資源簡介

4.5增長速度的比較
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.了解常用的描述現(xiàn)實世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型.2.了解線性增長、爆炸式增長、對數(shù)增長等增長的含義.3.能根據(jù)具體問題選擇合適的函數(shù)模型.
導(dǎo)語
同學(xué)們,如果你現(xiàn)在手里有一筆資金可以用于投資,現(xiàn)在有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報是這樣的:方案一:每天回報40元;方案二:第一天回報10元,以后每天比前一天多回報10元;方案三:第一天回報0.4元,以后每天的回報比前一天翻一番.請問,你會選擇哪種投資方案 為了解決這個問題,讓我們一起開始今天的探究吧!
一、平均變化率
問題1　如圖,請分別計算兩個函數(shù)在x=1和x=2處的函數(shù)值,你能判斷兩個函數(shù)在區(qū)間[1,2]上函數(shù)值增加的快慢嗎
提示　第一個f(1)=1,f(2)=,第二個f(1)=1,f(2)= 8,顯然第二個f(2)- f(1)大,函數(shù)值增加的快.
知識梳理
函數(shù)y=f(x)從x1到x2(x1≠x2)的平均變化率
(1)定義式:=.
(2)實質(zhì):函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比.
(3)意義:刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1,x2](x1x2時)上變化的快慢.
(4)平均變化率的幾何意義:
設(shè)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲線y=f(x)上任意不同的兩點,
函數(shù)y=f(x)的平均變化率=
=為直線AB的斜率,如圖所示.
注意點:
Δx是變量x2在x1處的改變量,且x2是x1附近的任意一點,即Δx=x2-x1≠0,但Δx可以為正,也可以為負.
例1　(1)在x=1附近,取Δx=0.3,下列四個函數(shù)中,平均變化率最大的是 (　　)
A.y=x B.y=x2
C.y=x3 D.y=
(2)汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖所示,在時間段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速率分別為v1,v2,v3,則三者的大小關(guān)系(由大到小)為　　　　.
答案　(1)C　(2)v3>v2>v1
解析　(1)Δx=0.3時,y=x在x=1附近的平均變化率k1=1;y=x2在x=1附近的平均變化率k2=2+Δx=2+0.3=2.3;y=x3在x=1附近的平均變化率k3=3+3Δx+(Δx)2=3+3×0.3+0.32=3.99;y=在x=1附近的平均變化率k4=-=-.所以k3>k2>k1>k4.
(2)v1==kOA,v2==kAB,
v3==kBC,
又因為kBC>kAB>kOA,所以v3>v2>v1.
反思感悟　求平均變化率的主要步驟
(1)求Δy=f(x2)-f(x1).
(2)求Δx=x2-x1.
(3)求平均變化率=.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知函數(shù)f(x)=x2在x0與x0+Δx之間的平均變化率為k1,在x0-Δx與x0之間的平均變化率為k2,則k1,k2的大小關(guān)系是 (　　)
A.k1k2
C.k1=k2 D.無法確定
答案　D
解析　k1==2x0+Δx,
k2==2x0-Δx,
又Δx可正可負且不為零,
所以k1,k2的大小關(guān)系不確定.
(2)如圖顯示物體甲、乙在時間0到t1范圍內(nèi)路程的變化情況,下列說法正確的是 (　　)
A.在0到t0范圍內(nèi),甲的平均速率大于乙的平均速率
B.在0到t0范圍內(nèi),甲的平均速率小于乙的平均速率
C.在t0到t1范圍內(nèi),甲的平均速率大于乙的平均速率
D.在t0到t1范圍內(nèi),甲的平均速率小于乙的平均速率
答案　C
解析　由圖象知,在0到t0范圍內(nèi)v甲=v乙=,所以A,B錯誤;
在t0到t1范圍內(nèi),v甲=,v乙=.
因為s2-s0>s1-s0,t1-t0>0,
所以v甲>v乙.所以C正確,D錯誤.
二、幾種常見函數(shù)模型的增長差異的比較
問題2　你能根據(jù)函數(shù)y=2x,y=log2x,y=2x的圖象,看出這三個函數(shù)圖象的變化情況嗎 函數(shù)的增長速度又如何
提示　(1)y=2x隨x的增大逐漸變“陡峭”;
(2)y=log2x隨x的增大逐漸變 “平緩”;
(3)y=2x隨x的增大勻速上升. y=2x的增長速度快于y=2x,y=2x的增長速度快于y=log2x.
知識梳理
三種常見函數(shù)模型的增長差異
　　函數(shù) 性質(zhì) y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0)
在(0,+∞)上 的增減性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增
圖象的變化 隨x的增大逐漸變“陡峭” 隨x的增大逐漸變“平緩” 增長速度不變
形象描述 指數(shù)爆炸 對數(shù)增長 直線上升
增長速度 y=ax(a>1)的增長速度最終都會大大超過y=kx(k>0)的增長速度;總存在一個x0,當(dāng)x>x0時,恒有l(wèi)ogax增長結(jié)果 存在一個x0,當(dāng)x>x0時,有ax>kx>logax
注意點:
不同函數(shù)增長速度的比較方法
(1)計算不同的函數(shù)在同一個區(qū)間上的平均變化率.
(2)判斷隨著x的變化圖象逐漸變“陡峭”還是變“平緩”.
例2　f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,當(dāng)x∈(4,+∞)時,對三個函數(shù)的增長速度進行比較,下列選項中正確的是 (　　)
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x)
D.f(x)>h(x)>g(x)
答案　B
解析　由函數(shù)性質(zhì)可知,在區(qū)間(4,+∞)上,指數(shù)函數(shù)g(x)=2x增長最快,對數(shù)函數(shù)h(x)=log2x增長最慢,所以g(x)>f(x)>h(x).
反思感悟　常見的函數(shù)模型及增長特點
(1)線性函數(shù)模型:線性函數(shù)模型y=kx+b(k>0)的增長特點是直線上升,其增長速度不變.
(2)指數(shù)函數(shù)模型:指數(shù)函數(shù)模型y=ax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快,即增長速度急劇加快,形象地稱為“指數(shù)爆炸”.
(3)對數(shù)函數(shù)模型:對數(shù)函數(shù)模型y=logax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越慢,即增長速度平緩.
(4)冪函數(shù)模型:冪函數(shù)y=xn(n>0)的增長速度介于指數(shù)增長和對數(shù)增長之間.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知x∈(10,+∞),下列函數(shù)中,函數(shù)值隨x的增大而增大,且函數(shù)值增長速度最快的是 (　　)
A.y=10ex B.y=10ln x3
C.y=x10 D.y=10·2x
答案　A
解析　因為e>2,所以10ex比10·2x增長速度快.
(2)四個變量y1,y2,y3,y4隨自變量x變化的數(shù)據(jù)如表:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
關(guān)于x呈指數(shù)增長的變量是　　　　.
答案　y2
解析　從表格中可以看出,四個變量y1,y2,y3,y4均是從2開始變化,變量y1,y2,y3,y4都是越來越大,但是增長速度不同,其中變量y2的增長速度最快,畫出它們的圖象(圖略),可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)增長.
三、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次、二次函數(shù)模型的比較
例3　函數(shù)f(x)=2x(x≥0)和g(x)=x2(x≥0)的圖象如圖所示.設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)請指出圖中曲線C1,C2分別對應(yīng)的函數(shù);
(2)求點A,B的坐標(biāo);
(3)結(jié)合函數(shù)圖象,判斷f(3),g(3),f(2 024),g(2 024)的大小.
解　(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x2(x>0),C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=2x(x>0).
(2)因為f(2)=4,g(2)=4,f(4)=16,g(4)=16,
所以A(2,4),B(4,16).
(3)由兩函數(shù)圖象和(2)可知,
當(dāng)0g(x),
當(dāng)2當(dāng)x>4時,f(x)>g(x),
所以f(2 024)>g(2 024),f(3)又因為g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
所以g(2 024)>g(3),
故f(2 024)>g(2 024)>g(3)>f(3).
反思感悟　指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)增長差異的判斷方法
(1)根據(jù)函數(shù)的變化量的情況對函數(shù)增長模型進行判斷.
(2)根據(jù)圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的增長速度時,通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢,即隨著自變量的增大,圖象變“陡峭”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù);圖象趨于“平緩”的函數(shù)是對數(shù)函數(shù).
跟蹤訓(xùn)練3　函數(shù)f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的圖象如圖所示.
(1)指出曲線C1,C2分別對應(yīng)題中哪一個函數(shù);
(2)比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點為分界點,對f(x),g(x)的大小進行比較).
解　(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=0.3x-1,
C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=lg x.
(2)當(dāng)x∈(0,x1)時,g(x)>f(x);
當(dāng)x∈(x1,x2)時,g(x)當(dāng)x∈(x2,+∞)時,g(x)>f(x).
1.知識清單:
(1)平均變化率.
(2)三種函數(shù)模型:線性函數(shù)增長模型、指數(shù)型函數(shù)增長模型、對數(shù)型函數(shù)增長模型.
2.方法歸納:數(shù)學(xué)建模.
3.常見誤區(qū):不理解三種函數(shù)增長的差異.
1.函數(shù)y=2x在區(qū)間[x0,x0+Δx]上的平均變化率為 (　　)
A.x0+Δx B.1+Δx
C.2+Δx D.2
答案　D
解析　由題意,可得平均變化率
==2.
2.下列函數(shù)中,x∈(1,+∞),增長速度最快的是 (　　)
A.y=2 024x B.y=x2 024
C.y=log2 024x D.y=2 024x
答案　A
解析　比較冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)可知,指數(shù)函數(shù)增長速度最快.
3.y1=2x,y2=x2,y3=log2x,當(dāng)2A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1
答案　B
解析　在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這三個函數(shù)的圖象(圖略),在區(qū)間(2,4)內(nèi),從上到下圖象依次對應(yīng)的函數(shù)為y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.
4.某跨國飲料公司在對全世界所有人均GDP在0.5~8千美元的地區(qū)銷售該公司A飲料的情況調(diào)查時發(fā)現(xiàn):該飲料在人均GDP處于中等的地區(qū)銷售量最多,然后向兩邊遞減.下列幾個模擬函數(shù)(x表示人均GDP,單位:千美元,y表示年人均A飲料的銷售量,單位:L),用來描述人均A飲料銷售量與地區(qū)的人均GDP關(guān)系最合適的函數(shù)模型是 (　　)
A.y=ax2+bx B.y=kx+b
C.y=logax+b D.y=ax+b
答案　A
解析　用A來模擬比較合適.因為該飲料在人均GDP處于中等的地區(qū)銷售量最多,然后向兩邊遞減.而BCD表示的函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),所以BCD都不合適,故用A來模擬比較合適.
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共35分;多選題每小題6分,共18分
1.函數(shù)y=x2+1在[1,1+Δx]上的平均變化率是 (　　)
A.2 B.2x
C.2+Δx D.2+(Δx)2
答案　C
解析　依題意,所求平均變化率為
=2+Δx.
2.下列函數(shù)中,y隨x的增大增長速度最快的是 (　　)
A.y=×3x B.y=100 ln x
C.y=x100 D.y=100·2x
答案　A
解析　指數(shù)函數(shù)y=ax,在a>1時呈爆炸式增長,并且a值越大,增長速度越快,故選A.
3.如果函數(shù)y=ax+b在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為3,則a的值為 (　　)
A.-3 B.2
C.3 D.-2
答案　C
解析　根據(jù)平均變化率的定義,
可知==a=3.
4.一個物體做直線運動,位移s(單位:m)與時間t(單位:s)之間的函數(shù)關(guān)系為s(t)=5t2+mt,且這一物體在2≤t≤3這段時間內(nèi)的平均速度為26 m/s,則實數(shù)m的值為 (　　)
A.2 B.1
C.-1 D.6
答案　B
解析　由已知,得=26,
即(5×32+3m)-(5×22+2m)=26,解得m=1.
5.函數(shù)f(x)=lox與g(x)=在區(qū)間(0,+∞)上的衰減情況為 (　　)
A.f(x)的衰減速度越來越慢, g(x)的衰減速度越來越快
B.f(x)的衰減速度越來越快,g(x)的衰減速度越來越慢
C.f(x)的衰減速度越來越慢,g(x)的衰減速度越來越慢
D.f(x)的衰減速度越來越快,g(x)的衰減速度越來越快
答案　C
解析　在平面直角坐標(biāo)系中畫出f(x)與g(x)的圖象如圖所示,
由圖象可判斷出衰減情況為在(0,+∞)上f(x)的衰減速度越來越慢,g(x)的衰減速度越來越慢.
6.(多選)A,B兩公司開展節(jié)能活動,活動開始后兩公司的用電量WA(t),WB(t)與時間t(天)的關(guān)系如圖所示,則一定有 (　　)
A.兩公司節(jié)能效果一樣好
B.A公司比B公司節(jié)能效果好
C.A公司的用電量在[0,t0]上的平均變化率比B公司的用電量在[0,t0]上的平均變化率大
D.A公司與B公司自節(jié)能以來平均變化率都小于0
答案　BD
解析　由題圖可知,A公司所對應(yīng)的圖象比較陡峭,B公司所對應(yīng)的圖象比較平緩,且用電量在[0,t0]上的平均變化率都小于0,故一定有A公司比B公司節(jié)能效果好.
7.(5分)已知函數(shù)f(x)=3x,g(x)=2x,當(dāng)x∈R時,f(x)與g(x)的大小關(guān)系為　　　　.
答案　f(x)>g(x)
解析　在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)=3x,g(x)=2x的圖象,如圖所示,由于函數(shù)f(x)=3x的圖象始終在函數(shù)g(x)=2x圖象的上方,則f(x)>g(x).
8.(5分)函數(shù)y=x2在x=1,2,3附近的平均變化率中,在x=　　　　附近的平均變化率最大.
答案　3
解析　在x=1附近的平均變化率為
===2+Δx;
在x=2附近的平均變化率為
===4+Δx;
在x=3附近的平均變化率為
===6+Δx.
對任意Δx有,k1∴在x=3附近的平均變化率最大.
9.(10分)已知函數(shù)f(x)=2x2+3,g(x)=2x2+x,h(x)=2x2-x,分別計算這三個函數(shù)在區(qū)間[2,3]上的平均變化率,并比較它們的大小.
解　因為====10,
===11,
===9,
11>10>9,因此在區(qū)間[2,3]上,g(x)的平均變化率最大,h(x)的平均變化率最小.
10.(10分)某產(chǎn)品近日開始上市,通過市場調(diào)查,得到該產(chǎn)品每1件的市場價y(單位:元)與上市時間x(單位:天)的數(shù)據(jù)如下:
上市時間x/天 4 10 36
市場價y/元 90 51 90
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),從下列函數(shù)中選取一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該產(chǎn)品的市場價y與上市時間x的變化關(guān)系,并簡要說明你選取的理由.(5分)
①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=alogbx;
(2)利用你選取的函數(shù),求該產(chǎn)品市場價最低時的上市天數(shù)以及最低的價格.(5分)
解　(1)因為隨著時間x的增加,y的值先減后增,而所給的函數(shù)中y=ax+b和y=alogbx都是單調(diào)函數(shù),不滿足題意,
所以選擇y=ax2+bx+c.
(2)把點(4,90),(10,51),(36,90)代入y=ax2+bx+c中,得
解得a=,b=-10,c=126,
所以y=x2-10x+126=(x-20)2+26,
所以當(dāng)x=20時,y有最小值26,
所以當(dāng)該產(chǎn)品上市20天時市場價最低,最低的價格為26元.
11.(多選)在某種金屬材料的耐高溫實驗中,溫度隨著時間變化的情況由微機記錄后顯示的圖象如圖所示.下列說法,其中正確的是 (　　)
A.前5 min溫度增加的速度越來越快
B.前5 min溫度增加的速度越來越慢
C.5 min以后溫度保持勻速增加
D.5 min以后溫度保持不變
答案　BD
解析　因為溫度y關(guān)于時間t的圖象是先凸后平,即前5 min每當(dāng)t增加一個單位,則y相應(yīng)的改變量越來越小,而5 min后y關(guān)于t的改變量保持為0,則BD正確.
12.下列函數(shù)中,在區(qū)間[2,4]上的平均變化率最大的是 (　　)
A.y= B.y=x3
C.y=2x D.y=x
答案　B
解析　對于函數(shù)y=x,其在區(qū)間[2,4]上的平均變化率為=1;對于函數(shù)y=x3,其在區(qū)間[2,4]上的平均變化率為=28;對于函數(shù)y=2x,其在區(qū)間[2,4]上的平均變化率為=6;對于函數(shù)y=,其在區(qū)間[2,4]上的平均變化率為=-.
13.(多選)如圖表示一位騎自行車和一位騎摩托車的旅行者從甲城到乙城所行駛的路程與時間之間的函數(shù)關(guān)系,有人根據(jù)函數(shù)圖象,提出了關(guān)于這兩個旅行者的信息,其中正確的是 (　　)
A.騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3 h,晚到1 h
B.騎自行車者是變速運動,騎摩托車者是勻速運動
C.騎摩托車者在出發(fā)1.5 h后追上了騎自行車者
D.騎摩托車者在出發(fā)1.5 h后與騎自行車者速度一樣
答案　ABC
解析　看時間軸易知A正確;騎摩托車者行駛的路程與時間的函數(shù)圖象是直線,所以是勻速運動,而騎自行車者行駛的路程與時間的函數(shù)圖象是折線,所以是變速運動,故B正確;兩函數(shù)圖象的交點的橫坐標(biāo)對應(yīng)于4.5,故C正確,D錯誤.
14.(5分)已知函數(shù)f(x)=x2,g(x)=3x,h(x)=ln x,這三個函數(shù)在區(qū)間[a,a+1](a>1)上的平均變化率由大到小的順序為　　　　　　.
答案　f(x)>g(x)>h(x)
解析　因為==2a+1,
==3,
==ln,
又因為a>1,所以2a+1>2×1+1=3,
ln因此,在區(qū)間[a,a+1]上,平均變化率由大到小的順序為f(x)>g(x)>h(x).
15.已知函數(shù)y=x3-2的圖象上一點(1,-1)及鄰近一點(1+Δx,-1+Δy),則等于 (　　)
A.3 B.3+(Δx)2
C.3+3Δx D.3+3Δx+(Δx)2
答案　D
解析　由題意,-1+Δy=(1+Δx)3-2,
∴Δy=(Δx)3+3(Δx)2+3Δx,∴=(Δx)2+3Δx+3.
16.(12分)某公司對營銷人員有如下規(guī)定:
①年銷售額x(萬元)在8萬元以下,沒有獎金;②年銷售額x(萬元)在[8,64]內(nèi)時,獎金為y萬元,且y=logax(a>0且a≠1),y∈[3,6],且年銷售額越大,獎金越多;③年銷售額x(萬元)超過64萬元,按年銷售額的10%發(fā)獎金.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;(6分)
(2)若某營銷人員爭取年獎金y∈[4,10](萬元),求年銷售額x所在的范圍.(6分)
解　(1)由題意知y=logax是增函數(shù),∴a>1,
又當(dāng)x∈[8,64]時,y∈[3,6],
∴∴a=2,
∴y=
(2)由題意得解得16≤x≤100,
∴年獎金y∈[4,10](萬元)時,年銷售額x的取值范圍為[16,100].4.5 增長速度的比較
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.了解常用的描述現(xiàn)實世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型.2.了解線性增長、爆炸式增長、對數(shù)增長等增長的含義.3.能根據(jù)具體問題選擇合適的函數(shù)模型.
一、平均變化率
問題1　如圖,請分別計算兩個函數(shù)在x=1和x=2處的函數(shù)值,你能判斷兩個函數(shù)在區(qū)間[1,2]上函數(shù)值增加的快慢嗎
知識梳理
函數(shù)y=f(x)從x1到x2(x1≠x2)的平均變化率
(1)定義式:=　　　　　　.
(2)實質(zhì):　　　　的改變量與　　　　　的改變量之比.
(3)意義:刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1,x2](x1x2時)上變化的　　　　.
(4)平均變化率的幾何意義:
設(shè)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲線y=f(x)上任意不同的兩點,
函數(shù)y=f(x)的平均變化率==為直線AB的　　　　　,如圖所示.
例1　(1)在x=1附近,取Δx=0.3,下列四個函數(shù)中,平均變化率最大的是 (　　)
A.y=x B.y=x2
C.y=x3 D.y=
(2)汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖所示,在時間段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速率分別為v1,v2,v3,則三者的大小關(guān)系(由大到小)為　　　　　　　　　　　　.
反思感悟　求平均變化率的主要步驟
(1)求Δy=f(x2)-f(x1).
(2)求Δx=x2-x1.
(3)求平均變化率=.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知函數(shù)f(x)=x2在x0與x0+Δx之間的平均變化率為k1,在x0-Δx與x0之間的平均變化率為k2,則k1,k2的大小關(guān)系是 (　　)
A.k1k2
C.k1=k2 D.無法確定
(2)如圖顯示物體甲、乙在時間0到t1范圍內(nèi)路程的變化情況,下列說法正確的是 (　　)
A.在0到t0范圍內(nèi),甲的平均速率大于乙的平均速率
B.在0到t0范圍內(nèi),甲的平均速率小于乙的平均速率
C.在t0到t1范圍內(nèi),甲的平均速率大于乙的平均速率
D.在t0到t1范圍內(nèi),甲的平均速率小于乙的平均速率
二、幾種常見函數(shù)模型的增長差異的比較
問題2　你能根據(jù)函數(shù) y=2x,y=log2x,y=2x的圖象,看出這三個函數(shù)圖象的變化情況嗎 函數(shù)的增長速度又如何
知識梳理
三種常見函數(shù)模型的增長差異
　　函數(shù) 性質(zhì)　　 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0)
在(0,+∞)上 的增減性
圖象的變化 隨x的增大逐漸變“陡峭” 隨x的增大逐漸變“平緩” 增長速度不變
形象描述 指數(shù)爆炸 對數(shù)增長 直線上升
增長速度 y=ax(a>1)的增長速度最終都會大大超過　　　　　　的增長速度;總存在一個x0,當(dāng)x>x0時,恒有___________
增長結(jié)果 存在一個x0,當(dāng)x>x0時,有___________
例2　f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,當(dāng)x∈(4,+∞)時,對三個函數(shù)的增長速度進行比較,下列選項中正確的是 (　　)
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x)
D.f(x)>h(x)>g(x)
反思感悟　常見的函數(shù)模型及增長特點
(1)線性函數(shù)模型:線性函數(shù)模型y=kx+b(k>0)的增長特點是直線上升,其增長速度不變.
(2)指數(shù)函數(shù)模型:指數(shù)函數(shù)模型y=ax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快,即增長速度急劇加快,形象地稱為“指數(shù)爆炸”.
(3)對數(shù)函數(shù)模型:對數(shù)函數(shù)模型y=logax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越慢,即增長速度平緩.
(4)冪函數(shù)模型:冪函數(shù)y=xn(n>0)的增長速度介于指數(shù)增長和對數(shù)增長之間.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知x∈(10,+∞),下列函數(shù)中,函數(shù)值隨x的增大而增大,且函數(shù)值增長速度最快的是 (　　)
A.y=10ex B.y=10ln x3
C.y=x10 D.y=10·2x
(2)四個變量y1,y2,y3,y4隨自變量x變化的數(shù)據(jù)如表:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
關(guān)于x呈指數(shù)增長的變量是　　　　.
三、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次、二次函數(shù)模型的比較
例3　函數(shù)f(x)=2x(x≥0)和g(x)=x2(x≥0)的圖象如圖所示.設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)請指出圖中曲線C1,C2分別對應(yīng)的函數(shù);
(2)求點A,B的坐標(biāo);
(3)結(jié)合函數(shù)圖象,判斷f(3),g(3),f(2 024),g(2 024)的大小.
反思感悟　指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)增長差異的判斷方法
(1)根據(jù)函數(shù)的變化量的情況對函數(shù)增長模型進行判斷.
(2)根據(jù)圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的增長速度時,通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢,即隨著自變量的增大,圖象變“陡峭”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù);圖象趨于“平緩”的函數(shù)是對數(shù)函數(shù).
跟蹤訓(xùn)練3　函數(shù)f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的圖象如圖所示.
(1)指出曲線C1,C2分別對應(yīng)題中哪一個函數(shù);
(2)比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點為分界點,對f(x),g(x)的大小進行比較).
1.知識清單:
(1)平均變化率.
(2)三種函數(shù)模型:線性函數(shù)增長模型、指數(shù)型函數(shù)增長模型、對數(shù)型函數(shù)增長模型.
2.方法歸納:數(shù)學(xué)建模.
3.常見誤區(qū):不理解三種函數(shù)增長的差異.
1.函數(shù)y=2x在區(qū)間[x0,x0+Δx]上的平均變化率為 (　　)
A.x0+Δx B.1+Δx
C.2+Δx D.2
2.下列函數(shù)中,x∈(1,+∞),增長速度最快的是 (　　)
A.y=2 024x B.y=x2 024
C.y=log2 024x D.y=2 024x
3.y1=2x,y2=x2,y3=log2x,當(dāng)2A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1
4.某跨國飲料公司在對全世界所有人均GDP在0.5~8千美元的地區(qū)銷售該公司A飲料的情況調(diào)查時發(fā)現(xiàn):該飲料在人均GDP處于中等的地區(qū)銷售量最多,然后向兩邊遞減.下列幾個模擬函數(shù)(x表示人均GDP,單位:千美元,y表示年人均A飲料的銷售量,單位:L),用來描述人均A飲料銷售量與地區(qū)的人均GDP關(guān)系最合適的函數(shù)模型是 (　　)
A.y=ax2+bx B.y=kx+b
C.y=logax+b D.y=ax+b
答案精析
問題1　第一個f(1)=1,f(2)=,第二個f(1)=1,f(2)= 8,顯然第二個f(2)- f(1)大,函數(shù)值增加的快.
知識梳理
(1)　(2)函數(shù)值　自變量　(3)快慢　(4)斜率
例1　(1)C　(2)v3>v2>v1
跟蹤訓(xùn)練1　(1)D　(2)C
問題2　(1)y=2x隨x的增大逐漸變“陡峭”;
(2)y=log2x隨x的增大逐漸變 “平緩”;
(3)y=2x隨x的增大勻速上升. y=2x的增長速度快于y=2x,y=2x的增長速度快于y=log2x.
知識梳理
單調(diào)遞增　單調(diào)遞增　單調(diào)遞增　y=kx(k>0)　logaxkx>logax
例2　B
跟蹤訓(xùn)練2　(1)A　(2)y2
例3　解　(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x2(x>0),C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=2x(x>0).
(2)因為f(2)=4,g(2)=4,
f(4)=16,g(4)=16,
所以A(2,4),B(4,16).
(3)由兩函數(shù)圖象和(2)可知,
當(dāng)0g(x),
當(dāng)2當(dāng)x>4時,f(x)>g(x),
所以f(2 024)>g(2 024),f(3)又因為g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
所以g(2 024)>g(3),
故f(2 024)>g(2 024)>g(3)>f(3).
跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=0.3x-1,
C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=lg x.
(2)當(dāng)x∈(0,x1)時,g(x)>f(x);
當(dāng)x∈(x1,x2)時,g(x)當(dāng)x∈(x2,+∞)時,g(x)>f(x).
隨堂演練
1.D　2.A　3.B　4.A

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