間的關(guān)系.
(2)求函數(shù)的反函數(shù).
(3)互為反函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用.
2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸.
3.常見誤區(qū):不是所有函數(shù)都有反函數(shù);y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數(shù).
1.函數(shù)y=lox(x>0)的反函數(shù)是 (　　)
A.y=,x>0 B.y=,x∈R
C.y=x2,x∈R D.y=2x,x∈R
2.已知函數(shù)f(x)=3x-1,則它的反函數(shù)y=f-1(x)的大致圖象是 (　　)
3.(多選)已知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,且f(1)=-1,若f(x)的反函數(shù)為f-1(x),則 (　　)
A.f-1(-1)=1
B.f-1(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增
C.f-1(1)=1
D.f-1(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減
4.已知f(x)=2x+b的反函數(shù)為f-1(x),若y=f-1(x)的圖象過(guò)點(diǎn)Q(5,2),則b=　　　　.
答案精析
問(wèn)題1
知識(shí)梳理
(1)任意一個(gè)　唯一的　(2)y=f-1(x)
例1　解　(1)∵f(x)=0時(shí),x=1或x=2,即對(duì)應(yīng)的x不唯一,因此f(x)的反函數(shù)不存在.
(2)由圖可知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閧-1,1,2},值域?yàn)閧-1,1,-2},且對(duì)值域中的任一個(gè)值,在定義域中都有唯一的x值與之對(duì)應(yīng),∴y=f(x)存在反函數(shù).
跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)因?yàn)閷?duì)g(x)的值域{-1,0,1,-2,5}中任意一個(gè)值,都只有唯一的x與之對(duì)應(yīng),因此g(x)的反函數(shù)g-1(x)存在.
(2)由y=f(x)的圖象知,當(dāng)y=1時(shí),與之對(duì)應(yīng)的x=-1或x=3,即與y=1對(duì)應(yīng)的x的值不唯一,所以此函數(shù)的反函數(shù)不存在.
問(wèn)題2　x+1=log2y,x=-1+log2y;x=.
例2　解　(1)令y=log2x,
得x=2y且y∈R,
∴f-1(x)=2x,x∈R.
(2)令y=,得x=loy且y>0,
∴f-1(x)=lox,x>0.
(3)令y=5x+1,得x=且y∈R,
∴f-1(x)=,x∈R.
跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)令y=+1,x≥0,
∴y≥1且x=(y-1)2.
∴f(x)=+1(x≥0)的反函數(shù)為f-1(x)=(x-1)2,
x∈[1,+∞).
(2)令y==,
∴y=2+.
∴y≠2且x=.
∴f(x)=(x≠1)的反函數(shù)為f-1(x)=,x∈(-∞,2)∪(2,+∞).
問(wèn)題3　y=2x的定義域與y=log2x的值域相同,y=2x的值域與y=log2x的定義域相同.
知識(shí)梳理
1.(1)值域　定義域　y=x
2.(1)互為反函數(shù)　(2)y=x
例3　(1)D　(2)f(x)=2x+1
跟蹤訓(xùn)練3　(1)A　(2)-1
隨堂演練
1.B　2.C　3.AB　4.1

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