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第2課時　分層抽樣
[學(xué)習(xí)目標]　1.理解并掌握分層抽樣.2.會用分層抽樣從總體中抽取樣本.3.會用分層抽樣解決實際問題.
導(dǎo)語
抽樣調(diào)查最核心的問題是樣本的代表性.簡單隨機抽樣是使總體中每一個個體都有相等的機會被抽中,但因為抽樣的隨機性,有可能會出現(xiàn)比較“極端”的樣本.例如,在對某中學(xué)高一年級學(xué)生身高的調(diào)查中,可能出現(xiàn)樣本中50個個體大部分來自高個子或矮個子的情形.這種“極端”樣本的平均數(shù)會大幅度地偏離總體平均數(shù),從而使得估計出現(xiàn)較大的誤差.能否利用總體中的一些額外信息對抽樣方法進行改進呢
一、分層抽樣的概念
問題　某中學(xué)高一年級共有1 000名學(xué)生,男生有450名,女生有550名,若要抽取50名學(xué)生的身高作為樣本,用簡單隨機抽樣可以嗎 為什么 如何去抽取比較合理
提示　不可以直接使用簡單隨機抽樣.如果采用簡單隨機抽樣,得到的樣本中,男生(女生)所占比例與總體中的男生(女生)所占比例可能存在較大差異,從而導(dǎo)致最后得到的結(jié)果不能很好地反映總體的情況,可以將男生和女生看作兩個群體,分別進行簡單隨機抽樣,然后匯總作為總體的一個樣本,即采用按男生、女生的比例去抽樣的方法比較合理.
知識梳理
分層抽樣的概念
一般地,如果相對于要考察的問題來說,總體可以分成有明顯差別的、互不重疊的幾部分時,每一部分可稱為層,在各層中按層在總體中所占比例進行隨機抽樣的方法稱為分層隨機抽樣(簡稱為分層抽樣).
注意點:
(1)通過分層抽樣所得到的樣本,一般更具有代表性,可以更準確地反映總體的特征.
(2)分層抽樣如何分層要視具體情況而定,總的原則是每層內(nèi)樣本的差異要盡可能小,而層與層之間的差異要盡可能大,且互不重疊,否則將失去分層的意義.
(3)所有層都按同一抽樣比等可能抽取,以保證每個個體被等可能抽取.
(4)根據(jù)實際情況,可對每層所抽取的數(shù)目進行適當?shù)募毼⒄{(diào)整.
例1　(1)下列各項中屬于分層抽樣的特點的是 (　　)
A.從總體中逐個抽取
B.將總體分成幾層,分層進行抽取
C.將總體分成幾部分,在各部分中抽取相同數(shù)量的個體
D.將總體隨意分成幾部分,然后進行隨機抽取
答案　B
解析　A屬于簡單隨機抽樣的特點,B屬于分層抽樣的特點,C,D不屬于分層抽樣的特點,所以應(yīng)選B.
(2)下列問題中,最適合用分層抽樣抽取樣本的是 (　　)
A.從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會
B.一次數(shù)學(xué)競賽中,某班有10人在100分(含100分)以上,40人在90~100分,12人低于90分,現(xiàn)從中抽取12人了解有關(guān)情況
C.從1 000名工人中,抽取100名調(diào)查上班途中所用時間
D.從生產(chǎn)流水線上,抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量
答案　B
解析　A中總體個體無明顯差異,不適合用分層抽樣;C和D中總體個體無明顯差異,不適合用分層抽樣;B中總體個體差異明顯,適合用分層抽樣.
反思感悟　使用分層抽樣應(yīng)遵循的原則
(1)將相似的個體歸入一類,即為一層,分層要求每層的各個個體互不交叉,即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則.
(2)分層抽樣為保證每個個體等可能入樣,需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣,每層樣本數(shù)量與該層個體數(shù)量的比等于抽樣比.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)下列試驗中最適合用分層抽樣法抽樣的是 (　　)
A.從一箱3 000個零件中抽取5個入樣
B.從一箱3 000個零件中抽取600個入樣
C.從一箱30個零件中抽取5個入樣
D.從甲、乙兩廠生產(chǎn)的300個零件中抽取6個入樣
答案　D
解析　A中總體容量較大,樣本容量較小,適合用隨機數(shù)表法;B中總體容量較大,且無明顯差異,不適合用分層抽樣;C中總體容量較小且個體間無較大差異,樣本容量較小,適合用抽簽法;D中總體有明顯的層次,適合用分層抽樣法.
(2)分層抽樣又稱類型抽樣,即將相似的個體歸入一類(層),然后每類抽取若干個個體構(gòu)成樣本,所以分層抽樣為保證每個個體等可能抽樣,必須進行 (　　)
A.每層等可能抽樣
B.每層可以不等可能抽樣
C.所有層按同一抽樣比等可能抽樣
D.所有層抽取的個體數(shù)量相同
答案　C
解析　保證每個個體等可能的被抽樣是基本抽樣方式的共同特征,為了保證這一點,分層抽樣時必須在所有層都按同一抽樣比等可能抽樣.
二、分層抽樣中的計算
例2　某網(wǎng)站針對“2024年法定節(jié)假日調(diào)休安排”提出的A,B,C三種放假方案進行了問卷調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下:
支持A方案 支持B方案 支持C方案
35歲以下的人數(shù) 200 400 800
35歲以上(含35歲)的人數(shù) 100 100 400
(1)從所有參與調(diào)查的人中,用分層抽樣的方法抽取n人,已知從支持A方案的人中抽取了6人,求n的值;
(2)從支持B方案的人中,用分層抽樣的方法抽取5人,這5人中在35歲以上(含35歲)的人數(shù)是多少 35歲以下的人數(shù)是多少
解　(1)由題意得
=,
解得n=40.
(2)35歲以下的人數(shù)為×400=4,35歲以上(含35歲)的人數(shù)為5-4=1.
反思感悟　(1)分層抽樣中每層抽取的個體數(shù)的確定方法
已知總體容量、樣本容量及各層的個體數(shù)時,首先確定抽樣比,其中N為總體容量,n為樣本容量;然后確定每層抽取的個體的個數(shù)ni=Ni×,其中Ni為第i(i=1,2,…,k)層的個體數(shù),ni為第i層應(yīng)抽取的個體數(shù).
(2)分層抽樣中的計算常用比例關(guān)系
①=;
②總體中某兩層的個體數(shù)之比=樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比.
(3)根據(jù)實際情況,可先剔除部分個體,再分層抽樣.
跟蹤訓(xùn)練2　我市某所高中共有學(xué)生6 000人,其中高一、高二、高三年級的人數(shù)比為3∶4∶5,為迎接“戲曲進校園”活動,采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為240的樣本,則應(yīng)抽取高一年級的人數(shù)為 (　　)
A.50 B.60
C.70 D.80
答案　B
解析　應(yīng)抽取高一年級的人數(shù)為240×=60.
三、分層抽樣的設(shè)計
例3　某政府機關(guān)有在編人員100人,其中副處級以上干部10人,一般干部70人,工人20人,上級機關(guān)為了了解該政府機構(gòu)的改革意見,要從中抽取一個容量為20的樣本,試確定用何種方法抽取,并寫出具體實施操作過程.
解　因為個體差異明顯,為體現(xiàn)調(diào)查的公平性,應(yīng)該采用分層抽樣.因為=,
所以從副處級以上干部中抽取10×=2(人),
從一般干部中抽取70×=14(人),
從工人中抽取20×=4(人).
因為副處級以上干部與工人人數(shù)都較少,可分別按1~10編號與1~20編號,然后采用抽簽法分別抽取2人和4人.
一般干部有70人,人數(shù)較多,可以按00,01,…,69編號,然后利用隨機數(shù)表法抽取14人.
反思感悟　分層抽樣的步驟
跟蹤訓(xùn)練3　某市的3個區(qū)共有高中學(xué)生20 000人,且3個區(qū)的高中學(xué)生人數(shù)之比為2∶3∶5,各區(qū)高中學(xué)生的視力有明顯差異,現(xiàn)要從所有學(xué)生中抽取一個容量為200的樣本,調(diào)查該市高中學(xué)生的視力情況,試寫出抽樣過程.
解　由于該市各區(qū)高中學(xué)生的視力有明顯差異,因而用分層抽樣來抽取樣本,具體步驟如下:
(1)按區(qū)將高中學(xué)生分為三層,其中一個區(qū)為一層.
(2)確定每層抽取個體的個數(shù).在3個區(qū)分別抽取的學(xué)生人數(shù)之比是2∶3∶5,所以抽取的學(xué)生人數(shù)分別是200×=40;200×=60;200×=100.
(3)在各層分別抽取樣本.
(4)綜合每層抽樣,組成容量為200的樣本.
1.知識清單:
(1)分層抽樣的定義.
(2)分層抽樣的步驟.
(3)分層抽樣中的2個比例關(guān)系.
2.方法歸納:數(shù)據(jù)分析.
3.常見誤區(qū):
(1)在分層抽樣中,每個個體被抽到的可能性相等,與層數(shù)及分層無關(guān),每一層的抽樣一般采用簡單隨機抽樣.
(2)當總體容量不能被樣本容量整除時注意剔除個體.
1.某校高三年級有男生500人,女生400人,為了解該年級學(xué)生的健康情況,從男生中任意抽取25人,從女生中任意抽取20人進行調(diào)查.這種抽樣方法是 (　　)
A.簡單隨機抽樣 B.抽簽法
C.隨機數(shù)表法 D.分層抽樣
答案　D
解析　總體由男生和女生組成,比例為500∶400=5∶4,所抽取的比例也是5∶4.
2.某工廠甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品,數(shù)量分別為120件,80件,60件.為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異,用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調(diào)查,其中從丙車間的產(chǎn)品中抽取了3件,則n等于 (　　)
A.9 B.10
C.12 D.13
答案　D
解析　∵=,∴n=13.
3.甲校有3 600名學(xué)生,乙校有5 400名學(xué)生,丙校有1 800名學(xué)生,為統(tǒng)計三校學(xué)生某方面的情況,計劃采用分層抽樣法抽取一個容量為90的樣本,應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生 (　　)
A.30人,30人,30人 B.30人,45人,15人
C.20人,30人,40人 D.30人,50人,10人
答案　B
解析　先求抽樣比==,各層再按抽樣比分別抽取,甲校抽取3 600×=30(人),乙校抽取5 400×=45(人),丙校抽取1 800×=15(人).
4.為了調(diào)查某省各城市PM2.5的值,按地域把36個城市分成甲、乙、丙三組,對應(yīng)的城市數(shù)分別為6,12,18.若用分層抽樣的方法抽取12個城市,則乙組中應(yīng)抽取的城市數(shù)為　　　　.
答案　4
解析　乙組城市數(shù)占總城市數(shù)的比例為=,樣本容量為12,
故乙組中應(yīng)抽取的城市數(shù)為12×=4.
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共35分;多選題每小題6分,共18分
1.要完成下列2項抽樣調(diào)查:
①從15瓶飲料中抽取5瓶進行食品衛(wèi)生檢查;
②某中學(xué)共有240名教職工,其中教師180名,行政人員24名,后勤人員36名.為了了解教職工對學(xué)校在校務(wù)公開方面的意見,擬抽取一個容量為20的樣本.
較為合理的抽樣方法是 (　　)
A.①簡單隨機抽樣,②分層抽樣
B.①簡單隨機抽樣,②簡單隨機抽樣
C.①分層抽樣,②分層抽樣
D.①分層抽樣,②簡單隨機抽樣
答案　A
解析　由抽樣方法的特點可知,①用簡單隨機抽樣,②用分層抽樣較為合理.
2.某單位有職工100人,其中不到35歲的有45人,35歲到49歲的有25人,剩下的為50歲以上(包括50歲)的人.如果用分層抽樣的方法從該單位抽取20人進行有關(guān)職業(yè)生涯規(guī)劃的問卷調(diào)查,則從小到大各年齡段應(yīng)分別抽取的人數(shù)為 (　　)
A.7,5,8 B.9,5,6
C.6,5,9 D.8,5,7
答案　B
解析　由于樣本容量與總體個體數(shù)之比為=,故從小到大各年齡段抽取的人數(shù)依次為45×=9,25×=5,20-9-5=6.
3.某工廠的三個車間在12月份共生產(chǎn)了3 600雙皮靴,在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量,決定采用分層抽樣的方法進行抽樣,若從一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為a,b,c,且2b=a+c,則第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為 (　　)
A.800 B.1 000
C.1 200 D.1 500
答案　C
解析　由2b=a+c,則第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為3 600×=3 600×=1 200.
4.共享單車為人們提供了一種新的出行方式,有關(guān)部門對使用共享單車人群的年齡分布進行了統(tǒng)計,得到的數(shù)據(jù)如表所示:
年齡 12~19歲 20~29歲 30~39歲 40歲及以上
比例 14% 45.5% 34.5% 6%
為調(diào)查共享單車使用滿意率情況,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取容量為200的樣本進行調(diào)查,那么應(yīng)抽取20~29歲的人數(shù)為 (　　)
A.12 B.28
C.69 D.91
答案　D
解析　由分層抽樣的定義得應(yīng)抽取20~29歲的人數(shù)為200×45.5%=91.
5.交通管理部門為了解機動車駕駛員(簡稱“駕駛員”)對某新法規(guī)的知曉情況,對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查.假設(shè)四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N,其中甲社區(qū)有駕駛員96人.若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43,則這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為 (　　)
A.101 B.808
C.1 212 D.2 012
答案　B
解析　甲社區(qū)駕駛員的抽樣比為=,四個社區(qū)駕駛員總?cè)藬?shù)的抽樣比為=,即=,所以N=808.
6.某單位有老年人28人,中年人54人,青年人81人,為了調(diào)查他們的身體狀況,從中抽取容量為36的樣本,則最適合的抽樣方法是 (　　)
A.抽簽法
B.隨機數(shù)表法
C.先從中年人中剔除1人,再用分層抽樣
D.先從老年人中剔除1人,再用分層抽樣
答案　D
解析　總?cè)藬?shù)為28+54+81=163,樣本容量為36,由于總體由差異明顯的三部分組成,考慮用分層抽樣,若按抽樣比為取樣,無法得到整解,故考慮先剔除1人,抽樣比變?yōu)?,則中年人抽取12人,青年人抽取18人,先從老年人中剔除1人,老年人抽取6人,組成容量為36的樣本.
7.(5分)某高中學(xué)校高一、高二、高三年級共有團干部56名,采用分層抽樣的方法從中抽取7人進行睡眠時間調(diào)查.其中從高一年級抽取了3人,則高一年級團干部的人數(shù)為　　　　　.
答案　24
解析　高一年級團干部的人數(shù)為56×=24.
8.(5分)甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4 800件,采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質(zhì)量檢測.若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn),則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為　　　　件.
答案　1 800
解析　設(shè)乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為x件,則甲設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為(4 800-x)件.
由題意,得=,
解得x=1 800.
9.(10分)某縣共有320個自然村,其中山區(qū)32個,丘陵地區(qū)240個,平原地區(qū)48個.為調(diào)查村民收入狀況,要從中抽出20個村進行調(diào)查,試設(shè)計一種比較合理的抽樣方案,并簡述抽樣過程.
解　由于各地區(qū)自然條件的限制,各地區(qū)村民的經(jīng)濟收入有較大差異,故采用分層抽樣法較為合理.因為=,所以按的比例抽取,
應(yīng)在山區(qū)抽取32×=2(個),
丘陵地區(qū)抽取240×=15(個),
平原地區(qū)抽取48×=3(個).
具體實施過程:對于山區(qū)和平原地區(qū),由于自然村數(shù)量較少,可采用抽簽法,具體實施過程略.對于丘陵地區(qū),自然村個數(shù)較多且差異不大,可采取隨機數(shù)表法.首先將240個村按001,002,…,240編號.然后用隨機數(shù)表法抽取15個村,綜合各地區(qū)抽樣便得到了一個容量為20的樣本.
10.(10分)某高級中學(xué)共有學(xué)生3 000名,各年級男、女生人數(shù)如表所示:
高一年級 高二年級 高三年級
女生 487 x y
男生 513 560 z
已知在全校學(xué)生中隨機抽取1名,抽到高二年級女生的機會是0.18.
(1)問高二年級有多少名女生 (4分)
(2)現(xiàn)對各年級用分層抽樣的方法在全校抽取300名學(xué)生,問應(yīng)在高三年級抽取多少名學(xué)生 (6分)
解　(1)由=0.18,得x=540,
∴高二年級有540名女生.
(2)高三年級人數(shù)為
y+z=3 000-(487+513+540+560)=900.
∴×300=90,故應(yīng)在高三年級抽取90名學(xué)生.
11.某服裝加工廠某月生產(chǎn)A,B,C三種產(chǎn)品共4 000件,為了保證產(chǎn)品質(zhì)量,進行抽樣檢驗,根據(jù)分層抽樣的結(jié)果,企業(yè)統(tǒng)計員制作了如下的統(tǒng)計表格:
產(chǎn)品類型 A B C
產(chǎn)品數(shù)量/件 2 300
樣本容量/件 230
由于不小心,表格中A,C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚,統(tǒng)計員記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10,根據(jù)以上信息,可得C產(chǎn)品的數(shù)量是 (　　)
A.80 B.800
C.90 D.900
答案　B
解析　由表可得抽樣比為,所以樣本總?cè)萘繛?00.因為A與C共170件,所以A有90件,C有80件.所以C產(chǎn)品的數(shù)量為800.
12.(多選)在《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問題:“今有甲持錢五百六十,乙持錢三百五十,丙持錢一百八十,凡三人俱出關(guān),關(guān)稅百錢.欲以錢多少衰出之,問各幾何 ”其譯文為:今有甲持560錢,乙持350錢,丙持180錢,甲、乙、丙三人一起出關(guān),關(guān)稅共100錢,要按照各人帶錢多少的比例進行交稅,問三人各應(yīng)交多少稅 則下列說法正確的是 (　　)
A.甲應(yīng)交51錢
B.乙應(yīng)交32錢
C.丙應(yīng)交16錢
D.三者中甲交的稅最多,丙交的稅最少
答案　ACD
解析　依題意由分層抽樣可知,抽樣比為=,
則甲應(yīng)交×560=51(錢);
乙應(yīng)交×350=32(錢);
丙應(yīng)交×180=16(錢).
13.(多選)某中學(xué)高一年級有20個班,每班50人;高二年級有30個班,每班45人.甲就讀于高一,乙就讀于高二,學(xué)校計劃從這兩個年級中共抽取235人進行視力調(diào)查,下列說法中正確的有 (　　)
A.應(yīng)該采用分層抽樣法
B.高一、高二年級應(yīng)分別抽取100人和135人
C.乙被抽取的可能性比甲大
D.該問題中的總體是高一、高二年級的全體學(xué)生的視力
答案　ABD
解析　由于各年級的年齡段不一樣,因此應(yīng)采用分層抽樣,由于分層抽樣的抽樣比為=,因此高一年級的1 000人中應(yīng)抽取100人,高二年級的1 350人中應(yīng)抽取135人,甲、乙被抽到的可能性都是,因此只有C不正確.
14.(5分)某電視臺為了調(diào)查某綜藝節(jié)目的收視率,現(xiàn)用分層抽樣的方法從4 300人中抽取一個樣本,這4 300人中有青年人1 600人,且中年人人數(shù)是老年人人數(shù)的2倍,現(xiàn)根據(jù)年齡采用分層抽樣的方法進行調(diào)查,在抽取的樣本中青年人有320人,則抽取的樣本中老年人的人數(shù)為　　　　.
答案　180
解析　設(shè)老年人有x人,從中抽取y人,則1 600+3x=4 300,得x=900,即老年人有900人,則=,得y=180.
15.(多選)某景區(qū)吸引了大批的游客前往參觀,某旅行社分年齡段統(tǒng)計了前往該景區(qū)的老、中、青旅客的人數(shù)比為5∶2∶3,現(xiàn)用分層抽樣的方法從這些旅客中隨機抽取n名,若青年旅客抽到90人,則下列說法正確的是 (　　)
A.被抽到的老年旅客和中年旅客人數(shù)之和超過200
B.n=300
C.中年旅客抽到40人
D.老年旅客抽到150人
答案　ABD
解析　由題意從這些旅客中隨機抽取n名,青年旅客抽到90人,則×n=90,所以n=300,故B正確;則中年旅客抽到×300=60(人),故C錯誤;老年旅客抽到×300=150(人),故D正確;被抽到的老年旅客和中年旅客人數(shù)之和為150+60=210,超過200,故A正確.
16.(12分)某中學(xué)舉行了為期3天的新世紀體育運動會,同時進行全校精神文明擂臺賽.為了解這次活動在全校師生中產(chǎn)生的影響,分別在全校500名教職員工、3 000名初中生、4 000名高中生中做問卷調(diào)查,如果要在所有答卷中抽出120份用于評估.
(1)應(yīng)如何抽取才能得到比較客觀的評價結(jié)論 (6分)
(2)要從3 000份初中生的答卷中抽取一個容量為48的樣本,如果采用簡單隨機抽樣,應(yīng)如何操作 (6分)
解　(1)由于這次活動對教職員工、初中生和高中生產(chǎn)生的影響不會相同,所以應(yīng)當采取分層抽樣的方法進行抽樣.
因為樣本容量為120,總體個數(shù)為500+3 000+4 000=7 500,則抽樣比為=,
所以有500×=8,3 000×=48,
4 000×=64,所以在教職員工、初中生、高中生中抽取的個體數(shù)分別是8,48,64.
分層抽樣的步驟是:
①分層:分為教職員工、初中生、高中生,共三層.
②確定每層抽取個體的個數(shù):在教職員工、初中生、高中生中抽取的個體數(shù)分別是8,48,64.
③各層分別按簡單隨機抽樣的方法抽取樣本.
④綜合每層抽樣,組成樣本.
這樣便完成了整個抽樣過程,就能得到比較客觀的評價結(jié)論.
(2)由于簡單隨機抽樣有兩種方法:抽簽法和隨機數(shù)表法.如果用抽簽法,要做3 000個號簽,費時費力,因此采用隨機數(shù)表法抽取樣本,步驟是:
①編號:將3 000份答卷都編上號碼0 001,0 002,0 003,…,3 000.
②在隨機數(shù)表上隨機選取一個開始位置.
③規(guī)定讀數(shù)方向:向右連續(xù)取數(shù)字,以4個數(shù)為一組,如果讀取的4位數(shù)大于3 000,則去掉,如果遇到相同號碼則只取一個,這樣一直到取滿48個號碼為止.
④按照得到的編號找到相應(yīng)答卷,組成樣本.第2課時　分層抽樣
[學(xué)習(xí)目標]　1.理解并掌握分層抽樣.2.會用分層抽樣從總體中抽取樣本.3.會用分層抽樣解決實際問題.
一、分層抽樣的概念
問題　某中學(xué)高一年級共有1 000名學(xué)生,男生有450名,女生有550名,若要抽取50名學(xué)生的身高作為樣本,用簡單隨機抽樣可以嗎 為什么 如何去抽取比較合理
知識梳理
分層抽樣的概念
一般地,如果相對于要考察的問題來說,總體可以分成　　　　　　　、　　　　　的幾部分時,每一部分可稱為　　　　,在各層中按層在總體中所占　　　　進行隨機抽樣的方法稱為分層隨機抽樣(簡稱為分層抽樣).
例1　(1)下列各項中屬于分層抽樣的特點的是 (　　)
A.從總體中逐個抽取
B.將總體分成幾層,分層進行抽取
C.將總體分成幾部分,在各部分中抽取相同數(shù)量的個體
D.將總體隨意分成幾部分,然后進行隨機抽取
(2)下列問題中,最適合用分層抽樣抽取樣本的是 (　　)
A.從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會
B.一次數(shù)學(xué)競賽中,某班有10人在100分(含100分)以上,40人在90~100分,12人低于90分,現(xiàn)從中抽取12人了解有關(guān)情況
C.從1 000名工人中,抽取100名調(diào)查上班途中所用時間
D.從生產(chǎn)流水線上,抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量
反思感悟　使用分層抽樣應(yīng)遵循的原則
(1)將相似的個體歸入一類,即為一層,分層要求每層的各個個體互不交叉,即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則.
(2)分層抽樣為保證每個個體等可能入樣,需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣,每層樣本數(shù)量與該層個體數(shù)量的比等于抽樣比.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)下列試驗中最適合用分層抽樣法抽樣的是 (　　)
A.從一箱3 000個零件中抽取5個入樣
B.從一箱3 000個零件中抽取600個入樣
C.從一箱30個零件中抽取5個入樣
D.從甲、乙兩廠生產(chǎn)的300個零件中抽取6個入樣
(2)分層抽樣又稱類型抽樣,即將相似的個體歸入一類(層),然后每類抽取若干個個體構(gòu)成樣本,所以分層抽樣為保證每個個體等可能抽樣,必須進行 (　　)
A.每層等可能抽樣
B.每層可以不等可能抽樣
C.所有層按同一抽樣比等可能抽樣
D.所有層抽取的個體數(shù)量相同
二、分層抽樣中的計算
例2　某網(wǎng)站針對“2024年法定節(jié)假日調(diào)休安排”提出的A,B,C三種放假方案進行了問卷調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下:
支持A方案 支持B方案 支持C方案
35歲以下的人數(shù) 200 400 800
35歲以上 (含35歲)的人數(shù) 100 100 400
(1)從所有參與調(diào)查的人中,用分層抽樣的方法抽取n人,已知從支持A方案的人中抽取了6人,求n的值;
(2)從支持B方案的人中,用分層抽樣的方法抽取5人,這5人中在35歲以上(含35歲)的人數(shù)是多少 35歲以下的人數(shù)是多少
反思感悟　(1)分層抽樣中每層抽取的個體數(shù)的確定方法
已知總體容量、樣本容量及各層的個體數(shù)時,首先確定抽樣比,其中N為總體容量,n為樣本容量;然后確定每層抽取的個體的個數(shù)ni=Ni×,其中Ni為第i(i=1,2,…,k)層的個體數(shù),ni為第i層應(yīng)抽取的個體數(shù).
(2)分層抽樣中的計算常用比例關(guān)系
①=;
②總體中某兩層的個體數(shù)之比=樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比.
(3)根據(jù)實際情況,可先剔除部分個體,再分層抽樣.
跟蹤訓(xùn)練2　我市某所高中共有學(xué)生6 000人,其中高一、高二、高三年級的人數(shù)比為3∶4∶5,為迎接“戲曲進校園”活動,采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為240的樣本,則應(yīng)抽取高一年級的人數(shù)為 (　　)
A.50 B.60
C.70 D.80
三、分層抽樣的設(shè)計
例3　某政府機關(guān)有在編人員100人,其中副處級以上干部10人,一般干部70人,工人20人,上級機關(guān)為了了解該政府機構(gòu)的改革意見,要從中抽取一個容量為20的樣本,試確定用何種方法抽取,并寫出具體實施操作過程.
反思感悟　分層抽樣的步驟
跟蹤訓(xùn)練3　某市的3個區(qū)共有高中學(xué)生20 000人,且3個區(qū)的高中學(xué)生人數(shù)之比為2∶3∶5,各區(qū)高中學(xué)生的視力有明顯差異,現(xiàn)要從所有學(xué)生中抽取一個容量為200的樣本,調(diào)查該市高中學(xué)生的視力情況,試寫出抽樣過程.
1.知識清單:
(1)分層抽樣的定義.
(2)分層抽樣的步驟.
(3)分層抽樣中的2個比例關(guān)系.
2.方法歸納:數(shù)據(jù)分析.
3.常見誤區(qū):
(1)在分層抽樣中,每個個體被抽到的可能性相等,與層數(shù)及分層無關(guān),每一層的抽樣一般采用簡單隨機抽樣.
(2)當總體容量不能被樣本容量整除時注意剔除個體.
1.某校高三年級有男生500人,女生400人,為了解該年級學(xué)生的健康情況,從男生中任意抽取25人,從女生中任意抽取20人進行調(diào)查.這種抽樣方法是 (　　)
A.簡單隨機抽樣 B.抽簽法
C.隨機數(shù)表法 D.分層抽樣
2.某工廠甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品,數(shù)量分別為120件,80件,60件.為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異,用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調(diào)查,其中從丙車間的產(chǎn)品中抽取了3件,則n等于 (　　)
A.9 B.10
C.12 D.13
3.甲校有3 600名學(xué)生,乙校有5 400名學(xué)生,丙校有1 800名學(xué)生,為統(tǒng)計三校學(xué)生某方面的情況,計劃采用分層抽樣法抽取一個容量為90的樣本,應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生 (　　)
A.30人,30人,30人 B.30人,45人,15人
C.20人,30人,40人 D.30人,50人,10人
4.為了調(diào)查某省各城市PM2.5的值,按地域把36個城市分成甲、乙、丙三組,對應(yīng)的城市數(shù)分別為6,12,18.若用分層抽樣的方法抽取12個城市,則乙組中應(yīng)抽取的城市數(shù)為　　　　.
答案精析
問題　不可以直接使用簡單隨機抽樣.如果采用簡單隨機抽樣,得到的樣本中,男生(女生)所占比例與總體中的男生(女生)所占比例可能存在較大差異,從而導(dǎo)致最后得到的結(jié)果不能很好地反映總體的情況,可以將男生和女生看作兩個群體,分別進行簡單隨機抽樣,然后匯總作為總體的一個樣本,即采用按男生、女生的比例去抽樣的方法比較合理.
知識梳理
有明顯差別的　互不重疊　層　比例
例1　(1)B　[A屬于簡單隨機抽樣的特點,B屬于分層抽樣的特點,C,D不屬于分層抽樣的特點,所以應(yīng)選B.]
(2)B　[A中總體個體無明顯差異,不適合用分層抽樣;C和D中總體個體無明顯差異,不適合用分層抽樣;B中總體個體差異明顯,適合用分層抽樣.]
跟蹤訓(xùn)練1　(1)D　(2)C
例2　解　(1)由題意得
=,
解得n=40.
(2)35歲以下的人數(shù)為×400=4,35歲以上(含35歲)的人數(shù)為5-4=1.
跟蹤訓(xùn)練2　B
例3　解　因為個體差異明顯,為體現(xiàn)調(diào)查的公平性,應(yīng)該采用分層抽樣.
因為=,
所以從副處級以上干部中抽取
10×=2(人),
從一般干部中抽取70×=14(人),
從工人中抽取20×=4(人).
因為副處級以上干部與工人人數(shù)都較少,可分別按1~10編號與1~20編號,然后采用抽簽法分別抽取2人和4人.
一般干部有70人,人數(shù)較多,可以按00,01,…,69編號,然后利用隨機數(shù)表法抽取14人.
跟蹤訓(xùn)練3　解　由于該市各區(qū)高中學(xué)生的視力有明顯差異,因而用分層抽樣來抽取樣本,具體步驟如下:
(1)按區(qū)將高中學(xué)生分為三層,其中一個區(qū)為一層.
(2)確定每層抽取個體的個數(shù).在3個區(qū)分別抽取的學(xué)生人數(shù)之比是2∶3∶5,所以抽取的學(xué)生人數(shù)分別是200×=40;200×=60;200×=100.
(3)在各層分別抽取樣本.
(4)綜合每層抽樣,組成容量為200的樣本.
隨堂演練
1.D　2.D　3.B　4.4

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