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第2課時(shí)　頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.會(huì)列頻率分布表,會(huì)畫頻數(shù)分布直方圖、頻率分布直方圖、頻數(shù)分布折線圖和頻率分布折線圖.2.能夠利用圖形解決實(shí)際問題.
導(dǎo)語
收集數(shù)據(jù)是為了尋找數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息.因?yàn)閷?shí)際問題中數(shù)據(jù)多而雜亂,往往無法直接從原始數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,所以需要根據(jù)問題的背景特點(diǎn),選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和直觀描述.怎樣才能直觀地表示出數(shù)據(jù)的大致分布呢
一、頻數(shù)與頻率
知識(shí)梳理
1.頻數(shù):在一組數(shù)據(jù)中,數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為頻數(shù),某個(gè)區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)稱為區(qū)間對(duì)應(yīng)的頻數(shù).
2.頻率:在一組數(shù)據(jù)中,數(shù)據(jù)的頻數(shù)與這組數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)的比值稱為頻率,區(qū)間對(duì)應(yīng)的頻數(shù)與這組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的比值稱為區(qū)間對(duì)應(yīng)的頻率.
例1　(1)將容量為100的樣本數(shù)據(jù)分為8組,如表所示:
組號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
頻數(shù) 10 13 x 14 15 13 12 9
則第3組的頻率為 (　　)
A.0.03 B.0.07
C.0.14 D.0.21
(2)如圖,一個(gè)頻數(shù)分布表(樣本容量為50)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數(shù)據(jù)在[20,60]內(nèi)的頻率為0.6,則估計(jì)樣本在[40,50),[50,60]內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)之和為　　　　.
答案　(1)C　(2)21
解析　(1)由題意得x=100-(10+13+14+15+13+12+9)=14,所以第3組的頻率為=0.14.
(2)根據(jù)題意,設(shè)分布在[40,50],[50,60]內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)分別為x,y.
∵樣本中數(shù)據(jù)在[20,60]內(nèi)的頻率為0.6,樣本容量為50,∴=0.6,解得x+y=21.
即樣本在[40,50),[50,60]內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)之和為21.
反思感悟　對(duì)于頻數(shù)與頻率的問題,首先要明確幾個(gè)關(guān)系,即各組的頻數(shù)之和等于樣本容量,各組的頻率之和為1,頻率=.在解題過程中,要明確頻數(shù)、頻率以及樣本容量之間的關(guān)系,弄清楚已知和所求,選擇合適的公式解題.
跟蹤訓(xùn)練1　某市共有5 000名高三學(xué)生參加聯(lián)考,為了了解這些學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況,現(xiàn)從中隨機(jī)抽出若干名學(xué)生在這次測(cè)試中的數(shù)學(xué)成績(jī),制成如下頻率分布表:
分組 頻數(shù) 頻率
[80,90) ① ②
[90,100) 0.050
[100,110) 0.200
[110,120) 36 0.300
[120,130) 0.275
[130,140) 12 ③
[140,150] 0.050
合計(jì) ④
根據(jù)上面的頻率分布表,可知①處的數(shù)值為　　　　,
②處的數(shù)值為　　　　.
答案　3　0.025
解析　由成績(jī)?cè)赱110,120)內(nèi)的頻數(shù)為36,頻率為=0.300,得樣本容量n=120,所以成績(jī)?cè)赱130,140)內(nèi)的頻率為=0.100,故②處應(yīng)為1-0.050-0.200-0.300-0.275-0.100-0.050=0.025,①處應(yīng)為0.025×120=3.
二、頻數(shù)、頻率分布直方圖及其折線圖的繪制
知識(shí)梳理
1.頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖的繪制步驟(1)找出最值,計(jì)算極差;
(2)合理分組,確定區(qū)間;
(3)整理數(shù)據(jù);
(4)作出有關(guān)圖示.
頻數(shù)分布直方圖 縱坐標(biāo)是頻數(shù),每一組數(shù)對(duì)應(yīng)的矩形高度與頻數(shù)成正比
頻率分布直方圖 縱坐標(biāo)是,每一組數(shù)對(duì)應(yīng)的矩形高度與頻率成正比,每個(gè)矩形的面積等于這一組數(shù)對(duì)應(yīng)的頻率,所有矩形的面積之和為1
2.頻數(shù)分布折線圖和頻率分布折線圖
把頻數(shù)分布直方圖和頻率分布直方圖中每個(gè)矩形上面一邊的中點(diǎn)用線段連接起來,且畫成與橫軸相交.
注意點(diǎn):
繪制頻率分布直方圖應(yīng)注意
(1)決定組距與組數(shù):組數(shù)太多或太少,都會(huì)影響我們了解數(shù)據(jù)的分布情況.組距與組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn),常常需要一個(gè)嘗試和選擇的過程.當(dāng)樣本容量不超過100時(shí),常分成5~12組.
(2)分點(diǎn)的確定:若數(shù)據(jù)為整數(shù),則分點(diǎn)數(shù)據(jù)減去0.5;若數(shù)據(jù)是小數(shù)點(diǎn)后有一位數(shù)字的數(shù),則分點(diǎn)數(shù)據(jù)減去0.05,以此類推.分組時(shí),通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在的區(qū)間取左閉右開區(qū)間,最后一組取閉區(qū)間.
例2　某省為了了解和掌握某年高考考生的實(shí)際答卷情況,隨機(jī)地取出了100名考生的數(shù)學(xué)成績(jī),數(shù)據(jù)如下:(單位:分)
135　98　102　110　99　121　110　96
100 103 125 97 117 113 110 92
102 109 104 112 105 124 87 131
97 102 123 104 104 128 109 123
111 103 105 92 114 108 104 102
129 126 97 100 115 111 106 117
104 109 111 89 110 121 80 120
121 104 108 118 129 99 90 99
121 123 107 111 91 100 99 101
116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97
126 108 123 119 98 121 101 113
102 103 104 108
(1)列出頻率分布表;
(2)畫出頻率分布直方圖和折線圖.
解　100個(gè)數(shù)據(jù)中,最大值為135,最小值為80,極差為135-80=55.取組距為5,則組數(shù)為=11.
(1)頻率分布表如下:
分組 頻數(shù) 頻率 頻率/組距
[80,85) 1 0.01 0.002
[85,90) 2 0.02 0.004
[90,95) 4 0.04 0.008
[95,100) 14 0.14 0.028
[100,105) 24 0.24 0.048
[105,110) 15 0.15 0.030
[110,115) 12 0.12 0.024
[115,120) 9 0.09 0.018
[120,125) 11 0.11 0.022
[125,130) 6 0.06 0.012
[130,135] 2 0.02 0.004
合計(jì) 100 1.00 0.200
注:表中加上“頻率/組距”一列,這是為畫頻率分布直方圖準(zhǔn)備的,因?yàn)樗穷l率分布直方圖的縱坐標(biāo).
(2)根據(jù)頻率分布表中的有關(guān)信息畫出頻率分布直方圖及折線圖,如圖所示.
反思感悟　列頻率分布表時(shí),極差、組距、組數(shù)有如下關(guān)系
(1)若為整數(shù),則=組數(shù);
(2)若不為整數(shù),則的整數(shù)部分+1=組數(shù).
跟蹤訓(xùn)練2　有一容量為200的樣本,數(shù)據(jù)的分組以及各組的頻數(shù)如下:
[-20,-15),7;[-15,-10),11;[-10,-5),15;[-5,0),40;[0,5),49;[5,10),41;[10,15),20;[15,20],17.
(1)列出樣本的頻率分布表;
(2)畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖;
(3)求樣本數(shù)據(jù)不足0的頻率.
解　(1)頻率分布表如表:
分組 頻數(shù) 頻率
[-20,-15) 7 0.035
[-15,-10) 11 0.055
[-10,-5) 15 0.075
[-5,0) 40 0.200
[0,5) 49 0.245
[5,10) 41 0.205
[10,15) 20 0.100
[15,20] 17 0.085
合計(jì) 200 1.000
(2)頻率分布直方圖和頻率分布折線圖如圖所示.
(3)樣本數(shù)據(jù)不足0的頻率為0.035+0.055+0.075+0.200=0.365.
三、頻率分布直方圖的應(yīng)用
例3　某中學(xué)進(jìn)行電腦知識(shí)競(jìng)賽,現(xiàn)將高一兩個(gè)班參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成5組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的第一、第二、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.30,0.40,
0.15,0.10,x,第五組小矩形的高度為y.
(1)求x,y的值;
(2)估計(jì)參賽學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù);
(3)估計(jì)參賽學(xué)生的平均成績(jī);
(4)若第五組的頻數(shù)為2,求高一兩個(gè)班參賽學(xué)生的人數(shù).
解　(1)∵0.30+0.40+0.15+0.10+x=1,
∴x=0.05,y==0.005.
(2)由于第二組頻率最大,估計(jì)眾數(shù)為第二組中間值65.設(shè)中位數(shù)為z,則0.03×10+(z-60)×0.04=0.5,
解得z=65,所以中位數(shù)為65.
(3)估計(jì)參賽學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?br/>55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67.
(4)設(shè)高一兩個(gè)班參賽學(xué)生的人數(shù)為n,
則2=0.05n,∴n=40,
即高一兩個(gè)班參賽學(xué)生的人數(shù)為40.
反思感悟　頻率分布直方圖中,各數(shù)字特征雖不能直接求出,但是可以近似估計(jì)
(1)中位數(shù):頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊各矩形的面積和相等,由此可以估計(jì)中位數(shù)的值.
(2)眾數(shù):頻率分布直方圖中,眾數(shù)是最高的矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).
(3)平均數(shù):頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積與其底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積的和.
(4)方差:s2=(其中n為組數(shù),為估計(jì)平均值,pi,分別為第i組的頻率和中點(diǎn)值).
跟蹤訓(xùn)練3　某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在A,B兩家餐廳用餐的滿意度,從在A,B兩家餐廳都用過餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,每人分別對(duì)這兩家餐廳進(jìn)行評(píng)分,滿分均為60分.整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù),將分?jǐn)?shù)以10為組距分為6組:
[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60],得到A餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和B餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表.
A餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖
B餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表
分?jǐn)?shù)區(qū)間 頻數(shù)
[0,10) 2
[10,20) 3
[20,30) 5
[30,40) 15
[40,50) 40
[50,60] 35
(1)在抽樣的100人中,求對(duì)A餐廳評(píng)分低于30分的人數(shù);
(2)如果從A,B兩家餐廳中選擇一家用餐,你會(huì)選擇哪一家 并說明理由.
解　(1)從頻率分布直方圖得到評(píng)分低于30分的頻率為(0.003+0.005+0.012)×10=0.2,
所以抽樣的100人中,對(duì)A餐廳評(píng)分低于30分的人數(shù)為0.2×100=20.
(2)從頻數(shù)分布表可以看出在抽樣的100人中,對(duì)A餐廳評(píng)分低于30分的人數(shù)占比為×100%=20%,
對(duì)B餐廳評(píng)分低于30分的人數(shù)為2+3+5=10,所占的比例為×100%=10%,顯然評(píng)分低于30分的人數(shù)占比越少,說明餐廳的用餐滿意度越好,所以我會(huì)選擇B餐廳用餐.
1.知識(shí)清單:
(1)頻數(shù)與頻率.
(2)頻率(數(shù))分布直方圖的繪制.
(3)頻率分布直方圖的應(yīng)用.
2.方法歸納:圖表識(shí)別、數(shù)據(jù)分析.
3.常見誤區(qū):頻率分布直方圖中小矩形的高以及小矩形的面積代表的意義理解不清.
1.頻率分布直方圖中,小長(zhǎng)方形的面積等于 (　　)
A.組距 B.頻率
C.組數(shù) D.頻數(shù)
答案　B
解析　根據(jù)小長(zhǎng)方形的寬及高的意義,可知小長(zhǎng)方形的面積為一組樣本數(shù)據(jù)的頻率.
2.某校為了解高三學(xué)生的身體狀況,抽取了100名女生的體重?cái)?shù)據(jù).將所得的數(shù)據(jù)整理后,畫出了如圖所示的頻率分布直方圖,則所抽取的女生中體重在40~45 kg的人數(shù)是 (　　)
A.10 B.2 C.5 D.15
答案　A
解析　由圖可知頻率=×組距,知頻率為0.02×5=0.1.所以所抽取的女生中體重在40~45 kg的有0.1×100=10(人).
3.為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況,現(xiàn)抽取了n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,結(jié)果顯示這些學(xué)生每月的鍛煉時(shí)間(單位:小時(shí))在[10,50]內(nèi),其中鍛煉時(shí)間在[30,50]內(nèi)的學(xué)生有134人,頻率分布直方圖如圖所示,則n等于 (　　)
A.150 B.160 C.180 D.200
答案　D
解析　由頻率分布直方圖得鍛煉時(shí)間在[30,50]內(nèi)的頻率為1-(0.010+0.023)×10=0.670,所以n==200.
4.某校100名學(xué)生的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)頻率分布直方圖如圖所示,分?jǐn)?shù)不低于a即為優(yōu)秀,如果優(yōu)秀的人數(shù)為20,則a的估計(jì)值是　　　　(填整數(shù)).
答案　133
解析　由已知可以判斷a∈[130,140),所以[(140-a)×0.015+0.01×10]×100=20.解得a≈133.
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共30分;多選題每小題6分,共18分
1.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測(cè)試,成績(jī)的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40),[40,60),[60,80),
[80,100].若低于60分的人數(shù)是15,則該班的學(xué)生人數(shù)是 (　　)
A.45 B.50 C.55 D.60
答案　B
解析　根據(jù)頻率分布直方圖的特點(diǎn)可知,低于60分的頻率是(0.005+0.01)×20=0.3,所以該班的學(xué)生人數(shù)是=50.
2.(多選)某企業(yè)為了了解員工給災(zāi)區(qū)“愛心捐款”的情況,隨機(jī)抽取部分員工的捐款金額整理繪制成如圖所示的直方圖,根據(jù)圖中信息,下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.樣本中位數(shù)是200元
B.樣本容量是20
C.該企業(yè)員工捐款金額的極差是450元
D.該企業(yè)員工最大捐款金額是500元
答案　BCD
解析　對(duì)于A,共2+8+5+4+1=20(人),中位數(shù)為150元,錯(cuò)誤;對(duì)于B,共20人,故樣本容量為20,正確;對(duì)于C,極差為500-50=450(元),正確;對(duì)于D,該企業(yè)員工最大捐款金額是500元,正確.
3.在樣本的頻率分布直方圖中,共有8個(gè)小長(zhǎng)方形,若最后一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于其他7個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和的,且樣本容量為200,則第8組的頻數(shù)為 (　　)
A.40 B.0.2 C.50 D.0.25
答案　A
解析　設(shè)最后一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為x,則其他7個(gè)小長(zhǎng)方形的面積和為4x,從而x+4x=1,所以x=0.2.故第8組的頻數(shù)為200×0.2=40.
4.已知200輛汽車通過某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示,則時(shí)速的眾數(shù)、中位數(shù)的估計(jì)值分別為 (　　)
A.62,62.5 B.65,62
C.65,62.5 D.62.5,62.5
答案　C
解析　最高的矩形為第三個(gè)矩形,所以時(shí)速的眾數(shù)為65,前兩個(gè)矩形的面積和為(0.01+0.03)×10=0.4,由于0.5-0.4=0.1,又0.1÷0.04=2.5,所以中位數(shù)為60+2.5=62.5.
5.(多選)某同學(xué)將全班同學(xué)期中考試的成績(jī)繪制成頻率分布直方圖后,并將每個(gè)小矩形上面一邊的中點(diǎn)用線段連接起來得到頻率分布折線圖(如圖所示).
據(jù)此圖,下列說法正確的是 (　　)
A.由頻率分布折線圖可以看出,在區(qū)間[80,120)內(nèi),隨著成績(jī)的增加,各分?jǐn)?shù)段對(duì)應(yīng)的人數(shù)一直增加
B.由頻率分布折線圖可以看出,在區(qū)間[110,140)內(nèi),各分?jǐn)?shù)段對(duì)應(yīng)的人數(shù)逐漸減少
C.據(jù)頻率分布折線圖可以估計(jì)此次考試成績(jī)的眾數(shù)是115
D.據(jù)頻率分布折線圖可以看出有50%以上的同學(xué)的分?jǐn)?shù)在區(qū)間[100,130)內(nèi)
答案　BCD
解析　由題圖可知分?jǐn)?shù)在[90,100)與[100,110)內(nèi)的人數(shù)相同,故A錯(cuò)誤;
由折線變化趨勢(shì)可知B正確;
區(qū)間[110,120)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)最大,所以相應(yīng)的頻率最大,頻數(shù)也最大,據(jù)此估計(jì)此次考試成績(jī)的眾數(shù)為115,故C正確;
由折線圖的繪制過程及頻率分布直方圖中小矩形的面積意義可知D正確.
6.某學(xué)校隨機(jī)抽取20個(gè)班,調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù),所得數(shù)據(jù)如下所示.以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]時(shí),所作的頻率分布直方圖是 (　　)
3　　7　17　16　14　14　13　10　27　25　25
24　23　22　20　38　35　34　33　30
答案　A
解析　由統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)知落在區(qū)間[0,5)與[5,10)上的頻數(shù)相等,故頻率、也分別相等.比較四個(gè)選項(xiàng)知A正確.
7.(5分)某路段屬于限速路段,規(guī)定通過該路段的汽車時(shí)速不得超過70 km/h,否則視為違規(guī)扣分.某天有1 000輛汽車經(jīng)過了該路段,經(jīng)過雷達(dá)測(cè)速得到這些汽車運(yùn)行時(shí)速的頻率分布直方圖(如圖所示),則違規(guī)扣分的汽車大約為　　　　輛.
答案　120
解析　易求得時(shí)速在70~80 km/h這組的頻率為1-0.05-0.18-0.38-0.27=0.12,
則違規(guī)扣分的汽車大約為0.12×1 000=120(輛).
8.(5分)為了了解今年某校高三畢業(yè)班準(zhǔn)備報(bào)考飛行員的學(xué)生的體重(單位:kg)情況,將所得的數(shù)據(jù)整理后,畫出了頻率分布直方圖,如圖所示,已知圖中從左到右的前三個(gè)小組的頻率之比為1∶2∶3,其中第2小組的頻數(shù)為12.則該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)為　　　　.
答案　48
解析　設(shè)報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)為n,
設(shè)第一小組的頻率為a,
則有a+2a+3a+(0.013+0.037)×5=1,
解得a=0.125,所以第2小組的頻率為0.25.
又第2小組的頻數(shù)為12,
則有0.25=,所以n=48.
9.(10分)如圖所示是總體的一個(gè)樣本頻率分布直方圖,且在[15,18)內(nèi)的頻數(shù)為8.
(1)求樣本數(shù)據(jù)在[15,18)內(nèi)的頻率;(3分)
(2)求樣本容量;(3分)
(3)若在[12,15)內(nèi)的小矩形面積為0.06,求在[18,33]內(nèi)的頻數(shù).(4分)
解　由樣本頻率分布直方圖可知組距為3.
(1)由樣本頻率分布直方圖得樣本數(shù)據(jù)在[15,18)內(nèi)的頻率等于×3=.
(2)因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)在[15,18)內(nèi)的頻數(shù)為8,由(1)可知,
樣本容量為=8×=50.
(3)因?yàn)樵赱12,15)內(nèi)的小矩形面積為0.06,
故樣本數(shù)據(jù)在[12,15)內(nèi)的頻率為0.06,
故樣本數(shù)據(jù)在[15,33]內(nèi)的頻數(shù)為50×(1-0.06)=47,
又樣本數(shù)據(jù)在[15,18)內(nèi)的頻數(shù)為8,
故樣本數(shù)據(jù)在[18,33]內(nèi)的頻數(shù)為47-8=39.
10.(10分)某市4月1日~4月30日對(duì)空氣污染指數(shù)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如下(主要污染物為煙塵、總懸浮顆粒物等):
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
(1)列出頻率分布表;(3分)
(2)作出頻率分布直方圖;(3分)
(3)根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn),污染指數(shù)在0~50之間時(shí),空氣質(zhì)量為優(yōu);在51~100之間時(shí),為良(特別說明:在80以上時(shí)被認(rèn)為接近輕微污染);在101~150之間時(shí),為輕微污染;在151~200之間時(shí),為輕度污染.
請(qǐng)你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標(biāo)準(zhǔn),對(duì)該市4月份的空氣質(zhì)量給出一個(gè)簡(jiǎn)短評(píng)價(jià).(4分)
解　(1)頻率分布表:
分組 頻數(shù) 頻率
[41,51) 2
[51,61) 1
[61,71) 4
[71,81) 6
[81,91) 10
[91,101) 5
[101,111] 2
合計(jì) 30 1
(2)頻率分布直方圖如圖所示.
(3)答對(duì)下述兩條中的一條即可.
①該市4月份中空氣質(zhì)量有2天處于優(yōu)的水平,占當(dāng)月天數(shù)的;有26天處于良的水平,占當(dāng)月天數(shù)的;處于優(yōu)或良的天數(shù)為28,占當(dāng)月天數(shù)的.說明該市4月份空氣質(zhì)量基本良好.
②輕微污染有2天,占當(dāng)月天數(shù)的;污染指數(shù)在80以上的接近輕微污染的天數(shù)有15天,加上處于輕微污染的天數(shù),共有17天,占當(dāng)月天數(shù)的,超過50%,說明該市4月份空氣質(zhì)量有待進(jìn)一步改善.
11.某教育機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽查某校20個(gè)班級(jí),調(diào)查各班關(guān)注“漢字聽寫大賽”的學(xué)生人數(shù),根據(jù)所得數(shù)據(jù)的莖葉圖,以5為組距將數(shù)據(jù)分組成[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35),[35,40]時(shí),所作的頻率分布直方圖如圖所示,則原始的莖葉圖可能是 (　　)
答案　A
解析　由頻率分布直方圖知,各組頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表:
分組 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20)
頻數(shù) 1 1 4 2
分組 [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
頻數(shù) 4 3 3 2
結(jié)合各選項(xiàng)莖葉圖中的數(shù)據(jù)可知選項(xiàng)A正確.
12.(多選)供電部門對(duì)某社區(qū)1 000位居民12月份人均用電情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后,按人均用電量分為[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50]五組,整理得到頻率分布直方圖(如圖所示),則有關(guān)這1 000位居民,下列說法正確的是 (　　)
A.12月份人均用電量人數(shù)最多的一組有400人
B.12月份人均用電量在[20,30)內(nèi)的有300人
C.12月份人均用電量不低于20度的有500人
D.12月份人均用電量為25度
答案　ABC
解析　根據(jù)頻率分布直方圖知,12月份人均用電量人數(shù)最多的一組是[10,20),有1 000×0.04×10=400(人),A正確;12月份人均用電量在[20,30)內(nèi)的人數(shù)為1 000×0.03×10=300,B正確;12月份人均用電量不低于20度的頻率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5,有1 000×0.5=500(人),C正確;12月份人均用電量為5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22(度),D錯(cuò)誤.
13.(5分)某校高二(1)班一次階段考試數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖的可見部分如圖所示,根據(jù)圖中的信息,可確定被抽測(cè)的人數(shù)為　　　　,分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)的人數(shù)為　　　　.
答案　25　2
解析　由頻率分布直方圖知,分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)的頻率和[50,60)內(nèi)的頻率相同,所以分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)的人數(shù)為2,總?cè)藬?shù)為=25.
14.(5分)從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué),將他們的身高(單位:cm)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由圖中數(shù)據(jù)可知a=　　　　.若要從身高在[120,130),[130,140),[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中,用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng),則從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為　　　　.
答案　0.030　3
解析　因?yàn)轭l率分布直方圖中的各個(gè)矩形的面積之和為1,所以有10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得a=0.030.由頻率分布直方圖可知身高在[120,130),[130,140),[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生總數(shù)為100×10×(0.030+0.020+0.010)=60,其中身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為10,所以從身高在[140,150]內(nèi)抽取的學(xué)生人數(shù)為×18=3.
15.某養(yǎng)豬場(chǎng)定購了一批仔豬,從中隨機(jī)抽查了100頭仔豬的體重(單位:斤),經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到如圖①的頻率分布直方圖,其中體重最輕的14頭仔豬的體重的莖葉圖如圖②所示,為了將這批仔豬分欄喂養(yǎng),需計(jì)算頻率分布直方圖中的一些數(shù)據(jù),其中a+b的值為 (　　)
圖①
圖②
A.0.144 B.0.152 C.0.76 D.0.076
答案　B
解析　由題意得c+d=×=0.024,且[2(c+d)+a+b]×5=1,所以2×0.024+a+b=0.2,所以a+b=0.152.
16.(12分)某高中有高一新生500名,分成水平相同的A,B兩類進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn),為對(duì)比教學(xué)效果,現(xiàn)用分層抽樣的方法從A,B兩類學(xué)生中分別抽取了40人,60人進(jìn)行測(cè)試.
(1)求該學(xué)校高一新生中A,B兩類學(xué)生各多少人 (4分)
(2)經(jīng)過測(cè)試,得到以下三個(gè)數(shù)據(jù)圖表:
圖1:75分及以上A,B兩類學(xué)生參加測(cè)試的成績(jī)的莖葉圖
圖2:100名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的頻率分布直方圖
圖3:100名學(xué)生成績(jī)的頻率分布表
組號(hào) 分組 頻數(shù) 頻率
1 [55,60) 5 0.05
2 [60,65) 20 0.20
3 [65,70)
4 [70,75) 35 0.35
5 [75,80)
6 [80,85]
合計(jì) 100 1.00
先填寫頻率分布表中的六個(gè)空格,然后將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整.(8分)
解　(1)由題意知A類學(xué)生有500×=200(人),
則B類學(xué)生有500-200=300(人).
(2)表格:
組號(hào) 分組 頻數(shù) 頻率
1 [55,60) 5 0.05
2 [60,65) 20 0.20
3 [65,70) 25 0.25
4 [70,75) 35 0.35
5 [75,80) 10 0.10
6 [80,85] 5 0.05
合計(jì) 100 1.00
圖2:第2課時(shí)　頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.會(huì)列頻率分布表,會(huì)畫頻數(shù)分布直方圖、頻率分布直方圖、頻數(shù)分布折線圖和頻率分布折線圖.2.能夠利用圖形解決實(shí)際問題.
一、頻數(shù)與頻率
知識(shí)梳理
1.頻數(shù):在一組數(shù)據(jù)中,數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為頻數(shù),某個(gè)區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)稱為區(qū)間對(duì)應(yīng)的頻數(shù).
2.頻率:在一組數(shù)據(jù)中,數(shù)據(jù)的頻數(shù)與這組數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)的比值稱為頻率,區(qū)間對(duì)應(yīng)的頻數(shù)與這組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的比值稱為區(qū)間對(duì)應(yīng)的頻率.
例1　(1)將容量為100的樣本數(shù)據(jù)分為8組,如表所示:
組號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
頻數(shù) 10 13 x 14 15 13 12 9
則第3組的頻率為 (　　)
A.0.03 B.0.07
C.0.14 D.0.21
(2)如圖,一個(gè)頻數(shù)分布表(樣本容量為50)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數(shù)據(jù)在[20,60]內(nèi)的頻率為0.6,則估計(jì)樣本在[40,50),[50,60]內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)之和為　　　　.
反思感悟　對(duì)于頻數(shù)與頻率的問題,首先要明確幾個(gè)關(guān)系,即各組的頻數(shù)之和等于樣本容量,各組的頻率之和為1,頻率=.在解題過程中,要明確頻數(shù)、頻率以及樣本容量之間的關(guān)系,弄清楚已知和所求,選擇合適的公式解題.
跟蹤訓(xùn)練1　某市共有5 000名高三學(xué)生參加聯(lián)考,為了了解這些學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況,現(xiàn)從中隨機(jī)抽出若干名學(xué)生在這次測(cè)試中的數(shù)學(xué)成績(jī),制成如下頻率分布表:
分組 頻數(shù) 頻率
[80,90) ① ②
[90,100) 0.050
[100,110) 0.200
[110,120) 36 0.300
[120,130) 0.275
[130,140) 12 ③
[140,150] 0.050
合計(jì) ④
根據(jù)上面的頻率分布表,可知①處的數(shù)值為　　　　,②處的數(shù)值為　　　　　　.
二、頻數(shù)、頻率分布直方圖及其折線圖的繪制
知識(shí)梳理
1.頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖的繪制步驟
(1)找出最值,計(jì)算極差;
(2)合理分組,確定區(qū)間;
(3)整理數(shù)據(jù);
(4)作出有關(guān)圖示.
頻數(shù)分布直方圖 縱坐標(biāo)是　　　　　,每一組數(shù)對(duì)應(yīng)的矩形高度與頻數(shù)成正比
頻率分布直方圖 縱坐標(biāo)是　　　　　,每一組數(shù)對(duì)應(yīng)的矩形高度與頻率成正比,每個(gè)矩形的面積等于這一組數(shù)對(duì)應(yīng)的頻率,所有矩形的面積之和為　　　　
2.頻數(shù)分布折線圖和頻率分布折線圖
把頻數(shù)分布直方圖和頻率分布直方圖中每個(gè)矩形上面一邊的　　用線段連接起來,且畫成與橫軸相交.
例2　某省為了了解和掌握某年高考考生的實(shí)際答卷情況,隨機(jī)地取出了100名考生的數(shù)學(xué)成績(jī),數(shù)據(jù)如下:(單位:分)
135　98　102　110　99　121　110　96
100 103 125 97 117 113 110 92
102 109 104 112 105 124 87 131
97 102 123 104 104 128 109 123
111 103 105 92 114 108 104 102
129 126 97 100 115 111 106 117
104 109 111 89 110 121 80 120
121 104 108 118 129 99 90 99
121 123 107 111 91 100 99 101
116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97
126 108 123 119 98 121 101 113
102 103 104 108
(1)列出頻率分布表;
(2)畫出頻率分布直方圖和折線圖.
反思感悟　列頻率分布表時(shí),極差、組距、組數(shù)有如下關(guān)系
(1)若為整數(shù),則=組數(shù);
(2)若不為整數(shù),則的整數(shù)部分+1=組數(shù).
跟蹤訓(xùn)練2　有一容量為200的樣本,數(shù)據(jù)的分組以及各組的頻數(shù)如下:
[-20,-15),7;[-15,-10),11;[-10,-5),15;[-5,0),40;[0,5),49;[5,10),41;[10,15),20;[15,20],17.
(1)列出樣本的頻率分布表;
(2)畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖;
(3)求樣本數(shù)據(jù)不足0的頻率.
三、頻率分布直方圖的應(yīng)用
例3　某中學(xué)進(jìn)行電腦知識(shí)競(jìng)賽,現(xiàn)將高一兩個(gè)班參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成5組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的第一、第二、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.30,0.40,
0.15,0.10,x,第五組小矩形的高度為y.
(1)求x,y的值;
(2)估計(jì)參賽學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù);
(3)估計(jì)參賽學(xué)生的平均成績(jī);
(4)若第五組的頻數(shù)為2,求高一兩個(gè)班參賽學(xué)生的人數(shù).
反思感悟　頻率分布直方圖中,各數(shù)字特征雖不能直接求出,但是可以近似估計(jì)
(1)中位數(shù):頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊各矩形的面積和相等,由此可以估計(jì)中位數(shù)的值.
(2)眾數(shù):頻率分布直方圖中,眾數(shù)是最高的矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).
(3)平均數(shù):頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積與其底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積的和.
(4)方差:s2=(其中n為組數(shù),為估計(jì)平均值,pi,分別為第i組的頻率和中點(diǎn)值).
跟蹤訓(xùn)練3　某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在A,B兩家餐廳用餐的滿意度,從在A,B兩家餐廳都用過餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,每人分別對(duì)這兩家餐廳進(jìn)行評(píng)分,滿分均為60分.整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù),將分?jǐn)?shù)以10為組距分為6組:
[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60],得到A餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和B餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表.
A餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖
B餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表
分?jǐn)?shù)區(qū)間 頻數(shù)
[0,10) 2
[10,20) 3
[20,30) 5
[30,40) 15
[40,50) 40
[50,60] 35
(1)在抽樣的100人中,求對(duì)A餐廳評(píng)分低于30分的人數(shù);
(2)如果從A,B兩家餐廳中選擇一家用餐,你會(huì)選擇哪一家 并說明理由.
1.知識(shí)清單:
(1)頻數(shù)與頻率.
(2)頻率(數(shù))分布直方圖的繪制.
(3)頻率分布直方圖的應(yīng)用.
2.方法歸納:圖表識(shí)別、數(shù)據(jù)分析.
3.常見誤區(qū):頻率分布直方圖中小矩形的高以及小矩形的面積代表的意義理解不清.
1.頻率分布直方圖中,小長(zhǎng)方形的面積等于 (　　)
A.組距 B.頻率
C.組數(shù) D.頻數(shù)
2.某校為了解高三學(xué)生的身體狀況,抽取了100名女生的體重?cái)?shù)據(jù).將所得的數(shù)據(jù)整理后,畫出了如圖所示的頻率分布直方圖,則所抽取的女生中體重在40~45 kg的人數(shù)是 (　　)
A.10 B.2
C.5 D.15
3.為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況,現(xiàn)抽取了n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,結(jié)果顯示這些學(xué)生每月的鍛煉時(shí)間(單位:小時(shí))在[10,50]內(nèi),其中鍛煉時(shí)間在[30,50]內(nèi)的學(xué)生有134人,頻率分布直方圖如圖所示,則n等于 (　　)
A.150 B.160
C.180 D.200
4.某校100名學(xué)生的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)頻率分布直方圖如圖所示,分?jǐn)?shù)不低于a即為優(yōu)秀,如果優(yōu)秀的人數(shù)為20,則a的估計(jì)值是　　　　(填整數(shù)).
答案精析
例1　(1)C　(2)21
跟蹤訓(xùn)練1　3　0.025
知識(shí)梳理
1.(4)頻數(shù)　　1　2.中點(diǎn)
例2　解　100個(gè)數(shù)據(jù)中,最大值為135,最小值為80,極差為135-80=55.取組距為5,則組數(shù)為=11.
(1)頻率分布表如下:
分組 頻數(shù) 頻率 頻率/組距
[80,85) 1 0.01 0.002
[85,90) 2 0.02 0.004
[90,95) 4 0.04 0.008
[95,100) 14 0.14 0.028
[100,105) 24 0.24 0.048
[105,110) 15 0.15 0.030
[110,115) 12 0.12 0.024
[115,120) 9 0.09 0.018
[120,125) 11 0.11 0.022
[125,130) 6 0.06 0.012
[130,135] 2 0.02 0.004
合計(jì) 100 1.00 0.200
注:表中加上“頻率/組距”一列,這是為畫頻率分布直方圖準(zhǔn)備的,因?yàn)樗穷l率分布直方圖的縱坐標(biāo).
(2)根據(jù)頻率分布表中的有關(guān)信息畫出頻率分布直方圖及折線圖,如圖所示.
跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)頻率分布表如表:
分組 頻數(shù) 頻率
[-20,-15) 7 0.035
[-15,-10) 11 0.055
[-10,-5) 15 0.075
[-5,0) 40 0.200
[0,5) 49 0.245
[5,10) 41 0.205
[10,15) 20 0.100
[15,20] 17 0.085
合計(jì) 200 1.000
(2)頻率分布直方圖和頻率分布折線圖如圖所示.
(3)樣本數(shù)據(jù)不足0的頻率為0.035+0.055+0.075+0.200=0.365.
例3　解　(1)∵0.30+0.40+0.15+0.10+x=1,
∴x=0.05,y==0.005.
(2)由于第二組頻率最大,估計(jì)眾數(shù)為第二組中間值65.設(shè)中位數(shù)為z,則0.03×10+(z-60)×0.04=0.5,
解得z=65,所以中位數(shù)為65.
(3)估計(jì)參賽學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?br/>55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67.
(4)設(shè)高一兩個(gè)班參賽學(xué)生的人數(shù)為n,
則2=0.05n,∴n=40,
即高一兩個(gè)班參賽學(xué)生的人數(shù)為40.
跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)從頻率分布直方圖得到評(píng)分低于30分的頻率為(0.003+0.005+0.012)×10=0.2,
所以抽樣的100人中,對(duì)A餐廳評(píng)分低于30分的人數(shù)為0.2×100=20.
(2)從頻數(shù)分布表可以看出在抽樣的100人中,對(duì)A餐廳評(píng)分低于30分的人數(shù)占比為×100%=20%,
對(duì)B餐廳評(píng)分低于30分的人數(shù)為2+3+5=10,所占的比例為×100%=10%,顯然評(píng)分低于30分的人數(shù)占比越少,說明餐廳的用餐滿意度越好,所以我會(huì)選擇B餐廳用餐.
隨堂演練
1.B　2.A　3.D　4.133

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