資源簡介

5.3.3　古典概型
[學習目標]　1.了解基本事件的特點,理解古典概型的定義.2.會判斷古典概型,會用古典概型的概率公式解決問題.
導語
研究隨機現象,最重要的是知道隨機事件發生的可能性大小.對隨機事件發生可能性大小的度量(數值)稱為事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.
我們知道,通過試驗和觀察的方法可以得到一些事件的概率估計,但這種方法耗時多,而且得到的僅是概率的近似值.能否通過建立適當的數學模型,直接計算隨機事件的概率呢
一、古典概型的理解
問題1　我們討論過拋擲一枚均勻硬幣的試驗及擲一枚質地均勻骰子的試驗,它們的共同特征有哪些
提示　樣本空間的樣本點是有限個,每個樣本點發生的可能性相等.
知識梳理
一般地,如果隨機試驗的樣本空間所包含的樣本點個數是有限的(簡稱為有限性),而且可以認為每個只包含一個樣本點的事件(即基本事件)發生的可能性大小都相等(簡稱為等可能性),則稱這樣的隨機試驗為古典概率模型,簡稱為古典概型.
注意點:
一般地,古典概型具有以下特征:
(1)有限性:樣本空間的樣本點只有有限個;
(2)等可能性:每個基本事件發生的可能性大小都相等.
例1　下列概率模型是古典概型嗎 為什么
(1)從區間[1,10]內任意取出一個實數,求取到實數2的概率;
(2)向上拋擲一枚不均勻的舊硬幣,求正面朝上的概率;
(3)從1,2,3,…,100這100個整數中任意取出一個整數,求取到偶數的概率.
解　(1)不是古典概型,因為區間[1,10]中有無限多個實數,取出的實數有無限多種結果,與古典概型定義中“所有可能結果只有有限個”矛盾.
(2)不是古典概型,因為硬幣不均勻導致“正面朝上”與“反面朝上”發生的可能性不相等,與古典概型定義中“每一個試驗結果出現的可能性相同”矛盾.
(3)是古典概型,因為在試驗中所有可能出現的結果是有限的,而且每個整數被抽到的可能性相等.
反思感悟　古典概型的判斷,關鍵看是否滿足兩個特征
(1)有限性:在一次試驗中,所有可能出現的樣本點只有有限個.
(2)等可能性:每個樣本點出現的可能性相等.
跟蹤訓練1　下列選項中是古典概型的是 (　　)
A.種下一粒楊樹種子,求其能長成大樹的概率
B.擲一枚質地不均勻的骰子,求擲出1點的概率
C.在區間[1,4]上任取一數,求這個數大于1.5的概率
D.同時擲兩枚質地均勻的骰子,求向上的點數之和是5的概率
答案　D
解析　A,B兩項中的樣本點的出現不是等可能的;C項中樣本點的個數是無限多個;D項中樣本點的出現是等可能的,樣本點的個數是有限個.
二、古典概型中概率的計算
問題2　在擲骰子的試驗中,記A事件為“點數為偶數”,A事件包含哪些樣本點 A事件發生的概率是多少
提示　A={2,4,6}.
對于擲骰子試驗,出現各個點的可能性相同,記出現1點,2點,…,6點的事件分別為A1,A2,…,A6,記事件“出現偶數點”為B,則P(A1)=P(A2)=…=P(A6),又P(A1)+P(A2)+…+P(A6)=1,所以P(A1)=P(A2)=…=P(A6)=,P(B)==.
知識梳理
一般地,設試驗E是古典概型,樣本空間含有n個樣本點,事件C包含有m個樣本點,則定義事件C的概率P(C)=.
注意點:
隨機試驗中樣本點的探求方法
(1)列舉法:把試驗的全部結果一一列舉出來.此方法適合于較為簡單的試驗問題.
(2)樹形圖法:樹形圖法是使用樹狀的圖形把樣本點列舉出來的一種方法,樹形圖法便于分析樣本點間的結構關系,對于較復雜的問題,可以作為一種分析問題的主要手段,樹形圖法適用于較復雜的試驗的題目.
例2　袋中有6個球,其中4個白球,2個紅球,從袋中任意取出兩球,求下列事件的概率:
(1)事件A:取出的兩球都是白球;
(2)事件B:取出的兩球一個是白球,另一個是紅球.
解　設4個白球的編號為1,2,3,4,2個紅球的編號為5,6.從袋中的6個小球中任取2個球的樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15個樣本點.
(1)A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共6個樣本點.
∴取出的兩個球全是白球的概率為P(A)==.
(2)B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},共8個樣本點.
∴取出的兩個球一個是白球,另一個是紅球的概率為P(B)=.
反思感悟　求古典概型概率的步驟
(1)先判斷是否為古典概型;
(2)確定樣本點的總數n;
(3)確定事件A包含的樣本點個數m;
(4)計算事件A發生的概率,即P(A)=.
跟蹤訓練2　(1)有5支彩筆(除顏色外無差別),顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支彩筆,則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為 (　　)
A. B. C. D.
(2)某興趣小組有2名男生和3名女生,現從中任選2名學生去參加活動,則恰好選中2名女生的概率為　　　　.
答案　(1)C　(2)
解析　(1)從5支彩筆中任取2支彩筆,樣本空間為{(紅,黃),(紅,藍),(紅,綠),(紅,紫),(黃,藍),(黃,綠),(黃,紫),(藍,綠),(藍,紫),(綠,紫)},共含10個樣本點.而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有(紅,黃),(紅,藍),(紅,綠),(紅,紫),共4個樣本點,故所求概率P==.
(2)記2名男生分別為A,B,3名女生分別為a,b,c,則從中任選2名學生樣本空間為{(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c)},共10個樣本點,其中恰好選中2名女生有(a,b),(a,c),(b,c),共3個樣本點,故所求概率為.
三、概率性質在古典概型中的應用
例3　先后擲兩個質地均勻的骰子,觀察朝上的面的點數,記事件A:兩個骰子點數相同,事件B:點數之和小于7,事件C:點數之和小于11,求P(A),P(B),P(AB),P(A+B),P(C).
解　用數對(x,y)表示拋擲結果,則這個試驗的樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.共包含36個樣本點,這36個樣本點發生的可能性是相等的.
A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},包含6個樣本點,所以P(A)==.
B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1)},包含15個樣本點,所以P(B)==.
AB={(1,1),(2,2),(3,3)},包含3個樣本點,所以P(AB)==.
A+B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1),(4,4),(5,5),(6,6)},包含18個樣本點,
所以P(A+B)==.
因為事件C的對立事件表示“點數之和等于或大于11”,所以={(5,6),(6,5),(6,6)},包含3個樣本點,所以P()==.
所以P(C)=1-P()=1-=.
反思感悟　古典概型中概率的性質
假設古典概型對應的樣本空間含n個樣本點,事件A包含m個樣本點,則
(1)0≤P(A)=≤1.
(2)P(A)+P()=1.
(3)若事件B包含k個樣本點,而且A與B互斥,則容易知道A+B包含m+k個樣本點,從而P(A+B)==+=P(A)+P(B).
跟蹤訓練3　某停車場臨時停車按時段收費,收費標準如下:每輛汽車一次停車不超過1小時收費6元,超過1小時的部分每小時收費8元(不足1小時按1小時計算).現有甲、乙兩人在該地停車,兩人停車都不超過4小時.
(1)若甲停車1小時以上且不超過2小時的概率為,停車費多于14元的概率為,求甲的停車費為6元的概率;
(2)若甲、乙兩人每人停車的時長在每個時段的可能性相同,求甲、乙兩人停車費之和為28元的概率.
解　(1)設甲“一次停車不超過1小時”為事件A,“一次停車1到2小時”為事件B,“一次停車2到3小時”為事件C,“一次停車3到4小時”為事件D.
由已知得P(B)=,P(C+D)=,
又事件A,B,C,D互斥,且P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1,所以P(A)=1--=.
所以甲的停車費為6元的概率為.
(2)易知甲、乙停車時間的樣本空間為{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16個樣本點;而“停車費之和為28元”的樣本點有(1,3),(2,2),(3,1),共3個,所以所求概率為.
1.知識清單:
(1)古典概型概念的理解.
(2)古典概型中概率的計算.
(3)概率性質在古典概型中的應用.
2.方法歸納:列舉法、列表法、樹形圖法.
3.常見誤區:基本事件列舉沒有規律,出現重復或遺漏.
1.下列試驗是古典概型的是 (　　)
A.在適宜的條件下種一粒種子,發芽的概率
B.口袋里有2個白球和2個黑球,這4個球除顏色外完全相同,從中任取一球得白球的概率
C.向一個圓面內部隨機地投一個點,該點落在圓心的概率
D.某籃球運動員投籃一次命中的概率
答案　B
解析　A,D不是等可能事件,C不滿足有限性,B滿足有限性和等可能性.
2.某班級從5名同學中挑出2名同學進行大掃除,若小王和小張在這5名同學之中,則小王和小張都沒有被挑出的概率為 (　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　記另3名同學分別為a,b,c,
所有基本事件為(a,b),(a,c),(a,小王),(a,小張),(b,c),(b,小王),(b,小張),(c,小王),(c,小張),(小王,小張),共10種.
小王和小張都沒有被挑出包括的基本事件為(a,b),(a,c),(b,c),共3種,
綜上,小王和小張都沒有被挑出的概率為.
3.用1,2,3組成無重復數字的三位數,這個數能被2整除的概率是 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　用1,2,3組成的無重復數字的三位數共6個,分別為123,132,213,231,312,321,其中能被2整除的有132,312這2個數,故能被2整除的概率為.
4.中國象棋是中國棋文化,也是中華民族的文化瑰寶,它源遠流長,趣味濃厚,基本規則簡明易懂.張三和李四下棋,張三獲勝的概率是,和棋的概率是,則張三不輸的概率為　　　　.
答案　
解析　由題意得,張三不輸的情況有和棋或者獲勝,所以張三不輸的概率P=+=.
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共30分;多選題每小題6分,共18分
1.(多選)下列試驗是古典概型的為 (　　)
A.從6名同學中選出4人參加數學競賽,每人被選中的可能性的大小
B.同時擲兩枚骰子,點數和為7的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10人站成一排,其中甲、乙相鄰的概率
答案　ABD
解析　A,B,D是古典概型,因為符合古典概型的定義和特點.C不是古典概型,因為不符合等可能性,三天中是否降雨受多方面因素影響.
2.在50瓶牛奶中,有5瓶已經過了保質期,從中任取一瓶,取到已經過保質期的牛奶的概率是 (　　)
A.0.02 B.0.05 C.0.1 D.0.9
答案　C
解析　由題意知,該題是一個古典概型,因為在50瓶牛奶中任取1瓶有50種不同的取法,取到已過保質期的牛奶有5種不同的取法,根據古典概型的概率公式求得概率是=0.1.
3.箱子中放有一雙紅色和一雙黑色的襪子,現從箱子中同時取出兩只襪子,則取出的兩只襪子正好可以配成一雙的概率為 (　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　兩只紅色襪子分別設為A1,A2,兩只黑色襪子分別設為B1,B2,這個試驗的樣本空間可記為Ω={(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2)},共包含6個樣本點,記A為“取出的兩只襪子正好可以配成一雙”,則A={(A1,A2),(B1,B2)},A包含的樣本點個數為2,所以P(A)=.故選B.
4.一個袋中裝有2個紅球和2個白球,現從袋中取出1個球,然后放回袋中再取出1個球,則取出的2個球同色的概率為 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　把紅球標記為紅1、紅2,白球標記為白1、白2,試驗的樣本點共有16個,其中2個球同色的樣本點有8個:(紅1、紅1),(紅1、紅2),(紅2、紅1),(紅2、紅2),(白1、白1),(白1、白2),(白2、白1),(白2、白2),故所求概率為P==.
5.(多選)投擲一枚質地均勻的正方體骰子,四位同學各自發表了以下見解,其中正確的有 (　　)
A.“出現點數為奇數”的概率等于“出現點數為偶數”的概率
B.只要連擲6次,一定會“出現1點”
C.投擲前默念幾次“出現6點”,投擲結果“出現6點”的可能性就會加大
D.連續投擲3次,出現的點數之和不可能等于19
答案　AD
解析　擲一枚骰子,出現奇數點和出現偶數點的概率都是,故A正確;“出現1點”是隨機事件,故B錯誤;概率是客觀存在的,不因為人的意念而改變,故C錯誤;連續擲3次,若每次都出現最大點數6,則三次之和最大為18,故D正確.
6.數學家祖沖之估計圓周率π的值的范圍是:3.141 592 6<π<3.141 592 7,為紀念祖沖之在圓周率的成就,把3.141 592 6稱為“祖率”,這是中國數學的偉大成就.某小學教師為幫助同學們了解“祖率”,讓同學們從小數點后的7位數字1,4,1,5,9,2,6中隨機選取兩位數字,整數部分3不變,那么得到的數字大于3.14的概率為 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　從1,4,1,5,9,2,6這7位數字中任選兩位數字的樣本點有14,11,15,19,12,16,41,45,49,42,46,59,52,56,92,96,26,51,91,21,61,54,94,24,64,95,25,65,29,69,62,共31個,其中得到的數字大于3.14的樣本點有28個,所以得到的數字大于3.14的概率P=.
7.(5分)從a,b,c,d四名學生中任選兩名去參加不同的活動,則選到學生a的概率為　　　　.
答案　
解析　所有樣本點有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6個.其中選到學生a的樣本點有(a,b),(a,c),(a,d),共3個,所以所求事件的概率P=.
8.(5分)從甲、乙、丙、丁四個同學中選兩人分別當班長和副班長,其中甲、乙為男生,丙、丁是女生,則選舉結果中至少有一名女生當選的概率是　　　　.
答案　
解析　從甲、乙、丙、丁四個同學中選兩人分別當班長和副班長樣本點有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)共6個,其中“沒有女生當選”只包含(甲,乙)1個樣本點,故至少一名女生當選的概率為P=1-=.
9.(10分)某商場舉行購物抽獎促銷活動,規定每位顧客從裝有編號為0,1,2,3四個相同小球的抽獎箱中,每次取出一球,記下編號后放回,連續取兩次,若取出的兩個小球號碼相加之和等于6,則中一等獎,等于5中二等獎,等于4或3中三等獎.
(1)求中三等獎的概率;(5分)
(2)求中獎的概率.(5分)
解　設“中三等獎”為事件A,“中獎”為事件B,從四個小球中有放回地取兩個有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),共16個樣本點.
(1)取出的兩個小球號碼相加之和等于4或3的取法有(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),共7個樣本點,則中三等獎的概率為P(A)=.
(2)由(1)知兩個小球號碼相加之和等于3或4的取法有7種,兩個小球號碼相加之和等于5的取法有2種,兩個小球號碼相加之和等于6的取法有1種,
則中獎概率為P(B)==.
10.(10分)根據某省的高考改革方案,考生應在3門理科學科(物理、化學、生物)和3門文科學科(歷史、政治、地理)的6門學科中選擇3門學科參加考試.根據以往統計資料,1位同學選擇生物的概率為0.5,選擇物理但不選擇生物的概率為0.2,考生選擇各門學科是互不影響的.
(1)求1位考生至少選擇生物、物理兩門學科中的1門學科的概率;(4分)
(2)某校高二年級的400名學生中,選擇生物但不選擇物理的人數為140,求1位考生同時選擇生物、物理兩門學科的概率.(6分)
解　記事件A表示“考生選擇生物學科”;
事件B表示“考生選擇物理但不選擇生物學科”;
事件C表示“考生至少選擇生物、物理兩門學科中的1門學科”;
事件D表示“考生選擇生物但不選擇物理學科”;
事件E表示“考生同時選擇生物、物理兩門學科”.
(1)P(A)=0.5,P(B)=0.2,C=A∪B,A∩B= ,P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7.
(2)由某校高二年級的400名學生中,選擇生物但不選擇物理的人數為140,可知P(D)=0.35,
因為D∪E=A,且D,E為互斥事件,所以P(E)=P(A)-P(D)=0.5-0.35=0.15.
11.一個盒子中裝有4個大小、形狀完全相同的小球,其中1個白球,2個紅球,1個黃球,若從中隨機取出1個球,記下顏色后放回盒子,均勻攪拌后,再隨機取出1個球,則兩次取出小球顏色不同的概率是 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　記白球為1,紅球為2,3,黃球為4,則試驗的樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共包含16個樣本點,則兩次取出小球顏色不同包括(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,4),(3,1),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共10個樣本點,所以兩次取出小球顏色不同的概率為.
12.(多選)擲一個骰子的試驗,事件A表示“出現小于5的偶數點”,事件B表示“出現小于5的點數”.若表示B的對立事件,則一次試驗中,下列說法正確的是 (　　)
A.P= B.P=
C.P= D.P=
答案　ABC
解析　擲一個骰子的試驗有6種可能結果,出現的點數分別為1,2,3,4,5,6,則滿足事件A的情況有點數為2,4;滿足事件B的情況有點數為1,2,3,4.
依題意,P==,P==,故A,B正確;
P=1-=,
因為表示“出現5點或6點”的事件,A表示“出現小于5的偶數點”,所以A與互斥,
故P=P+P=,故D錯誤;
表示“出現的點數為1,3,5,6”的事件,則P==,
顯然包含在內,則P=P=,故C正確.
13.(5分)在一次教師聯歡會上,到場的女教師比男教師多12人,從這些教師中隨機挑選一人表演節目,若選中男教師的概率為,則參加聯歡會的教師共有　　　　人.
答案　120
解析　可設參加聯歡會的教師共有n人,由于從這些教師中選一人,“選中男教師”和“選中女教師”兩個事件是對立事件,所以選中女教師的概率為1-=.
再由題意,知n-n=12,解得n=120.
14.(5分)如圖所示的莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績(都為整數),其中一個數字被污損,則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為　　　　.
答案　
解析　從圖中的數據知甲組數據的平均數為=90.被污損的數字可以是0,1,2,…,9,共10種情況.
若甲、乙兩組平均數相等,有90×5-(83+83+87+99)=98,則被污損的數字為8.
若甲組的平均成績超過乙組的平均成績,則被污損的數字可為0,1,…,7,共8個樣本點,
故其概率P==.
15.已知a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},則函數f(x)=ax2-2bx在區間(1,+∞)上單調遞增的概率是 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　∵a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},
∴共含有12個樣本點.
函數f(x)=ax2-2bx在區間(1,+∞)上單調遞增,
①當a=0時,f(x)=-2bx,需要滿足-2b>0,即b<0,符合條件的只有(0,-1),即a=0,b=-1,共1個樣本點;
②當a≠0時,a>0,需要滿足≤1,即b≤a,符合條件的有(1,-1),(1,1),(2,-1),(2,1),共4個樣本點.∴函數f(x)=ax2-2bx在區間(1,+∞)上單調遞增的概率P=.
16.(12分)科學家在1927年至1929年間發現自然界中的氧含有三種同位素,分別為16O,17O,18O,根據1940年比較精確的質譜測定,自然界中這三種同位素的含量比為16O占99.759%,17O占0.037%,18O占0.204%.現有3個16O,2個17O,n個18O,若從中隨機選取1個氧原子,這個氧原子不是17O的概率為.
(1)求n;(5分)
(2)若從中隨機選取2個氧原子,求這2個氧原子是同一種同位素的概率.(7分)
解　(1)依題意,從這些氧原子中隨機選取1個,這個氧原子是17O的概率P1=,則有1-=,解得n=1.
(2)記3個16O分別為a,b,c,2個17O分別為x,y,1個18O為m,從中隨機選取2個,所有的情況為(a,b),(a,c),(a,x),(a,y),(a,m),(b,c),(b,x),(b,y),(b,m),(c,x),(c,y),(c,m),(x,y),(x,m),(y,m),共15種,它們是等可能的,其中這2個氧原子是同一種同位素的情況有(a,b),(a,c),(b,c),(x,y),共4種,其概率為P2=,所以這2個氧原子是同一種同位素的概率是.5.3.3　古典概型
[學習目標]　1.了解基本事件的特點,理解古典概型的定義.2.會判斷古典概型,會用古典概型的概率公式解決問題.
一、古典概型的理解
問題1　我們討論過拋擲一枚均勻硬幣的試驗及擲一枚質地均勻骰子的試驗,它們的共同特征有哪些
知識梳理
一般地,如果隨機試驗的樣本空間所包含的樣本點個數是　　　　(簡稱為　　　　),而且可以認為每個只包含一個樣本點的事件(即　　　　　)發生的可能性大小　　　　　(簡稱為　　　　　),則稱這樣的隨機試驗為古典概率模型,簡稱為　　　　　.
例1　下列概率模型是古典概型嗎 為什么
(1)從區間[1,10]內任意取出一個實數,求取到實數2的概率;
(2)向上拋擲一枚不均勻的舊硬幣,求正面朝上的概率;
(3)從1,2,3,…,100這100個整數中任意取出一個整數,求取到偶數的概率.
反思感悟　古典概型的判斷,關鍵看是否滿足兩個特征
(1)有限性:在一次試驗中,所有可能出現的樣本點只有有限個.
(2)等可能性:每個樣本點出現的可能性相等.
跟蹤訓練1　下列選項中是古典概型的是 (　　)
A.種下一粒楊樹種子,求其能長成大樹的概率
B.擲一枚質地不均勻的骰子,求擲出1點的概率
C.在區間[1,4]上任取一數,求這個數大于1.5的概率
D.同時擲兩枚質地均勻的骰子,求向上的點數之和是5的概率
二、古典概型中概率的計算
問題2　在擲骰子的試驗中,記A事件為“點數為偶數”,A事件包含哪些樣本點 A事件發生的概率是多少
知識梳理
一般地,設試驗E是古典概型,樣本空間含有n個樣本點,事件C包含有m個樣本點,則定義事件C的概率P(C)=　　　　　.
例2　袋中有6個球,其中4個白球,2個紅球,從袋中任意取出兩球,求下列事件的概率:
(1)事件A:取出的兩球都是白球;
(2)事件B:取出的兩球一個是白球,另一個是紅球.
反思感悟　求古典概型概率的步驟
(1)先判斷是否為古典概型;
(2)確定樣本點的總數n;
(3)確定事件A包含的樣本點個數m;
(4)計算事件A發生的概率,即P(A)=.
跟蹤訓練2　(1)有5支彩筆(除顏色外無差別),顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支彩筆,則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為 (　　)
A. B.
C. D.
(2)某興趣小組有2名男生和3名女生,現從中任選2名學生去參加活動,則恰好選中2名女生的概率為　　　　.
三、概率性質在古典概型中的應用
例3　先后擲兩個質地均勻的骰子,觀察朝上的面的點數,記事件A:兩個骰子點數相同,事件B:點數之和小于7,事件C:點數之和小于11,求P(A),P(B),P(AB),P(A+B),P(C).
反思感悟　古典概型中概率的性質
假設古典概型對應的樣本空間含n個樣本點,事件A包含m個樣本點,則
(1)0≤P(A)=≤1.
(2)P(A)+P()=1.
(3)若事件B包含k個樣本點,而且A與B互斥,則容易知道A+B包含m+k個樣本點,從而P(A+B)==+=P(A)+P(B).
跟蹤訓練3　某停車場臨時停車按時段收費,收費標準如下:每輛汽車一次停車不超過1小時收費6元,超過1小時的部分每小時收費8元(不足1小時按1小時計算).現有甲、乙兩人在該地停車,兩人停車都不超過4小時.
(1)若甲停車1小時以上且不超過2小時的概率為,停車費多于14元的概率為,求甲的停車費為6元的概率;
(2)若甲、乙兩人每人停車的時長在每個時段的可能性相同,求甲、乙兩人停車費之和為28元的概率.
1.知識清單:
(1)古典概型概念的理解.
(2)古典概型中概率的計算.
(3)概率性質在古典概型中的應用.
2.方法歸納:列舉法、列表法、樹形圖法.
3.常見誤區:基本事件列舉沒有規律,出現重復或遺漏.
1.下列試驗是古典概型的是 (　　)
A.在適宜的條件下種一粒種子,發芽的概率
B.口袋里有2個白球和2個黑球,這4個球除顏色外完全相同,從中任取一球得白球的概率
C.向一個圓面內部隨機地投一個點,該點落在圓心的概率
D.某籃球運動員投籃一次命中的概率
2.某班級從5名同學中挑出2名同學進行大掃除,若小王和小張在這5名同學之中,則小王和小張都沒有被挑出的概率為 (　　)
A. B.
C. D.
3.用1,2,3組成無重復數字的三位數,這個數能被2整除的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
4.中國象棋是中國棋文化,也是中華民族的文化瑰寶,它源遠流長,趣味濃厚,基本規則簡明易懂.張三和李四下棋,張三獲勝的概率是,和棋的概率是,則張三不輸的概率為　　　　.
答案精析
問題1　樣本空間的樣本點是有限個,每個樣本點發生的可能性相等.
知識梳理
有限的　有限性　基本事件　都相等　等可能性　古典概型
例1　解　(1)不是古典概型,因為區間[1,10]中有無限多個實數,取出的實數有無限多種結果,與古典概型定義中“所有可能結果只有有限個”矛盾.
(2)不是古典概型,因為硬幣不均勻導致“正面朝上”與“反面朝上”發生的可能性不相等,與古典概型定義中“每一個試驗結果出現的可能性相同”矛盾.
(3)是古典概型,因為在試驗中所有可能出現的結果是有限的,而且每個整數被抽到的可能性相等.
跟蹤訓練1　D
問題2　A={2,4,6}.
對于擲骰子試驗,出現各個點的可能性相同,記出現1點,2點,…,6點的事件分別為A1,A2,…,A6,記事件“出現偶數點”為B,
則P(A1)=P(A2)=…=P(A6),
又P(A1)+P(A2)+…+P(A6)=1,
所以P(A1)=P(A2)=…=P(A6)=,
P(B)==.
知識梳理
例2　解　設4個白球的編號為1,2,3,4,2個紅球的編號為5,6.從袋中的6個小球中任取2個球的樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15個樣本點.
(1)A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共6個樣本點.
∴取出的兩個球全是白球的概率為
P(A)==.
(2)B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},共8個樣本點.
∴取出的兩個球一個是白球,另一個是紅球的概率為P(B)=.
跟蹤訓練2　(1)C　(2)
例3　解　用數對(x,y)表示拋擲結果,則這個試驗的樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.共包含36個樣本點,這36個樣本點發生的可能性是相等的.
A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},包含6個樣本點,
所以P(A)==.
B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1)},包含15個樣本點,
所以P(B)==.
AB={(1,1),(2,2),(3,3)},包含3個樣本點,所以P(AB)==.
A+B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1),(4,4),(5,5),(6,6)},包含18個樣本點,
所以P(A+B)==.
因為事件C的對立事件表示“點數之和等于或大于11”,所以={(5,6),(6,5),(6,6)},包含3個樣本點,所以P()==.
所以P(C)=1-P()=1-=.
跟蹤訓練3　解　(1)設甲“一次停車不超過1小時”為事件A,“一次停車1到2小時”為事件B,“一次停車2到3小時”為事件C,“一次停車3到4小時”為事件D.
由已知得P(B)=,P(C+D)=,
又事件A,B,C,D互斥,
且P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1,
所以P(A)=1--=.
所以甲的停車費為6元的概率為.
(2)易知甲、乙停車時間的樣本空間為{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16個樣本點;而“停車費之和為28元”的樣本點有(1,3),(2,2),(3,1),共3個,所以所求概率為.
隨堂演練
1.B　2.B　3.C　4.

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