資源簡介

5.3.4　頻率與概率
[學習目標]　1.了解隨機事件發生的不確定性和概率的穩定性.2.正確理解概率的含義,理解頻率與概率的區別與聯系.
導語
對于樣本點等可能的試驗,我們可以用古典概型公式計算有關事件的概率,但在現實中,很多試驗的樣本點往往不是等可能的或者是否等可能不容易判斷.例如,拋擲一枚質地不均勻的骰子,或者拋擲一枚圖釘,此時無法通過古典概型公式計算有關事件的概率,我們需要尋找新的求概率的方法.
一、概率概念的理解
問題1　利用計算機模擬拋擲兩枚硬幣的試驗,在重復試驗次數為20,100,500時各做5組試驗,得到事件A=“一個正面朝上,一個反面朝上”發生的頻數nA和頻率fn(A),結果如表所示:
序號 n=20 n=100 n=500
頻數 頻率 頻數 頻率 頻數 頻率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.5 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
隨著試驗次數n的增加,你能觀察出頻率在哪一個常數附近波動嗎
提示　隨著試驗次數n的增加,頻率在常數0.5附近波動.當試驗次數較少時,波動幅度較大;當試驗次數較大時,波動幅度較小.
知識梳理
1.事實上,大數定律能夠保證,在大量重復的試驗過程中,一個事件發生的頻率會很接近于這個事件發生的概率,而且,試驗的次數越多,頻率與概率之間差距很小的可能性越大.
2.概率是一個確定的數,與每次的試驗次數無關.
例1　解釋下列概率的含義.
(1)某廠生產產品的合格率為0.9;
(2)一次抽獎活動中,中獎的概率為0.2.
解　(1)“某廠生產產品的合格率為0.9”.說明該廠產品合格的可能性為90%,也可以說100件該廠的產品中大約有90件是合格的.
(2)“中獎的概率為0.2”.說明參加抽獎的人有20%的可能中獎,也可以說,若有100人參加抽獎,約有20人中獎.
反思感悟　概率是事件的本質屬性,不隨試驗次數的變化而變化,概率反映了事件發生的可能性的大小,但概率只提供了一種“可能性”,而不是試驗總次數中某一事件一定發生的比例,即使是大概率事件,也不能肯定事件一定發生,只是認為發生的可能性大.
跟蹤訓練1　(多選)下列說法正確的是 (　　)
A.由生物學知道生男生女的概率均為0.5,一對夫婦先后生兩個小孩,不一定為一男一女
B.一次摸獎活動中,中獎概率為0.2,則摸5張票,一定有一張中獎
C.10張票中有1張獎票,10人去摸,誰先摸則誰摸到獎票的可能性大
D.10張票中有1張獎票,10人去摸,無論誰先摸,摸到獎票的概率都是0.1
答案　AD
解析　一對夫婦生兩個小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A正確;中獎概率為0.2是說中獎的可能性為0.2,當摸5張票時,可能都中獎,也可能中一張、兩張、三張、四張或者都不中獎,所以B不正確;10張票中有1張獎票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即無論誰先摸,摸到獎票的概率都是0.1,所以C不正確,D正確.
二、用頻率估計概率
問題2　在問題1中,頻率與概率有什么關系
提示　(1)試驗次數n相同,頻率fn(A)可能不同,這說明隨機事件發生的頻率具有隨機性.
(2)從整體來看,頻率在概率0.5附近波動.當試驗次數較少時,波動幅度較大;當試驗次數較大時,波動幅度較小,但試驗次數多的波動幅度并不全都比次數少的小,只是波動幅度小的可能性更大.
知識梳理
用頻率估計概率
一般地,如果在n次重復進行的試驗中,事件A發生的頻率為,則當n很大時,可以認為事件A發生的概率P(A)的估計值為,此時也有0≤P(A)≤1.這種確定概率估計值的方法稱為用頻率估計概率.
例2　某商場設立了一個可以自由轉動的轉盤(如圖所示),并做如下規定:顧客購物80元以上就獲得一次轉動轉盤的機會,當轉盤停止時,指針落在哪一區域就可以獲得相應的獎品.
下表是活動進行中的一組統計數據:
轉動轉盤 的次數n 100 150 200 500 800 1 000
落在區域 “1”的頻數m 13 19 24 62 101 125
落在區域 “1”的頻率
(1)計算并完成表格(精確到0.001);
(2)當n很大時,落在區域“1”的頻率將會接近多少
(3)獲得區域“1”相應獎品的概率大約為多少
解　(1)落在區域“1”的頻率如下表:
轉動轉盤 的次數n 100 150 200 500 800 1 000
落在區域 “1”的頻數m 13 19 24 62 101 125
落在區域 “1”的頻率 0.130 0.127 0.120 0.124 0.126 0.125
(2)由(1)中計算的頻率,可判斷當n很大時,落在區域“1”的頻率將會接近0.125.
(3)由(1),(2)及頻率與概率的關系可知獲得區域“1”相應獎品的概率大約為0.125.
反思感悟　隨機事件概率的理解及求法
(1)理解:概率可看作頻率理論上的期望值,它從數量上反映了隨機事件發生的可能性的大小.當試驗的次數越來越多時,頻率越來越趨近于概率.當次數足夠多時,所得頻率就近似地看作隨機事件的概率.
(2)求法:通過公式fn(A)==計算出頻率,再由頻率估算概率.
跟蹤訓練2　某射擊運動員進行雙向飛碟射擊訓練,各次訓練的成績記錄如下:
射擊次數 100 120 150 100 150 160 150
擊中飛碟的次數 81 95 123 82 119 127 121
擊中飛碟的頻率
(1)將各次訓練記錄擊中飛碟的頻率填入表中(精確到0.01);
(2)這個運動員擊中飛碟的概率約為多少(精確到0.01)
解　(1)表中由左至右,依次填入的數據是0.81,0.79,0.82,0.82,0.79,0.79,0.81.
(2)由于頻率穩定在常數0.80附近,所以這個運動員擊中飛碟的概率約為0.80.
三、用頻率估計概率的應用
例3　某大學藝術專業400名學生參加某次測評,根據男女學生人數比例,采用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生,記錄他們的分數,將數據分成7組:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)從總體的400名學生中隨機抽取一人,估計其分數小于70的概率;
(2)已知樣本中分數小于40的學生有5人,試估計總體中分數在區間[40,50)內的人數;
(3)已知樣本中有一半男生的分數不小于70,且樣本中分數不小于70的男女生人數相等.試估計總體中男生和女生人數的比例.
解　(1)根據頻率分布直方圖可知,樣本中分數不小于70的頻率為(0.02+0.04)×10=0.6,
所以樣本中分數小于70的頻率為1-0.6=0.4,
所以從總體的400名學生中隨機抽取一人,其分數小于70的概率估計為0.4.
(2)根據題意,樣本中分數不小于50的頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,
則分數在區間[40,50)內的人數為100-100×0.9-5=5,
所以總體中分數在區間[40,50)內的人數估計為400×=20.
(3)由題意,可知樣本中分數不小于70的學生人數為(0.02+0.04)×10×100=60,
所以樣本中分數不小于70的男生人數為60×=30,
所以樣本中的男生人數為30×2=60,
女生人數為100-60=40,
所以樣本中男生和女生人數的比例為60∶40=3∶2,
所以根據分層抽樣原理,估計總體中男生和女生人數的比例為3∶2.
反思感悟　(1)頻數、頻率分布圖表中各頻數、頻率或各小區間內的頻數(頻率)對應的事件是互斥的.
(2)兩對立事件的概率和為1以及互斥事件的概率加法公式在頻率估計概率時仍成立.
跟蹤訓練3　為了了解某次數學考試全校學生的得分情況,數學老師隨機選取了若干名學生的成績,并以[50,60),[60,70),…,[90,100]為分組,作出了如圖所示的頻率分布直方圖.從該學校中隨機選取一名學生,估計這名學生該次數學考試成績在[80,100]內的概率.
解　由頻率分布直方圖可以看出,所抽取的學生成績中,在[80,100]內的頻率為(0.03+0.01)×(90-80)=0.4.
因為由樣本的分布可以估計總體的分布,所以全校學生的數學得分在[80,100]內的頻率可以估計為0.4.
根據用頻率估計概率的方法可知,隨機選取一名學生,這名學生該次數學考試成績在[80,100]內的概率可以估計為0.4.
1.知識清單:
(1)理解概率的意義.
(2)頻率與概率的關系.
(3)用頻率估計概率.
2.方法歸納:極限法.
3.常見誤區:頻率與概率的區別與聯系.
1.某醫院治療一種疾病的治愈率為,前4個病人都沒有治好,第5個病人的治愈率為 (　　)
A.1 B. C. D.0
答案　B
解析　由概率的意義知,第5個病人的治愈率仍為,與前4個病人都沒治好沒有關系.
2.拋擲一枚質地均勻的硬幣,如果連續拋擲1 000次,那么第999次出現正面朝上的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　拋擲一枚質地均勻的硬幣,只考慮第999次,有兩種結果:正面朝上,反面朝上,每種結果等可能出現,故所求概率為.
3.從存放號碼分別為1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一張卡片并記下號碼,統計結果如下:
卡片號碼 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次數 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9
則取到號碼為奇數的頻率是 (　　)
A.0.53 B.0.5
C.0.47 D.0.37
答案　A
解析　利用公式fn(A)=計算出頻率值,取到號碼為奇數的頻率是=0.53.
4.如果袋中裝有數量差別很大而大小相同的白球和黃球(只是顏色不同)若干個,從中任取一球后放回,取了10次有7次是白球,則估計袋中數量較多的是　　　　　球.
答案　白
解析　取出白球的頻率是0.7,估計其概率是0.7,那么取出黃球的概率約是0.3,取出白球的概率大于取出黃球的概率,所以估計袋中數量較多的是白球.
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共35分;多選題每小題6分,共12分
1.(多選)以下說法錯誤的是 (　　)
A.昨天沒有下雨,則說明昨天氣象局的天氣預報“降水的概率為99%”是錯誤的
B.“彩票中獎的概率是1%”表示買100張彩票一定有1張會中獎
C.做10次拋擲硬幣的試驗,結果3次正面朝上,因此正面朝上的概率為
D.某廠產品的次品率為2%,但該廠的50件產品中可能有2件次品
答案　ABC
解析　A中,降水概率為99%,仍有不降水的可能,故錯誤;
B中,“彩票中獎的概率是1%”表示在設計彩票時,有1%的機會中獎,但不一定買100張彩票一定有1張會中獎,故錯誤;
C中,正面朝上的頻率為,概率仍為,故錯誤;
D中,次品率為2%,但50件產品中可能沒有次品,也可能有1件或2件或3件或更多次品,故正確.
2.某位同學進行投球練習,連投了10次,恰好投進了8次.若用A表示“投進球”這一事件,則事件A發生的 (　　)
A.概率為 B.頻率為
C.頻率為8 D.概率接近0.8
答案　B
解析　∵ 投球一次即進行一次試驗,投球10次,投進8次,
即事件A發生的頻數為8,∴ 事件A發生的頻率為=.
3.我國古代數學名著《數學九章》有“米谷粒分”題:糧倉開倉收糧,有人送來米1 534石,驗得米夾谷,抽樣取米一把,數得254粒夾谷28粒.這批米夾的谷約為 (　　)
A.134石 B.169石 C.338石 D.454石
答案　B
解析　由題意可知這批米內夾谷約為1 534×≈169(石).
4.先后拋擲兩枚均勻的五角、一元的硬幣,觀察落地后硬幣的正反面情況,則下列哪個事件的概率最大 (　　)
A.至少一枚硬幣正面向上
B.只有一枚硬幣正面向上
C.兩枚硬幣都是正面向上
D.兩枚硬幣都是反面向上
答案　A
解析　拋擲兩枚硬幣,其結果有“正、正”“正、反”“反、正”“反、反”四種情況,至少一枚硬幣正面向上包括三種情況,其概率最大.
5.某市交警部門在調查一起車禍的過程中,所有的目擊證人都指證肇事車是一輛A型出租車,但由于天黑,均未看清該車的車牌號碼及顏色,而該市有兩家出租車公司,其中甲公司有100輛A型出租車,3 000輛B型出租車,乙公司有3 000輛A型出租車,100輛B型出租車.交警部門應先調查哪家公司的車輛較合理 (　　)
A.甲公司 B.乙公司
C.甲與乙公司 D.以上都對
答案　B
解析　由于甲公司A型出租車所占的比例為=,乙公司A型出租車所占的比例為=,可知應選B.
6.(多選)下列說法中,正確的有 (　　)
A.頻率是反映事件發生的頻繁程度,概率是反映事件發生的可能性的大小
B.做n次隨機試驗,事件A發生m次,則事件A發生的頻率就是事件A發生的概率
C.頻率是不能脫離具體的n次試驗的試驗值,而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數的理論值
D.頻率是概率的近似值,概率是頻率的穩定值
答案　ACD
解析　由頻率和概率的意義知,頻率是反映事件發生的頻繁程度,概率是反映事件發生的可能性的大小,故A正確;由頻率和概率的關系知,頻率是概率的近似值,是通過大量試驗得到的,而概率是頻率的穩定值,是確定的理論值,故B錯誤,CD正確.
7.(5分)空氣質量指數(AQI)是定量描述空氣質量狀況的無量綱指數,AQI的數值越大、級別和類別越高,說明空氣污染狀況越嚴重.當空氣質量指數在0~50時,空氣質量指數級別為一級(優);當空氣質量指數在51~100時,空氣質量指數級別為二級(良)……為了加強環境保護,治理空氣污染,環境監測部門對某市2022年的空氣質量進行調研,隨機抽取了100天的空氣質量指數(AQI),得下表:
空氣質量指數 [0,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] (70,80] (80,100] >100
天數 8 21 22 18 17 8 5 1
依據上表,估計該市某一天的空氣質量指數級別為一級(優)的概率是　　　　.
答案　0.51
解析　當空氣質量指數級別為一級(優)時,空氣質量指數在0~50,共有8+21+22=51(天),則樣本中空氣質量指數級別為一級(優)的頻率為=0.51,
故估計該市某一天的空氣質量指數級別為一級(優)的概率是=0.51.
8.(5分)對某廠生產的某種產品進行抽樣檢查,數據如下表所示:
調查件數 50 100 200 300 500
合格件數 47 92 192 285 478
根據表中所提供的數據,若要從該廠生產的此種產品中抽950件合格品,大約需抽查　　　　件產品.
答案　1 000
解析　由表中數據知,抽查5次,產品合格的頻率依次為0.94,0.92,0.96,0.95,0.956,可見頻率在0.95附近擺動,故可估計該廠生產的此種產品合格的概率約為0.95.設大約需抽查n件產品,則=0.95,所以n=1 000.
9.(10分)某中學從參加高一年級上學期期末考試的學生中抽出60名學生,將其成績(均為整數)分成[40,50),[50,60),…,[90,100]六組后畫出如圖所示的頻率分布直方圖.觀察圖形的信息,回答下列問題:
(1)估計這次考試的及格率(60分及以上為及格);(5分)
(2)從成績在70分以上(包括70分)的學生中任選一人,求選到第一名學生的概率(第一名學生只一人).(5分)
解　(1)依題意,60分及以上的分數所在的第三、四、五、六組的頻率和為(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75,所以估計這次考試的及格率約為75%.
(2)因為成績在[70,100]的人數是60×(0.03+0.025+0.005)×10=36,
所以從成績在70分以上(包括70分)的學生中任選一人,
選到第一名學生的概率P=.
10.(11分)有三張除字母外完全相同的紙牌,字母分別是K,K,Q.進行有放回抽樣,每次試驗抽出一張紙牌,經過多次試驗后結果匯總如下表:
試驗總次數 10 20 50 100 200 300 400 500 1 000
抽出K的頻數 7 13 32 136 198 270 660
抽出K的頻率 65% 67%
(1)將上述表格補充完整;(3分)
(2)觀察表格,計算摸到K的頻率為多少;(4分)
(3)估計摸到K的概率.(4分)
解　(1)完善后表格如下表所示:
試驗總次數 10 20 50 100 200 300 400 500 1 000
抽出K的頻數 7 13 32 65 136 198 270 335 660
抽出K的頻率 70% 65% 64% 65% 68% 66% 67.5% 67% 66%
(2)由(1)可得摸到K的頻率約為66%.
(3)由頻率與概率的關系可得,摸到K的概率約為66%,事實上摸到K的概率為.
11.為了解消費者對網上購物的滿意情況,某公司隨機對4 500名網上購物消費者進行了調查(每名消費者限選一種情況回答),統計結果如下表:
滿意情況 不滿意 比較滿意 滿意 非常滿意
人數 200 n 2 100 1 000
根據表中數據,估計在網上購物的消費者群體中對網上購物“比較滿意”或“滿意”的概率是 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由題意得,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以隨機調查的消費者中對網上購物“比較滿意”或“滿意”的總人數為1 200+2 100=3 300,所以隨機調查的消費者中對網上購物“比較滿意”或“滿意”的頻率為=.由此估計在網上購物的消費者群體中對網上購物“比較滿意”或“滿意”的概率為.
12.已知某射擊運動員,每次擊中目標的概率都是0.8.現采用隨機模擬的方法估計該運動員射擊4次至少擊中3次的概率:用計算機隨機模擬產生0到9之間取整數值的隨機數,指定0,1表示沒有擊中目標,2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標;因為射擊4次,故以每4個隨機數為一組,代表射擊4次的結果.經隨機模擬產生了如下20組隨機數:
5727　0293　7140　9857　0347　4373　8636
9647　1417　4698　0371　6233　2616　8045
6011　3661　9597　7424　6710　4281
據此估計,該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為 (　　)
A.0.7 B.0.75 C.0.8 D.0.85
答案　B
解析　在20組隨機數中表示射擊4次至少擊中3次的有5727,0293,9857,0347,4373,8636,9647,4698,6233,2616,8045,3661,9597,7424,4281,共15組隨機數,所以所求概率約為=0.75.
13.某小組做“用頻率估計概率”的試驗時,繪出的某一結果的頻率折線圖如圖所示,則符合這一結果的試驗可能是 (　　)
A.拋擲一枚質地均勻的硬幣,出現正面朝上
B.擲一個正六面體的骰子,出現3點朝上
C.一副去掉大小王的撲克牌洗勻后,從中任抽一張牌的花色是紅桃
D.從一個裝有2個紅球和1個黑球的袋子中任取一個球,取得的是黑球
答案　D
解析　由折線圖可知,頻率在0.3到0.4之間,拋擲一枚質地均勻的硬幣,出現正面朝上的概率為0.5,不符合題意,故A錯;擲一個正六面體的骰子,出現3點朝上的概率為,不符合題意,故B錯;一副去掉大小王的撲克牌洗勻后,從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率為,不符合題意,故C錯;從一個裝有2個紅球和1個黑球的袋子中任取一個球,取得的是黑球的概率為,在0.3到0.4之間,符合題意,故D正確.
14.(5分)一個容量為20的樣本,數據的分組及各組的頻數如下:[10,20),2個;[20,30),3個;[30,40),x個;[40,50),5個;[50,60),4個;[60,70],2個.則x=　　　　;根據樣本的頻率估計概率,數據落在[10,50)的概率約為　　　　.
答案　4　0.7
解析　樣本中數據總個數為20,∴x=20-(2+3+5+4+2)=4;在[10,50)中的數據有14個,故所求概率P==0.7.
15.(5分)某公司有5萬元資金用于投資開發項目,如果成功,一年后可獲收益12%;一旦失敗,一年后將喪失全部資金的50%.下表是去年200例類似項目開發的實施結果.
投資成功 投資失敗
192次 8次
則估計該公司一年后可獲收益的平均數是　　　　萬元.
答案　0.476
解析　應先求出投資成功與失敗的概率,再計算收益的平均數.設可獲收益為x萬元,如果成功,x的取值為5×12%,如果失敗,x的取值為-5×50%.一年后公司成功的概率估計為=,失敗的概率估計為=.所以估計一年后公司收益的平均數為5×12%×-5×50%×=0.476(萬元).
16.(12分)某高中啟動了“全民閱讀,書香校園”活動,在活動期間用簡單隨機抽樣方法,抽取了30名同學,對其每月平均課外閱讀時間(單位:小時)進行調查,所得數據的莖葉圖如圖所示.將月均課外閱讀時間不低于30小時的學生稱為“讀書迷”.
(1)將頻率視為概率,試估計該校900名學生中“讀書迷”有多少人;(4分)
(2)從已抽取的7名“讀書迷”中隨機抽取男、女“讀書迷”各1人,參加讀書日宣傳活動.
①共有多少種不同的抽取方法 (4分)
②求抽取的男、女兩位‘讀書迷’月均課外閱讀時間相差不超過2小時的概率.(4分)
解　(1)設該校900名學生中“讀書迷”有x人,由莖葉圖得30名學生中有7名學生月均課外閱讀時間不低于30小時,所以30名學生中“讀書迷”的頻率是,
則=,解得x=210,
故估計該校900名學生中“讀書迷”有210人.
(2)①由莖葉圖得7名“讀書迷”中男生有3人,設為a35,a38,a41,女生有4人,設為b34,b36,b38,b40(其中符號下標表示該學生月均課外閱讀時間),
則從7名“讀書迷”中隨機抽取男、女“讀書迷”各1人的樣本空間Ω={(a35,b34),(a35,b36),(a35,b38),(a35,b40),(a38,b34),(a38,b36),(a38,b38),(a38,b40),(a41,b34),(a41,b36),(a41,b38),(a41,b40)},共包含12個樣本點,
所以共有12種不同的抽取方法.
②設A表示事件“抽取的男、女兩位‘讀書迷’月均課外閱讀時間相差不超過2小時”.
由①得事件A包含(a35,b34),(a35,b36),(a38,b36),(a38,b38),(a38,b40),(a41,b40),共6個樣本點,則P(A)==,
所以抽取的男、女兩位“讀書迷”月均課外閱讀時間相差不超過2小時的概率為.5.3.4　頻率與概率
[學習目標]　1.了解隨機事件發生的不確定性和概率的穩定性.2.正確理解概率的含義,理解頻率與概率的區別與聯系.
一、概率概念的理解
問題1　利用計算機模擬拋擲兩枚硬幣的試驗,在重復試驗次數為20,100,500時各做5組試驗,得到事件A=“一個正面朝上,一個反面朝上”發生的頻數nA和頻率fn(A),結果如表所示:
序號 n=20 n=100 n=500
頻數 頻率 頻數 頻率 頻數 頻率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.5 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
隨著試驗次數n的增加,你能觀察出頻率在哪一個常數附近波動嗎
知識梳理
1.事實上,大數定律能夠保證,在大量重復的試驗過程中,一個事件發生的頻率會很接近于這個事件發生的概率,而且,試驗的次數越多,頻率與概率之間差距很小的可能性越大.
2.概率是一個確定的數,與每次的試驗次數無關.
例1　解釋下列概率的含義.
(1)某廠生產產品的合格率為0.9;
(2)一次抽獎活動中,中獎的概率為0.2.
反思感悟　概率是事件的本質屬性,不隨試驗次數的變化而變化,概率反映了事件發生的可能性的大小,但概率只提供了一種“可能性”,而不是試驗總次數中某一事件一定發生的比例,即使是大概率事件,也不能肯定事件一定發生,只是認為發生的可能性大.
跟蹤訓練1　(多選)下列說法正確的是 (　　)
A.由生物學知道生男生女的概率均為0.5,一對夫婦先后生兩個小孩,不一定為一男一女
B.一次摸獎活動中,中獎概率為0.2,則摸5張票,一定有一張中獎
C.10張票中有1張獎票,10人去摸,誰先摸則誰摸到獎票的可能性大
D.10張票中有1張獎票,10人去摸,無論誰先摸,摸到獎票的概率都是0.1
二、用頻率估計概率
問題2　在問題1中,頻率與概率有什么關系
知識梳理
用頻率估計概率
一般地,如果在n次重復進行的試驗中,事件A發生的頻率為,則當n很大時,可以認為事件A發生的概率P(A)的估計值為,此時也有　　　　　　.這種確定概率估計值的方法稱為用頻率估計概率.
例2　某商場設立了一個可以自由轉動的轉盤(如圖所示),并做如下規定:顧客購物80元以上就獲得一次轉動轉盤的機會,當轉盤停止時,指針落在哪一區域就可以獲得相應的獎品.
下表是活動進行中的一組統計數據:
轉動轉盤的次數n 100 150 200 500 800 1 000
落在區域“1”的頻數m 13 19 24 62 101 125
落在區域“1”的頻率
(1)計算并完成表格(精確到0.001);
(2)當n很大時,落在區域“1”的頻率將會接近多少
(3)獲得區域“1”相應獎品的概率大約為多少
反思感悟　隨機事件概率的理解及求法
(1)理解:概率可看作頻率理論上的期望值,它從數量上反映了隨機事件發生的可能性的大小.當試驗的次數越來越多時,頻率越來越趨近于概率.當次數足夠多時,所得頻率就近似地看作隨機事件的概率.
(2)求法:通過公式fn(A)==計算出頻率,再由頻率估算概率.
跟蹤訓練2　某射擊運動員進行雙向飛碟射擊訓練,各次訓練的成績記錄如下:
射擊次數 100 120 150 100 150 160 150
擊中飛碟的次數 81 95 123 82 119 127 121
擊中飛碟的頻率
(1)將各次訓練記錄擊中飛碟的頻率填入表中(精確到0.01);
(2)這個運動員擊中飛碟的概率約為多少(精確到0.01)
三、用頻率估計概率的應用
例3　某大學藝術專業400名學生參加某次測評,根據男女學生人數比例,采用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生,記錄他們的分數,將數據分成7組:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)從總體的400名學生中隨機抽取一人,估計其分數小于70的概率;
(2)已知樣本中分數小于40的學生有5人,試估計總體中分數在區間[40,50)內的人數;
(3)已知樣本中有一半男生的分數不小于70,且樣本中分數不小于70的男女生人數相等.試估計總體中男生和女生人數的比例.
反思感悟　(1)頻數、頻率分布圖表中各頻數、頻率或各小區間內的頻數(頻率)對應的事件是互斥的.
(2)兩對立事件的概率和為1以及互斥事件的概率加法公式在頻率估計概率時仍成立.
跟蹤訓練3　為了了解某次數學考試全校學生的得分情況,數學老師隨機選取了若干名學生的成績,并以[50,60),[60,70),…,[90,100]為分組,作出了如圖所示的頻率分布直方圖.從該學校中隨機選取一名學生,估計這名學生該次數學考試成績在[80,100]內的概率.
1.知識清單:
(1)理解概率的意義.
(2)頻率與概率的關系.
(3)用頻率估計概率.
2.方法歸納:極限法.
3.常見誤區:頻率與概率的區別與聯系.
1.某醫院治療一種疾病的治愈率為,前4個病人都沒有治好,第5個病人的治愈率為 (　　)
A.1 B.
C. D.0
2.拋擲一枚質地均勻的硬幣,如果連續拋擲1 000次,那么第999次出現正面朝上的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
3.從存放號碼分別為1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一張卡片并記下號碼,統計結果如下:
卡片號碼 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次數 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9
則取到號碼為奇數的頻率是 (　　)
A.0.53 B.0.5
C.0.47 D.0.37
4.如果袋中裝有數量差別很大而大小相同的白球和黃球(只是顏色不同)若干個,從中任取一球后放回,取了10次有7次是白球,則估計袋中數量較多的是　　　　　球.
答案精析
問題1　隨著試驗次數n的增加,頻率在常數0.5附近波動.當試驗次數較少時,波動幅度較大;當試驗次數較大時,波動幅度較小.
例1　解　(1)“某廠生產產品的合格率為0.9”.說明該廠產品合格的可能性為90%,也可以說100件該廠的產品中大約有90件是合格的.
(2)“中獎的概率為0.2”.說明參加抽獎的人有20%的可能中獎,也可以說,若有100人參加抽獎,約有20人中獎.
跟蹤訓練1　AD
問題2　(1)試驗次數n相同,頻率fn(A)可能不同,這說明隨機事件發生的頻率具有隨機性.
(2)從整體來看,頻率在概率0.5附近波動.當試驗次數較少時,波動幅度較大;當試驗次數較大時,波動幅度較小,但試驗次數多的波動幅度并不全都比次數少的小,只是波動幅度小的可能性更大.
知識梳理
0≤P(A)≤1
例2　解　(1)落在區域“1”的頻率如下表:
轉動轉盤 的次數n 100 150 200 500 800 1 000
落在區域 “1”的頻數m 13 19 24 62 101 125
落在區域 “1”的頻率 0.130 0.127 0.120 0.124 0.126 0.125
(2)由(1)中計算的頻率,可判斷當n很大時,落在區域“1”的頻率將會接近0.125.
(3)由(1),(2)及頻率與概率的關系可知獲得區域“1”相應獎品的概率大約為0.125.
跟蹤訓練2　解　(1)表中由左至右,依次填入的數據是0.81,0.79,0.82,0.82,0.79,0.79,0.81.
(2)由于頻率穩定在常數0.80附近,所以這個運動員擊中飛碟的概率約為0.80.
例3　解　(1)根據頻率分布直方圖可知,樣本中分數不小于70的頻率為(0.02+0.04)×10=0.6,
所以樣本中分數小于70的頻率為
1-0.6=0.4,
所以從總體的400名學生中隨機抽取一人,其分數小于70的概率估計為0.4.
(2)根據題意,樣本中分數不小于50的頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,
則分數在區間[40,50)內的人數為100-100×0.9-5=5,
所以總體中分數在區間[40,50)內的人數估計為400×=20.
(3)由題意,可知樣本中分數不小于70的學生人數為
(0.02+0.04)×10×100=60,
所以樣本中分數不小于70的男生人數為60×=30,
所以樣本中的男生人數為30×2=60,
女生人數為100-60=40,
所以樣本中男生和女生人數的比例為60∶40=3∶2,
所以根據分層抽樣原理,估計總體中男生和女生人數的比例為3∶2.
跟蹤訓練3　解　由頻率分布直方圖可以看出,所抽取的學生成績中,在[80,100]內的頻率為
(0.03+0.01)×(90-80)=0.4.
因為由樣本的分布可以估計總體的分布,所以全校學生的數學得分在[80,100]內的頻率可以估計為0.4.
根據用頻率估計概率的方法可知,隨機選取一名學生,這名學生該次數學考試成績在[80,100]內的概率可以估計為0.4.
隨堂演練
1.B　2.D　3.A　4.白

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