資源簡(jiǎn)介

第2課時(shí)　極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.理解樣本數(shù)據(jù)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用,學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差.
2.能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要合理地選取樣本,從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差),并做出合理的解釋.
導(dǎo)語(yǔ)
平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)為我們提供了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的信息,這是概括一組數(shù)據(jù)的特征的有效方法.但僅知道集中趨勢(shì)的信息,很多時(shí)候還不能使我們做出有效決策.這節(jié)課我們共同來(lái)研究總體離散趨勢(shì)的有關(guān)知識(shí).
一、極值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算
問(wèn)題1　有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:
甲:7　8　7　9　5　4　9　10　7　4
乙:9　5　7　8　7　6　8　6　 7　7
甲、乙兩人本次射擊的平均成績(jī)分別為多少環(huán)
提示　經(jīng)計(jì)算得=×(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7,同理可得=7.
問(wèn)題2　觀察下圖中兩人成績(jī)的頻率分布條形圖,你能說(shuō)明其水平差異在哪里嗎
提示　直觀上看,還是有差異的.如:甲成績(jī)比較分散,乙成績(jī)相對(duì)集中.
問(wèn)題3　對(duì)于甲、乙兩人的射擊成績(jī)除了畫出頻率分布條形圖比較外,還有沒(méi)有其他方法來(lái)說(shuō)明兩組數(shù)據(jù)的分散程度
提示　還經(jīng)常用甲、乙命中環(huán)數(shù)的極差與平均數(shù)一起比較說(shuō)明數(shù)據(jù)的分散程度.甲的環(huán)數(shù)極差為10-4=6,乙的環(huán)數(shù)極差為9-5=4.它們?cè)谝欢ǔ潭壬媳砻髁藰颖緮?shù)據(jù)的分散程度,與平均數(shù)一起,可以給我們?cè)S多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息.顯然,極差對(duì)極端值非常敏感,注意到這一點(diǎn),我們可以得到一種“去掉一個(gè)最高分,去掉一個(gè)最低分”的統(tǒng)計(jì)策略.
知識(shí)梳理
1.極差
一組數(shù)的極差指的是這組數(shù)的最大值減去最小值所得的差.
2.方差
如果x1,x2,…,xn的平均數(shù)為,則方差可用求和符號(hào)表示為s2==
3.標(biāo)準(zhǔn)差
方差的算術(shù)平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差描述了數(shù)據(jù)相對(duì)于平均數(shù)的離散程度,一般用s表示.
s=
注意點(diǎn):
(1)數(shù)據(jù)的離散程度可以通過(guò)極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述,極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度,它對(duì)一組數(shù)據(jù)中的極端值極為敏感,一般情況下,極差大,則數(shù)據(jù)波動(dòng)性大;極差小,則數(shù)據(jù)波動(dòng)性小.極差只需考慮兩個(gè)極端值,便于計(jì)算,但沒(méi)有考慮中間的數(shù)據(jù),可靠性較差.
(2)標(biāo)準(zhǔn)差和方差則反映了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小,方差、標(biāo)準(zhǔn)差的運(yùn)算量較大.因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)單位不同,且平方后可能夸大了偏差程度,所以雖然標(biāo)準(zhǔn)差與方差在體現(xiàn)數(shù)據(jù)離散程度上是一樣的,但解決問(wèn)題時(shí)一般用標(biāo)準(zhǔn)差.
例1　甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100 mm的零件,為檢驗(yàn)質(zhì)量,各從中抽取6件測(cè)量,得到如下數(shù)據(jù):
甲:99　100　98　100　100　103
乙:99　100　102　99　100　100
分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差.
解　=×(99+100+98+100+100+103)=100,
=×(99+100+102+99+100+100)=100.
=×[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=,
=×[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.
反思感悟　求方差的基本方法
(1)先求平均值,再代入公式s2=或s2=
(2)當(dāng)一組數(shù)據(jù)重復(fù)數(shù)據(jù)較多時(shí),可先整理出頻數(shù)表,再計(jì)算s2.
跟蹤訓(xùn)練1　某班20位女同學(xué)平均分為甲、乙兩組,她們的勞動(dòng)技術(shù)課考試成績(jī)?nèi)缦?單位:分):
甲組:60,90,85,75,65,70,80,90,95,80;
乙組:85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
試分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.
解　甲組:最高分為95分,最低分為60分,極差為95-60=35(分),
平均分=×(60+90+85+75+65+70+80+90+95+80)=79(分),
方差=×[(60-79)2+(90-79)2+(85-79)2+(75-79)2+(65-79)2+(70-79)2+(80-79)2+(90-79)2+(95-79)2+(80-79)2]=119,
標(biāo)準(zhǔn)差s甲==≈10.91.
乙組:最高分為95分,最低分為65分,極差為95-65=30(分),
平均分=×(85+95+75+70+85+80+85+65+90+85)=81.5(分),
方差=×[(85-81.5)2+(95-81.5)2+(75-81.5)2+(70-81.5)2+(85-81.5)2+(80-81.5)2+(85-81.5)2+(65-81.5)2+(90-81.5)2+(85-81.5)2]=75.25,
標(biāo)準(zhǔn)差s乙==≈8.67.
二、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)
知識(shí)梳理
方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì):如果a,b為常數(shù),則ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差為a2s2、標(biāo)準(zhǔn)差為|a|s.
注意點(diǎn):
(1)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍為[0,+∞).
(2)方差、標(biāo)準(zhǔn)差為0時(shí),樣本各數(shù)據(jù)全相等,表明數(shù)據(jù)沒(méi)有波動(dòng),數(shù)據(jù)沒(méi)有離散性.
例2　設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的平均數(shù)和方差分別為1和4,若yi=xi+a(a為非零常數(shù),i=1,2,…,10),則y1,y2,…,y10的平均數(shù)和方差分別為 (　　)
A.1+a,4 B.1+a,4+a
C.1,4 D.1,4+a
答案　A
解析　∵x1,x2,…,x10的平均數(shù)=1,方差=4,
且yi=xi+a(i=1,2,…,10),
∴y1,y2,…,y10的平均數(shù)=×(y1+y2+…+y10)=×(x1+x2+…+x10+10a)=×(x1+x2+…+x10)+a=+a=1+a,
其方差=×[(y1-)2+(y2-)2+…+(y10-)2]=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]==4.
反思感悟　若樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為,方差為s2,則yi=axi+b,i=1,2,…,n的平均數(shù)為a+b,方差為a2s2,標(biāo)準(zhǔn)差為|a|s.
跟蹤訓(xùn)練2　若樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的標(biāo)準(zhǔn)差為 (　　)
A.8 B.15
C.16 D.32
答案　C
解析　樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的標(biāo)準(zhǔn)差s=8,則樣本數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的標(biāo)準(zhǔn)差s'=2×8=16.
三、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的應(yīng)用
例3　為了考察甲、乙兩種小麥的長(zhǎng)勢(shì),分別從甲、乙兩種麥苗中各抽10株,測(cè)得它們的株高分別為(單位:cm):
甲:25　41　40　37　22　14　19　39　21　42
乙:27　16　44　27　44　16　40　40　16　40
(1)哪種小麥的苗長(zhǎng)得高
(2)哪種小麥的苗長(zhǎng)得齊
解　(1)=×(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=×300=30(cm).
=×(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=×310=31(cm).
顯然<,所以乙種小麥的苗長(zhǎng)得高.
(2)=×[(25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+(22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+(42-30)2]=×(25+121+100+49+64+256+121+81+81+144)=×1 042=104.2.
=×[(27-31)2+(16-31)2+(44-31)2+(27-31)2+(44-31)2+(16-31)2+(40-31)2+(40-31)2+(16-31)2+(40-31)2]=×(16+225+169+16+169+225+81+81+225+81)=×1 288=128.8.
顯然<,所以甲種小麥的苗長(zhǎng)得齊.
反思感悟　用樣本估計(jì)總體時(shí),樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差只是總體的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的近似值,實(shí)際應(yīng)用中,需先分析平均水平,再計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差(方差)分析穩(wěn)定情況.
跟蹤訓(xùn)練3　2023年第一屆全國(guó)學(xué)生(青年)運(yùn)動(dòng)會(huì)(簡(jiǎn)稱“學(xué)青會(huì)”)在廣西南寧舉辦,某中學(xué)欲在兩名優(yōu)秀學(xué)生中挑選一名參加志愿者服務(wù)活動(dòng)(翻譯),他們的5次口語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?nèi)绫?
序號(hào) 1 2 3 4 5
甲 72 85 86 90 92
乙 76 83 85 87 94
請(qǐng)運(yùn)用所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)挑選一名合適的學(xué)生參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的志愿者活動(dòng)(說(shuō)明理由).
解　==85.
==85.
=
=48.8.
=
=34.
∵=>.
∴兩個(gè)人平均水平一樣,但是乙更穩(wěn)定,應(yīng)該選擇乙比較合理.
1.知識(shí)清單:
(1)極差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差的計(jì)算方法.
(2)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì).
(3)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的應(yīng)用.
2.方法歸納:數(shù)據(jù)分析.
3.常見誤區(qū):
(1)數(shù)據(jù)同時(shí)增加或減少相同的數(shù),平均數(shù)變化,方差不變.
(2)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算.
(3)在計(jì)算方差或標(biāo)準(zhǔn)差時(shí),當(dāng)數(shù)據(jù)的重復(fù)數(shù)據(jù)較多時(shí),要先把數(shù)據(jù)整理為頻數(shù)表再用公式或性質(zhì)計(jì)算.
1.下列說(shuō)法中正確的是 (　　)
A.在兩組數(shù)據(jù)中,平均數(shù)較大的一組方差較大
B.平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì),方差則反映數(shù)據(jù)離平均數(shù)的波動(dòng)大小
C.求出各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方后再相加,所得的和就是方差
D.眾數(shù)能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度
答案　B
解析　由平均數(shù)、眾數(shù)、方差的定義及意義可知選B.
2.某同學(xué)5天上學(xué)途中所花的時(shí)間(單位:分鐘)分別為12,8,10,9,11,則這組數(shù)據(jù)的方差為 (　　)
A.4 B.2
C.9 D.3
答案　B
解析　由題意可得==10,
由方差公式可得s2=×[(12-10)2+(8-10)2+(10-10)2+(9-10)2+(11-10)2]=2.
3.國(guó)家射擊隊(duì)要從甲、乙、丙、丁四名隊(duì)員中選出一名選手去參加射擊比賽,四人的平均成績(jī)和方差如表所示:
甲 乙 丙 丁
平均成績(jī) 8.5 8.8 8.8 8
方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7
則應(yīng)派　　　　參賽最為合適.
答案　丙
解析　由表可知,丙的平均成績(jī)較高,且發(fā)揮比較穩(wěn)定,應(yīng)派丙去參賽最合適.
4.樣本中共有5個(gè)個(gè)體,其值分別為a,0,1,2,3,若該樣本的平均數(shù)為1,則樣本方差為　　　　.
答案　2
解析　由題意知(a+0+1+2+3)=1,
解得a=-1.
所以樣本方差為s2=×[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2.
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共40分;多選題每小題6分,共12分
1.已知數(shù)據(jù):2,4,4,6,6,6,8,8,8,8,則這10個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　B
解析　這10個(gè)數(shù)的平均數(shù)=×(2+4×2+6×3+8×4)=6,
方差s2=[(2-6)2+(4-6)2×2+(6-6)2×3+(8-6)2×4]=4,
則標(biāo)準(zhǔn)差為2.
2.(多選)演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分,評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí),從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分,得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比,可能發(fā)生變化的數(shù)字特征是 (　　)
A.中位數(shù) B.平均數(shù)
C.方差 D.極差
答案　BCD
解析　由于去掉一個(gè)最高分與最低分后,評(píng)委所評(píng)的9個(gè)分?jǐn)?shù)從小到大排序后,中間一個(gè)數(shù)字不會(huì)改變,故中位數(shù)不變.由于最高分和最低分是極端分?jǐn)?shù),因此會(huì)影響平均數(shù)、方差和極差.
3.若一組數(shù)據(jù)a,3,5,7的平均數(shù)是b,且a,b是方程x2-5x+4=0的兩根,則這組數(shù)據(jù)的方差是 (　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
答案　C
解析　x2-5x+4=0的兩根是1,4.當(dāng)a=1時(shí),a,3,5,7的平均數(shù)是4;當(dāng)a=4時(shí),a,3,5,7的平均數(shù)不是1.所以a=1,b=4,則方差為s2=×[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.
4.某創(chuàng)業(yè)公司共有36名職工,為了了解該公司職工的年齡構(gòu)成情況,隨機(jī)采訪了9位代表,得到的數(shù)據(jù)分別為36,36,37,37,40,43,43,44,44,若用樣本估計(jì)總體,年齡在(-s,+s)內(nèi)的人數(shù)占公司人數(shù)的百分比是(其中是平均數(shù),s為標(biāo)準(zhǔn)差,結(jié)果精確到1%) (　　)
A.14% B.25%
C.56% D.67%
答案　C
解析　因?yàn)?
=40,s2=×(16+16+9+9+0+9+9+16+16)=,即s=.
年齡在(-s,+s)內(nèi),即內(nèi)的人數(shù)有5人,所以百分比為≈56%.
5.有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶7次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:
甲:7　8　10　9　8　8　6
乙:9　10　7　8　7　7　8
則下列判斷正確的是 (　　)
A.甲射擊的平均成績(jī)比乙好
B.甲射擊的成績(jī)的眾數(shù)小于乙射擊的成績(jī)的眾數(shù)
C.乙射擊的平均成績(jī)比甲好
D.甲射擊的成績(jī)的極差大于乙射擊的成績(jī)的極差
答案　D
解析　甲命中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)為
=×(7+8+10+9+8+8+6)=8,
乙命中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)為
=×(9+10+7+8+7+7+8)=8,
所以甲、乙射擊的平均成績(jī)相等,故A,C均錯(cuò)誤;甲射擊的成績(jī)的眾數(shù)是8,乙射擊的成績(jī)的眾數(shù)是7,所以甲射擊的成績(jī)的眾數(shù)大于乙射擊的成績(jī)的眾數(shù),故B錯(cuò)誤;甲射擊的成績(jī)的極差為10-6=4,乙射擊的成績(jī)的極差為10-7=3,所以甲射擊的成績(jī)的極差大于乙射擊的成績(jī)的極差,故D正確.
6.某同學(xué)使用計(jì)算器求30個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí),錯(cuò)將其中一個(gè)數(shù)據(jù)105輸入為15,則由此求出的平均數(shù)與實(shí)際平均數(shù)的差是 (　　)
A.3.5 B.-3
C.3 D.-0.5
答案　B
解析　少輸入90,=3,平均數(shù)少3,求出的平均數(shù)減去實(shí)際平均數(shù)為-3.
7.(5分)新莽銅嘉量是由新莽時(shí)期劉歆等人設(shè)計(jì)制造的量器標(biāo)準(zhǔn)器,它包括了龠、合、升、斗、斛這五個(gè)容量單位.每一個(gè)量又有詳細(xì)的分銘,可測(cè)得各器的徑、深、底面積和容積.現(xiàn)根據(jù)銘文計(jì)算,當(dāng)時(shí)制造容器時(shí)所用的圓周率分別為3.154 7,3.199 2,3.149 8,3.203 1,比《周髀算經(jīng)》的“徑一而周三”前進(jìn)了一大步,則上面4個(gè)數(shù)據(jù)與祖沖之給出的約率3.142 9、密率3.141 6這6個(gè)數(shù)據(jù)的極差為　　　,60%分位數(shù)為　　　.
答案　0.061 5　3.154 7
解析　根據(jù)題意,所給的6個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列依次為3.141 6,3.142 9,3.149 8,3.154 7,3.199 2,3.203 1,
所以這6個(gè)數(shù)據(jù)的極差為3.203 1-3.141 6=0.061 5,
因?yàn)?×60%=3.6,所以60%分位數(shù)為3.154 7.
8.(5分)某班有48名學(xué)生,在一次考試中統(tǒng)計(jì)出平均分?jǐn)?shù)為70,方差為75,后來(lái)發(fā)現(xiàn)有2名同學(xué)的成績(jī)有誤,甲實(shí)得80分卻記為50分,乙實(shí)得70分卻記為100分,則更正后平均分和方差分別是　　　,　　　.
答案　70　50
解析　甲少記30分,乙多記30分,則總分不變,由此平均分不發(fā)生變化;原方差s2=(++…++502+1002-48×702)=75,更正后方差s'2=(++…++802+702-48×702)=(++…++502+1002-48×702-1 200)=s2-×1 200=50.
9.(10分)為了展示中華漢字的無(wú)窮魅力,傳遞傳統(tǒng)文化,提高學(xué)習(xí)熱情,某校開展“中國(guó)漢字聽寫大會(huì)”的活動(dòng).為響應(yīng)學(xué)校號(hào)召,高二9班組建了興趣班,其中甲、乙兩人近期8次成績(jī)所得數(shù)據(jù)分別為
甲:68,69,71,72,74,78,83,85;
乙:65,70,70,73,75,80,82,85.
(1)求甲、乙兩人成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù);(4分)
(2)現(xiàn)要從甲、乙兩人中選派一人參加比賽,從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度你認(rèn)為派哪位學(xué)生參加比較合適 (6分)
解　(1)甲的平均數(shù)為= (68+69+71+72+74+78+83+85)÷8=75,中位數(shù)為(72+74)÷2=73,
乙的平均數(shù)為=(65+70+70+73+75+80+82+85)÷8=75,中位數(shù)為(73+75)÷2=74.
(2)甲的方差為=[(68-75)2+(69-75)2+(71-75)2+ (72-75)2+(74-75)2+(78-75)2+(83-75)2+(85-75)2]÷8=35.5,
乙的方差為=[(65-75)2+(70-75)2+(70-75)2+(73-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(82-75)2+(85-75)2] ÷8=41,
∵<,
∴甲成績(jī)更穩(wěn)定,派甲參加比較合適.
10.(13分)有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶7次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:
甲　6　9　7　8　8　5　6
乙　a　3　9　8　9　6　4
經(jīng)計(jì)算可得甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)是一樣的.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;(6分)
(2)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算,判斷甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員哪一位的成績(jī)更穩(wěn)定 (7分)
解　(1)由題意知,甲的平均成績(jī)?yōu)?×(6+9+7+8+8+5+6)=7,
乙的平均成績(jī)?yōu)?×(a+3+9+8+9+6+4)=(a+39),
又甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)是一樣的,所以有(a+39)=7,解得a=10,
故實(shí)數(shù)a的值為10.
(2)甲的方差=×[(6-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]=,
乙的方差=×[(10-7)2+(3-7)2+(9-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(6-7)2+(4-7)2]=,
由<知,甲的成績(jī)比乙更穩(wěn)定.
11.(多選)甲、乙兩班舉行電腦漢字錄入比賽,參加學(xué)生每分鐘錄入漢字的個(gè)數(shù)經(jīng)統(tǒng)計(jì)計(jì)算后填入下表:
班級(jí) 參加人數(shù) 中位數(shù) 方差 平均數(shù)
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
下列結(jié)論中,正確的是 (　　)
A.甲、乙兩班學(xué)生成績(jī)的平均水平相同
B.乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)(每分鐘輸入漢字?jǐn)?shù)≥150個(gè)為優(yōu)秀)
C.甲班的成績(jī)比乙班的成績(jī)波動(dòng)大
D.甲班成績(jī)的眾數(shù)小于乙班成績(jī)的眾數(shù)
答案　ABC
解析　甲、乙兩班成績(jī)的平均數(shù)都是135,故兩班成績(jī)的平均水平相同,所以A正確;=191>110=,所以甲班成績(jī)不如乙班穩(wěn)定,即甲班成績(jī)波動(dòng)較大,所以C正確;甲、乙兩班人數(shù)相同,但甲班成績(jī)的中位數(shù)為149,乙班成績(jī)的中位數(shù)為151,從而易知乙班每分鐘輸入漢字?jǐn)?shù)≥150個(gè)的人數(shù)要多于甲班,所以B正確;由題表看不出兩班學(xué)生成績(jī)的眾數(shù),所以D錯(cuò)誤.
12.某人5次上班途中所花的時(shí)間(單位:分鐘)分別為x,y,10,11,9,(x,y∈N),已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,方差為2,則|x-y|的值為 (　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
答案　A
解析　由這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,方差為2可得x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,設(shè)x=10+t,y=10-t,由(x-10)2+(y-10)2=8得t2=4,所以|x-y|=2|t|=4.
13.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是4.8,方差是3.6,若將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上60,得到一組新數(shù)據(jù),則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是 (　　)
A.55.2,3.6 B.55.2,56.4
C.64.8,63.6 D.64.8,3.6
答案　D
解析　設(shè)這組數(shù)據(jù)分別為x1,x2,…,xn,
由其平均數(shù)是4.8,方差是3.6,則有
=(x1+x2+…+xn)=4.8,
方差=[++…+]=3.6,
若將這組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上60,
則數(shù)據(jù)為x1+60,x2+60,…,xn+60,
則其平均數(shù)為=[(x1+60)+(x2+60)+…+(xn+60)]=64.8,
方差為=[++…+]=3.6.
14.已知數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為s2,數(shù)據(jù)ax1-1,ax2-1,…,axn-1的方差為4s2.則a等于 (　　)
A.1 B.2
C.±2 D.-2
答案　C
解析　已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為,方差為s2,
記數(shù)據(jù)ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均數(shù)為',方差為s'2,
則'=
=
==a+b,
s'2=
==a2s2,
故ax1-1,ax2-1,…,axn-1的方差為a2s2,
所以a2=4,則a=±2.
15.(15分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每隔30 min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸:
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
經(jīng)計(jì)算得==9.97,s=≈0.212,其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸,i=1,2,…,16.
一天內(nèi)抽檢的零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(-3s,+3s)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.
(1)從這一天抽檢的結(jié)果看,是否需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查 (6分)
(2)在(-3s,+3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值,試剔除離群值,估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.(精確到0.01,參考數(shù)據(jù):≈0.09)(9分)
解　(1)由于=9.97,s≈0.212,-3s=9.334,+3s=10.606,由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個(gè)零件的尺寸在(-3s,+3s)以外,因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.
(2)剔除離群值,即第13個(gè)數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為×(16×9.97-9.22)=10.02,
即這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的平均數(shù)為10.02,
因?yàn)榉讲顂2=
所以 =16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,
剔除第13個(gè)數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為
×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,
則這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為≈0.09.第2課時(shí)　極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.理解樣本數(shù)據(jù)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用,學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差.
2.能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要合理地選取樣本,從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差),并做出合理的解釋.
一、極值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算
問(wèn)題1　有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:
甲:7　8　7　9　5　4　9　10　7　4
乙:9　5　7　8　7　6　8　6　 7　7
甲、乙兩人本次射擊的平均成績(jī)分別為多少環(huán)
問(wèn)題2　觀察下圖中兩人成績(jī)的頻率分布條形圖,你能說(shuō)明其水平差異在哪里嗎
問(wèn)題3　對(duì)于甲、乙兩人的射擊成績(jī)除了畫出頻率分布條形圖比較外,還有沒(méi)有其他方法來(lái)說(shuō)明兩組數(shù)據(jù)的分散程度
知識(shí)梳理
1.極差
一組數(shù)的極差指的是這組數(shù)的　　　　　　　　　　　　　　.
2.方差
如果x1,x2,…,xn的平均數(shù)為,則方差可用求和符號(hào)表示為s2=　　　　　　　　=
3.標(biāo)準(zhǔn)差
方差的算術(shù)平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差描述了數(shù)據(jù)相對(duì)于平均數(shù)的離散程度,一般用s表示.
s=
例1　甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100 mm的零件,為檢驗(yàn)質(zhì)量,各從中抽取6件測(cè)量,得到如下數(shù)據(jù):
甲:99　100　98　100　100　103
乙:99　100　102　99　100　100
分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差.
跟蹤訓(xùn)練1　某班20位女同學(xué)平均分為甲、乙兩組,她們的勞動(dòng)技術(shù)課考試成績(jī)?nèi)缦?單位:分):
甲組:60,90,85,75,65,70,80,90,95,80;
乙組:85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
試分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.
二、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)
知識(shí)梳理
方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì):如果a,b為常數(shù),則ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差為　　　　　、標(biāo)準(zhǔn)差為|a|s.
例2　設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的平均數(shù)和方差分別為1和4,若yi=xi+a(a為非零常數(shù),i=1,2,…,10),則y1,y2,…,y10的平均數(shù)和方差分別為 (　　)
A.1+a,4 B.1+a,4+a
C.1,4 D.1,4+a
反思感悟　若樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為,方差為s2,則yi=axi+b,i=1,2,…,n的平均數(shù)為a+b,方差為a2s2,標(biāo)準(zhǔn)差為|a|s.
跟蹤訓(xùn)練2　若樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的標(biāo)準(zhǔn)差為 (　　)
A.8 B.15
C.16 D.32
三、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的應(yīng)用
例3　為了考察甲、乙兩種小麥的長(zhǎng)勢(shì),分別從甲、乙兩種麥苗中各抽10株,測(cè)得它們的株高分別為(單位:cm):
甲:25　41　40　37　22　14　19　39　21　42
乙:27　16　44　27　44　16　40　40　16　40
(1)哪種小麥的苗長(zhǎng)得高
(2)哪種小麥的苗長(zhǎng)得齊
跟蹤訓(xùn)練3　2023年第一屆全國(guó)學(xué)生(青年)運(yùn)動(dòng)會(huì)(簡(jiǎn)稱“學(xué)青會(huì)”)在廣西南寧舉辦,某中學(xué)欲在兩名優(yōu)秀學(xué)生中挑選一名參加志愿者服務(wù)活動(dòng)(翻譯),他們的5次口語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?nèi)绫?
序號(hào) 1 2 3 4 5
甲 72 85 86 90 92
乙 76 83 85 87 94
請(qǐng)運(yùn)用所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)挑選一名合適的學(xué)生參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的志愿者活動(dòng)(說(shuō)明理由).
1.知識(shí)清單:
(1)極差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差的計(jì)算方法.
(2)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì).
(3)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的應(yīng)用.
2.方法歸納:數(shù)據(jù)分析.
3.常見誤區(qū):
(1)數(shù)據(jù)同時(shí)增加或減少相同的數(shù),平均數(shù)變化,方差不變.
(2)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算.
(3)在計(jì)算方差或標(biāo)準(zhǔn)差時(shí),當(dāng)數(shù)據(jù)的重復(fù)數(shù)據(jù)較多時(shí),要先把數(shù)據(jù)整理為頻數(shù)表再用公式或性質(zhì)計(jì)算.
1.下列說(shuō)法中正確的是 (　　)
A.在兩組數(shù)據(jù)中,平均數(shù)較大的一組方差較大
B.平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì),方差則反映數(shù)據(jù)離平均數(shù)的波動(dòng)大小
C.求出各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方后再相加,所得的和就是方差
D.眾數(shù)能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度
2.某同學(xué)5天上學(xué)途中所花的時(shí)間(單位:分鐘)分別為12,8,10,9,11,則這組數(shù)據(jù)的方差為 (　　)
A.4 B.2
C.9 D.3
3.國(guó)家射擊隊(duì)要從甲、乙、丙、丁四名隊(duì)員中選出一名選手去參加射擊比賽,四人的平均成績(jī)和方差如表所示:
甲 乙 丙 丁
平均成績(jī) 8.5 8.8 8.8 8
方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7
則應(yīng)派　　　　參賽最為合適.
4.樣本中共有5個(gè)個(gè)體,其值分別為a,0,1,2,3,若該樣本的平均數(shù)為1,則樣本方差為　　　　.
答案精析
問(wèn)題1　經(jīng)計(jì)算得=×(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7,同理可得=7.
問(wèn)題2　直觀上看,還是有差異的.如:甲成績(jī)比較分散,乙成績(jī)相對(duì)集中.
問(wèn)題3　還經(jīng)常用甲、乙命中環(huán)數(shù)的極差與平均數(shù)一起比較說(shuō)明數(shù)據(jù)的分散程度.
甲的環(huán)數(shù)極差為10-4=6,乙的環(huán)數(shù)極差為9-5=4.
它們?cè)谝欢ǔ潭壬媳砻髁藰颖緮?shù)據(jù)的分散程度,與平均數(shù)一起,可以給我們?cè)S多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息.
顯然,極差對(duì)極端值非常敏感,注意到這一點(diǎn),我們可以得到一種“去掉一個(gè)最高分,去掉一個(gè)最低分”的統(tǒng)計(jì)策略.
知識(shí)梳理
1.最大值減去最小值所得的差
2.
例1　解　=×(99+100+98+100+100+103)=100,
=×(99+100+102+99+100+100)=100.
=×[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=,
=×[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.
跟蹤訓(xùn)練1　解　甲組:最高分為95分,最低分為60分,
極差為95-60=35(分),
平均分=×(60+90+85+75+65+70+80+90+95+80)=79(分),
方差=×[(60-79)2+(90-79)2+(85-79)2+(75-79)2+(65-79)2+(70-79)2+(80-79)2+(90-79)2+(95-79)2+(80-79)2]=119,
標(biāo)準(zhǔn)差s甲==≈10.91.
乙組:最高分為95分,最低分為65分,極差為95-65=30(分),
平均分=×(85+95+75+70+85+80+85+65+90+85)=81.5(分),
方差=×[(85-81.5)2+(95-81.5)2+(75-81.5)2+(70-81.5)2+(85-81.5)2+(80-81.5)2+(85-81.5)2+(65-81.5)2+(90-81.5)2+(85-81.5)2]=75.25,
標(biāo)準(zhǔn)差s乙==≈8.67.
知識(shí)梳理
a2s2　
例2　A　[∵x1,x2,…,x10的平均數(shù)=1,方差=4,
且yi=xi+a(i=1,2,…,10),
∴y1,y2,…,y10的平均數(shù)
=×(y1+y2+…+y10)
=×(x1+x2+…+x10+10a)
=×(x1+x2+…+x10)+a
=+a=1+a,
其方差=×[(y1-)2+(y2-)2+…+(y10-)2]=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]
==4.]
跟蹤訓(xùn)練2　C
例3　解　(1)=×(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=×300=30(cm).
=×(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=×310=31(cm).
顯然<,所以乙種小麥的苗長(zhǎng)得高.
(2)=×[(25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+(22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+(42-30)2]=×(25+121+100+49+64+256+121+81+81+144)=×1 042=104.2.
=×[(27-31)2+(16-31)2+(44-31)2+(27-31)2+(44-31)2+(16-31)2+(40-31)2+(40-31)2+(16-31)2+(40-31)2]=×(16+225+169+16+169+225+81+81+225+81)=×1 288=128.8.
顯然<,所以甲種小麥的苗長(zhǎng)得齊.
跟蹤訓(xùn)練3解　==85.
==85.
=
=48.8.
=
=34.
∵=>.
∴兩個(gè)人平均水平一樣,但是乙更穩(wěn)定,應(yīng)該選擇乙比較合理.
隨堂演練
1.B　2.B　3.丙　4.2

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