資源簡介

4.6 函數的應用（二）
[學習目標]　1.能利用已知函數模型求解實際問題.(重點)2.建立函數模型解決實際問題.(難點)3.實際問題中的函數模型選擇問題.
導語
我們知道,函數是描述客觀世界變化規律的數學模型,不同的變化規律需要用不同的函數模型來刻畫,面臨一個實驗問題,該如何選擇恰當的函數模型來刻畫它呢
問題　應用函數模型解決問題的基本過程是什么
提示　(1)審題——弄清題意,分清條件和結論,理順數量關系,初步選擇模型.
(2)建模——將自然語言轉化為數學語言,將文字語言轉化為符號語言,利用數學知識建立相應的數學模型.
(3)求模——求解數學模型,得出數學模型.
(4)還原——將數學結論還原為實際問題.
知識梳理
常見的幾種函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)=ax+b(a,b為常數,a≠0)
反比例函數模型 f(x)=+b(k,b為常數且k≠0)
二次函數模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
指數型函數模型 f(x)=bax+c(a,b,c為常數,b≠0,a>0且a≠1)
對數型函數模型 f(x)=blogax+c(a,b,c為常數,b≠0,a>0且a≠1)
冪函數型模型 f(x)=axα+b(a,b為常數,a≠0)
一、應用已知函數模型解決實際問題
例1　人們通常以分貝(符號是dB)為單位來表示聲音強度的等級,其中0 dB是人能聽到的等級最低的聲音.一般地,如果強度為x的聲音對應的等級為f(x)dB,則有:f(x)=alg (a為常數).已知人正常說話時聲音強度的等級約為60 dB,嘈雜的馬路上聲音強度的等級約為90 dB,而90 dB對應的聲音強度是60 dB對應的聲音強度的1 000倍.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)若某種噴氣式飛機起飛時,聲音強度的等級約為150 dB,計算該種噴氣式飛機起飛時的聲音強度是人正常說話時聲音強度的多少倍
解　(1)設90 dB對應的聲音強度是x1,60 dB對應的聲音強度是x2,則=1 000,
所以
所以30=alg,所以30=3a,所以a=10,
所以f(x)=10lg ,x∈(0,+∞).
(2)設噴氣式飛機起飛時的聲音強度為x3,
所以
所以9=lg ,所以=109,
故噴氣式飛機起飛時的聲音強度是人正常說話時聲音強度的109倍.
反思感悟　利用已知函數模型解決實際問題
(1)首先確定已知函數模型解析式中的未知參數;
(2)利用已知函數模型相關的運算性質、函數性質解決實際問題;
(3)涉及較為復雜的指數運算時,常常利用等式的兩邊取對數的方法,將指數運算轉化為對數運算.
跟蹤訓練1　Logit模型是常用數學模型之一,可應用于流行病學領域,有學者根據公布數據建立了某地區流行感冒累計確診病例數I(t)(t的單位:天)的Logit模型:I(t)=,其中K為最大確診病例數.當I(t*)=0.9K時,標志著已初步得到遏制,則t*約為(注:e為自然對數的底數,ln 9≈2.2) (　　)
A.60 B.62
C.66 D.69
答案　B
解析　∵I(t*)==0.9K,
∴1+==,
則-0.24(t*-53)=ln=-ln 9≈-2.2,
解得t*≈62.
二、建立函數模型解決實際問題
例2　某地規劃對一片面積為a的沙漠進行治理,每年治理面積占上一年底沙漠面積的百分比均為x(0(1)求x的值;
(2)若今年初這片沙漠面積為原沙漠面積的,按照規劃至少還需多少年,使剩余沙漠面積至多為原沙漠面積的
解　(1)由于每年治理面積占上一年底沙漠面積的百分比均為x(0則a(1-x)10=a,即(1-x)10=,
解得x=1-.
(2)設從今年開始,還需治理n年,
則n年后剩余面積為a(1-x)n,
令a(1-x)n≤a,即(1-x)n≤,
≤≥,解得n≥15,
故至少還需治理15年.
反思感悟　與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向,這類問題的特點是通過現實生活的事例考查書本知識,解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題意,只有吃透題意,才能將實際問題轉化為數學模型進行解答.
跟蹤訓練2　某公司為激勵創新,計劃逐年加大研發資金投入.若該公司2020年全年投入研發資金130萬元,在此基礎上,每年投入的研發資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是(參考數據:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) (　　)
A.2023年 B.2024年
C.2025年 D.2026年
答案　B
解析　設x年后研發資金開始超過200萬元,
所以130(1+12%)x>200,
所以1.12x>,所以x>log1.12,
所以x>,所以x>3.8,
故2024年研發資金開始超過200萬元.
三、建立擬合函數解決實際問題
例3　某位大學生帶領其團隊自主創業,通過直播帶貨的方式售賣特色農產品,下面為三年來農產品銷售量的統計表:
年份 2020 2021 2022
銷售量/萬斤 41 55 83
結合國家支持大學生創業政策和農產品市場需求情況,該大學生提出了2023年銷售115萬斤特色農產品的目標,經過創業團隊所有隊員的共同努力,2023年實際銷售123萬斤,超額完成預定目標.
(1)將2020,2021,2022,2023年分別定義為第1年、第2年、第3年、第4年,現有兩個函數模型:二次函數模型為f(x)=ax2+bx+c(a≠0);冪函數模型為g(x)=kx3+mx+n(k≠0).請你通過計算分析確定:選用哪個函數模型能更好地反映該創業團隊農產品的年銷售量y與第x年的關系;
(2)依照目前的形勢分析,你能否預測出該創業團隊在2024年度的農產品銷售量
解　(1)若選擇二次函數模型,
依題意,將前三年數據分別代入f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
得解得
所以f(x)=7x2-7x+41.
將x=4代入f(x),
得f(4)=7×42-7×4+41=125,
所以此與2023年實際銷售量的誤差為
125-123=2(萬斤).
若選擇冪函數模型,
依題意,將前三年數據分別代入g(x)=kx3+mx+n(k≠0),
得解得
所以g(x)=x3+x+34.
將x=4代入g(x),
得g(4)=×43+×4+34=132,
所以此與2023年實際銷售量的誤差為
132-123=9(萬斤).
顯然2<9,
因此,選用二次函數模型f(x)=7x2-7x+41能更好地反映該創業團隊農產品的年銷售量y與第x年的關系.
(2)依據(1),選用二次函數模型f(x)=7x2-7x+41進行預測,
得f(5)=7×52-7×5+41=181(萬斤).
即預測該創業團隊在2024年的農產品銷售量為181萬斤.
反思感悟　建立擬合函數與預測的基本步驟
跟蹤訓練3　航天工程對人們的生活產生方方面面的影響,有關部門對某航模專賣店的商品銷售情況進行調查發現:該商品在過去的一個月內(以30天計)的日銷售價格P(x)(元)與時間x(天)的函數關系近似滿足P(x)=+2(常數k>0).該商品的日銷售量Q(x)(百個)與時間x(天)的部分數據如下表所示:
x(天) 5 10 17 26
Q(x)(百個) 4 5 6 7
已知第10天該商品的日銷售收入為3 500元.
(1)求實數k的值;
(2)給出以下三種函數模型:①Q(x)=px+q,②Q(x)=a|x-18|+b;③Q(x)=m+n,請你依據上表中的數據,從以上三種函數模型中,選擇你認為最合適的一種函數模型,來描述該商品的日銷售量Q(x)與時間x的關系,說明你選擇的理由,并借助你選擇的模型,預估該商品的日銷售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N*)(元)在哪一天達到最低
解　(1)由題意,500·=3 500,∴k=15.
(2)∵表格中Q(x)對應的數據勻速遞增時,x對應的數據并未勻速變化,∴排除模型①.
又∵Q(x)=a|x-18|+b表示在x=18兩側“等距”的函數值相等(或敘述為函數圖象關于直線x=18對稱),而表格中的數據并未體現此規律(5≠7),∴排除模型②.
對于模型③,將(5,4),(10,5)代入模型③,有解得
此時,Q(x)=+2,經驗證,(17,6),(26,7)均滿足,∴選模型③.
f(x)=100Q(x)·P(x)=100(+2)·=100
≥100×(19+4)=1 900+400.
當且僅當2=,即x=16時,等號成立.
∴日銷售收入在第16天達到最低.
1.知識清單:
(1)應用已知函數模型解決實際問題.
(2)建立函數模型解決實際問題.
(3)建立擬合函數解決實際問題.
2.方法歸納:轉化法.
3.常見誤區:
(1)實際應用題易忘記定義域和結論.
(2)對函數擬合效果的分析不能做出正確選擇.
1.把物體放在冷空氣中冷卻,如果物體原來的溫度是θ1 ℃,空氣的溫度是θ0 ℃,經過t分鐘后物體的溫度θ ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,其中k是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于0的常數,現有100 ℃的物體,放在10 ℃的空氣中冷卻,5分鐘后物體的溫度是40 ℃,則k約等于(參考數據:ln 3≈1.099) (　　)
A.0.22 B.0.27
C.0.36 D.0.55
答案　A
解析　根據題意40=10+(100-10)e-5k,即-5k=ln =-ln 3,
解得k=≈≈0.22.
2.有一組實驗數據如表所示:
t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12
V 1.5 4.04 7.5 12 18.01
現準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律,其中最接近的一個函數是 (　　)
A.V=log2t B.V=lot
C.V= D.V=2t-2
答案　C
解析　根據表中數據,描出各點,如圖所示,
結合選項,函數V=log2t的增長速度越來越緩慢,不符合題意;
函數V=lot隨著t的增大,V不斷減小,不符合題意;
函數V=的增長速度越來越快,符合題意;
函數V=2t-2的增長速度不變,不符合題意,
所以最接近的一個函數是V=.
3.衣柜里的樟腦丸,隨著時間會揮發而體積縮小,剛放進的新丸體積為a,經過t天后體積V與天數t的關系式為:V=a·e-kt.已知新丸經過50天后,體積變為a.若一個新丸體積變為a,則需經過的天數為 (　　)
A.125 B.100
C.75 D.50
答案　C
解析　由已知,得a=a·,∴e-k=.
設經過t1天后,一個新丸體積變為a,
則a=a·,
∴= =,∴=,即t1=75.
4.一個模具廠一年中12月份的產量是1月份產量的m倍,那么該模具廠這一年中產量的月平均增長率是　　　　.
答案　-1
解析　設每月的產量增長率為x,1月份產量為a,
則a(1+x)11=ma,
所以1+x=,即x=-1.
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共45分;多選題每小題6分,共6分
1.某研究小組在一項實驗中獲得一組關于y,t的數據,將其整理得到如圖所示的圖形.下列函數中,最能近似刻畫y與t之間關系的是 (　　)
A.y=2t B.y=2t2
C.y=t3 D.y=log2t
答案　D
2.某種產品今年的產量是a,如果保持5%的年增長率,那么經過x年(x∈N*),該產品的產量y滿足 (　　)
A.y=a(1+5%x) B.y=a+5%
C.y=a(1+5%)x-1 D.y=a(1+5%)x
答案　D
解析　今年產量為a,經過1年后產量為y=a(1+5%),經過2年后產量為y=a(1+5%)2,依此類推,經過x年后產量為y=a(1+5%)x.
3.中國茶文化博大精深.茶水的口感與茶葉類型以及水的溫度有關.經驗表明,某種綠茶用85 ℃的水泡制,再等到茶水溫度降至60 ℃時飲用,可以產生最佳口感.為分析泡制一杯最佳口感茶水所需的時間,某研究人員每隔1 min測量一次茶水的溫度,根據所得數據作出如圖所示的散點圖.觀察散點圖的分布情況,下列哪個函數模型可以近似地刻畫茶水溫度y隨時間x變化的規律 (　　)
A.y=mx2+n(m>0)
B.y=mx+n(m>0)
C.y=max+n(m>0,a>0,a≠1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1)
答案　C
4.大西洋鮭魚每年都要逆流而上,洄游到產卵地產卵.科學家發現鮭魚的游速v(單位:m/s)與鮭魚的耗氧量的單位數P的關系為v=log3,則鮭魚靜止時耗氧量的單位數為 (　　)
A.1 B.100
C.200 D.300
答案　B
解析　因為v=log3,所以當鮭魚靜止時,v=0,即log3=0,
化簡得=1,所以P=100.
5.國內首個百萬千瓦級海上風電項目—三峽陽江沙扒海上風電場實現全容量并網發電,為粵港澳大灣區建設提供清潔能源動力.風速預測是風電出力大小評估的重要工作,通常采用威布爾分布模型,有學者根據某地氣象數據得到該地的威布爾分布模型:F(x)=1-,其中k為形狀參數,x為風速.已知風速為1 m/s時,F≈0.221,則當風速為4 m/s時,F約為(參考數據:ln 0.779≈-0.25,e-4≈0.018) (　　)
A.0.920 B.0.964
C.0.975 D.0.982
答案　D
解析　因為F(1)≈0.221,
所以≈0.779,≈-ln 0.779,2k≈4,得k≈2,
所以F(4)=1-≈1-e-4≈0.982.
6.(多選)某工廠生產一種溶液,按市場要求雜質含量不得超過0.1%,而這種溶液最初的雜質含量為2%,現進行過濾,已知每過濾一次雜質含量減少,則使產品達到市場要求的過濾次數可以為(參考數據:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) (　　)
A.6 B.9
C.8 D.7
答案　BC
解析　設經過n次過濾,產品達到市場要求,則 ×≤,即≤,由nlg ≤-lg 20,
即n(lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2),
得n≥≈7.4.
7.(5分)近來,國內多個城市紛紛加碼布局“夜經濟”,以滿足不同層次的多元消費,并拉動就業、帶動創業,進而提升區域經濟發展活力.某夜市的一位工藝品售賣者,通過對每天銷售情況的調查發現:該工藝品在過去的一個月內(以30天計),日銷售量Q(x)(單位:件)與時間x(單位:天)的部分數據如表所示:
x 10 15 20 25 30
Q(x) 50 55 60 55 50
給出以下四個函數模型:
①Q(x)=ax+b;②Q(x)=a|x-m|+b;③Q(x)=a·bx;④Q(x)=alogbx.
根據表中的數據,最適合用來描述日銷售量Q(x)與時間x的變化關系的函數模型是　　　　.
答案　②
解析　由表格中的數據知,當時間x變化時,
Q(x)先增后減,
函數模型①Q(x)=ax+b;③Q(x)=a·bx;
④Q(x)=alogbx都是單調函數,
所以選擇模型②Q(x)=a|x-m|+b.
8.(5分)某種放射性元素的原子數N隨時間t的變化規律是N=N0e-λt,其中N0,λ為正常數.由放射性元素的這種性質,可以制造高精度的時鐘,用原子數表示時間t為　　　　　　　　.
答案　t=-ln
解析　因為N=N0e-λt,所以=e-λt,兩邊取以e為底的對數,所以t=-ln .
9.(10分)據觀測統計,某濕地公園某種珍稀鳥類的現有個數約1 000只,并以平均每年8%的速度增加.
(1)求兩年后這種珍稀鳥類的大約個數;(3分)
(2)寫出y(珍稀鳥類的個數)關于x(經過的年數)的函數關系式;(3分)
(3)約經過多少年以后,這種鳥類的個數達到現有個數的3倍或以上 (結果為整數)(參考數據:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(4分)
解　(1)依題意,得一年后這種鳥類的個數為1 000+1 000×8%=1 080(只),
兩年后這種鳥類的個數為1 080+1 080×8%≈1 166(只).
(2)由題意可知珍稀鳥類的現有個數約1 000只,并以平均每年8%的速度增加,
則所求的函數關系式為y=1 000×1.08x,x∈N.
(3)令1 000×1.08x≥3×1 000,得1.08x≥3,兩邊取常用對數得lg 1.08x≥lg 3,即xlg 1.08≥lg 3,
因為lg 1.08>0,所以x≥,
所以x≥=,
因為lg 108=lg(33×22)=3lg 3+2lg 2,
所以x≥
≈≈14.3,
故約經過15年以后,這種鳥類的個數達到現有個數的3倍或以上.
10.(12分)蘆薈是一種經濟價值很高的觀賞、食用植物,不僅可美化居室、凈化空氣,又可美容保健,因此深受人們歡迎,在國內占有很大的市場.某人準備進軍蘆薈市場,栽培蘆薈,為了了解行情,進行市場調研,從4月1日起,蘆薈的種植成本Q(單位:元/10 kg)與上市時間t(單位:天)的數據情況如表:
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根據表中數據,從下列函數中選取一個最能反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系的函數:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=alogbt;(6分)
(2)利用你選擇的函數,求蘆薈種植成本最低時的上市天數及最低種植成本.(6分)
解　(1)由所提供的數據可知,刻畫蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系的函數不可能是常函數,若用函數Q=at+b,Q=a·bt,Q=alogbt中的任意一個來反映時都應有a≠0,且上述三個函數均為單調函數,這與表格所提供的數據不符合,所以應選用二次函數Q=at2+bt+c進行描述,將表格所提供的三組數據分別代入函數Q=at2+bt+c,可得
解得a=,b=-,c=.
所以刻畫蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系的函數為Q=t2-t+.
(2)由(1)可得,函數Q為圖象開口向上,對稱軸為
t=-=150的拋物線,
所以當t=150天時,蘆薈種植成本最低為
Q=×1502-×150+=100(元/10 kg).
11.白細胞是一類無色、球形、有核的血細胞,正常成人白細胞計數為(4.0~10.0)×109/L,可因每日不同時間和機體不同的功能狀態而在一定范圍內變化.若白細胞計數因為感染產生病理性持續升高,則需進一步探查原因,進行藥物干預.研究人員在對某種藥物的研究過程中發現,在特定實驗環境下的某段時間內,可以用對數模型W(m)=-W0ln(Km)描述白細胞計數W(m)(單位:109/L)與隨用藥量m(單位:mg)的變化規律,其中W0為初始白細胞計數對應值,K為參數.已知W0=20,用藥量m=50時,在規定時間后測得白細胞計數W=14,要使白細胞計數達到正常值,則需將用藥量至少提高到(參考數據:≈1.221) (　　)
A.58 B.59
C.60 D.62
答案　D
解析　由已知W0=20,m=50,W(50)=14,代入W(m)=-W0ln(Km),
則14=-20ln(50K),解得K=,
則W(m)=-20ln,
因為用藥量m=50時,在規定時間后測得白細胞計數W=14,白細胞計數值偏高,
所以令W(m)=-20ln≤10,
即ln≥-,
解得m≥50≈50×1.221=61.05.
所以要使白細胞計數達到正常值,則需將用藥量至少提高到62.
12.某食品的保鮮時間y(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數關系y=ekx+b(e為自然對數的底數,k,b為常數).若該食品在0 ℃的保鮮時間是192 h,在22 ℃的保鮮時間是48 h,則該食品在33 ℃的保鮮時間是 (　　)
A.16 h B.20 h
C.24 h D.26 h
答案　C
解析　由題意可知,當x=0時,y=192;當x=22時,y=48,
∴解得則當x=33時,
y=e33k+b=·eb=×192=24.
13.某工廠生產過程中產生的廢氣必須經過過濾后才能排放,已知在過濾過程中,廢氣中的污染物含量p(單位:毫克/升)與過濾時間t(單位:小時)之間的關系為p(t)=p0e-kt(e為自然對數的底數,p0為污染物的初始含量).過濾1小時后,檢測發現污染物的含量減少了,要使污染物的含量不超過初始值的,至少還需過濾　　　　　小時(參考數據:lg 2≈0.301 0) (　　)
A.40 B.38
C.44 D.42
答案　D
解析　根據題設,得p0=p0e-k,
∴e-k=,所以p(t)=p0;
由p(t)=p0≤p0,得≤10-4,兩邊分別取以10為底的對數,并整理得t(1-3lg 2)≥4,∴t≥≈41.2,
因此,至少還需過濾42小時.
14.(5分)光線通過一塊玻璃,其強度要失掉原來的,要使通過玻璃的光線強度為原來的以下,至少需要這樣的玻璃板的塊數為　　　　.(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
答案　7
解析　設至少需要x塊玻璃板,
由題意知<,即<,
兩邊取對數lg即x·(lg 9-lg 10)<-lg 2,
即x·(1-2lg 3)>lg 2,x>≈6.57,
∴x=7.
15.為了預防某種病毒,某商場需要通過噴灑藥物對內部空間進行全面消毒.出于對顧客身體健康的考慮,相關部門規定空氣中這種藥物的濃度不超過0.25毫克/立方米時,顧客方可進入商場.已知從噴灑藥物開始,商場內部的藥物濃度y(毫克/立方米)與時間t(分鐘)之間的函數關系為y=函數的圖象如圖所示.如果商場規定9:30顧客可以進入商場,那么開始噴灑藥物的時間最遲是 (　　)
A.9:00 B.8:40
C.8:30 D.8:00
答案　A
解析　根據函數的圖象,可得函數的圖象過點(10,1),
代入函數的解析式,可得=1,解得a=1,所以y=
令y≤0.25,可得0.1t≤0.25或≤0.25,
解得0所以如果商場規定9:30顧客可以進入商場,那么開始噴灑藥物的時間最遲是9:00.
16.(12分)科學家發現某種特殊物質的溫度y(單位:攝氏度)隨時間x(單位:分鐘)的變化規律滿足關系式:y=m·2x+21-x(0≤x≤4,m>0).
(1)若m=2,求經過多少分鐘,該物質的溫度為5攝氏度;(5分)
(2)如果該物質溫度總不低于2攝氏度,求m的取值范圍.(7分)
解　(1)由題意,得m=2,
令y=2·2x+21-x=2·2x+=5,
解得x=1(負值舍去),
因此,經過1分鐘,該物質的溫度為5攝氏度.
(2)由題意得m·2x+21-x≥2對一切0≤x≤4恒成立,則由m·2x+21-x≥2,得m≥-,
令t=2-x,則≤t≤1,且m≥2t-2t2,
構造函數f(t)=2t-2t2=-2+,
所以當t=時,函數y=f(t)取得最大值,
則m≥.因此,實數m的取值范圍是.4.6函數的應用（二）
[學習目標]　1.能利用已知函數模型求解實際問題.2.建立函數模型解決實際問題.3.實際問題中的函數模型選擇問題.
問題　應用函數模型解決問題的基本過程是什么
知識梳理
常見的幾種函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)=ax+b(a,b為常數,a≠0)
反比例函數模型 f(x)=　　　　　　(k,b為常數且k≠0)
二次函數模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
指數型函數模型 f(x)=　　　　　(a,b,c為常數,b≠0,a>0且a≠1)
對數型函數模型 f(x)=blogax+c(a,b,c為常數,b≠0,a>0且a≠1)
冪函數型模型 f(x)=　　　　　　(a,b為常數,a≠0)
一、應用已知函數模型解決實際問題
例1　人們通常以分貝(符號是dB)為單位來表示聲音強度的等級,其中0 dB是人能聽到的等級最低的聲音.一般地,如果強度為x的聲音對應的等級為f(x)dB,則有:f(x)=alg (a為常數).已知人正常說話時聲音強度的等級約為60 dB,嘈雜的馬路上聲音強度的等級約為90 dB,而90 dB對應的聲音強度是60 dB對應的聲音強度的1 000倍.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)若某種噴氣式飛機起飛時,聲音強度的等級約為150 dB,計算該種噴氣式飛機起飛時的聲音強度是人正常說話時聲音強度的多少倍
跟蹤訓練1　Logit模型是常用數學模型之一,可應用于流行病學領域,有學者根據公布數據建立了某地區流行感冒累計確診病例數I(t)(t的單位:天)的Logit模型:I(t)=,其中K為最大確診病例數.當I(t*)=0.9K時,標志著已初步得到遏制,則t*約為(注:e為自然對數的底數,ln 9≈2.2) (　　)
A.60 B.62
C.66 D.69
二、建立函數模型解決實際問題
例2　某地規劃對一片面積為a的沙漠進行治理,每年治理面積占上一年底沙漠面積的百分比均為x(0(1)求x的值;
(2)若今年初這片沙漠面積為原沙漠面積的,按照規劃至少還需多少年,使剩余沙漠面積至多為原沙漠面積的
跟蹤訓練2　某公司為激勵創新,計劃逐年加大研發資金投入.若該公司2020年全年投入研發資金130萬元,在此基礎上,每年投入的研發資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是(參考數據:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) (　　)
A.2023年 B.2024年
C.2025年 D.2026年
三、建立擬合函數解決實際問題
例3　某位大學生帶領其團隊自主創業,通過直播帶貨的方式售賣特色農產品,下面為三年來農產品銷售量的統計表:
年份 2020 2021 2022
銷售量/萬斤 41 55 83
結合國家支持大學生創業政策和農產品市場需求情況,該大學生提出了2023年銷售115萬斤特色農產品的目標,經過創業團隊所有隊員的共同努力,2023年實際銷售123萬斤,超額完成預定目標.
(1)將2020,2021,2022,2023年分別定義為第1年、第2年、第3年、第4年,現有兩個函數模型:二次函數模型為f(x)=ax2+bx+c(a≠0);冪函數模型為g(x)=kx3+mx+n(k≠0).請你通過計算分析確定:選用哪個函數模型能更好地反映該創業團隊農產品的年銷售量y與第x年的關系;
(2)依照目前的形勢分析,你能否預測出該創業團隊在2024年度的農產品銷售量
跟蹤訓練3　航天工程對人們的生活產生方方面面的影響,有關部門對某航模專賣店的商品銷售情況進行調查發現:該商品在過去的一個月內(以30天計)的日銷售價格P(x)(元)與時間x(天)的函數關系近似滿足P(x)=+2(常數k>0).該商品的日銷售量Q(x)(百個)與時間x(天)的部分數據如下表所示:
x(天) 5 10 17 26
Q(x)(百個) 4 5 6 7
已知第10天該商品的日銷售收入為3 500元.
(1)求實數k的值;
(2)給出以下三種函數模型:①Q(x)=px+q,②Q(x)=a|x-18|+b;③Q(x)=m+n,請你依據上表中的數據,從以上三種函數模型中,選擇你認為最合適的一種函數模型,來描述該商品的日銷售量Q(x)與時間x的關系,說明你選擇的理由,并借助你選擇的模型,預估該商品的日銷售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N*)(元)在哪一天達到最低
1.知識清單:
(1)應用已知函數模型解決實際問題.
(2)建立函數模型解決實際問題.
(3)建立擬合函數解決實際問題.
2.方法歸納:轉化法.
3.常見誤區:
(1)實際應用題易忘記定義域和結論.
(2)對函數擬合效果的分析不能做出正確選擇.
1.把物體放在冷空氣中冷卻,如果物體原來的溫度是θ1 ℃,空氣的溫度是θ0 ℃,經過t分鐘后物體的溫度θ ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,其中k是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于0的常數,現有100 ℃的物體,放在10 ℃的空氣中冷卻,5分鐘后物體的溫度是40 ℃,則k約等于(參考數據:ln 3≈1.099) (　　)
A.0.22 B.0.27
C.0.36 D.0.55
2.有一組實驗數據如表所示:
t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12
V 1.5 4.04 7.5 12 18.01
現準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律,其中最接近的一個函數是 (　　)
A.V=log2t B.V=lot
C.V= D.V=2t-2
3.衣柜里的樟腦丸,隨著時間會揮發而體積縮小,剛放進的新丸體積為a,經過t天后體積V與天數t的關系式為:V=a·e-kt.已知新丸經過50天后,體積變為a.若一個新丸體積變為a,則需經過的天數為 (　　)
A.125 B.100
C.75 D.50
4.一個模具廠一年中12月份的產量是1月份產量的m倍,那么該模具廠這一年中產量的月平均增長率是　　　　　　　　　　.
答案精析
問題　(1)審題——弄清題意,分清條件和結論,理順數量關系,初步選擇模型.
(2)建模——將自然語言轉化為數學語言,將文字語言轉化為符號語言,利用數學知識建立相應的數學模型.
(3)求模——求解數學模型,得出數學模型.
(4)還原——將數學結論還原為實際問題.
知識梳理
+b　bax+c　axα+b
例1　解　(1)設90 dB對應的聲音強度是x1,60 dB對應的聲音強度是x2,則=1 000,
所以
所以30=alg ,所以30=3a,
所以a=10,
所以f(x)=10lg ,x∈(0,+∞).
(2)設噴氣式飛機起飛時的聲音強度為x3,
所以
所以9=lg ,所以=109,
故噴氣式飛機起飛時的聲音強度是人正常說話時聲音強度的109倍.
跟蹤訓練1　B
例2　解　(1)由于每年治理面積占上一年底沙漠面積的百分比均為x(0則a(1-x)10=a,即(1-x)10=,
解得x=1-.
(2)設從今年開始,還需治理n年,
則n年后剩余面積為a(1-x)n,
令a(1-x)n≤a,即(1-x)n≤,
≤≥,解得n≥15,
故至少還需治理15年.
跟蹤訓練2　B
例3　解　(1)若選擇二次函數模型,
依題意,將前三年數據分別代入
f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
得解得
所以f(x)=7x2-7x+41.
將x=4代入f(x),
得f(4)=7×42-7×4+41=125,
所以此與2023年實際銷售量的誤差為
125-123=2(萬斤).
若選擇冪函數模型,
依題意,將前三年數據分別代入
g(x)=kx3+mx+n(k≠0),
得解得
所以g(x)=x3+x+34.
將x=4代入g(x),
得g(4)=×43+×4+34=132,
所以此與2023年實際銷售量的誤差為
132-123=9(萬斤).
顯然2<9,
因此,選用二次函數模型f(x)=7x2-7x+41能更好地反映該創業團隊農產品的年銷售量y與第x年的關系.
(2)依據(1),選用二次函數模型
f(x)=7x2-7x+41進行預測,
得f(5)=7×52-7×5+41=181(萬斤).
即預測該創業團隊在2024年的農產品銷售量為181萬斤.
跟蹤訓練3　解　(1)由題意,
500·=3 500,
∴k=15.
(2)∵表格中Q(x)對應的數據勻速遞增時,x對應的數據并未勻速變化,
∴排除模型①.
又∵Q(x)=a|x-18|+b表示在x=18兩側“等距”的函數值相等(或敘述為函數圖象關于直線x=18對稱),而表格中的數據并未體現此規律(5≠7),
∴排除模型②.
對于模型③,將(5,4),(10,5)代入模型③,有解得
此時,Q(x)=+2,經驗證,(17,6),(26,7)均滿足,∴選模型③.
f(x)=100Q(x)·P(x)
=100(+2)·
=100
≥100×(19+4)=1 900+400.
當且僅當2=,
即x=16時,等號成立.
∴日銷售收入在第16天達到最低.
隨堂演練
1.A　2.C　3.C　4.-1

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