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章末復習課
一、指數、對數運算
1.指數、對數的運算主要考查對數與指數的互化,指數、對數的運算法則以及換底公式等,會利用運算法則進行化簡、計算、證明等.
2.掌握基本運算法則,重點提升數學運算素養.
例1　計算:(1)(×(÷;
(2)2log32-log3+log38-2.
解　(1)原式=(×(1÷1
=2-1×103×1=2-1×1=.
(2)原式=log34-log3+log38-
=log3-
=log39-9=2-9=-7.
反思感悟　指數、對數的運算應遵循的原則
(1)指數式的運算首先注意化簡順序,一般負指數先轉化成正指數,根式化為分數指數冪運算,其次若出現分式,則要注意分子、分母因式分解以達到約分的目的.
(2)對數運算首先注意公式應用過程中范圍的變化,前后要等價,熟練地運用對數的三個運算法則,其次對數恒等式、換底公式是對數計算、化簡、證明常用的技巧.
跟蹤訓練1　(1)計算:80.25×+(×)6+log32×log2(log327)的值為　　　　.
答案　111
解析　∵log32×log2(log327)=log32×log23
=×=1,
∴原式=×+22×33+1=21+4×27+1=111.
(2)已知2x=3,log4=y,則x+2y的值為　　　　.
答案　3
解析　由2x=3,log4=y得x=log23,
y=log4=log2,
所以x+2y=log23+log2=log28=3.
二、函數圖象的應用
1.指數函數、對數函數與冪函數的圖象及應用有兩個方面:一是已知函數解析式求作函數圖象,即“知式求圖”;二是判斷方程的根的個數時,通常不具體解方程,而是轉化為判斷指數函數、對數函數與冪函數等圖象的交點個數問題.
2.掌握指數函數、對數函數與冪函數圖象的作法以及簡單的圖象平移、翻折等變換,提升直觀想象和邏輯推理素養.
例2　(1)已知f(x)是函數y=log2x的反函數,則y=f(1-x)的圖象是 (　　)
答案　C
解析　函數y=log2x的反函數為y=2x,故f(x)=2x,于是f(1-x)=21-x=,此函數在R上為減函數,其圖象過點(0,2),所以選項C中的圖象符合要求.
(2)已知當x∈(1,2)時,不等式(x-1)2A.(0,1) B.(1,2)
C.(1,2] D.
答案　C
解析　如圖所示,設f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使當x∈(1,2)時,不等式(x-1)2當0當a>1時,如圖,要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1)2的圖象在f2(x)=logax的下方,只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤loga2.∴loga2≥1,∴1反思感悟　指數函數、對數函數與冪函數圖象既是直接考查的對象,又是數形結合求交點、最值、解不等式的工具,所以要能熟練畫出這三類函數圖象,并會進行平移、對稱、翻折等變換.
跟蹤訓練2　(1)若函數y=logax(a>0且a≠1)的圖象如圖所示,則下列函數圖象正確的是 (　　)
答案　B
解析　由題意得y=logax(a>0且a≠1)的圖象過點(3,1),可得a=3.選項A中,y=3-x=,顯然圖象錯誤;選項B中,y=x3,由冪函數圖象可知正確;選項C中,y=(-x)3=-x3,顯然與所畫圖象不符;選項D中,y=log3(-x)的圖象與y=log3x的圖象關于y軸對稱,顯然不符.
(2)已知函數f(x)=loga(2x+b-1)(a>0且a≠1)的圖象如圖所示,則a,b滿足的關系是 (　　)
A.0B.0C.0D.0答案　A
解析　由圖象知,函數為增函數,所以a>1.
又當x=0時,-1所以0三、比較大小
1.比較幾個數的大小問題是指數函數、對數函數和冪函數的重要應用,最基本的方法是將需要比較大小的實數看成某類函數的函數值,然后利用該類函數的單調性進行比較.
2.掌握指數函數、對數函數和冪函數的圖象和單調性,對于不同的底數,注意分類討論,提升直觀想象和邏輯推理素養.
例3　(1)已知a=log20.3,b=20.3,c=0.30.2,則a,b,c三者的大小關系是 (　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>b>a
(2)設a=lo2,b=lo3,c=0.,則 (　　)
A.aC.b答案　(1)C　(2)D
解析　(1)∵a=log20.320=1,0c>a.
(2)∵a=lo2<0,b=lo3<0,lo2>lo3,
lo3>lo3,c=0.>0.∴b反思感悟　數的大小比較常用的技巧
(1)當需要比較大小的兩個實數均是指數冪或對數式時,可將其看成某個指數函數、對數函數的函數值,然后利用該函數的單調性比較.
(2)比較多個數的大小時,先利用“0”和“1”作為分界點,即把它們分為“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分,然后再在各部分內利用函數的性質比較大小.
跟蹤訓練3　已知0A.x>y>z B.z>y>x
C.y>x>z D.z>x>y
答案　C
解析　依題意,得x=loga,y=loga,z=loga.
又0因此有loga>loga>loga,即y>x>z.
四、函數的綜合性質的應用
1.以函數的性質為依托,結合運算考查函數的圖象性質,以及利用性質進行大小比較、方程和不等式求解等.
2.掌握指數函數、對數函數的圖象及性質,重點提升數學運算和邏輯推理素養.
例4　已知函數f(x)=,a>0.
(1)判斷f(x)的單調性,并用定義證明;
(2)若f(x)為奇函數,求關于x的不等式f(2ax)解　(1)f(x)的定義域為R, x1,x2∈R,且x1有f(x1)-f(x2)=1--1+=,
因為x1-x2<0,所以-<0,又因為a>0,
所以<0,f(x1)所以函數f(x)在R上單調遞增.
(2)由題意得f(-x)==
=-f(x),解得a=1.
由(1)可知f(x)在R上單調遞增,
所以由f(2x)故不等式的解集為(-∞,2).
反思感悟　解決此類問題要熟練掌握指數函數、對數函數的圖象和性質.方程、不等式的求解可利用單調性進行轉化,對含參數的問題進行分類討論,同時還要注意變量本身的取值范圍,以免出現增根.
跟蹤訓練4　已知函數f(x)=lg(x+2)-lg(2-x).
(1)求f(x)的定義域;
(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明;
(3)求不等式f(x)>1的解集.
解　(1)要使函數f(x)有意義,則
解得-2故所求函數f(x)的定義域為(-2,2).
(2)f(x)為奇函數.證明如下:
由(1)知f(x)的定義域為(-2,2),
設任意的x∈(-2,2),則-x∈(-2,2),
且f(-x)=lg(-x+2)-lg(2+x)=-f(x),
故f(x)為奇函數.
(3)因為f(x)在定義域(-2,2)上是增函數,
所以f(x)>1等價于>10,解得x>.
所以不等式f(x)>1的解集是.章末復習課
一、指數、對數運算
1.指數、對數的運算主要考查對數與指數的互化,指數、對數的運算法則以及換底公式等,會利用運算法則進行化簡、計算、證明等.
2.掌握基本運算法則,重點提升數學運算素養.
例1　計算:(1)(×(÷;
(2)2log32-log3+log38-2.
反思感悟　指數、對數的運算應遵循的原則
(1)指數式的運算首先注意化簡順序,一般負指數先轉化成正指數,根式化為分數指數冪運算,其次若出現分式,則要注意分子、分母因式分解以達到約分的目的.
(2)對數運算首先注意公式應用過程中范圍的變化,前后要等價,熟練地運用對數的三個運算法則,其次對數恒等式、換底公式是對數計算、化簡、證明常用的技巧.
跟蹤訓練1　(1)計算:80.25×+(×)6+log32×log2(log327)的值為　　　　　　.
(2)已知2x=3,log4=y,則x+2y的值為　　　　　　.
二、函數圖象的應用
1.指數函數、對數函數與冪函數的圖象及應用有兩個方面:一是已知函數解析式求作函數圖象,即“知式求圖”;二是判斷方程的根的個數時,通常不具體解方程,而是轉化為判斷指數函數、對數函數與冪函數等圖象的交點個數問題.
2.掌握指數函數、對數函數與冪函數圖象的作法以及簡單的圖象平移、翻折等變換,提升直觀想象和邏輯推理素養.
例2　(1)已知f(x)是函數y=log2x的反函數,則y=f(1-x)的圖象是 (　　)
(2)已知當x∈(1,2)時,不等式(x-1)2A.(0,1) B.(1,2)
C.(1,2] D.
反思感悟　指數函數、對數函數與冪函數圖象既是直接考查的對象,又是數形結合求交點、最值、解不等式的工具,所以要能熟練畫出這三類函數圖象,并會進行平移、對稱、翻折等變換.
跟蹤訓練2　(1)若函數y=logax(a>0且a≠1)的圖象如圖所示,則下列函數圖象正確的是 (　　)
(2)已知函數f(x)=loga(2x+b-1)(a>0且a≠1)的圖象如圖所示,則a,b滿足的關系是 (　　)
A.0C.0三、比較大小
1.比較幾個數的大小問題是指數函數、對數函數和冪函數的重要應用,最基本的方法是將需要比較大小的實數看成某類函數的函數值,然后利用該類函數的單調性進行比較.
2.掌握指數函數、對數函數和冪函數的圖象和單調性,對于不同的底數,注意分類討論,提升直觀想象和邏輯推理素養.
例3　(1)已知a=log20.3,b=20.3,c=0.30.2,則a,b,c三者的大小關系是 (　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>b>a
(2)設a=lo2,b=lo3,c=0.,則 (　　)
A.aC.b反思感悟　數的大小比較常用的技巧
(1)當需要比較大小的兩個實數均是指數冪或對數式時,可將其看成某個指數函數、對數函數的函數值,然后利用該函數的單調性比較.
(2)比較多個數的大小時,先利用“0”和“1”作為分界點,即把它們分為“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分,然后再在各部分內利用函數的性質比較大小.
跟蹤訓練3　已知0A.x>y>z B.z>y>x
C.y>x>z D.z>x>y
四、函數的綜合性質的應用
1.以函數的性質為依托,結合運算考查函數的圖象性質,以及利用性質進行大小比較、方程和不等式求解等.
2.掌握指數函數、對數函數的圖象及性質,重點提升數學運算和邏輯推理素養.
例4　已知函數f(x)=,a>0.
(1)判斷f(x)的單調性,并用定義證明;
(2)若f(x)為奇函數,求關于x的不等式f(2ax)反思感悟　解決此類問題要熟練掌握指數函數、對數函數的圖象和性質.方程、不等式的求解可利用單調性進行轉化,對含參數的問題進行分類討論,同時還要注意變量本身的取值范圍,以免出現增根.
跟蹤訓練4　已知函數f(x)=lg(x+2)-lg(2-x).
(1)求f(x)的定義域;
(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明;
(3)求不等式f(x)>1的解集.
答案精析
例1　解　(1)原式=(×(1÷1
=2-1×103×1=2-1×1=.
(2)原式=log34-log3+log38-
=log3-
=log39-9=2-9=-7.
跟蹤訓練1　(1)111　(2)3
例2　(1)C　(2)C
跟蹤訓練2　(1)B　(2)A
例3　(1)C　(2)D
跟蹤訓練3　C
例4　解　(1)f(x)的定義域為R, x1,x2∈R,且x1有f(x1)-f(x2)=1--1+=,
因為x1-x2<0,所以-<0,又因為a>0,
所以<0,
f(x1)所以函數f(x)在R上單調遞增.
(2)由題意得f(-x)==
=-f(x),解得a=1.
由(1)可知f(x)在R上單調遞增,
所以由f(2x)解得x<2,
故不等式的解集為(-∞,2).
跟蹤訓練4　解　(1)要使函數f(x)有意義,則
解得-2故所求函數f(x)的定義域為(-2,2).
(2)f(x)為奇函數.證明如下:
由(1)知f(x)的定義域為(-2,2),
設任意的x∈(-2,2),則-x∈(-2,2),
且f(-x)=lg(-x+2)-lg(2+x)=-f(x),
故f(x)為奇函數.
(3)因為f(x)在定義域(-2,2)上是增函數,
所以f(x)>1等價于>10,
解得x>.
所以不等式f(x)>1的解集是.

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