資源簡介

5.3.1　樣本空間與事件
[學習目標]　1.掌握樣本點和樣本空間的概念.2.理解基本事件、隨機事件、必然事件.3.掌握隨機事件發生的概率.
導語
(1)拋擲一枚硬幣,觀察正面、反面出現的情況;
(2)拋擲一枚骰子,觀察出現點數的情況;
(3)買一注福利彩票,觀察中獎、不中獎的情況.
這類現象的共性是:就一次觀測而言,出現哪種結果具有偶然性,但在大量重復觀測下,各個結果出現的頻率卻具有穩定性,這類現象叫隨機現象.概率論是研究隨機現象數量規律的數學分支.概率是對隨機事件發生可能性大小的度量.
一、樣本點和樣本空間
問題1　我們把在相同條件下對隨機現象所進行的觀察或實驗稱為隨機試驗,你能總結一下隨機試驗的特點嗎
提示　(1)試驗在相同條件下重復進行;
(2)試驗的所有可能結果是明確可知的,并且不止一個;
(3)每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個,但事先不能確定出現哪一個結果.
問題2　怎樣從集合的角度來刻畫樣本點和樣本空間
提示　樣本點可看作元素,樣本空間可看作集合.列舉樣本點可用列舉法,有限樣本空間就是有限個樣本點組成的集合.
知識梳理
1.必然現象與隨機現象
(1)一定條件下,發生的結果事先不能確定的現象就是隨機現象(或偶然現象).
(2)發生的結果事先能夠確定的現象就是必然現象(或確定性現象).
2.樣本點和樣本空間
(1)隨機試驗
把在相同條件下,對隨機現象所進行的觀察或實驗稱為隨機試驗(簡稱為試驗).
(2)樣本點和樣本空間
把隨機試驗中每一種可能出現的結果,都稱為樣本點,把由所有樣本點組成的集合稱為樣本空間(通常用大寫希臘字母Ω表示).例如:如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1,ω2,…,ωn,則Ω={ω1,ω2,…,ωn}為樣本空間.
注意點:
解題時注意樣本點和樣本空間.
例1　連續擲3枚硬幣,觀察落地后這3枚硬幣出現正面還是反面.
(1)寫出這個試驗的樣本空間;
(2)求這個試驗的樣本點的總數.
解　(1)用(x,y,z)表示結果,其中x,y,z分別表示第一枚、第二枚、第三枚硬幣出現的結果.試驗的樣本空間Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.
(2)樣本點的總數是8.
反思感悟　寫樣本空間的關鍵是找樣本點,具體有三種方法
(1)列舉法:適用于樣本點個數不是很多,可以把樣本點一一列舉出來的情況,但列舉時必須按一定的順序,要做到不重不漏.
(2)列表法:適用于試驗中包含兩個或兩個以上的元素,且樣本點個數相對較多的問題,通常把樣本歸納為“有序實數對”,也可用坐標法.列表法的優點是準確、全面、不易遺漏.
(3)樹形圖法:適用較復雜問題中的樣本點的探求,一般需要分步(兩步及兩步以上)完成的結果可以用樹形圖進行列舉.
跟蹤訓練1　寫出下列試驗的樣本空間:
(1)同時拋擲三枚質地均勻的骰子,記錄三枚骰子出現的點數之和;
(2)從含有兩件正品a1,a2和兩件次品b1,b2的四件產品中任取兩件,觀察取出產品的結果;
(3)已知集合M={-2,3},N={-4,5,6},從兩個集合中各取一個元素構成點的坐標.
解　(1)該試驗的樣本空間Ω1={3,4,5,…,18}.
(2)該試驗所有可能的結果如圖所示,
因此,該試驗的樣本空間Ω2={a1a2,a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,b1b2}.
(3)樣本空間Ω3={(-2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),(3,6),(-4,-2),(5,-2),(6,-2),(-4,3),(5,3),(6,3)}.
二、隨機事件
有一個轉盤游戲,轉盤被平均分成10份(如圖所示).轉動轉盤,當轉盤停止后,指針指向的數字即為轉出的數字.
游戲規則如下:兩個人參加,先確定猜數方案,甲轉動轉盤,乙猜,若猜出的結果與轉盤轉出的數字所表示的特征相符,則乙獲勝,否則甲獲勝.
問題3　設事件A=“轉出的數字是5”,事件B=“轉出的數字是0”,事件C=“轉出的數字x滿足1≤x≤10,x∈Z”,則事件A,B,C分別是什么事件
提示　“轉出的數字是5”可能發生,也可能不發生,故事件A是隨機事件.“轉出的數字是0”,即B={0},不是樣本空間Ω={1,2,…,10}的子集,故事件B是不可能事件.C=Ω={1,2,…,10},故事件C是必然事件.
問題4　假設猜數方案為“是奇數”或“是偶數”,乙猜“是奇數”,若將乙獲勝記為事件M,則M中包含哪些樣本點
提示　M={1,3,5,7,9}.
知識梳理
1.隨機事件
如果隨機試驗的樣本空間為Ω,則隨機事件A是Ω的一個非空真子集.而且,若試驗的結果是A中的元素,則稱A發生(或出現等);否則,稱A不發生(或不出現等).
2.必然事件與不可能事件
(1)任何一次隨機試驗的結果,一定是樣本空間Ω中的元素,因此可以認為每次試驗中Ω一定發生 ,從而稱Ω為必然事件;
(2)因為空集 不包含任何樣本點,所以可以認為每次試驗中 一定不發生,從而稱 為不可能事件.
3.事件的表示與基本事件
(1)不可能事件、隨機事件、必然事件都可簡稱為事件,通常用大寫英文字母A,B,C,…來表示事件. 因為事件一定是樣本空間的子集,所以可以用表示集合的維恩圖來直觀地表示事件.
(2)基本事件:只含有一個樣本點的事件稱為基本事件.
注意點:
理解隨機事件的兩個關鍵點.
(1)條件:事件發生與否是相對條件而言的,隨著條件的改變,結果可能也發生改變,如“常溫常壓下,水沸騰”是不可能事件,而“100℃常壓下,水沸騰”是必然事件.
(2)結果:有時樣本空間較復雜,要準確理解事件結果包含的各種情況,列舉該事件包含的樣本點時,可借助集合知識進行求解.
例2　(1)下列事件不是隨機事件的是 (　　)
A.東邊日出西邊雨 B.三角形內角和為180°
C.清明時節雨紛紛 D.梅子黃時日日晴
答案　B
解析　B是必然事件;A,C,D都是隨機事件.
(2)現有一列單程北上的火車,已知停靠的站點由南至北分別為S1,S2,…,S10,共十站.若甲在S3站買票,乙在S6站買票,設樣本空間Ω表示火車所有可能停靠的站點,令事件A表示甲可能到達的站點的集合,事件B表示乙可能到達的站點的集合.
①寫出該事件的樣本空間Ω;
②寫出事件A、事件B包含的樣本點;
③相關部門需為該列車準備多少種北上的車票
解　①Ω={S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10}.
②事件A包含的樣本點為S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10,事件B包含的樣本點為S7,S8,S9,S10.
③相關部門需要準備從S1站發車的車票有9種,從S2站發車的車票有8種,…,從S9站發車的車票有1種,共有9+8+…+2+1=45(種).
反思感悟　對事件類型判斷的兩個關鍵點
(1)條件:在一定條件下事件發生與否是與條件相對而言的,沒有條件,無法判斷事件是否發生.
(2)結果發生與否:若一定發生的,則為必然事件;若一定不發生的,則為不可能事件;若不確定發生與否,則稱其為隨機事件,隨機事件有時結果較復雜,要準確理解結果包含的各種情況.
跟蹤訓練2　(1)(多選)下列命題中正確的是 (　　)
A.“三個球全部放入兩個盒子(每個盒子都要有球),其中必有一個盒子有一個以上的球”是必然事件
B.“當x為某一實數時可使x2<0”是不可能事件
C.“2025年的國慶節是晴天”是必然事件
D.“從100個燈泡(有10個是次品)中取出5個,5個都是次品”是隨機事件
答案　ABD
解析　“2025年的國慶節是晴天”是隨機事件,故命題C錯誤,命題A,B,D正確.
(2)如圖,從正方形ABCD的四個頂點及其中心O這5個點中,任取兩點,觀察取點的情況,設事件M為“這兩點的距離不大于該正方形的邊長”,試用集合表示事件M.
解　M={AB,AO,AD,BC,BO,CD,CO,DO}.
三、隨機事件發生的概率
知識梳理
1.事件發生的可能性大小可以用該事件發生的概率(也簡稱為事件的概率)來衡量,概率越大,代表越有可能發生.事件A發生的概率通常用P(A)表示.
2.將不可能事件 發生的概率規定為0,將必然事件Ω發生的概率規定為1,即P( )=0,P(Ω)=1.
3.對任意事件A來說,P(A)應該滿足不等式0≤P(A)≤1.
注意點:
理解概率的意義.
例3　做擲紅、藍兩顆骰子的試驗,用(x,y)表示結果,其中x表示紅色骰子出現的點數,y表示藍色骰子出現的點數.
(1)寫出這個試驗的樣本空間;
(2)求這個試驗共有多少樣本點;
(3)寫出事件“出現的點數之和大于9”包含的結果;
(4)寫出事件“出現的點數之和為11”包含的結果;
(5)記“出現的點數之和大于9”為事件A,記“出現的點數之和為11”為事件B,從直觀上判斷P(A)與P(B)的大小.
解　(1)這個試驗的樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.
(2)由(1)知這個試驗共有36個樣本點.
(3)事件“出現的點數之和大于9”包含的結果為(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6).
(4)事件“出現的點數之和為11”包含的結果為(6,5),(5,6).
(5)因為事件B發生時,事件A一定發生,事件A發生時,事件B不一定發生,故P(A)>P(B).
反思感悟　(1)隨機事件發生的概率是衡量該事件發生的可能性大小的度量,是隨機事件的本質屬性,為人們在日常生活、工作中的決策提供依據.
(2)任何事件發生的概率都滿足0≤P(A)≤1.
跟蹤訓練3　(1)(多選)下列說法正確的是 (　　)
A.必然事件發生的概率為1
B.不可能事件發生的概率為0
C.若隨機事件A發生是隨機事件B發生的充分條件,則P(A)≤P(B)
D.任何事件A發生的概率都滿足0答案　ABC
解析　對于任意事件A來說,P(A)滿足不等式0≤P(A)≤1,故D錯誤,其他選項均正確.
(2)一個盒子中裝有5個完全相同的球,分別標有號碼1,2,3,4,5,從中一次任取兩球.
①寫出這個試驗的樣本空間;
②求這個試驗的樣本點總數;
③寫出“取出的兩球上的數字之和是6”的這一事件中所包含的樣本點.
解　①Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}.
②由(1)知樣本點總數為10.
③由(1)知“取出的兩球上的數字之和是6”這一事件所包含的樣本點為(1,5),(2,4).
1.知識清單:
(1)樣本點和樣本空間.
(2)事件和基本事件.
(3)隨機事件發生的概率.
2.方法歸納:列舉法、列表法、樹形圖法.
3.常見誤區:確定樣本空間時易重復或遺漏樣本點.
1.(多選)下列事件中,是隨機事件的是 (　　)
A.長度為3,4,5的三條線段可以構成一個直角三角形
B.經過有信號燈的路口,遇上紅燈
C.下周六是晴天
D.銳角三角形中兩個內角和小于90°
答案　BC
解析　A為必然事件;BC為隨機事件,D為不可能事件.
2.同時投擲兩枚大小相同的骰子,用(x,y)表示結果,記A為“所得點數之和小于5”,則事件A包含的樣本點的個數是 (　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
答案　D
解析　有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)共6個樣本點.
3.用紅、黑、黃3種不同顏色給甲、乙兩個小球隨機涂色,每個小球只涂一種顏色,若事件A={(紅,紅),(黑,黑),(黃,黃)},則事件A的含義是　　　　　　　　　　.
答案　甲、乙兩個小球所涂顏色相同
4.從a,b,c,d中任取兩個字母,則該試驗的樣本空間為Ω=　　　　　　　　.
答案　{(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共40分;多選題每小題6分,共12分
1.(多選)下列現象是隨機現象的是 (　　)
A.在標準大氣壓下,水達到95℃沸騰
B.路過某路口發生交通事故
C.直角三角形中,最大內角為90°
D.某人投籃一次投進
答案　BD
2.在1,2,3,…,10這十個數字中,任取三個不同的數字,那么“這三個數字的和小于5”這一事件是 (　　)
A.必然事件 B.不可能事件
C.隨機事件 D.以上選項均有可能
答案　B
解析　從十個數字中任取三個不同的數字,那么這三個數字的和的最小值為1+2+3=6,所以事件“這三個數字的和小于5”是不可能事件.
3.天氣預報說,某地明天下雪的概率為80%,則 (　　)
A.該地明天下雪的可能性是80%
B.該地明天一定下雪
C.該地明天有80%的區域下雪
D.該地明天一天有80%的時間下雪
答案　A
4.試驗E:“任取一個兩位數,觀察個位數字與十位數字的和的情況”,則該試驗的樣本空間為 (　　)
A.{10,11,…,99} B.{1,2,…,18}
C.{0,1,…,18} D.{1,2,…,10}
答案　B
解析　所有的兩位數為10,11,…,99,
故該試驗的樣本空間為{1,2,…,18}.
5.從5人中選出2人擔任正、副班長,則樣本點個數為 (　　)
A.10 B.15 C.20 D.25
答案　C
解析　把5人分別記為A,B,C,D,E,用x表示正班長,y表示副班長,則樣本點用(x,y)表示,∴Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,A),(B,C),(B,D),(B,E),(C,A),(C,B),(C,D),(C,E),(D,A),(D,B),(D,C),(D,E),(E,A),(E,B),(E,C),(E,D)},故共有20個樣本點.
6.拋擲兩枚骰子一次,記第一枚骰子擲出的點數與第二枚骰子擲出的點數之差為X,則“X≥5”表示的試驗結果是 (　　)
A.第一枚6點,第二枚2點
B.第一枚5點,第二枚1點
C.第一枚1點,第二枚6點
D.第一枚6點,第二枚1點
答案　D
解析　拋擲兩枚骰子,第一枚骰子和第二枚骰子點數之差是{X|-5≤X≤5,X∈Z},則“X≥5”表示的試驗結果是第一枚6點,第二枚1點.
7.(5分)從3雙鞋子中,任取4只,其中“至少有兩只鞋是一雙”這一事件是　　　　事件.(填“必然”“不可能”或“隨機”)
答案　必然
8.(5分)從1,2,3,4,5中隨機取三個不同的數,則其“和為奇數”這一事件包含的樣本點個數為　　　　.
答案　4
解析　從1,2,3,4,5中隨機取三個不同的數有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10種情況,其中(1,2,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,5)中三個數字之和為奇數.
9.(10分)某人從一個裝有標號為1,2,3,4的小球的盒子中,無放回地取兩個小球,每次取一個,觀察取出的球的標號.
(1)寫出對應的樣本空間;(3分)
(2)用集合表示事件A:第一次取出的小球上的標號為2;(3分)
(3)若事件B:標號之和為4,事件C:標號之和不小于4,從直觀上判斷P(B)與P(C)的大小.(4分)
解　(1)用(1,2)表示第一次取出1號球,第二次取出2號球,其他的樣本點用類似的方法表示,則可知所有樣本點均可表示成(i,j)的形式,其中i,j都是1,2,3,4中的數,且i≠j.
因此,樣本空間Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,且i≠j}.
(2)A={(2,1),(2,3),(2,4)}.
(3)因為當事件B發生時,事件C一定發生,也就是說事件C發生的可能性不會比事件B發生的可能性小,所以直觀上可知P(B)≤P(C).
10.(11分)試驗E:甲、乙兩人玩出拳游戲(錘子、剪刀、布),觀察甲、乙出拳的情況.
設事件A表示隨機事件“甲乙平局”;
事件B表示隨機事件“甲贏得游戲”;
事件C表示隨機事件“乙不輸”.
試用集合表示事件A,B,C.
解　設錘子為w1,剪刀為w2,布為w3,用(i,j)表示游戲的結果,其中i表示甲出的拳,j表示乙出的拳,則樣本空間Ω={(w1,w1),(w1,w2),(w1,w3),(w2,w1),(w2,w2),(w2,w3),(w3,w1),(w3,w2),(w3,w3)}.
∵事件A表示隨機事件“甲乙平局”,則滿足要求的樣本點共有3個,(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3),
∴事件A={(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3)}.
∵事件B表示“甲贏得游戲”,則滿足要求的樣本點共有3個,(w1,w2),(w2,w3),(w3,w1),
∴事件B={(w1,w2),(w2,w3),(w3,w1)}.
∵事件C表示“乙不輸”,則滿足要求的樣本點共有6個,(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3),(w2,w1),(w1,w3),(w3,w2),
∴事件C={(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3),(w1,w3),(w2,w1),(w3,w2)}.
11.一個不透明的袋子中裝有5個黑球和3個白球,這些球的大小、質地完全相同,隨機從袋子中摸出4個球,則下列事件是必然事件的是 (　　)
A.摸出的4個球中至少有一個是白球
B.摸出的4個球中至少有一個是黑球
C.摸出的4個球中至少有兩個是黑球
D.摸出的4個球中至少有兩個是白球
答案　B
解析　因為袋中有大小、質地完全相同的5個黑球和3個白球,所以從中任取4個球共有3白1黑,2白2黑,1白3黑,4黑四種情況.故事件“摸出的4個球中至少有一個是白球”是隨機事件,故A錯誤;事件“摸出的4個球中至少有一個是黑球”是必然事件,故B正確;事件“摸出的4個球中至少有兩個是黑球”是隨機事件,故C錯誤;事件“摸出的4個球中至少有兩個是白球”是隨機事件,故D錯誤.
12.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},從集合A中任取不相同的兩個數作為點P的坐標,則事件“點P落在x軸上”包含的樣本點共有 (　　)
A.7個 B.8個
C.9個 D.10個
答案　C
解析　“點P落在x軸上”包含的樣本點的特征是縱坐標為0,因為A中有9個非零數,故共9個樣本點.
13.某城市有連接8個小區A,B,C,D,E,F,G,H和市中心O的整齊方格形道路網,每個小方格均為正方形,如圖所示,某人從道路網中隨機地選擇一條最短路徑,由小區A前往小區C,則他不經過市中心O的樣本點的個數為 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
答案　A
解析　此人從小區A前往C的所有最短路徑為A→E→D→H→C,A→E→O→H→C,A→E→O→F→C,A→G→O→H→C,A→G→O→F→C,A→G→B→F→C,共6條,記“此人不經過市中心O”為事件M,則M包含的樣本點為A→E→D→H→C,A→G→B→F→C,共2條.
14.(5分)籠子中有4只雞和3只兔,依次取出一只,直到3只兔全部取出,記錄剩下動物的腳數.則該試驗的樣本空間Ω=　　　　.
答案　{0,2,4,6,8}
解析　最少需要取3次,最多需要取7次,那么剩余雞的只數最多4只,最少0只,所以剩余動物的腳數可能是8,6,4,2,0.
15.(多選)給出關于滿足A?B的非空集合A,B的四個命題,其中正確的命題是 (　　)
A.若任取x∈A,則x∈B是必然事件
B.若任取x A,則x∈B是不可能事件
C.若任取x∈B,則x∈A是隨機事件
D.若任取x B,則x A是必然事件
答案　ACD
解析　對于A,符合真子集的定義,故A正確;對于B,“若x A,則x∈B”也可能成立,故B錯誤;對于C,“若x∈B,則x∈A”可能成立,也可能“x A”成立,故C正確;對于D,“若x B,則x A”,故D正確.
16.(12分)已知關于x的一元二次函數f(x)=ax2-4bx+1.設集合P={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4},分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b.
(1)寫出以(a,b)為元素的樣本空間,共包含多少個樣本點 (5分)
(2)指出事件“函數y=f(x)在區間[1,+∞)上是增函數”的所有樣本點.(7分)
解　(1)Ω={(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)},共包含15個樣本點.
(2)∵關于x的一元二次函數f(x)=ax2-4bx+1的圖象的對稱軸為x=.
要使f(x)=ax2-4bx+1在區間[1,+∞)上為增函數,
需a>0且≤1,即2b≤a.
若a=1,即b=-1;
若a=2,則b=-1,1;
若a=3,則b=-1,1.
即滿足事件“函數f(x)=ax2-4bx+1在區間[1,+∞)上是增函數”的所有樣本點有(1,-1),(2,-1),(2,1),(3,-1),(3,1),共5個.5.3.1　樣本空間與事件
[學習目標]　1.掌握樣本點和樣本空間的概念.2.理解基本事件、隨機事件、必然事件.3.掌握隨機事件發生的概率.
一、樣本點和樣本空間
問題1　我們把在相同條件下對隨機現象所進行的觀察或實驗稱為隨機試驗,你能總結一下隨機試驗的特點嗎
問題2　怎樣從集合的角度來刻畫樣本點和樣本空間
知識梳理
1.必然現象與隨機現象
(1)一定條件下,發生的結果事先　　　　　的現象就是隨機現象(或偶然現象).
(2)發生的結果事先能夠　　　　　的現象就是必然現象(或確定性現象).
2.樣本點和樣本空間
(1)隨機試驗
把在相同條件下,對隨機現象所進行的觀察或實驗稱為　　　　　　(簡稱為試驗).
(2)樣本點和樣本空間
把隨機試驗中每一種可能出現的結果,都稱為　　　　　,把由所有　　　　　組成的集合稱為樣本空間(通常用大寫希臘字母Ω表示).例如:如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1,ω2,…,ωn,則Ω={ω1,ω2,…,ωn}為　　　　　　　　　　　　.
例1　連續擲3枚硬幣,觀察落地后這3枚硬幣出現正面還是反面.
(1)寫出這個試驗的樣本空間;
(2)求這個試驗的樣本點的總數.
反思感悟　寫樣本空間的關鍵是找樣本點,具體有三種方法
(1)列舉法:適用于樣本點個數不是很多,可以把樣本點一一列舉出來的情況,但列舉時必須按一定的順序,要做到不重不漏.
(2)列表法:適用于試驗中包含兩個或兩個以上的元素,且樣本點個數相對較多的問題,通常把樣本歸納為“有序實數對”,也可用坐標法.列表法的優點是準確、全面、不易遺漏.
(3)樹形圖法:適用較復雜問題中的樣本點的探求,一般需要分步(兩步及兩步以上)完成的結果可以用樹形圖進行列舉.
跟蹤訓練1　寫出下列試驗的樣本空間:
(1)同時拋擲三枚質地均勻的骰子,記錄三枚骰子出現的點數之和;
(2)從含有兩件正品a1,a2和兩件次品b1,b2的四件產品中任取兩件,觀察取出產品的結果;
(3)已知集合M={-2,3},N={-4,5,6},從兩個集合中各取一個元素構成點的坐標.
二、隨機事件
有一個轉盤游戲,轉盤被平均分成10份(如圖所示).轉動轉盤,當轉盤停止后,指針指向的數字即為轉出的數字.
游戲規則如下:兩個人參加,先確定猜數方案,甲轉動轉盤,乙猜,若猜出的結果與轉盤轉出的數字所表示的特征相符,則乙獲勝,否則甲獲勝.
問題3　設事件A=“轉出的數字是5”,事件B=“轉出的數字是0”,事件C=“轉出的數字x滿足1≤x≤10,x∈Z”,則事件A,B,C分別是什么事件
問題4　假設猜數方案為“是奇數”或“是偶數”,乙猜“是奇數”,若將乙獲勝記為事件M,則M中包含哪些樣本點
知識梳理
1.隨機事件
如果隨機試驗的樣本空間為Ω,則隨機事件A是Ω的一個非空真子集.而且,若試驗的結果是A中的元素,則稱A　　　　　(或出現等);否則,稱A　　　　　(或不出現等).
2.必然事件與不可能事件
(1)任何一次隨機試驗的結果,一定是樣本空間Ω中的元素,因此可以認為每次試驗中Ω一定發生 ,從而稱Ω為　　　　　;
(2)因為空集 不包含任何樣本點,所以可以認為每次試驗中 一定不發生,從而稱 為　　　　　　.
3.事件的表示與基本事件
(1)　　　　　、　　　　　、　　　　　都可簡稱為事件,通常用大寫英文字母A,B,C,…來表示事件. 因為事件一定是樣本空間的子集,所以可以用表示集合的維恩圖來直觀地表示事件.
(2)基本事件:只含有　　　　個樣本點的事件稱為基本事件.
例2　(1)下列事件不是隨機事件的是 (　　)
A.東邊日出西邊雨
B.三角形內角和為180°
C.清明時節雨紛紛
D.梅子黃時日日晴
(2)現有一列單程北上的火車,已知停靠的站點由南至北分別為S1,S2,…,S10,共十站.若甲在S3站買票,乙在S6站買票,設樣本空間Ω表示火車所有可能停靠的站點,令事件A表示甲可能到達的站點的集合,事件B表示乙可能到達的站點的集合.
①寫出該事件的樣本空間Ω;
②寫出事件A、事件B包含的樣本點;
③相關部門需為該列車準備多少種北上的車票
反思感悟　對事件類型判斷的兩個關鍵點
(1)條件:在一定條件下事件發生與否是與條件相對而言的,沒有條件,無法判斷事件是否發生.
(2)結果發生與否:若一定發生的,則為必然事件;若一定不發生的,則為不可能事件;若不確定發生與否,則稱其為隨機事件,隨機事件有時結果較復雜,要準確理解結果包含的各種情況.
跟蹤訓練2　(1)(多選)下列命題中正確的是 (　　)
A.“三個球全部放入兩個盒子(每個盒子都要有球),其中必有一個盒子有一個以上的球”是必然事件
B.“當x為某一實數時可使x2<0”是不可能事件
C.“2025年的國慶節是晴天”是必然事件
D.“從100個燈泡(有10個是次品)中取出5個,5個都是次品”是隨機事件
(2)如圖,從正方形ABCD的四個頂點及其中心O這5個點中,任取兩點,觀察取點的情況,設事件M為“這兩點的距離不大于該正方形的邊長”,試用集合表示事件M.
三、隨機事件發生的概率
知識梳理
1.事件發生的可能性大小可以用該事件發生的　　　　(也簡稱為事件的概率)來衡量,概率越大,代表越有可能發生.事件A發生的概率通常用　　　　表示.
2.將不可能事件 發生的概率規定為　　　　　,將必然事件Ω發生的概率規定為　　　　　,即P( )=0,P(Ω)=1.
3.對任意事件A來說,P(A)應該滿足不等式　　　　　　　　　　　　　.
例3　做擲紅、藍兩顆骰子的試驗,用(x,y)表示結果,其中x表示紅色骰子出現的點數,y表示藍色骰子出現的點數.
(1)寫出這個試驗的樣本空間;
(2)求這個試驗共有多少樣本點;
(3)寫出事件“出現的點數之和大于9”包含的結果;
(4)寫出事件“出現的點數之和為11”包含的結果;
(5)記“出現的點數之和大于9”為事件A,記“出現的點數之和為11”為事件B,從直觀上判斷P(A)與P(B)的大小.
反思感悟　(1)隨機事件發生的概率是衡量該事件發生的可能性大小的度量,是隨機事件的本質屬性,為人們在日常生活、工作中的決策提供依據.
(2)任何事件發生的概率都滿足0≤P(A)≤1.
跟蹤訓練3　(1)(多選)下列說法正確的是 (　　)
A.必然事件發生的概率為1
B.不可能事件發生的概率為0
C.若隨機事件A發生是隨機事件B發生的充分條件,則P(A)≤P(B)
D.任何事件A發生的概率都滿足0(2)一個盒子中裝有5個完全相同的球,分別標有號碼1,2,3,4,5,從中一次任取兩球.
①寫出這個試驗的樣本空間;
②求這個試驗的樣本點總數;
③寫出“取出的兩球上的數字之和是6”的這一事件中所包含的樣本點.
1.知識清單:
(1)樣本點和樣本空間.
(2)事件和基本事件.
(3)隨機事件發生的概率.
2.方法歸納:列舉法、列表法、樹形圖法.
3.常見誤區:確定樣本空間時易重復或遺漏樣本點.
1.(多選)下列事件中,是隨機事件的是 (　　)
A.長度為3,4,5的三條線段可以構成一個直角三角形
B.經過有信號燈的路口,遇上紅燈
C.下周六是晴天
D.銳角三角形中兩個內角和小于90°
2.同時投擲兩枚大小相同的骰子,用(x,y)表示結果,記A為“所得點數之和小于5”,則事件A包含的樣本點的個數是 (　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
3.用紅、黑、黃3種不同顏色給甲、乙兩個小球隨機涂色,每個小球只涂一種顏色,若事件A={(紅,紅),(黑,黑),(黃,黃)},則事件A的含義是　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
4.從a,b,c,d中任取兩個字母,則該試驗的樣本空間為Ω=　　　　　　　　　　　　　　　　.
答案精析
問題1　(1)試驗在相同條件下重復進行;
(2)試驗的所有可能結果是明確可知的,并且不止一個;
(3)每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個,但事先不能確定出現哪一個結果.
問題2　樣本點可看作元素,樣本空間可看作集合.列舉樣本點可用列舉法,有限樣本空間就是有限個樣本點組成的集合.
知識梳理
1.(1)不能確定　(2)確定　2.(1)隨機試驗　(2)樣本點　樣本點　樣本空間
例1　解　(1)用(x,y,z)表示結果,其中x,y,z分別表示第一枚、第二枚、第三枚硬幣出現的結果.試驗的樣本空間Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.
(2)樣本點的總數是8.
跟蹤訓練1　解　(1)該試驗的樣本空間Ω1={3,4,5,…,18}.
(2)該試驗所有可能的結果如圖所示,
因此,該試驗的樣本空間Ω2={a1a2,a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,b1b2}.
(3)樣本空間Ω3={(-2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),(3,6),(-4,-2),(5,-2),(6,-2),(-4,3),(5,3),(6,3)}.
問題3　“轉出的數字是5”可能發生,也可能不發生,故事件A是隨機事件.“轉出的數字是0”,即B={0},不是樣本空間Ω={1,2,…,10}的子集,故事件B是不可能事件.C=Ω={1,2,…,10},故事件C是必然事件.
問題4　M={1,3,5,7,9}.
知識梳理
1.發生　不發生　2.(1)必然事件
(2)不可能事件　3.(1)不可能事件　隨機事件　必然事件　(2)一
例2　(1)B
(2)解　①Ω={S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10}.
②事件A包含的樣本點為S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10,事件B包含的樣本點為S7,S8,S9,S10.
③相關部門需要準備從S1站發車的車票有9種,從S2站發車的車票有8種,…,從S9站發車的車票有1種,共有9+8+…+2+1=45(種).
跟蹤訓練2　(1)ABD
(2)解　M={AB,AO,AD,BC,BO,CD,CO,DO}.
知識梳理
1.概率　P(A)　2.0　1　3.0≤P(A)≤1
例3　解　(1)這個試驗的樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.
(2)由(1)知這個試驗共有36個樣本點.
(3)事件“出現的點數之和大于9”包含的結果為(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6).
(4)事件“出現的點數之和為11”包含的結果為(6,5),(5,6).
(5)因為事件B發生時,事件A一定發生,事件A發生時,事件B不一定發生,故P(A)>P(B).
跟蹤訓練3　(1)ABC　[對于任意事件A來說,P(A)滿足不等式0≤P(A)≤1,故D錯誤,其他選項均正確.]
(2)解　①Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}.
②由(1)知樣本點總數為10.
③由(1)知“取出的兩球上的數字之和是6”這一事件所包含的樣本點為(1,5),(2,4).
隨堂演練
1.BC　2.D　3.甲、乙兩個小球所涂顏色相同
4.{(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}

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