資源簡介

4.4冪函數
[學習目標]　1.掌握冪函數的概念.(重點)2.掌握冪函數y=xα的圖象與性質.(重點)3.會根據冪函數的單調性比較冪值的大小.(難點)
導語
同學們,我們說要想學好數學,就要先了解它的發展史,比如我們今天要學習的冪函數,“冪”其原意是遮蓋東西用的布,后來引申為面積.《九章算術》劉徽注:“凡廣縱相乘謂之冪.”后來又推廣引申為多次乘方的結果.到了明清時代,既稱面積為冪,也稱平方或立方為冪.清末之后,冪逐漸開始專指乘方概念.
一、冪函數的概念
問題1　函數y=是指數函數嗎 為什么
提示　不是,自變量x的位置在底數位置,不符合指數函數定義.
知識梳理
冪函數的定義:
一般地,函數y=xα稱為冪函數,其中α為常數.
注意點:
(1)xα的系數為1.
(2)底數為自變量x.
(3)指數α為常數.
例1　(1)(多選)下列函數為冪函數的是 (　　)
A.y=x3 B.y=
C.y=4x2 D.y=x
答案　AD
解析　B項為指數函數;C中的函數的系數不為1;A,D為冪函數.
(2)已知y=(m2+2m-2)+2n-3是冪函數,則m=　　　,n=　　　　.
答案　-3或1　
解析　由題意得
解得或
所以m=-3或1,n=.
反思感悟　冪函數的判斷方法
判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y=xα(α為常數)的形式,需滿足:①指數為常數,②底數為自變量x,③冪的系數為1.形如y=(3x)α,y=2xα,y=xα+5,…形式的函數都不是冪函數.
跟蹤訓練1　(1)已知f(x)=ax2a+1-b+1是冪函數,則a+b等于 (　　)
A.2 B.1
C. D.0
答案　A
解析　因為f(x)=ax2a+1-b+1是冪函數,
所以a=1,-b+1=0,
即a=1,b=1,則a+b=2.
(2)若函數f(x)是冪函數,且滿足=3,則f的值為 (　　)
A.-3 B.-
C.3 D.
答案　D
解析　設f(x)=xα(α為常數),
因為=3,所以=2α=3,即α=log23,
所以f(x)=,則f==.
二、冪函數的圖象和性質
問題2　在同一平面直角坐標系中,你能畫出冪函數y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的圖象嗎
提示　
知識梳理
1.五個冪函數的圖象
2.五個冪函數的性質
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定義域 R R R [0,+∞) {x|x≠0}
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數 非奇非 偶函數 奇函數
單調性 在R上是增函數 在[0,+∞)上是增函數,在(-∞,0]上是減函數 在R上是增函數 在[0,+∞)上是增函數 在(0,+∞)上是減函數,在(-∞,0)上是減函數
公共點 (1,1)
注意點:
(1)所有的冪函數在區間(0,+∞)上都有定義,因此在第一象限內都有圖象,并且圖象都通過點(1,1).在第四象限內都沒有圖象.在第二、三象限內的圖象可由函數的奇偶性畫出.
(2)當α>0時,冪函數的圖象都通過點(0,0),在第一象限內,當0<α<1時,曲線上凸;當α>1時,曲線下凸,并且在區間[0,+∞)上是增函數.
(3)當α<0時,冪函數在區間(0,+∞)上是減函數,且在第一象限內:當x從右邊趨向于原點時,圖象在y軸右方且無限逼近y軸;當x無限增大時,圖象在x軸上方且無限逼近x軸.
(4)在x=1右側,冪函數y=xα的指數α從下向上看遞增,即“指大圖高”“指小圖低”.
例2　(1)如圖所示,圖中的曲線是冪函數y=xn在第一象限的圖象,已知n取±2,±四個值,則對應于c1,c2,c3,c4的n依次為 (　　)
A.-2,-,2 B.2,,-,-2
C.-,-2,2, D.2,,-2,-
答案　B
解析　根據冪函數y=xn的性質,
故c1的n=2,c2的n=,
當n<0時,|n|越大,曲線越陡峭,
所以曲線c3的n=-,曲線c4的n=-2.
(2)函數y=的大致圖象是 (　　)
答案　B
解析　∵函數y=是奇函數,且α=>1,
∴函數y=的大致圖象為B.
反思感悟　解決冪函數圖象問題應把握的兩個原則
(1)依據圖象高低判斷冪指數大小,相關結論為:在(0,1)上,指數越大,冪函數圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低);在(1,+∞)上,指數越大,冪函數圖象越遠離x軸(簡記為指大圖高).
(2)依據圖象確定冪指數α與0,1的大小關系,即根據冪函數在第一象限內的圖象(類似于y=x-1 或y=或y=x3)來判斷.
跟蹤訓練2　(1)函數f(x)=的大致圖象是 (　　)
答案　A
解析　因為-<0,所以f(x)在(0,+∞)上單調遞減,排除選項B,C;又f(x)的定義域為(0,+∞),故排除選項D.
(2)已知點(,2)在冪函數f(x)的圖象上,點在冪函數g(x)的圖象上,問當x為何值時,有①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);
③f(x)解　設f(x)=xα,則由題意得2=()α,
∴α=2,即f(x)=x2,
再設g(x)=xβ,則由題意得=(-2)β,
∴β=-2,即g(x)=,
在同一直角坐標系中作出f(x)和g(x)的圖象.如圖所示.
①當x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時,f(x)>g(x).
②當x=±1時,f(x)=g(x).
③當x∈(-1,0)∪(0,1)時,f(x)三、冪函數性質的應用
例3　(1)比較下列各組數中兩個數的大小:
①與;
②與;
③與.
解　①∵冪函數y=x0.5在(0,+∞)上單調遞增,
且>,∴>.
②∵冪函數y=x-1在(-∞,0)上單調遞減,
且-<-,∴>.
③∵函數y=在(0,+∞)上單調遞增,
且>1,∴>=1.
又∵函數y=在(0,+∞)上單調遞增,
且<1,
∴<=1,∴>.
(2)若冪函數f(x)=xm-2(m∈N)在(0,+∞)上是減函數,且f(-x)=f(x),則m的值為 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.0或1
答案　A
解析　因為f(x)=xm-2(m∈N)在(0,+∞)上是減函數,所以m-2<0,故m<2.
又因為m∈N,所以m=0或m=1,
當m=0時,f(x)=x-2,f(-x)=f(x),符合題意;
當m=1時,f(x)=x-1,f(-x)≠f(x),不符合題意.
綜上,m=0.
反思感悟　(1)比較冪值大小的方法
①直接法:當冪的指數相同時,可直接利用冪函數的單調性來比較.
②轉化法:當冪的指數不相同時,可以先轉化為相同冪指數,再運用單調性比較大小.
③中間量法:常用0和1作為中間量.
(2)解決冪函數的綜合問題,應注意以下兩點
①充分利用冪函數的圖象、性質,如圖象所過定點、單調性、奇偶性等;
②注意運用常見的思想方法,如分類討論、數形結合思想.
跟蹤訓練3　(1)比較大小:1.,1.,1.42.
解　∵y=在[0,+∞)上是增函數,且1.2<1.4,
∴1.<1..
又∵y=1.4x為增函數,且<2,
∴1.<1.42,∴1.<1.<1.42.
(2)已知冪函數y=x3m-9 (m∈N+)的圖象關于y軸對稱且在(0,+∞)上單調遞減,求滿足(a+1<(3-2a的a的取值范圍.
解　因為函數y=x3m-9在(0,+∞)上單調遞減,
所以3m-9<0,
解得m<3.又因為m∈N+,所以m=1或m=2.
因為函數的圖象關于y軸對稱,
所以3m-9為偶數,故m=1.
則原不等式可化為(a+1<(3-2a.
因為y=在(-∞,0),(0,+∞)上單調遞減,
所以a+1>3-2a>0或3-2a解得故a的取值范圍是.
1.知識清單:
(1)冪函數的概念.
(2)冪函數的圖象.
(3)冪函數的性質及其應用.
2.方法歸納:數形結合.
3.常見誤區:冪函數與指數函數的區別;冪函數的奇偶性.
1.(多選)下列函數中是冪函數的是 (　　)
A.y= B.y=4x2
C.y=2x+1 D.y=
答案　AD
解析　　冪函數是形如y=xα(α為常數)的函數,選項A是α=-1的情形,D是α=-的情形,所以A和D是冪函數;選項B中x2的系數是4,不是冪函數;易知選項C不是冪函數.
2.設α∈,則使函數y=xα的定義域為R且為奇函數的所有α的值為 (　　)
A.1,3 B.-1,1
C.-1,3 D.-1,1,3
答案　A
解析　可知當α=-1,1,3時,y=xα為奇函數,
又因為y=xα的定義域為R,則α=1或α=3.
3.如圖,函數y=,y=x,y=1的圖象和直線x=1將平面直角坐標系的第一象限分成八個部分.若冪函數f(x)的圖象經過的部分是④⑧,則f(x)的解析式可能是 (　　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=x-2
答案　B
解析　因為冪函數f(x)=xα的圖象過④⑧部分,
所以f(x)=xα在(0,+∞)上單調遞減,
所以α<0,
又易知當x=2時,f(x)>,故B可能符合題意.
4.冪函數f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+∞)上為增函數,則實數m的值為 (　　)
A.-2 B.0或2
C.0 D.2
答案　D
解析　因為f(x)是冪函數,所以m2-2m+1=1,解得m=0或m=2,當m=0時,f(x)=x-1在(0,+∞)上為減函數,不符合題意;當m=2時,f(x)=x3在(0,+∞)上為增函數,符合題意,所以m=2.
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共30分;多選題每小題6分,共12分
1.已知冪函數f(x)=xα的圖象經過點(2,4),則f等于 (　　)
A. B.
C.- D.2
答案　B
解析　冪函數f(x)=xα的圖象經過點(2,4),
則2α=4,解得α=2,∴f(x)=x2,
∴f==.
2.下列函數中,既是偶函數,又在區間(0,+∞)上單調遞減的函數是 (　　)
A.y=x-2 B.y=x-1
C.y=x2 D.y=
答案　A
解析　所給選項都是冪函數,其中y=x-2和y=x2是偶函數,y=x-1和y=不是偶函數,故排除選項B,D;又y=x2在區間(0,+∞)上單調遞增,故選項C不符合題意,y=x-2在區間(0,+∞)上單調遞減,故選項A符合題意.
3.若冪函數y=xm與y=xn在第一象限內的圖象如圖所示,則 (　　)
A.-1B.n<-1,0C.-11
D.n<-1,m>1
答案　B
解析　由圖象知,y=xm在(0,+∞)上單調遞增,
所以m>0,
由于y=xm的圖象增長的越來越慢,
所以0y=xn在(0,+∞)上單調遞減,
所以n<0,
又當x>1時,y=xn的圖象在y=x-1圖象的下方,
所以n<-1.
4.給出下面四個條件,冪函數y=f(x)一定滿足的條件為 (　　)
A.f(m+n)=f(m)+f(n)
B.f(m+n)=f(m)·f(n)
C.f(mn)=f(m)·f(n)
D.f(mn)=f(m)+f(n)
答案　C
解析　設f(x)=xα,則f(m+n)=(m+n)α,
f(m)+f(n)=mα+nα,
f(m)·f(n)=mα·nα=(mn)α,
f(mn)=(mn)α,所以f(mn)=f(m)·f(n)一定成立,A,B,D不一定成立,故選C.
5.函數y=-1的圖象關于x軸對稱的圖象大致是 (　　)
答案　B
解析　y=的圖象位于第一象限且為增函數,所以函數圖象是上升的,函數y=-1的圖象可看作由y=的圖象向下平移一個單位得到的(如選項A中的圖象所示),將y=-1的圖象關于x軸對稱后即為選項B中的圖象.
6.(多選)已知冪函數f(x)=,則下列結論正確的有 (　　)
A.f(x)的定義域是{x|x≠0,x∈R}
B.f(x)的值域是(0,+∞)
C.f(x)的圖象只在第一象限
D.f(x)是奇函數
答案　BC
解析　對于A,f(x)的定義域是{x∈R|x>0},故A不正確;對于B,f(x)的值域是(0,+∞),故B正確;對于C,f(x)的圖象只在第一象限,故C正確;對于D,f(x)是非奇非偶函數,故D不正確.
7.(5分)已知冪函數f(x)=xα(α∈R)的圖象經過點(8,4),則不等式f(6x+3)≤9的解集為　　　　.
答案　[-5,4]
解析　由題意知8α=4,故α=log84=,由于f(x)==為R上的偶函數且在(0,+∞)上單調遞增,故f(6x+3)≤9即為f(6x+3)≤f(27),所以|6x+3|≤27,解得-5≤x≤4.
8.(5分)設a=,b=,c=,則a,b,c從小到大的順序是　　　　.
答案　b解析　由a=,b=,可利用冪函數的性質,得a>b,可由指數函數的單調性得c>a,∴b9.(10分)已知冪函數f(x)=xα的圖象過點P,試畫出f(x)的圖象并指出該函數的定義域與單調區間.
解　因為f(x)=xα的圖象過點P,
所以f(2)=,即2α=,
得α=-2,即f(x)=x-2,
f(x)的圖象如圖所示,
定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),單調遞減區間為(0,+∞),單調遞增區間為(-∞,0).
10.(11分)已知冪函數f(x)=x9-3m(m∈N+)的圖象關于原點對稱,且在R上單調遞增.
(1)求f(x)的解析式;(5分)
(2)求滿足f(a+1)+f(3a-4)<0的a的取值范圍.(6分)
解　(1)由冪函數f(x)=x9-3m(m∈N+)的圖象關于原點對稱,且在R上單調遞增,可得9-3m>0,
解得m<3,m∈N+,可得m=1或m=2,
若m=1,則f(x)=x6,圖象不關于原點對稱,舍去;
若m=2,則f(x)=x3,圖象關于原點對稱,且在R上單調遞增,成立.則f(x)=x3.
(2)由(1)可得f(x)是奇函數,且在R上單調遞增,
由f(a+1)+f(3a-4)<0,
可得f(a+1)<-f(3a-4)=f(4-3a),
則a+1<4-3a,解得a<.
11.若函數f(x)=(m+2)xa是冪函數,且其圖象過點(2,4),則函數g(x)= loga(x+m)的單調遞增區間為 (　　)
A.(-2,+∞) B.(1,+∞)
C.(-1,+∞) D.(2,+∞)
答案　B
解析　由題意得m+2=1,
解得m=-1,
則f(x)=xa,將(2,4)代入函數的解析式得,
2a=4,解得a=2,故g(x)=loga(x+m)=log2(x-1),
令x-1>0,解得x>1,
故g(x)的單調遞增區間為(1,+∞).
12.(多選)已知實數a,b滿足等式=,則下列關系式中可能成立的是 (　　)
A.0C.1答案　ACD
解析　畫出y=與y=的圖象(如圖),設==m,作直線y=m.
由圖象知,若m=0或m=1,則a=b;若01,則113.(5分)為了保證信息的安全傳輸,有一種密鑰密碼系統,其加密、解密原理為:發送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).現在加密密鑰為y=xα(α為常數),如“4”通過加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,則解密后得到的明文是　　　　.
答案　9
解析　由題意可知加密密鑰y=xα(α為常數)是一個冪函數,所以要想求得解密后得到的明文,就必須先求出α的值.由題意,得2=4α,解得α=,則y=.由=3,得x=9,即明文是9.
14.(5分)已知冪函數f(x)=,若f(a+1)答案　(3,5)
解析　∵f(x)==(x>0),
易知f(x)在(0,+∞)上為減函數,
又f(a+1)∴解得∴315.(5分)冪函數y=xα,當α取不同的正數時,在區間[0,1]上它們的圖象是一簇美麗的曲線(如圖).設點A(1,0),B(0,1),連接AB,線段AB恰好被其中的兩個冪函數y=xα,y=xβ的圖象三等分,即有BM=MN=NA,那么αβ等于　　　　.
答案　1
解析　由條件,得M,N,
可得==,
即α=lo,β=lo.
所以αβ=lo·lo=·=1.
16.(12分)已知冪函數g(x)過點,且f(x)=x2+ag(x).
(1)求g(x)的解析式;(5分)
(2)討論函數f(x)的奇偶性,并說明理由.(7分)
解　(1)設冪函數的解析式g(x)=xα(α為常數).
因為冪函數g(x)過點,
所以2α=,解得α=-1,所以g(x)=.
(2)由(1)得f(x)=x2+.
①當a=0時,f(x)=x2.
由于f(-x)=(-x)2=x2=f(x),可知f(x)為偶函數.
②當a≠0時,由于f(-x)=(-x)2+=x2-≠x2+=f(x),且f(-x)=(-x)2+=x2-≠-=-f(x),所以f(x)是非奇非偶函數.
綜上,當a=0時,f(x)為偶函數;當a≠0時,f(x)為非奇非偶函數.4.4冪函數
[學習目標]　1.掌握冪函數的概念.2.掌握冪函數y=xα的圖象與性質.3.會根據冪函數的單調性比較冪值的大小.
一、冪函數的概念
問題1　函數y=是指數函數嗎 為什么
知識梳理
冪函數的定義:
一般地,函數y=xα稱為冪函數,其中α為常數.
例1　(1)(多選)下列函數為冪函數的是 (　　)
A.y=x3 B.y=
C.y=4x2 D.y=x
(2)已知y=(m2+2m-2)+2n-3是冪函數,則m=　　　　　,n=　　　　.
反思感悟　冪函數的判斷方法
判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y=xα(α為常數)的形式,需滿足:①指數為常數,②底數為自變量x,③冪的系數為1.形如y=(3x)α,y=2xα,y=xα+5,…形式的函數都不是冪函數.
跟蹤訓練1　(1)已知f(x)=ax2a+1-b+1是冪函數,則a+b等于 (　　)
A.2 B.1
C. D.0
(2)若函數f(x)是冪函數,且滿足=3,則f的值為 (　　)
A.-3 B.-
C.3 D.
二、冪函數的圖象和性質
問題2　在同一平面直角坐標系中,你能畫出冪函數y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的圖象嗎
知識梳理
1.五個冪函數的圖象
2.五個冪函數的性質
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定義域 R R R [0,+∞)
值域 R R
奇偶性
單調性 在R上是____ 在[0,+∞)上是　　　,在 (-∞,0]上是____ 在R上是____ 在　　上是________ 在(0,+∞)上是　　, 在(-∞,0)上是____
公共點 (1,1)
例2　(1)如圖所示,圖中的曲線是冪函數y=xn在第一象限的圖象,已知n取±2,±四個值,則對應于c1,c2,c3,c4的n依次為 (　　)
A.-2,-,2 B.2,,-,-2
C.-,-2,2, D.2,,-2,-
(2)函數y=的大致圖象是 (　　)
反思感悟　解決冪函數圖象問題應把握的兩個原則
(1)依據圖象高低判斷冪指數大小,相關結論為:在(0,1)上,指數越大,冪函數圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低);在(1,+∞)上,指數越大,冪函數圖象越遠離x軸(簡記為指大圖高).
(2)依據圖象確定冪指數α與0,1的大小關系,即根據冪函數在第一象限內的圖象(類似于y=x-1 或y=或y=x3)來判斷.
跟蹤訓練2　(1)函數f(x)=的大致圖象是 (　　)
(2)已知點(,2)在冪函數f(x)的圖象上,點在冪函數g(x)的圖象上,問當x為何值時,有①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);③f(x)三、冪函數性質的應用
例3　(1)比較下列各組數中兩個數的大小:
①與;②與;
③與.
(2)若冪函數f(x)=xm-2(m∈N)在(0,+∞)上是減函數,且f(-x)=f(x),則m的值為 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.0或1
反思感悟　(1)比較冪值大小的方法
①直接法:當冪的指數相同時,可直接利用冪函數的單調性來比較.
②轉化法:當冪的指數不相同時,可以先轉化為相同冪指數,再運用單調性比較大小.
③中間量法:常用0和1作為中間量.
(2)解決冪函數的綜合問題,應注意以下兩點
①充分利用冪函數的圖象、性質,如圖象所過定點、單調性、奇偶性等;
②注意運用常見的思想方法,如分類討論、數形結合思想.
跟蹤訓練3　(1)比較大小:1.,1.,1.42.
(2)已知冪函數y=x3m-9 (m∈N+)的圖象關于y軸對稱且在(0,+∞)上單調遞減,求滿足(a+1<(3-2a的a的取值范圍.
1.知識清單:
(1)冪函數的概念.
(2)冪函數的圖象.
(3)冪函數的性質及其應用.
2.方法歸納:數形結合.
3.常見誤區:冪函數與指數函數的區別;冪函數的奇偶性.
1.(多選)下列函數中是冪函數的是 (　　)
A.y= B.y=4x2
C.y=2x+1 D.y=
2.設α∈,則使函數y=xα的定義域為R且為奇函數的所有α的值為 (　　)
A.1,3 B.-1,1
C.-1,3 D.-1,1,3
3.如圖,函數y=,y=x,y=1的圖象和直線x=1將平面直角坐標系的第一象限分成八個部分.若冪函數f(x)的圖象經過的部分是④⑧,則f(x)的解析式可能是 (　　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=x-2
4.冪函數f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+∞)上為增函數,則實數m的值為 (　　)
A.-2 B.0或2
C.0 D.2
答案精析
問題1　不是,自變量x的位置在底數位置,不符合指數函數定義.
例1　(1)AD　(2)-3或1　
跟蹤訓練1　(1)A　(2)D
問題2
知識梳理
2.{x|x≠0}　[0,+∞)　[0,+∞)　{y|y≠0}　奇函數　偶函數　奇函數
非奇非偶函數　奇函數　增函數　增函數　減函數　增函數　[0,+∞)　增函數　減函數　減函數
例2　(1)B　(2)B
跟蹤訓練2　(1)A
(2)解　設f(x)=xα,
則由題意得2=()α,
∴α=2,即f(x)=x2,
再設g(x)=xβ,
則由題意得=(-2)β,
∴β=-2,即g(x)=,
在同一直角坐標系中作出f(x)和g(x)的圖象.如圖所示.
①當x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時,
f(x)>g(x).
②當x=±1時,f(x)=g(x).
③當x∈(-1,0)∪(0,1)時,
f(x)例3　(1)解　①∵冪函數y=x0.5在(0,+∞)上單調遞增,
且>,∴>.
②∵冪函數y=x-1在(-∞,0)上單調遞減,
且-<-,
∴>.
③∵函數y=在(0,+∞)上單調遞增,且>1,∴>=1.
又∵函數y=在(0,+∞)上單調遞增,且<1,
∴<=1,
∴>.
(2)A　[因為f(x)=xm-2(m∈N)在(0,+∞)上是減函數,所以m-2<0,故m<2.
又因為m∈N,所以m=0或m=1,
當m=0時,f(x)=x-2,
f(-x)=f(x),符合題意;
當m=1時,f(x)=x-1,
f(-x)≠f(x),不符合題意.
綜上,m=0.]
跟蹤訓練3　(1)解　∵y=在[0,+∞)上是增函數,且1.2<1.4,
∴1.<1..
又∵y=1.4x為增函數,且<2,
∴1.<1.42,∴1.<1.<1.42.
(2)解　因為函數y=x3m-9在(0,+∞)上單調遞減,
所以3m-9<0,
解得m<3.又因為m∈N+,
所以m=1或m=2.
因為函數的圖象關于y軸對稱,
所以3m-9為偶數,故m=1.
則原不等式可化為
(a+1<(3-2a.
因為y=在(-∞,0),(0,+∞)上單調遞減,
所以a+1>3-2a>0或3-2a解得故a的取值范圍是
.
隨堂演練
1.AD　2.A　3.B　4.D

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