資源簡介

5.1.2　數(shù)據(jù)的數(shù)字特征
第1課時(shí)　 最值、平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.理解數(shù)據(jù)的最值、平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)的意義和作用.2.會計(jì)算數(shù)據(jù)的這些數(shù)字特征,并能解決有關(guān)實(shí)際問題.
導(dǎo)語
某酒店打出的招聘宣傳語是“本酒店待遇豐厚,平均工資是每周800元”,小強(qiáng)入職后工作了一段時(shí)間,發(fā)現(xiàn)上當(dāng)了,前去質(zhì)問經(jīng)理:“您宣傳工資一周是800元是欺詐行為,我問過其他員工了,沒有一個(gè)人每周的工資超過800元.”而經(jīng)理說:“我當(dāng)時(shí)說的是平均周工資800元,我的周工資是3 000元,3名副經(jīng)理的周工資都是1 000元,5名領(lǐng)班的周工資是700元,10名服務(wù)員的周工資是600元,1名清潔工的周工資是500元.”小強(qiáng)一聽,哭笑不得.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎
一、最值與平均數(shù)
問題1　若某校高一年級8個(gè)班參加合唱比賽的得分分別為89,91,90,92,87,93,96,94,則平均數(shù)是多少 最高分是多少 最低分是多少
提示　==91.5;最高分是96;最低分是87.
知識梳理
1.一組數(shù)據(jù)的最值指的是其中的最大值與最小值,最值反映的是這組數(shù)最極端的情況.一般地,最大值用max表示,最小值用min表示.
2.平均數(shù)
(1)如果給定的一組數(shù)是x1,x2,…,xn,則這組數(shù)的平均數(shù)為=(x1+x2+…+xn),簡記為=.
(2)求和符號∑具有以下性質(zhì):
①=+;②;③=nt.
(3)性質(zhì):一般地,如果x1,x2,…,xn的平均數(shù)為,且a,b為常數(shù),則ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均數(shù)為a+b.
注意點(diǎn):
(1)求平均數(shù)時(shí)要注意數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),不要重計(jì)或漏計(jì).
(2)數(shù)據(jù)同時(shí)增加或減少相同的數(shù),平均數(shù)也隨之增加或減少相同的數(shù).
例1　(1)求一組數(shù)據(jù):68,69,71,63,70,68,69,71,69,72的最值、平均數(shù).
解　把所給數(shù)據(jù)從小到大排列為63,68,68,69,69,69,70,71,71,72,
則最大值為72,最小值為63.平均數(shù)為
=69.
(2)某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中,得100分的有1人,得95分的有1人,得90分的有2人,得85分的有4人,得80分和75分的各1人,則該小組數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為 (　　)
A.85 B.86
C.87 D.88
答案　C
解析　平均數(shù)為
=87.
反思感悟　求平均數(shù)的方法
(1)用定義式;
(2)用平均數(shù)的性質(zhì);
(3)在容量為n的一組數(shù)據(jù)中,若數(shù)據(jù)x1有n1個(gè),x2有n2個(gè),…,xk有nk個(gè),且n=n1+n2+…+nk,則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(n1x1+n2x2+…+nkxk)=x1+x2+…+xk.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)設(shè)一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為1,則數(shù)據(jù)3x1+1,3x2+1,…,3xn+1的平均數(shù)為 (　　)
A.1 B.3
C.4 D.9
答案　C
解析　記數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為,
數(shù)據(jù)ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均數(shù)為',
則'=
=
==a+b,
故數(shù)據(jù)3x1+1,3x2+1,…,3xn+1的平均數(shù)為3+1=3×1+1=4.
(2)已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10,其中x1,x2,x3的平均數(shù)為a;x4,x5,…,x10的平均數(shù)為b,則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 (　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　∵x1,x2,x3的平均數(shù)為a,∴x1,x2,x3的和為3a.
∵x4,x5,…,x10的平均數(shù)為b,∴x4,x5,…,x10的和為7b.
∴樣本數(shù)據(jù)的和為3a+7b,
∴樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.
二、中位數(shù)與眾數(shù)
問題2　若某校高二年級7個(gè)班參加合唱比賽的得分分別為89,91,90,92,87,92,96,你能把數(shù)據(jù)從小到大排列嗎 正中間的數(shù)據(jù)是多少 出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是多少
提示　87,89,90,91,92,92,96; 91;92.
知識梳理
1.中位數(shù)
如果一組數(shù)有奇數(shù)個(gè)數(shù),且按照從小到大排列后為x1,x2,…,x2n+1,則稱xn+1為這組數(shù)的中位數(shù);如果一組數(shù)有偶數(shù)個(gè)數(shù),且按照從小到大排列后為x1,x2,…,x2n,則稱為這組數(shù)的中位數(shù).
2.眾數(shù)
一組數(shù)據(jù)中,某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為這個(gè)數(shù)據(jù)的頻數(shù),出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù),一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個(gè),也可以是多個(gè).
注意點(diǎn):
(1)求中位數(shù)時(shí)一定要先對數(shù)據(jù)按從小到大排序,若最中間有兩個(gè)數(shù)據(jù),則中位數(shù)是這兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù).中位數(shù)不一定是數(shù)據(jù)中的數(shù).
(2)若有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)出現(xiàn)得最多,且出現(xiàn)的次數(shù)都一樣,則這些數(shù)據(jù)都叫眾數(shù);若一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都一樣多,則沒有眾數(shù).
例2　十名工人某天生產(chǎn)同一種零件,生產(chǎn)的件數(shù)分別是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,設(shè)其平均數(shù)為a,中位數(shù)為b,眾數(shù)為c,則有 (　　)
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.b>c>a
答案　B
解析　從小到大排列此數(shù)據(jù)為10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.
平均數(shù)為×(10+12+14×2+15×2+16+17×3)=14.7;
數(shù)據(jù)17出現(xiàn)了三次,17為眾數(shù);
在第5位、第6位均是15,故15為中位數(shù).
所以a=14.7,b=15,c=17,則c>b>a.
反思感悟　(1)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法
平均數(shù)一般是根據(jù)公式來計(jì)算的;計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)時(shí),可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列,再根據(jù)各自的定義計(jì)算.
(2)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的意義
①樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”,其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算,不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響,但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息,平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息,但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響,越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.
②當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí),其眾數(shù)往往更能反映問題,當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)較大時(shí),可用中位數(shù)描述其集中趨勢.
跟蹤訓(xùn)練2　某小區(qū)廣場上有甲、乙兩群市民正在進(jìn)行晨練,兩群市民的年齡如下(單位:歲):
甲群　13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;
乙群　54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲 其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映甲群市民的年齡特征
(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲 其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映乙群市民的年齡特征
解　(1)甲群市民年齡的平均數(shù)為
=15(歲),
中位數(shù)為15歲,眾數(shù)為15歲.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等,因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征.
(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為
=15(歲),
中位數(shù)為5.5歲,眾數(shù)為6歲.
由于乙群市民大多數(shù)是兒童,所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征,而平均數(shù)的可靠性較差.
三、百分位數(shù)
問題3　某校高一年級8個(gè)班參加合唱比賽的得分分別為89,91,90,92,87,93,96,94,你能把數(shù)據(jù)從小到大排列嗎 這組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的25%是多少
提示　87,89,90,91,92,93,94,96;8×25%=2.
知識梳理
1.百分位數(shù)
一組數(shù)的p%分位數(shù)指的是,將這組數(shù)按照從小到大的順序排列后,處于p%位置的數(shù).
2.如何確定p%分位數(shù)
設(shè)一組數(shù)按照從小到大排列后為x1,x2,…,xn,計(jì)算i=np%的值,如果i不是整數(shù),設(shè)i0為大于i的最小整數(shù),取為p%分位數(shù);如果i是整數(shù),取為p%分位數(shù).
3.規(guī)定:0分位數(shù)是x1(即最小值),100%分位數(shù)是xn(即最大值).
4.一般地,一組數(shù)的p%(p∈(0,100))分位數(shù)指的是滿足下列條件的一個(gè)數(shù)值:至少有p%的數(shù)據(jù)不大于該值,且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)不小于該值.
注意點(diǎn):
(1)中位數(shù)相當(dāng)于是50%分位數(shù).除了中位數(shù)外,常用的分位數(shù)還有25%分位數(shù),75%分位數(shù).25%分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù),75%分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù).
(2)百分位數(shù)可能不唯一,也可能不是數(shù)據(jù)中的數(shù).
例3　(1)下列表述不正確的是 (　　)
A.中位數(shù)是一個(gè)50%分位數(shù)
B.p%分位數(shù)可以有單位
C.一個(gè)總體的四分位數(shù)有4個(gè)
D.樣本容量越大,p%分位數(shù)估計(jì)總體就越準(zhǔn)確
答案　C
解析　一個(gè)總體的25%分位數(shù),50%分位數(shù),75%分位數(shù)是總體的四分位數(shù),有3個(gè),所以C錯(cuò)誤.
(2)確定數(shù)據(jù):1,2,2,2,2,3,3,3,5,5,6,6,8,8,9,10,10,12,13,13的中位數(shù),78%分位數(shù).
解　因?yàn)樗o數(shù)據(jù)已從小到大排列,共20個(gè),
而且i1=20×50%=10為整數(shù),
i2=20×78%=15.6不為整數(shù),
所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為==5.5,78%分位數(shù)為x16=10.
反思感悟　(1)百分位數(shù)是用于衡量數(shù)據(jù)的位置的度量,但它所衡量的不一定是中心位置.百分位數(shù)提供了有關(guān)數(shù)據(jù)項(xiàng)如何在最小值與最大值之間分布的信息.
(2)中位數(shù)、百分位數(shù)都不一定是數(shù)據(jù)中的數(shù).
跟蹤訓(xùn)練3　從某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中,任意抽取12件,得到它們的質(zhì)量(單位:kg)如下:
7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0,
分別求出這組數(shù)據(jù)的25%,75%,95%分位數(shù).
解　將所有數(shù)據(jù)從小到大排列,得
7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,
因?yàn)楣灿?2個(gè)數(shù)據(jù),
所以12×25%=3,12×75%=9,12×95%=11.4,
則25%分位數(shù)是=8.15,
75%分位數(shù)是=8.75,
95%分位數(shù)是第12個(gè)數(shù)據(jù)為9.9.
1.知識清單:
(1)數(shù)據(jù)的最值、平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù).
(2)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的計(jì)算方法.
(3)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的應(yīng)用.
2.方法歸納:數(shù)據(jù)分析.
3.常見誤區(qū):利用平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)對數(shù)據(jù)的分析不準(zhǔn)確.
1.2024年某高一學(xué)生下學(xué)期政治考試成績?yōu)?br/>79　79　84　84　86　84　87　90　90　97
則該生政治考試成績的平均數(shù)和眾數(shù)依次為 (　　)
A.85　84 B.84　85
C.86　84 D.84　86
答案　C
解析　由題意可知,平均數(shù)
==86,
眾數(shù)為84.
2.某地鐵運(yùn)行過程中,10個(gè)車站上車的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下:70,60,60,50,60,40,40,30,30,10,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)之和為 (　　)
A.120 B.105
C.110 D.100
答案　B
解析　這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是60.將數(shù)據(jù)從大到小排成一列為70,60,60,60,50,40,40,30,30,10,則中位數(shù)為=45,所以眾數(shù)與中位數(shù)之和為60+45=105.
3.計(jì)算等于 (　　)
A.6 B.9
C.10 D.15
答案　D
解析　=(2×1+1)+(2×2+1)+(2×3+1)=3+5+7=15.
4.某歌手電視大獎(jiǎng)賽中,七位評委對某選手打出如下分?jǐn)?shù):7.9,8.1,8.4,8.5,8.5,8.7,9.9,則其50%分位數(shù)為　　　　.
答案　8.5
解析　∵7×50%=3.5,
∴其50%分位數(shù)是第4個(gè)數(shù)據(jù)為8.5.
課時(shí)對點(diǎn)練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共40分;多選題每小題6分,共6分
1.從某中學(xué)抽取10名同學(xué),得到他們的數(shù)學(xué)成績(單位:分)如下:82,85,88,90,92,92,92,96,96,98,則可得這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為 (　　)
A.88 B.90
C.92 D.96
答案　C
解析　本題中所給數(shù)據(jù)已按照從小到大的順序排列,中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是(92+92)÷2=92.故中位數(shù)是92.
2.已知一組數(shù)據(jù)從小到大排列為-1,0,4,x,6,15,且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5,那么這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為 (　　)
A.5 B.6
C.4 D.5.5
答案　B
解析　由題意得(4+x)=5,得x=6.故眾數(shù)為6.
3.某校為了解學(xué)生的課外閱讀情況,隨機(jī)抽取了一個(gè)班級的學(xué)生,對他們一周的讀書時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示:
讀書時(shí)間(小時(shí)) 7 8 9 10 11
學(xué)生人數(shù) 6 10 9 8 7
則該班學(xué)生一周讀書時(shí)間的平均數(shù)是 (　　)
A.8 B.8.5
C.9 D.9.5
答案　C
解析　該班學(xué)生一周讀書時(shí)間的平均數(shù)是
=9.
4.(多選)下列說法中,正確的是 (　　)
A.數(shù)據(jù)2,4,6,8的中位數(shù)是4,6
B.數(shù)據(jù)1,2,2,3,4,4的眾數(shù)是2,4
C.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)有可能是同一個(gè)數(shù)據(jù)
D.8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,另3個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7,則這11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是
答案　BCD
解析　數(shù)據(jù)2,4,6,8的中位數(shù)為=5,顯然A是錯(cuò)誤的,B,C,D都是正確的.
5.有13名同學(xué)參加百米競賽,預(yù)賽成績各不相同,要取前6名參加決賽,小明同學(xué)已經(jīng)知道了自己的成績,為了判斷自己是否能進(jìn)入決賽,他還需要知道13名同學(xué)成績的 (　　)
A.平均數(shù) B.眾數(shù)
C.中位數(shù) D.百分位數(shù)
答案　C
解析　把13名同學(xué)成績按由大到小排列,取成績靠前的6個(gè)成績進(jìn)入決賽,即最中間一個(gè)數(shù)之前的6個(gè)成績進(jìn)入決賽,13個(gè)成績按由大到小排列時(shí),最中間一個(gè)數(shù)即是中位數(shù).
6.將10個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大的順序進(jìn)行排列,第四個(gè)數(shù)據(jù)被墨水污染,2,4,5,□,10,14,15,39,41,50,已知40%分位數(shù)是8.5,則第四個(gè)數(shù)據(jù)是 (　　)
A.5 B.7.5
C.8 D.7
答案　D
解析　設(shè)第四個(gè)數(shù)據(jù)為x,因?yàn)橐还灿?0個(gè)數(shù)據(jù),10×40%=4,為整數(shù),根據(jù)百分位數(shù)的定義可得=8.5,解得x=7.
7.(5分)在一次歌手大獎(jiǎng)賽上,七位評委為某歌手打出的分?jǐn)?shù)如下:9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為　　　　.
答案　9.5
解析　7個(gè)數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,余下的5個(gè)數(shù)為9.4,9.4,9.6,9.4,9.7,則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為==9.5.
8.(5分)是x1,x2,…,x100的平均數(shù),a是x1,x2,…,x40的平均數(shù),b是x41,x42,…,x100的平均數(shù),則=　　　　(用含a,b的式子表示).
答案　a+b
解析　因?yàn)閍是x1,x2,…,x40的平均數(shù),所以x1+x2+…+x40=40a,同理x41+x42+…+x100=60b,則有==a+b.
9.(10分)為了了解市民的環(huán)保意識,某校高一(1)班50名學(xué)生在6月5日(世界環(huán)境日)這一天調(diào)查了各自家庭丟棄舊塑料袋的情況,有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示:
每天丟棄舊塑料袋個(gè)數(shù) 2 3 4 5
戶數(shù) 6 16 15 13
求這50戶居民每天丟棄舊塑料袋數(shù)量的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù).
解　平均數(shù)=×(2×6+3×16+4×15+5×13)==3.7.
眾數(shù)是3,中位數(shù)是4.
10.(12分)A,B,C三個(gè)班共有100名學(xué)生,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間,數(shù)據(jù)如表所示(單位:時(shí)):
A班 6 6.5 7 7.5 8
B班 6 7 8 9 10 11 12
C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
(1)試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù);(4分)
(2)再從A,B,C三個(gè)班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生,他們該周的鍛煉時(shí)間(單位:時(shí))分別是7,9,8.25.這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為μ1,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0,試判斷μ0和μ1的大小(只寫結(jié)論,不要求證明).(8分)
解　(1)由題意知,抽出的20名學(xué)生中,來自C班的學(xué)生有8名.
根據(jù)分層抽樣方法,C班的學(xué)生人數(shù)估計(jì)為100×=40.
(2)A,B,C班鍛煉總時(shí)長分別為35,63,66,
∴μ0==8.2(時(shí)),
加入新數(shù)據(jù)后,
μ1=≈8.18(時(shí)).
∴μ1<μ0.
11.已知一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)是3,那么另一組數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2x5-1的平均數(shù)是 (　　)
A.5 B.3
C.6 D.10
答案　A
解析　因?yàn)閿?shù)據(jù)x1,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)是3,所以=3,=3,
因此數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2x5-1的平均數(shù)為=2×-1=5.
12.記樣本x1,x2,…,xm的平均數(shù)為,樣本y1,y2,…,yn的平均數(shù)為(≠).若樣本x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn的平均數(shù)為=+,則的值為 (　　)
A.3 B.4
C. D.
答案　D
解析　由題意知x1+x2+…+xm=m,y1+y2+…+yn=n,
=
==+
=+.
所以(3m-n)(-)=0,可得3m=n,
所以=.
13.(5分)一組數(shù)據(jù)共有50個(gè)數(shù),按從小到大排列,其中7個(gè)數(shù)在中位數(shù)和平均數(shù)之間,如果這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)都不在這50個(gè)數(shù)中,且平均數(shù)大于中位數(shù),那么這組數(shù)據(jù)中小于平均數(shù)的數(shù)據(jù)占這50個(gè)數(shù)據(jù)的百分比是　　　　.
答案　64%
解析　小于平均數(shù)的數(shù)有25+7=32(個(gè)),占這50個(gè)數(shù)據(jù)的×100%=64%.
14.(5分)某校年級組長為了解本校高三學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)成績(單位:分),隨機(jī)抽取30名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,如下所示:
110　144　125　63　89　121　145　123　74　96
97 142 115 68 83 116 139 124 85 98
132 147 128 133 99 117 107 113 96 141
估計(jì)該校高三學(xué)生此次考試數(shù)學(xué)成績的25%分位數(shù)為　　　　,50%分位數(shù)為　　　　.
答案　96　115.5
解析　把這30名學(xué)生此次考試的數(shù)學(xué)成績按從小到大的順序排列為63,68,74,83,85,89,96,96,97,98,99,107,110,113,115,116,117,121,123,124,125,128,132,133,139,141,142,144,145,147.因?yàn)?5%×30=7.5,50%×30=15,所以這30名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的25%分位數(shù)為96,50%分位數(shù)為=115.5.據(jù)此可以估計(jì)本校高三學(xué)生此次考試數(shù)學(xué)成績的25%分位數(shù)為96,50%分位數(shù)為115.5.
15.已知x是1,2,3,x,5,6,7這七個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù),且1,3,x2,-y這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1,那么y-的最小值是 (　　)
A. B.
C. D.不存在
答案　A
解析　∵x是1,2,3,x,5,6,7這七個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù),則3≤x≤5.
又∵1,3,x2,-y這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1,
∴1+3+x2-y=4,
∴x2=y,
∴y-=x2-,
令f(x)=x2-,x∈[3,5],
∴f(x)在[3,5]上單調(diào)遞增,
∴f(x)的最小值是f(3)=9-=.
16.(12分)某校甲班、乙班各有49名學(xué)生,兩班在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中的成績(滿分100分)統(tǒng)計(jì)如表所示:
班級 平均分 眾數(shù) 中位數(shù)
甲班 79 70 87
乙班 79 70 79
(1)請你對下面的一段話給予簡要分析:
甲班的小剛回家對媽媽說:“昨天的數(shù)學(xué)測驗(yàn),全班平均79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算是上游了!”(5分)
(2)請你根據(jù)表中數(shù)據(jù),對這兩個(gè)班的測驗(yàn)情況進(jìn)行簡要分析,并提出教學(xué)建議.(7分)
解　(1)由中位數(shù)可知,85分排在第25名之后,從名次上講,85分不算是上游,但也不能單以名次來判斷學(xué)習(xí)成績的好壞,小剛得了85分,說明他對這階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容掌握較好.
(2)甲班學(xué)生成績的中位數(shù)為87分,說明高于或等于87分的學(xué)生占一半以上,而平均分為79分,說明兩極分化嚴(yán)重,建議對學(xué)習(xí)有困難的同學(xué)多一些幫助;
乙班學(xué)生成績的中位數(shù)和平均分均為79分,說明學(xué)生成績之間差別較小,成績很差的學(xué)生少,但成績優(yōu)異的學(xué)生也很少,建議采取措施提高優(yōu)秀率.5.1.2　數(shù)據(jù)的數(shù)字特征
第1課時(shí)　 最值、平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.理解數(shù)據(jù)的最值、平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)的意義和作用.2.會計(jì)算數(shù)據(jù)的這些數(shù)字特征,并能解決有關(guān)實(shí)際問題.
一、最值與平均數(shù)
問題1　若某校高一年級8個(gè)班參加合唱比賽的得分分別為89,91,90,92,87,93,96,94,則平均數(shù)是多少 最高分是多少 最低分是多少
知識梳理
1.一組數(shù)據(jù)的最值指的是其中的最大值與最小值,最值反映的是這組數(shù)　　　　　的情況.一般地,最大值用　　　　　表示,最小值用　　　　表示.
2.平均數(shù)
(1)如果給定的一組數(shù)是x1,x2,…,xn,則這組數(shù)的平均數(shù)為=　　　　　　　　,簡記為=.
(2)求和符號∑具有以下性質(zhì):
①=____________;②;③=____________.
(3)性質(zhì):一般地,如果x1,x2,…,xn的平均數(shù)為,且a,b為常數(shù),則ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均數(shù)為　　　　　　.
例1　(1)求一組數(shù)據(jù):68,69,71,63,70,68,69,71,69,72的最值、平均數(shù).
(2)某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中,得100分的有1人,得95分的有1人,得90分的有2人,得85分的有4人,得80分和75分的各1人,則該小組數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為 (　　)
A.85 B.86
C.87 D.88
反思感悟　求平均數(shù)的方法
(1)用定義式;
(2)用平均數(shù)的性質(zhì);
(3)在容量為n的一組數(shù)據(jù)中,若數(shù)據(jù)x1有n1個(gè),x2有n2個(gè),…,xk有nk個(gè),且n=n1+n2+…+nk,則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(n1x1+n2x2+…+nkxk)=x1+x2+…+xk.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)設(shè)一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為1,則數(shù)據(jù)3x1+1,3x2+1,…,3xn+1的平均數(shù)為 (　　)
A.1 B.3
C.4 D.9
(2)已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10,其中x1,x2,x3的平均數(shù)為a;x4,x5,…,x10的平均數(shù)為b,則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 (　　)
A. B.
C. D.
二、中位數(shù)與眾數(shù)
問題2　若某校高二年級7個(gè)班參加合唱比賽的得分分別為89,91,90,92,87,92,96,你能把數(shù)據(jù)從小到大排列嗎 正中間的數(shù)據(jù)是多少 出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是多少
知識梳理
1.中位數(shù)
如果一組數(shù)有奇數(shù)個(gè)數(shù),且按照從小到大排列后為x1,x2,…,x2n+1,則稱　　　　　為這組數(shù)的中位數(shù);如果一組數(shù)有偶數(shù)個(gè)數(shù),且按照從小到大排列后為x1,x2,…,x2n,則稱　　　　　　　　　為這組數(shù)的中位數(shù).
2.眾數(shù)
一組數(shù)據(jù)中,某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為這個(gè)數(shù)據(jù)的頻數(shù),出現(xiàn)次數(shù)　　　　　的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù),一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是　　　　　,也可以是　　　　　.
例2　十名工人某天生產(chǎn)同一種零件,生產(chǎn)的件數(shù)分別是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,設(shè)其平均數(shù)為a,中位數(shù)為b,眾數(shù)為c,則有 (　　)
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.b>c>a
反思感悟　(1)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法
平均數(shù)一般是根據(jù)公式來計(jì)算的;計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)時(shí),可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列,再根據(jù)各自的定義計(jì)算.
(2)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的意義
①樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”,其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算,不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響,但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息,平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息,但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響,越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.
②當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí),其眾數(shù)往往更能反映問題,當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)較大時(shí),可用中位數(shù)描述其集中趨勢.
跟蹤訓(xùn)練2　某小區(qū)廣場上有甲、乙兩群市民正在進(jìn)行晨練,兩群市民的年齡如下(單位:歲):
甲群　13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;
乙群　54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲 其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映甲群市民的年齡特征
(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲 其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映乙群市民的年齡特征
三、百分位數(shù)
問題3　某校高一年級8個(gè)班參加合唱比賽的得分分別為89,91,90,92,87,93,96,94,你能把數(shù)據(jù)從小到大排列嗎 這組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的25%是多少
知識梳理
1.百分位數(shù)
一組數(shù)的p%分位數(shù)指的是,將這組數(shù)按照從小到大的順序排列后,處于　　　　位置的數(shù).
2.如何確定p%分位數(shù)
設(shè)一組數(shù)按照從小到大排列后為x1,x2,…,xn,計(jì)算i=np%的值,如果i不是整數(shù),設(shè)i0為大于i的　　　　　　,取為p%分位數(shù);如果i是整數(shù),取為p%分位數(shù).
3.規(guī)定:0分位數(shù)是x1(即最小值),100%分位數(shù)是　　　　(即最大值).
4.一般地,一組數(shù)的p%(p∈(0,100))分位數(shù)指的是滿足下列條件的一個(gè)數(shù)值:至少有　　　　的數(shù)據(jù)不大于該值,且至少有　　　　　　　　　的數(shù)據(jù)不小于該值.
例3　(1)下列表述不正確的是 (　　)
A.中位數(shù)是一個(gè)50%分位數(shù)
B.p%分位數(shù)可以有單位
C.一個(gè)總體的四分位數(shù)有4個(gè)
D.樣本容量越大,p%分位數(shù)估計(jì)總體就越準(zhǔn)確
(2)確定數(shù)據(jù):1,2,2,2,2,3,3,3,5,5,6,6,8,8,9,10,10,12,13,13的中位數(shù),78%分位數(shù).
反思感悟　(1)百分位數(shù)是用于衡量數(shù)據(jù)的位置的度量,但它所衡量的不一定是中心位置.百分位數(shù)提供了有關(guān)數(shù)據(jù)項(xiàng)如何在最小值與最大值之間分布的信息.
(2)中位數(shù)、百分位數(shù)都不一定是數(shù)據(jù)中的數(shù).
跟蹤訓(xùn)練3　從某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中,任意抽取12件,得到它們的質(zhì)量(單位:kg)如下:
7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0,
分別求出這組數(shù)據(jù)的25%,75%,95%分位數(shù).
1.知識清單:
(1)數(shù)據(jù)的最值、平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù).
(2)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的計(jì)算方法.
(3)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的應(yīng)用.
2.方法歸納:數(shù)據(jù)分析.
3.常見誤區(qū):利用平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)對數(shù)據(jù)的分析不準(zhǔn)確.
1.2024年某高一學(xué)生下學(xué)期政治考試成績?yōu)?br/>79　79　84　84　86　84　87　90　90　97
則該生政治考試成績的平均數(shù)和眾數(shù)依次為 (　　)
A.85　84 B.84　85
C.86　84 D.84　86
2.某地鐵運(yùn)行過程中,10個(gè)車站上車的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下:70,60,60,50,60,40,40,30,30,10,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)之和為 (　　)
A.120 B.105
C.110 D.100
3.計(jì)算等于 (　　)
A.6 B.9
C.10 D.15
4.某歌手電視大獎(jiǎng)賽中,七位評委對某選手打出如下分?jǐn)?shù):7.9,8.1,8.4,8.5,8.5,8.7,9.9,則其50%分位數(shù)為　　　　.
答案精析
問題1　==91.5;最高分是96;最低分是87.
知識梳理
1.最極端　max　min　2.(1)(x1+x2+…+xn)　(2)①+　②　③nt　(3)a+b
例1　(1)解　把所給數(shù)據(jù)從小到大排列為63,68,68,69,69,69,70,71,71,72,
則最大值為72,最小值為63.平均數(shù)為
=69.
(2)C　[平均數(shù)為
=87.]
跟蹤訓(xùn)練1　(1)C　(2)A
問題2　87,89,90,91,92,92,96; 91;92.
知識梳理
1.xn+1　
2.最多　一個(gè)　多個(gè)
例2　B
跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)甲群市民年齡的平均數(shù)為
=15(歲),
中位數(shù)為15歲,眾數(shù)為15歲.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等,因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征.
(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為
=15(歲),
中位數(shù)為5.5歲,眾數(shù)為6歲.
由于乙群市民大多數(shù)是兒童,所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征,而平均數(shù)的可靠性較差.
問題3　87,89,90,91,92,93,94,96;8×25%=2.
知識梳理
1.p%　2.最小整數(shù)　3.xn　4.p%　(100-p)%
例3　(1)C
(2)解　因?yàn)樗o數(shù)據(jù)已從小到大排列,共20個(gè),
而且i1=20×50%=10為整數(shù),
i2=20×78%=15.6不為整數(shù),
所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為
==5.5,
78%分位數(shù)為x16=10.
跟蹤訓(xùn)練3　解　將所有數(shù)據(jù)從小到大排列,得
7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,
因?yàn)楣灿?2個(gè)數(shù)據(jù),
所以12×25%=3,
12×75%=9,
12×95%=11.4,
則25%分位數(shù)是=8.15,
75%分位數(shù)是=8.75,
95%分位數(shù)是第12個(gè)數(shù)據(jù)為9.9.
隨堂演練
1.C　2.B　3.D　4.8.5

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