資源簡介

5.3.2　事件之間的關系與運算
[學習目標]　1.了解事件間的包含關系和相等關系.2.理解事件的和與積,并能進行運算.3.理解互斥事件和對立事件的概念及關系,掌握互斥事件的概率加法公式.
導語
從前面的學習中可以看到,我們在一個隨機試驗中可以定義很多隨機事件.這些事件有的簡單,有的復雜.我們希望從簡單事件的概率推算出復雜事件的概率,所以需要研究事件之間的關系和運算.
一、事件的包含與相等
在擲骰子試驗中,觀察骰子朝上面的點數,可以定義許多隨機事件,例如:
Ci=“點數為i”,i=1,2,3,4,5,6;
D1=“點數不大于3”;D2=“點數大于3”;
E1=“點數為1或2”;E2=“點數為2或3”;
F=“點數為偶數”;G=“點數為奇數”;
…
問題1　用集合的形式表示事件C1=“點數為1”和事件G=“點數為奇數”,借助集合與集合的關系和運算,你能發現這些事件之間的聯系嗎
提示　C1={1}和G={1,3,5},{1} {1,3,5}.
知識梳理
事件的包含與相等
定義 表示法 圖示
包含關系 一般地,如果事件A發生時,事件B一定發生,則稱“A包含于B”(或“B包含A”) A B(或B A)
相等關系 如果事件A發生時,事件B一定發生;而且事件B發生時,事件A也一定發生,則稱“A與B相等”(A B且B A) A=B
注意點:
從集合的角度去理解事件的包含與相等.
例1　在擲骰子試驗中,可以得到以下事件:
A={出現1點},B={出現2點},C={出現3點},D={出現4點},E={出現5點},F={出現6點},G={出現的點數不大于1},H={出現的點數小于5},I={出現奇數點},J={出現偶數點}.
請判斷下列兩個事件的關系:
(1)B　　　　H;(2)D　　　　J;
(3)E　　　　I;(4)A　　　　G.
答案　(1) 　(2) 　(3) 　(4)=
解析　因為出現的點數小于5包含出現1點,出現2點,出現3點,出現4點四種情況,所以事件B發生時,事件H必然發生,故B H;同理D J,E I;又易知事件A與事件G相等,即A=G.
反思感悟　判斷事件之間的關系,主要是判斷表示事件的兩集合間的包含關系.
跟蹤訓練1　擲一枚質地均勻的硬幣三次,得到如下三個事件:A為“3次正面向上”,B為“只有1次正面向上”,C為“至少有1次正面向上”,試判斷事件A,B,C之間的包含關系.
解　當事件A發生時,事件C一定發生,當事件B發生時,事件C一定發生,因此有A C,B C;當事件A發生時,事件B一定不發生,當事件B發生時,事件A一定不發生,因此事件A與事件B之間不存在包含關系.
綜上,事件A,B,C之間的包含關系為A C,B C.
二、事件的和與積
問題2　用集合的形式表示事件D1=“點數不大于3”,事件E1=“點數為1或2”和事件E2=“點數為2或3”,借助集合與集合的關系和運算,你能發現這些事件之間的聯系嗎
提示　D1={1,2,3},E1={1,2}和E2={2,3}.{1,2}∪{2,3}={1,2,3},即E1∪E2=D1.
問題3　事件C2=“點數為2”,事件E1=“點數為1或2”和事件E2=“點數為2或3”,借助集合與集合的關系和運算,你能發現這些事件之間的聯系嗎
提示　{1,2}∩{2,3}={2},即E1∩E2=C2.
知識梳理
事件的和(并)與積(交)
定義 表示法 圖示
和 給定事件A,B,由所有A中的樣本點與B中的樣本點組成的事件稱為A與B的和(或并) A+B(或A∪B)
積 給定事件A,B,由事件A與B中的公共樣本點組成的事件稱為A與B的積(或交) AB(或A∩B)
注意點:
(1)從集合運算的角度去理解事件的和與積.
(2)①P(A+B)≤P(A)+P(B);②P(AB)≤P(A);③P(AB)≤P(B).
例2　在擲骰子的試驗中,可以定義許多事件.例如,事件C1={出現1點},事件C2={出現2點},事件C3={出現3點},事件C4={出現4點},事件C5={出現5點},事件C6={出現6點},事件D1={出現的點數不大于1},事件D2={出現的點數大于3},事件D3={出現的點數小于5},事件E={出現的點數小于7},事件F={出現的點數為偶數},事件G={出現的點數為奇數},請根據上述定義的事件,回答下列問題:
(1)利用和事件的定義,判斷上述哪些事件是和事件;
(2)事件D2與事件D3的交事件是什么事件 事件E與事件F的交事件是什么事件
解　(1)因為事件D2={出現的點數大于3}={出現4點或出現5點或出現6點},
所以D2=C4+C5+C6.
同理可得,D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5.
(2)D2∩D3=C4={出現4點};E∩F=F={出現的點數為偶數}.
反思感悟　事件間的運算方法
(1)利用事件間運算的定義.列出同一條件下的試驗所有可能出現的結果,分析并利用這些結果進行事件間的運算.
(2)利用Venn圖.借助集合間運算的思想,分析同一條件下的試驗所有可能出現的結果,把這些結果在圖中列出,進行運算.
跟蹤訓練2　盒子里有6個紅球,4個白球,現從中任取3個球,設事件A={3個球中有一個紅球,兩個白球},事件B={3個球中有兩個紅球,一個白球},事件C={3個球中至少有一個紅球},事件D={3個球中既有紅球又有白球}.則:
(1)事件D與事件A,B是什么樣的運算關系
(2)事件C與事件A的交事件是什么事件
解　(1)對于事件D,可能的結果為“1個紅球2個白球”或“2個紅球1個白球”,故D=A+B.
(2)對于事件C,可能的結果為“1個紅球2個白球”,“2個紅球1個白球”或“3個紅球”,故C∩A=A.
三、事件的互斥與對立
問題4　用集合的形式表示事件C3=“點數為3”和事件C4=“點數為4”,借助集合與集合的關系和運算,你能發現這些事件之間的聯系嗎
提示　C3={3},C4={4},C3∩C4= .
問題5　用集合的形式表示事件F=“點數為偶數”,事件G=“點數為奇數”,借助集合與集合的關系和運算,你能發現這些事件之間的聯系嗎
提示　F={2,4,6},G={1,3,5}.F∪G=Ω,F∩G= .
知識梳理
1.事件的互斥與對立
定義 表示法 圖示
互斥 給定事件A,B,若事件A與B不能同時發生,則稱A與B互斥 AB= (或 A∩B= )
對立 給定樣本空間Ω與事件A,則由Ω中所有不屬于A的樣本點組成的事件稱為A的對立事件 事件A的 對立事件 記為
如果B=,則稱A與B相互對立.
2.互斥事件的概率加法公式
(1)互斥事件的概率加法公式:當A與B互斥(即AB= )時,有P(A+B)=P(A)+P(B).
(2)一般地,如果A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件,則P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
(3)P(A)+P()=1.
注意點:
辨析互斥事件與對立事件的思路.
(1)從發生的角度看
①在一次試驗中,兩個互斥事件有可能都不發生,也可能有一個發生,但不可能同時發生.
②兩個對立事件必有一個發生,但不可能同時發生,即兩事件對立,必定互斥,但兩事件互斥,未必對立.對立事件是互斥事件的一個特例.
(2)從事件個數的角度看
互斥的概念適用于兩個或多個事件,但對立的概念只適用于兩個事件.
(3)從集合的角度理解互斥事件與對立事件
互斥事件對應集合的交集為空集,對立事件對應集合的交集為空集且對立事件對應集合互為補集.
例3　某射擊運動員在一次射擊中射中10環、9環、8環、7環、7環以下的概率分別為0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.計算這個運動員在一次射擊中:
(1)射中10環或9環的概率;
(2)至少射中7環的概率.
解　設“射中10環”、“射中9環”、“射中8環”、“射中7環”、“射中7環以下”的事件分別為A,B,C,D,E,它們兩兩互斥,則
(1)P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+0.2=0.3.
所以射中10環或9環的概率為0.3.
(2)因為射中7環以下的概率為0.1,所以由對立事件的概率公式得,至少射中7環的概率為1-0.1=0.9.
延伸探究　在本例條件下,求射中環數小于8環的概率.
解　事件“射中環數小于8環”包含事件D“射中7環”與事件E“射中7環以下”兩個事件,則P(射中環數小于8環)=P(D+E)=P(D)+P(E)=0.3+0.1=0.4.
反思感悟　互斥事件、對立事件概率的求解方法
(1)互斥事件的概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B).
(2)當求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關鍵詞語時,常?？紤]其反面,通過求其反面,然后轉化為所求問題.
跟蹤訓練3　(1)某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學參加演講比賽,判斷下列每對事件是不是互斥事件,如果是,再判斷它們是不是對立事件:
①“恰有1名男生”與“恰有2名男生”;
②“至少有1名男生”與“全是男生”;
③“至少有1名男生”與“全是女生”;
④“至少有1名男生”與“至少有1名女生”.
解　從3名男生和2名女生中任選2人有如下三種結果:2名男生,2名女生,1男1女.
①“恰有1名男生”指1男1女,與“恰有2名男生”不能同時發生,它們是互斥事件;但是當選取的結果是2名女生時,兩事件都不發生,所以它們不是對立事件.
②“至少1名男生”包括2名男生和1男1女兩種結果,與事件“全是男生”可能同時發生,所以它們不是互斥事件.
③“至少1名男生”與“全是女生”不可能同時發生,所以它們是互斥事件;由于它們必有一個發生,所以它們是對立事件.
④“至少有1名女生”包括1男1女與2名女生兩種結果,當選出的是1男1女時,“至少有一名男生”與“至少有一名女生”同時發生,所以它們不是互斥事件.
(2)某公務員去開會,他乘火車、輪船、汽車、飛機去的概率分別是0.3,0.2,0.1,0.4.求:
①他乘火車或飛機去的概率;
②他不乘輪船去的概率.
解　設乘火車去開會為事件A,乘輪船去開會為事件B,乘汽車去開會為事件C,乘飛機去開會為事件D,它們彼此互斥.
①P(A+D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7.
②P=1-P(B)=1-0.2=0.8.
四、事件的混合運算
例4　(1)設A,B,C表示三個隨機事件,試將下列事件用A,B,C表示出來.
①三個事件都發生;
②三個事件至少有一個發生;
③A發生,B,C不發生;
④A,B都發生,C不發生;
⑤A,B至少有一個發生,C不發生;
⑥A,B,C中恰好有兩個發生.
解　①三個事件都發生表示為ABC;
②三個事件至少有一個發生表示為A∪B∪C;
③A發生,B,C不發生表示為A;
④A,B都發生,C不發生表示為AB;
⑤A,B至少有一個發生,C不發生表示為(A∪B);
⑥A,B,C中恰好有兩個發生表示為(AB)∪(AC)∪(BC).
(2)某醫院要派醫生下鄉義診,派出醫生的人數及其概率如表所示:
人數 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
①求派出醫生至多2人的概率;
②求派出醫生至少2人的概率.
解　設“不派出醫生”為事件A,“派出1名醫生”為事件B,“派出2名醫生”為事件C,“派出3名醫生”為事件D,“派出4名醫生”為事件E,“派出5名及5名以上醫生”為事件F,事件A,B,C,D,E,F彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04.
①“派出醫生至多2人”的概率為P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
②方法一　“派出醫生至少2人”的概率為P(C∪D∪E∪F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.
方法二　“派出醫生至少2人”的概率為1-P(A∪B)=1-0.1-0.16=0.74.
反思感悟　(1)牢記互斥與對立公式
P(A+B)=P(A)+P(B),P(A)+P()=1.
(2)問題中含有“至多”“至少”“最少”等關鍵詞語時,常常有兩種解題思路:
①直接法:所求問題分類,再用互斥事件的概率加法公式.
②間接法:先求對立事件概率,再用對立事件的概率公式.
跟蹤訓練4　(多選)黃種人群中各種血型的人所占的比例見下表:
血型 A B AB O
該血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同種血型的人可以輸血,O型血可以給任何一種血型的人輸血,任何血型的人都可以給AB血型的人輸血,其他不同血型的人不能互相輸血,下列結論正確的是 (　　)
A.任找一個人,其血可以輸給B型血的人的概率是0.64
B.任找一個人,B型血的人能為其輸血的概率是0.29
C.任找一個人,其血可以輸給O型血的人的概率為1
D.任找一個人,其血可以輸給AB型血的人的概率為1
答案　AD
解析　任找一個人,其血型為A,B,AB,O型血的事件分別記為A',B',C',D',它們兩兩互斥,由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35,因為B,O型血可以輸給B型血的人,所以“可以輸給B型血的人”為事件B'∪D',根據概率的加法公式,得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64,故A正確;B型血的人能為B型、AB型的人輸血,其概率為0.29+0.08=0.37,B錯誤;由O型血只能接受O型血的人輸血知,C錯誤;由任何人的血都可以輸給AB型血的人,知D正確.
1.知識清單:
(1)事件的包含與相等.
(2)事件的和與積.
(3)互斥事件與對立事件的區別和運算.
2.方法歸納:正難則反,逆向思維.
3.常見誤區:互斥事件與對立事件的區別與聯系.
1.同時擲兩枚硬幣,向上面都是正面為事件A,向上面至少有一枚是正面為事件B,則有 (　　)
A.A B B.A B C.A=B D.A答案　A
2.(多選)一個射手進行一次射擊,有下面四個事件.事件A:命中環數大于8;事件B:命中環數小于5;事件C:命中環數大于4;事件D:命中環數不大于6.則 (　　)
A.A與D是互斥事件 B.C與D是對立事件
C.B與D是互斥事件 D.B與C是對立事件
答案　AD
解析　由互斥、對立事件的定義可判斷A,D正確.
3.口袋內裝有一些形狀、大小相同的紅球、白球和黑球,從中摸出1個球,摸出紅球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是 (　　)
A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7
答案　C
解析　∵摸出黑球是摸出紅球或摸出白球的對立事件,∴摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3.
4.中國乒乓球隊中的甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽,甲奪得冠軍的概率為,乙奪得冠軍的概率為,那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為　　　　.
答案　
解析　由于事件“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”,但這兩個事件不可能同時發生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式進行計算,即中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為+=.
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共40分;多選題每小題6分,共6分
1.將紅、黑、藍、白4張牌隨機地分發給甲、乙、丙、丁4個人,每人分得1張,則事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是 (　　)
A.對立事件
B.不可能事件
C.互斥事件,但不是對立事件
D.以上答案都不對
答案　C
解析　記事件A={甲分得紅牌},記事件B={乙分得紅牌},它們不會同時發生,所以是互斥事件,但事件A和事件B也可能都不發生,所以它們不是對立事件.
2.打靶3次,事件Ai表示“擊中i發”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1+A2+A3表示 (　　)
A.全部擊中 B.至少擊中1發
C.至少擊中2發 D.以上均不正確
答案　B
解析　A1+A2+A3所表示的含義是A1,A2,A3這三個事件中至少有一個發生,即可能擊中1發、2發或3發.
3.從一箱產品中隨機地抽取一件,設事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1.則事件“抽到的不是一等品”的概率為 (　　)
A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3
答案　C
解析　由對立事件的概率知“抽到的不是一等品”的概率為P=1-0.65=0.35.
4.(多選)對空中飛行的飛機連續射擊兩次,每次發射一枚炮彈,設A={兩次都擊中飛機},B={兩次都沒擊中飛機},C={恰有一次擊中飛機},D={至少有一次擊中飛機},則下列關系正確的是 (　　)
A.A D B.B∩D=
C.A+C=D D.A+B=B+D
答案　ABC
解析　“恰有一次擊中飛機”指第一次擊中第二次沒中或第一次沒中第二次擊中,“至少有一次擊中飛機”指恰有一次擊中飛機或兩次都擊中飛機,所以A+B≠B+D,其余選項都對.
5.向上拋擲一枚均勻的骰子兩次,事件A表示兩次點數之和小于10,事件B表示兩次點數之和能被5整除,則事件B用樣本點表示為 (　　)
A.{(5,5)} B.{(4,6),(5,5)}
C.{(6,5),(5,5)} D.{(4,6),(6,4),(5,5)}
答案　D
解析　事件用樣本點表示的集合為{(5,5),(6,6),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5)};
事件B用樣本點表示的集合為{(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(5,5),(4,6),(6,4)},所以B={(4,6),(6,4),(5,5)}.
6.暑假期間某地有甲、乙兩草原供游客休閑旅游,記事件E=“只去甲草原”,事件F=“至少去一個草原”,事件G=“至多去一個草原”,事件H=“不去甲草原”,事件I=“一個草原也不去”.下列命題正確的是 (　　)
A.E與G是互斥事件
B.F與I是互斥事件,且是對立事件
C.F與G是互斥事件
D.G與I是互斥事件
答案　B
解析　依題意得樣本點有“只去甲草原”“只去乙草原”“一個草原也不去”“去甲、乙草原”共四個,
事件F=“至少去一個草原”包含“只去甲草原”“只去乙草原”“去甲、乙草原”三個樣本點;
事件G=“至多去一個草原”包含“只去甲草原”“只去乙草原”“一個草原也不去”三個樣本點;
事件H=“不去甲草原”包含“只去乙草原”“一個草原也不去”兩個樣本點;
對于A,事件E,G有可能同時發生,不是互斥事件,故A錯誤;
對于B,事件F與I不可能同時發生,且至少有一個發生,是互斥事件,且為對立事件,故B正確;
對于C,事件F與G有可能同時發生,不是互斥事件,故C錯誤;
對于D,事件G與I有可能同時發生,不是互斥事件,故D錯誤.
7.(5分)從0,1,2,3,4,5中任取兩個數字組成一個兩位數.事件A表示組成的兩位數是偶數,事件B表示組成的兩位數中十位數字大于個位數字,則事件A∩B用樣本點表示為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
答案　{10,20,30,40,50,32,42,52,54}
解析　從0,1,2,3,4,5中任取兩個數字組成一個兩位數,所有的樣本點為10,12,13,14,15,20,21,23,24,25,30,31,32,34,35,40,41,42,43,45,50,51,52,53,54,共25個,則事件A={10,12,14,20,24,30,32,34,40,42,50,52,54},事件B={10,20,30,40,50,21,31,41,51,32,42,52,43,53,54},故事件A∩B用樣本點表示為{10,20,30,40,50,32,42,52,54}.
8.(5分)盒子里裝有6個紅球,4個白球,從中任取3個球.設事件A表示“3個球中有1個紅球,2個白球”,事件B表示“3個球中有2個紅球,1個白球”.已知P(A)=,P(B)=,則這3個球中既有紅球又有白球的概率是　　　　.
答案　
解析　記事件C為“3個球中既有紅球又有白球”,則它包含事件A“3個球中有1個紅球,2個白球”和事件B“3個球中有2個紅球,1個白球”,而且事件A與事件B是互斥的,所以P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.
9.(10分)某學校在教師外出家訪了解學生家長對孩子的學習關心情況的活動中,一個月內派出的教師人數及其概率如下表所示:
派出人數 ≤2 3 4 5 ≥6
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4名或5名教師外出家訪的概率;(5分)
(2)求至少有3名教師外出家訪的概率.(5分)
解　設派出2名及以下教師為事件A,3名教師為事件B,4名教師為事件C,5名教師為事件D,6名及以上教師為事件E.
(1)有4名或5名教師外出家訪的事件為事件C+D,C,D為互斥事件,根據互斥事件概率的加法公式可知,
P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.
(2)至少有3名教師外出家訪的對立事件為2名及以下教師外出家訪,由對立事件的概率公式可知,P=1-P(A)=1-0.1=0.9.
10.(12分)從一批100件的產品中每次取出一個(取出后不放回),假設100件產品中有5件是次品,用事件Ak表示第k次取到次品(k=1,2,3),試用A1,A2,A3表示下列事件.
(1)三次全取到次品;(2分)
(2)只有第一次取到次品;(2分)
(3)三次中至少有一次取到次品;(2分)
(4)三次中恰有兩次取到次品;(3分)
(5)三次中至多有一次取到次品.(3分)
解　(1)A1A2A3.
(2)A1.
(3)A1∪A2∪A3.
(4)A1A2∪A1A3∪A2A3.
(5)A1∪A3∪A2∪或∪∪.
11.如果事件M與事件N是互斥事件,那么 (　　)
A.M+N是必然事件
B.與一定是互斥事件
C.與一定不是互斥事件
D.+是必然事件
答案　D
解析　因為M,N為互斥事件,則有如圖所示的兩種情況.
無論哪種情況,+都是必然事件.
12.擲一枚骰子的試驗中,出現各點的概率均為.事件A表示“小于5的偶數點出現”,事件B表示“小于5的點數出現”,則一次試驗中,事件A+發生的概率為 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由題意知,表示“大于或等于5的點數出現”,事件A與事件互斥,由概率的加法計算公式可得P(A+)=P(A)+P()=+==.
13.從一批羽毛球產品中任取一個,其質量小于4.8 g的概率為0.3,質量小于4.85 g的概率為0.32,那么質量在4.8~4.85 g范圍內的概率是 (　　)
A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68
答案　C
解析　設“質量小于4.8 g”為事件A,“質量小于4.85 g”為事件B,“質量在4.8~4.85 g”為事件C,則A+C=B,且A,C為互斥事件,所以P(B)=P(A+C)=P(A)+P(C),則P(C)=P(B)-P(A)=0.32-0.3=0.02.
14.(5分)電路如圖所示.用A表示事件“電燈變亮”,用B,C,D依次表示“開關Ⅰ閉合”“開關Ⅱ閉合”“開關Ⅲ閉合”,則A=　　　　　　.(用B,C,D間的運算關系式表示)
答案　BC∪BD或B∩(C∪D)
15.(5分)事件A,B互斥,它們都不發生的概率為,且P(A)=2P(B),則P()=　　　　.
答案　
解析　由題意知P(A+B)=P(A)+P(B)=1-=.又P(A)=2P(B),聯立方程組解得P(A)=,P(B)=,故P()=1-P(A)=.
16.(12分)如圖是某班級50名學生訂閱數學、語文、英語學習資料的情況,其中A表示訂閱數學學習資料的學生,B表示訂閱語文學習資料的學生,C表示訂閱英語學習資料的學生.
(1)從這個班任意選擇一名學生,用自然語言描述1,4,5,8各區域所代表的事件;(6分)
(2)用A,B,C表示下列事件:
①至少訂閱一種學習資料;(2分)
②恰好訂閱一種學習資料;(2分)
③沒有訂閱任何學習資料.(2分)
解　(1)區域1表示事件“這名學生同時訂閱了數學、語文、英語三種學習資料”;區域4表示事件“這名學生訂閱了數學、語文兩種學習資料,但沒有訂閱英語學習資料”;區域5表示事件“這名學生僅訂閱了語文學習資料”;區域8表示事件“這名學生沒有訂閱數學、語文、英語學習資料”.
(2) ①A∪B∪C.
②A+B+C.
③.5.3.2　事件之間的關系與運算
[學習目標]　1.了解事件間的包含關系和相等關系.2.理解事件的和與積,并能進行運算.3.理解互斥事件和對立事件的概念及關系,掌握互斥事件的概率加法公式.
一、事件的包含與相等
在擲骰子試驗中,觀察骰子朝上面的點數,可以定義許多隨機事件,例如:
Ci=“點數為i”,i=1,2,3,4,5,6;
D1=“點數不大于3”;D2=“點數大于3”;
E1=“點數為1或2”;E2=“點數為2或3”;
F=“點數為偶數”;G=“點數為奇數”;
…
問題1　用集合的形式表示事件C1=“點數為1”和事件G=“點數為奇數”,借助集合與集合的關系和運算,你能發現這些事件之間的聯系嗎
知識梳理
事件的包含與相等
定義 表示法 圖示
包含 關系 一般地,如果事件A發生時,事件B　　,則稱“A包含于B”(或“B包含A”) 　　　 (或　　　)
相等 關系 如果事件A發生時,事件B一定發生;而且事件B發生時,事件A也一定發生,則稱“A與B　　　　　”(A B且B A) A=B
例1　在擲骰子試驗中,可以得到以下事件:
A={出現1點},B={出現2點},C={出現3點},D={出現4點},E={出現5點},F={出現6點},G={出現的點數不大于1},H={出現的點數小于5},I={出現奇數點},J={出現偶數點}.
請判斷下列兩個事件的關系:
(1)B　　　　H;(2)D　　　　J;
(3)E　　　　I;(4)A　　　　G.
反思感悟　判斷事件之間的關系,主要是判斷表示事件的兩集合間的包含關系.
跟蹤訓練1　擲一枚質地均勻的硬幣三次,得到如下三個事件:A為“3次正面向上”,B為“只有1次正面向上”,C為“至少有1次正面向上”,試判斷事件A,B,C之間的包含關系.
二、事件的和與積
問題2　用集合的形式表示事件D1=“點數不大于3”,事件E1=“點數為1或2”和事件E2=“點數為2或3”,借助集合與集合的關系和運算,你能發現這些事件之間的聯系嗎
問題3　事件C2=“點數為2”,事件E1=“點數為1或2”和事件E2=“點數為2或3”,借助集合與集合的關系和運算,你能發現這些事件之間的聯系嗎
知識梳理
事件的和(并)與積(交)
定義 表示法 圖示
和 給定事件A,B,由所有A中的樣本點與B中的樣本點組成的事件稱為A與B的和(或并) 　　　　 (或　　　)
積 給定事件A,B,由事件A與B中的公共樣本點組成的事件稱為A與B的積(或交) 　　　 (或　　　)
例2　在擲骰子的試驗中,可以定義許多事件.例如,事件C1={出現1點},事件C2={出現2點},事件C3={出現3點},事件C4={出現4點},事件C5={出現5點},事件C6={出現6點},事件D1={出現的點數不大于1},事件D2={出現的點數大于3},事件D3={出現的點數小于5},事件E={出現的點數小于7},事件F={出現的點數為偶數},事件G={出現的點數為奇數},請根據上述定義的事件,回答下列問題:
(1)利用和事件的定義,判斷上述哪些事件是和事件;
(2)事件D2與事件D3的交事件是什么事件 事件E與事件F的交事件是什么事件
反思感悟　事件間的運算方法
(1)利用事件間運算的定義.列出同一條件下的試驗所有可能出現的結果,分析并利用這些結果進行事件間的運算.
(2)利用Venn圖.借助集合間運算的思想,分析同一條件下的試驗所有可能出現的結果,把這些結果在圖中列出,進行運算.
跟蹤訓練2　盒子里有6個紅球,4個白球,現從中任取3個球,設事件A={3個球中有一個紅球,兩個白球},事件B={3個球中有兩個紅球,一個白球},事件C={3個球中至少有一個紅球},事件D={3個球中既有紅球又有白球}.則:
(1)事件D與事件A,B是什么樣的運算關系
(2)事件C與事件A的交事件是什么事件
三、事件的互斥與對立
問題4　用集合的形式表示事件C3=“點數為3”和事件C4=“點數為4”,借助集合與集合的關系和運算,你能發現這些事件之間的聯系嗎
問題5　用集合的形式表示事件F=“點數為偶數”,事件G=“點數為奇數”,借助集合與集合的關系和運算,你能發現這些事件之間的聯系嗎
知識梳理
1.事件的互斥與對立
定義 表示法 圖示
互 斥 給定事件A,B,若事件A與B不能同時發生,則稱A與B　　　　 　　　　(或 　　　　　)
對 立 給定樣本空間Ω與事件A,則由Ω中所有不屬于A的樣本點組成的事件稱為A的　　　　　 事件A的 對立事件 記為
如果B=,則稱A與B相互對立.
2.互斥事件的概率加法公式
(1)互斥事件的概率加法公式:當A與B互斥(即AB= )時,有P(A+B)=　　　　　.
(2)一般地,如果A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件,則P(A1+A2+…+An)=　　　　　　　.
(3)P(A)+P()=　　　　.
例3　某射擊運動員在一次射擊中射中10環、9環、8環、7環、7環以下的概率分別為0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.計算這個運動員在一次射擊中:
(1)射中10環或9環的概率;
(2)至少射中7環的概率.
延伸探究　在本例條件下,求射中環數小于8環的概率.
反思感悟　互斥事件、對立事件概率的求解方法
(1)互斥事件的概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B).
(2)當求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關鍵詞語時,常?？紤]其反面,通過求其反面,然后轉化為所求問題.
跟蹤訓練3　(1)某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學參加演講比賽,判斷下列每對事件是不是互斥事件,如果是,再判斷它們是不是對立事件:
①“恰有1名男生”與“恰有2名男生”;
②“至少有1名男生”與“全是男生”;
③“至少有1名男生”與“全是女生”;
④“至少有1名男生”與“至少有1名女生”.
(2)某公務員去開會,他乘火車、輪船、汽車、飛機去的概率分別是0.3,0.2,0.1,0.4.求:
①他乘火車或飛機去的概率;
②他不乘輪船去的概率.
四、事件的混合運算
例4　(1)設A,B,C表示三個隨機事件,試將下列事件用A,B,C表示出來.
①三個事件都發生;
②三個事件至少有一個發生;
③A發生,B,C不發生;
④A,B都發生,C不發生;
⑤A,B至少有一個發生,C不發生;
⑥A,B,C中恰好有兩個發生.
(2)某醫院要派醫生下鄉義診,派出醫生的人數及其概率如表所示:
人數 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
①求派出醫生至多2人的概率;
②求派出醫生至少2人的概率.
反思感悟　(1)牢記互斥與對立公式
P(A+B)=P(A)+P(B),P(A)+P()=1.
(2)問題中含有“至多”“至少”“最少”等關鍵詞語時,常常有兩種解題思路:
①直接法:所求問題分類,再用互斥事件的概率加法公式.
②間接法:先求對立事件概率,再用對立事件的概率公式.
跟蹤訓練4　(多選)黃種人群中各種血型的人所占的比例見下表:
血型 A B AB O
該血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同種血型的人可以輸血,O型血可以給任何一種血型的人輸血,任何血型的人都可以給AB血型的人輸血,其他不同血型的人不能互相輸血,下列結論正確的是 (　　)
A.任找一個人,其血可以輸給B型血的人的概率是0.64
B.任找一個人,B型血的人能為其輸血的概率是0.29
C.任找一個人,其血可以輸給O型血的人的概率為1
D.任找一個人,其血可以輸給AB型血的人的概率為1
1.知識清單:
(1)事件的包含與相等.
(2)事件的和與積.
(3)互斥事件與對立事件的區別和運算.
2.方法歸納:正難則反,逆向思維.
3.常見誤區:互斥事件與對立事件的區別與聯系.
1.同時擲兩枚硬幣,向上面都是正面為事件A,向上面至少有一枚是正面為事件B,則有 (　　)
A.A B B.A B
C.A=B D.A2.(多選)一個射手進行一次射擊,有下面四個事件.事件A:命中環數大于8;事件B:命中環數小于5;事件C:命中環數大于4;事件D:命中環數不大于6.則 (　　)
A.A與D是互斥事件 B.C與D是對立事件
C.B與D是互斥事件 D.B與C是對立事件
3.口袋內裝有一些形狀、大小相同的紅球、白球和黑球,從中摸出1個球,摸出紅球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是 (　　)
A.0.42 B.0.28
C.0.3 D.0.7
4.中國乒乓球隊中的甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽,甲奪得冠軍的概率為,乙奪得冠軍的概率為,那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為　　　　.
答案精析
問題1　C1={1}和G={1,3,5},{1} {1,3,5}.
知識梳理
一定發生　A B　B A　相等
例1　(1) 　(2) 　(3) 　(4)=
跟蹤訓練1　解　當事件A發生時,事件C一定發生,當事件B發生時,事件C一定發生,因此有A C,B C;當事件A發生時,事件B一定不發生,當事件B發生時,事件A一定不發生,因此事件A與事件B之間不存在包含關系.
綜上,事件A,B,C之間的包含關系為A C,B C.
問題2　D1={1,2,3},E1={1,2}和E2={2,3}.{1,2}∪{2,3}={1,2,3},即E1∪E2=D1.
問題3　{1,2}∩{2,3}={2},
即E1∩E2=C2.
知識梳理
A+B　A∪B　AB　A∩B
例2　解　(1)因為事件D2={出現的點數大于3}={出現4點或出現5點或出現6點},
所以D2=C4+C5+C6.
同理可得,D3=C1+C2+C3+C4,
E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,
F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5.
(2)D2∩D3=C4={出現4點};
E∩F=F={出現的點數為偶數}.
跟蹤訓練2　解　(1)對于事件D,可能的結果為“1個紅球2個白球”或“2個紅球1個白球”,故D=A+B.
(2)對于事件C,可能的結果為“1個紅球2個白球”,“2個紅球1個白球”或“3個紅球”,故C∩A=A.
問題4　C3={3},C4={4},C3∩C4= .
問題5　F={2,4,6},G={1,3,5}.
F∪G=Ω,F∩G= .
知識梳理
1.互斥　AB= 　A∩B= 　對立事件　2.(1)P(A)+P(B)　(2)P(A1)+P(A2)+…+P(An)　(3)1
例3　解　設“射中10環”、“射中9環”、“射中8環”、“射中7環”、“射中7環以下”的事件分別為A,B,C,D,E,它們兩兩互斥,則
(1)P(A+B)=P(A)+P(B)
=0.1+0.2=0.3.
所以射中10環或9環的概率為0.3.
(2)因為射中7環以下的概率為0.1,所以由對立事件的概率公式得,至少射中7環的概率為1-0.1=0.9.
延伸探究　解　事件“射中環數小于8環”包含事件D“射中7環”與事件E“射中7環以下”兩個事件,則P(射中環數小于8環)=P(D+E)=P(D)+P(E)=0.3+0.1=0.4.
跟蹤訓練3　(1)解　從3名男生和2名女生中任選2人有如下三種結果:2名男生,2名女生,1男1女.
①“恰有1名男生”指1男1女,與“恰有2名男生”不能同時發生,它們是互斥事件;但是當選取的結果是2名女生時,兩事件都不發生,所以它們不是對立事件.
②“至少1名男生”包括2名男生和1男1女兩種結果,與事件“全是男生”可能同時發生,所以它們不是互斥事件.
③“至少1名男生”與“全是女生”不可能同時發生,所以它們是互斥事件;由于它們必有一個發生,所以它們是對立事件.
④“至少有1名女生”包括1男1女與2名女生兩種結果,當選出的是1男1女時,“至少有一名男生”與“至少有一名女生”同時發生,所以它們不是互斥事件.
(2)解　設乘火車去開會為事件A,乘輪船去開會為事件B,乘汽車去開會為事件C,乘飛機去開會為事件D,它們彼此互斥.
①P(A+D)=P(A)+P(D)
=0.3+0.4=0.7.
②P=1-P(B)=1-0.2=0.8.
例4　(1)解?、偃齻€事件都發生表示為ABC;
②三個事件至少有一個發生表示為A∪B∪C;
③A發生,B,C不發生表示為A;
④A,B都發生,C不發生表示為AB;
⑤A,B至少有一個發生,C不發生表示為(A∪B);
⑥A,B,C中恰好有兩個發生表示為(AB)∪(AC)∪(BC).
(2)解　設“不派出醫生”為事件A,“派出1名醫生”為事件B,“派出2名醫生”為事件C,“派出3名醫生”為事件D,“派出4名醫生”為事件E,“派出5名及5名以上醫生”為事件F,事件A,B,C,D,E,F彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04.
①“派出醫生至多2人”的概率為
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
②“派出醫生至少2人”的概率為P(C∪D∪E∪F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.
跟蹤訓練4　AD
隨堂演練
1.A　2.AD　3.C　4.

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