資源簡介

5.3.5　隨機事件的獨立性
[學習目標]　1.理解相互獨立事件的定義及意義.2.理解相互獨立事件的充要條件.3.掌握綜合運用互斥事件的概率加法公式及獨立事件的乘法公式解題.
導語
我們知道,積事件AB就是事件A與事件B同時發生.因此,積事件AB發生的概率一定與事件A,B發生的概率有關.那么,這種關系會是怎樣的呢
一、相互獨立事件的概念與判斷
問題　分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣,A=“第一枚硬幣正面朝上”,B=“第二枚硬幣反面朝上”.計算P(A),P(B),P(AB),你有什么發現
提示　用1表示硬幣“正面朝上”,用0表示硬幣“反面朝上”,則樣本空間為Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4個等可能的樣本點.而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}.由古典概型概率公式,得
P(A)=P(B)=,P(AB)=.
于是P(AB)=P(A)P(B).
知識梳理
相互獨立事件的概念與性質
(1)定義:一般地,設A,B為兩個事件,當P(AB)=P(A)P(B)時,就稱事件A與B相互獨立(簡稱獨立).
(2)性質:如果事件A與B相互獨立,則與B,A與與也相互獨立.
(3)n個事件相互獨立
對于n個事件“A1,A2,…,An相互獨立”的充要條件是“其中任意有限個事件同時發生的概率都等于它們各自發生的概率之積”.
注意點:
兩個事件相互獨立與互斥的區別:兩個事件互斥是指兩個事件不可能同時發生;兩個事件相互獨立是指一個事件的發生與否對另一個事件發生的概率沒有影響.
例1　一個不透明的口袋內裝有大小相同,顏色分別為紅、黃、藍的3個球.
(1)記事件A=“從口袋內有放回地抽取2個球,第一次抽到紅球”,B=“從口袋內有放回地抽取2個球,第二次抽到黃球”;
(2)記事件A=“從口袋內不放回地抽取2個球,第一次抽到紅球”,B=“從口袋內不放回地抽取2個球,第二次抽到黃球”.
試分別判斷(1)(2)中的A,B是否為相互獨立事件.
解　(1)有放回地抽取小球,事件A是否發生對事件B是否發生沒有影響,它們是相互獨立事件.
(2)不放回地抽取小球,記紅、黃、藍球的號碼分別為1,2,3,則樣本空間為
Ω={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},共6個樣本點,
A={(1,2),(1,3)},B={(1,2),(3,2)}.
因為P(A)==,P(B)==,P(AB)=,P(AB)≠P(A)P(B),
所以A,B不是相互獨立事件.
反思感悟　判斷兩事件是否相互獨立的方法
(1)直觀法:利用事件所包含基本事件直接判斷兩個事件的發生是否相互影響.
(2)公式法:若事件A和B滿足P(AB)=P(A)P(B),則A與B相互獨立.
跟蹤訓練1　(多選)下面所給出的事件中,M與N相互獨立的是 (　　)
A.拋擲一枚骰子,事件M={出現1點},事件N={出現2點}
B.先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣,事件M={第一枚出現正面},事件N={第二枚出現反面}
C.在裝有2紅1綠三個形狀、大小相同的小球的口袋中,任取一個小球,觀察顏色后放回袋中,事件M={第一次取到綠球},N={第二次取到綠球}
D.某射手射擊一次,事件M={擊中靶心},事件N={未擊中靶心}
答案　BC
解析　A中事件M與N是互斥事件,∴M與N不是相互獨立事件;
B中第一枚出現正面還是反面,對第二枚出現反面沒有影響,∴M與N相互獨立;
C中由于每次取球觀察顏色后放回,故事件M的發生對事件N發生的概率沒有影響,∴M與N相互獨立;
D中M與N是互斥事件且是對立事件,∴M與N不是相互獨立事件.
二、相互獨立事件概率的求法
知識梳理
相互獨立事件的概率公式
(1)若事件A,B相互獨立,則P(AB)=P(A)·P(B);
(2)若事件A1,A2,…,An相互獨立,則P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An).
例2　根據資料統計,某地車主購買甲種保險的概率為0.5,購買乙種保險的概率為0.6,購買甲、乙保險相互獨立,各車主間相互獨立.
(1)求一位車主同時購買甲、乙兩種保險的概率;
(2)求一位車主購買乙種保險但不購買甲種保險的概率.
解　記A表示事件“購買甲種保險”,B表示事件“購買乙種保險”,則由題意得A與B,A與與B,與都是相互獨立事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.6.
(1)記C表示事件“同時購買甲、乙兩種保險”,
則C=AB,所以P(C)=P(AB)=P(A)·P(B)=0.5×0.6=0.3.
(2)記D表示事件“購買乙種保險但不購買甲種保險”,
則D=B,所以P(D)=P(B)=P()·P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3.
反思感悟　(1)求相互獨立事件同時發生的概率的步驟
①首先確定各事件是相互獨立的;
②先求每個事件發生的概率,再求其積.
(2)公式P(AB)=P(A)P(B)可推廣到一般情形,即如果事件A1,A2,…,An相互獨立,那么這n個事件同時發生的概率等于每個事件發生的概率的積,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An).
跟蹤訓練2　高二某同學語文、數學、英語三科的考試成績在一次考試中排名全班第一的概率:語文為0.9,數學為0.8,英語為0.85,且它們互不影響.求:
(1)三科成績均未獲得第一名的概率是多少
(2)恰有一科成績未獲得第一名的概率是多少
解　分別記該生語文、數學、英語考試成績排名全班第一的事件為A,B,C,則A,B,C兩兩相互獨立,且P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85.
(1)“三科成績均未獲得第一名”可以用事件表示,
P()=P()P()P()
=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]
=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.003,
即三科成績均未獲得第一名的概率是0.003.
(2)“恰有一科成績未獲得第一名”可以用(BC)+(AC)+(AB)表示.
由于事件BC,AC和AB兩兩互斥,根據概率加法公式和相互獨立事件的概率公式,所求的概率為P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()·P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)·P()=[1-P(A)]P(B)P(C)+P(A)[1-P(B)]P(C)+P(A)P(B)[1-P(C)]=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85)=0.329,
即恰有一科成績未獲得第一名的概率是0.329.
三、相互獨立事件概率的綜合應用
例3　如圖,在一段線路中并聯著3個自動控制的常開開關,只要其中有1個開關能夠閉合,線路就能正常工作.假定在某段時間內每個開關閉合的概率都是0.7,計算在這段時間內線路正常工作的概率.
解　分別記這段時間內開關JA,JB,JC能夠閉合為事件A,B,C.
由題意知這段時間內3個開關是否能夠閉合相互之間沒有影響.
根據相互獨立事件概率的乘法公式,得這段時間內3個開關都不能閉合的概率是
P( )=P()P()P()
=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]
=(1-0.7)(1-0.7)(1-0.7)=0.027.
所以在這段時間內線路正常工作的概率是
1-P( )=1-0.027=0.973.
反思感悟　解決此類問題的關鍵是弄清相互獨立的事件,還要注意互斥事件的拆分,以及對立事件概率的求法的運用,即三個公式的聯用:P(A+B)=P(A)+P(B)(A,B互斥),P(A)=1-P(),P(AB)=P(A)P(B)(A,B相互獨立).
跟蹤訓練3　某項選拔共有三輪考核,每輪設有一個問題,能正確回答問題者進入下一輪考核,否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪問題的概率分別為,且各輪問題能否正確回答互不影響.求該選手被淘汰的概率.
解　記事件“該選手能正確回答第i輪的問題”為Ai(i=1,2,3),則
P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=.
方法一　該選手被淘汰的概率為
P()+P(A1)+P(A1A2)
=P()+P(A1)P()+P(A1)P(A2)P()
=+×+××=.
方法二　該選手被淘汰的概率為
1-P(A1A2A3)=1-××=.
1.知識清單:
(1)相互獨立事件的概念與判斷.
(2)相互獨立事件概率的求法.
2.方法歸納:正難則反、逆向思維.
3.常見誤區:相互獨立事件的判斷;相互獨立事件與互斥事件的區別.
1.袋內有3個白球和2個黑球,從中不放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,用B表示“第二次摸得白球”,則A與B是 (　　)
A.互斥事件 B.相互獨立事件
C.對立事件 D.以上都不對
答案　D
解析　根據互斥事件、對立事件和相互獨立事件的定義可知.
2.甲、乙兩人獨立地解同一問題,甲解對的概率為P1,乙解對的概率為P2,那么至少有1人解對的概率是 (　　)
A.P1+P2 B.P1P2
C.1-P1P2 D.1-(1-P1)(1-P2)
答案　D
解析　設甲解對為事件A,乙解對為事件B,
則P(A)=P1,P(B)=P2,則P=1-P( )=1-(1-P1)(1-P2).
3.一個學生通過一種英語能力測試的概率是,他連續測試兩次,那么其中恰有一次通過的概率是 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由題意知,恰有一次通過的概率為×+×=.
4.某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同,且在兩次罰球中至多命中一次的概率為,則該隊員每次罰球的命中率為　　　　.
答案　
解析　設此隊員每次罰球的命中率為p,
則1-p2=,所以p=.
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共40分;多選題每小題6分,共6分
1.設A,B,C為三個隨機事件,其中A與B互斥,B與C相互獨立,則下列命題一定成立的是 (　　)
A.A與B相互獨立 B.A與C互斥
C.B與C互斥 D.與相互獨立
答案　D
解析　注意“互斥事件”與“相互獨立事件”的區別,前者指的是不可能同時發生的事件,后者指的是在兩個事件中,一個事件是否發生對另一個事件發生的概率沒有影響.因為B與C相互獨立,由兩事件相互獨立的性質易知D正確.
2.甲、乙兩人獨立地解決同一問題,甲解決這個問題的概率是p1,乙解決這個問題的概率是p2,那么恰好有1人解決這個問題的概率是 (　　)
A.p1p2 B.p1(1-p2)+p2(1-p1)
C.1-p1p2 D.1-(1-p1)(1-p2)
答案　B
解析　恰好有1人解決可分為甲解決乙沒解決、甲沒解決乙解決.這兩個事件顯然是互斥的.所以恰好有1人解決這個問題的概率為p1(1-p2)+p2(1-p1).
3.某人忘記了電話號碼的最后一個數字,因而他隨意地撥號,假設撥過了的號碼不再重復,則他第3次撥號才接通電話的概率為 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　設Ai={第i次撥號接通電話},i=1,2,3,第3次撥號才接通電話可表示為 A3,顯然,,A3相互獨立,所以P( A3)=××=.
4.甲、乙兩隊進行排球決賽,現在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍,乙隊需要再贏兩局才能得冠軍.若兩隊每局贏的概率相同,則甲隊獲得冠軍的概率為 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　問題等價為兩類:第一類,第一局甲贏,其概率P1=;第二類,需比賽2局,第一局甲負,第二局甲贏,其概率P2=×=.故甲隊獲得冠軍的概率為P1+P2=.
5.已知A,B相互獨立,P(A)=0.6,P(B)=0.3,則P(+B)等于 (　　)
A.0.58 B.0.9
C.0.7 D.0.72
答案　A
解析　P(+B)=P()+P(B)-P(B)
=P()+P(B)-P()P(B)
=0.4+0.3-0.4×0.3=0.58.
6.為豐富老年人的精神文化生活,提高老年人的生活幸福指數,某街道舉辦以社區為代表隊的老年門球比賽,比賽分老年男組和老年女組,男女組分別進行淘汰賽.經過多輪淘汰后,西苑社區的老年男子“龍馬”隊和老年女子“風采”隊都進入了決賽.按照以往的比賽經驗,在決賽中“龍馬”隊獲勝的概率為,“風采”隊獲勝的概率為p,“龍馬”隊和“風采”隊兩隊中只有一支隊伍獲勝的概率為(“龍馬”隊和“風采”隊在比賽中互不影響),則西苑社區的“龍馬”隊和“風采”隊同時獲得冠軍的概率為 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由題意得兩隊中只有一隊獲勝包含“龍馬”隊獲勝“風采”隊未獲勝、“龍馬”隊未獲勝“風采”隊獲勝,
則×(1-p)+p=-p=,解得p=.所以兩隊同時獲得冠軍的概率為p=×=.
7.(5分)從一副不含大小王的撲克牌(52張)中任抽一張,記事件A為“抽得K”,記事件B為“抽得紅牌”,則事件A與B　　　　(填“是”或“不是”)相互獨立事件.
答案　是
解析　P(A)==,P(B)==.事件AB即為“既抽得K又抽得紅牌”,亦即“抽得紅桃K或方塊K”,故P(AB)==,從而有P(A)P(B)=P(AB),因此事件A與B相互獨立.
8.(5分)某大街在甲、乙、丙三處設有紅綠燈,汽車在這三處因遇綠燈而通行的概率分別為,則汽車在這三處因遇紅燈或黃燈而停車一次的概率為　　　　.
答案　
解析　分別設汽車在甲、乙、丙三處通行的事件為A,B,C,
則P(A)=,P(B)=,P(C)=,
停車一次為事件(BC)+(AC)+(AB),
故其概率P=××+××+××=.
9.(10分)甲、乙兩名籃球運動員互不影響地在同一位置投球,命中率分別為與p,且乙投球2次均未命中的概率為.
(1)求乙投球的命中率p;(5分)
(2)求甲投球2次,至少命中1次的概率.(5分)
解　設“甲投一次球命中”為事件A,“乙投一次球命中”為事件B.
(1)由題意得P()P()=,
解得P()=或P()=-(舍去),
故p=1-P()=,
所以乙投球的命中率為.
(2)方法一　由題設知,P(A)=,P()=,
故甲投球2次,至少命中1次的概率為
1-P()=1-P()P()=.
方法二　由題設知,P(A)=,P()=,
故甲投球2次,至少命中1次的概率為
2P(A)P()+P(A)P(A)=.
10.(12分)某田徑隊有三名短跑運動員,根據平時訓練情況統計,甲、乙、丙三人100米跑(互不影響)的成績合格的概率分別為,若對這三名短跑運動員的100米跑的成績進行一次檢測,求:
(1)三人都合格的概率;(3分)
(2)三人都不合格的概率;(4分)
(3)出現幾人合格的概率最大.(5分)
解　記甲、乙、丙三人100米跑成績合格分別為事件A,B,C,顯然事件A,B,C相互獨立,則
P(A)=,P(B)=,P(C)=.
設恰有k人合格的概率為Pk(k=0,1,2,3).
(1)三人都合格的概率P3=P(ABC)=P(A)·P(B)P(C)=××=.
(2)三人都不合格的概率P0=P()=P()·P()P()=××=.
(3)恰有兩人合格的概率
P2=P(AB)+P(AC)+P(BC)
=××+××+××=.
恰有一人合格的概率
P1=1-P0-P2-P3=1---==.
綜合(1)(2)可知P1最大.
所以出現一人合格的概率最大.
11.張老師上數學課時,給班里同學出了兩道選擇題,他預估做對第一道題的概率是0.8,做對兩道題的概率是0.6,能否做對兩道題之間互不影響,則預估做對第二道題的概率是 (　　)
A.0.80 B.0.75
C.0.60 D.0.48
答案　B
解析　設事件Ai(i=1,2)表示“做對第i道題”,A1,A2相互獨立,由已知得,P(A1)=0.8,P(A1A2)=0.6,由P(A1A2)=P(A1)·P(A2)=0.8P(A2)=0.6,解得P(A2)==0.75.
12.如圖,已知電路中4個開關閉合的概率都是,且每個開關是否閉合是相互獨立的,則燈亮的概率為 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　記“A,B,C,D四個開關閉合”分別為事件A,B,C,D,可用對立事件求解,圖中含開關的三條線路同時斷開的概率為P()P()[1-P(AB)]=××=.所以燈亮的概率P=1-=.
13.(5分)某次知識競賽規則如下:在主辦方預設的5個問題中,選手若能連續正確回答出2個問題,即停止答題,晉級下一輪.假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8,且每個問題的回答結果相互獨立,則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率為　　　　.
答案　0.128
解析　由已知條件知,第2個問題答錯,第3,4個問題答對,記“問題回答正確”為事件A,
則P(A)=0.8,
故P=P((A+)AA)=[1-P(A)]·P(A)·P(A)=0.128.
14.(5分)同學甲參加某科普知識競賽,需回答三個問題,競賽規則規定:答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分,答錯或不答均得零分.假設同學甲答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8,0.6,0.5,且各題答對與否相互之間沒有影響,則同學甲得分不低于300分的概率是　　　　.
答案　0.46
解析　設“同學甲答對第i個題”為事件Ai(i=1,2,3),則P(A1)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5,且A1,A2,A3相互獨立,同學甲得分不低于300分對應于事件A1A2A3+A1A3+A2A3發生,
故所求概率為P=P(A1A2A3+A1A3+A2A3)
=P(A1A2A3)+P(A1A3)+P(A2A3)
=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)
=0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5
=0.46.
15.(多選)伯努利試驗是在同樣的條件下重復地、相互獨立地進行的一種隨機試驗,其特點是每次試驗只有兩種可能結果.若連續拋擲一枚質地均勻的硬幣n次,記錄這n次試驗的結果,設事件M=“n次試驗結果中,既出現正面又出現反面”,事件N=“n次試驗結果中,最多只出現一次反面”,則下列結論正確的是 (　　)
A.若n=2,則M與N不互斥
B.若n=2,則M與N相互獨立
C.若n=3,則M與N互斥
D.若n=3,則M與N相互獨立
答案　AD
解析　當n=2時,所有樣本點有(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),共4個,
其中(正,反)和(反,正)這兩種試驗結果,事件M和事件N同時發生,故M與N不互斥,A選項正確;
P(M)=,P(N)=,P(MN)=,P(MN)≠P(M)P(N),則M與N不相互獨立,B選項錯誤;
當n=3時,所有樣本點有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反),共8個,
其中(正,正,反),(正,反,正)和(反,正,正)這三種試驗結果,事件M和事件N同時發生,故M與N不互斥,C選項錯誤;
P(M)==,P(N)==,P(MN)=,P(MN)=P(M)P(N),則M與N相互獨立,D選項正確.
16.(12分)在信道內傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨立.發送0時,收到1的概率為,收到0的概率為;發送1時,收到0的概率為, 收到1的概率為.
(1)重復發送信號1三次,計算至少收到兩次1的概率;(4分)
(2)依次發送1,1,0,判斷以下兩個事件:①事件A=“至少收到一個正確信號”;②事件B=“至少收到兩個0”,是否相互獨立,并給出證明.(8分)
解　(1)重復發送信號1三次,“至少收到兩次1”的可能情況為(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),
因為信號的傳輸相互獨立,
故“至少收到兩次1”的概率為××+××+××+××=.
(2)事件A與事件B不相互獨立,證明如下:
若依次發送1,1,0,則“三次都沒收到正確信號”的概率為××=,故“至少收到一個正確信號”的概率P(A)=1-=;
若依次發送1,1,0,則“至少收到兩個0”的可能情況為(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),根據事件的相互獨立性,
故P(B)=××+××+××+××==;
若依次發送1,1,0,“至少收到兩個0且至少收到一個正確信號”的可能情況為(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),根據事件的相互獨立性,
故P(AB)=××+××+××=,
因為P(A)P(B)≠P(AB),所以事件A與事件B不相互獨立.5.3.5　隨機事件的獨立性
[學習目標]　1.理解相互獨立事件的定義及意義.2.理解相互獨立事件的充要條件.3.掌握綜合運用互斥事件的概率加法公式及獨立事件的乘法公式解題.
一、相互獨立事件的概念與判斷
問題　分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣,A=“第一枚硬幣正面朝上”,B=“第二枚硬幣反面朝上”.計算P(A),P(B),P(AB),你有什么發現
知識梳理
相互獨立事件的概念與性質
(1)定義:一般地,設A,B為兩個事件,當　　　　　　　時,就稱事件A與B相互獨立(簡稱獨立).
(2)性質:如果事件A與B相互獨立,則與　　　,　　　與與也相互獨立.
(3)n個事件相互獨立
對于n個事件“A1,A2,…,An相互獨立”的充要條件是“其中任意有限個事件同時發生的概率都等于它們各自發生的概率之積”.
例1　一個不透明的口袋內裝有大小相同,顏色分別為紅、黃、藍的3個球.
(1)記事件A=“從口袋內有放回地抽取2個球,第一次抽到紅球”,B=“從口袋內有放回地抽取2個球,第二次抽到黃球”;
(2)記事件A=“從口袋內不放回地抽取2個球,第一次抽到紅球”,B=“從口袋內不放回地抽取2個球,第二次抽到黃球”.
試分別判斷(1)(2)中的A,B是否為相互獨立事件.
反思感悟　判斷兩事件是否相互獨立的方法
(1)直觀法:利用事件所包含基本事件直接判斷兩個事件的發生是否相互影響.
(2)公式法:若事件A和B滿足P(AB)=P(A)P(B),則A與B相互獨立.
跟蹤訓練1　(多選)下面所給出的事件中,M與N相互獨立的是 (　　)
A.拋擲一枚骰子,事件M={出現1點},事件N={出現2點}
B.先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣,事件M={第一枚出現正面},事件N={第二枚出現反面}
C.在裝有2紅1綠三個形狀、大小相同的小球的口袋中,任取一個小球,觀察顏色后放回袋中,事件M={第一次取到綠球},N={第二次取到綠球}
D.某射手射擊一次,事件M={擊中靶心},事件N={未擊中靶心}
二、相互獨立事件概率的求法
知識梳理
相互獨立事件的概率公式
(1)若事件A,B相互獨立,則P(AB)=　　　　　　　　　　;
(2)若事件A1,A2,…,An相互獨立,則P(A1A2…An)=　　　　　　　　　　.
例2　根據資料統計,某地車主購買甲種保險的概率為0.5,購買乙種保險的概率為0.6,購買甲、乙保險相互獨立,各車主間相互獨立.
(1)求一位車主同時購買甲、乙兩種保險的概率;
(2)求一位車主購買乙種保險但不購買甲種保險的概率.
反思感悟　(1)求相互獨立事件同時發生的概率的步驟
①首先確定各事件是相互獨立的;
②先求每個事件發生的概率,再求其積.
(2)公式P(AB)=P(A)P(B)可推廣到一般情形,即如果事件A1,A2,…,An相互獨立,那么這n個事件同時發生的概率等于每個事件發生的概率的積,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An).
跟蹤訓練2　高二某同學語文、數學、英語三科的考試成績在一次考試中排名全班第一的概率:語文為0.9,數學為0.8,英語為0.85,且它們互不影響.求:
(1)三科成績均未獲得第一名的概率是多少
(2)恰有一科成績未獲得第一名的概率是多少
三、相互獨立事件概率的綜合應用
例3　如圖,在一段線路中并聯著3個自動控制的常開開關,只要其中有1個開關能夠閉合,線路就能正常工作.假定在某段時間內每個開關閉合的概率都是0.7,計算在這段時間內線路正常工作的概率.
反思感悟　解決此類問題的關鍵是弄清相互獨立的事件,還要注意互斥事件的拆分,以及對立事件概率的求法的運用,即三個公式的聯用:P(A+B)=P(A)+P(B)(A,B互斥),P(A)=1-P(),P(AB)=P(A)P(B)(A,B相互獨立).
跟蹤訓練3　某項選拔共有三輪考核,每輪設有一個問題,能正確回答問題者進入下一輪考核,否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪問題的概率分別為,且各輪問題能否正確回答互不影響.求該選手被淘汰的概率.
1.知識清單:
(1)相互獨立事件的概念與判斷.
(2)相互獨立事件概率的求法.
2.方法歸納:正難則反、逆向思維.
3.常見誤區:相互獨立事件的判斷;相互獨立事件與互斥事件的區別.
1.袋內有3個白球和2個黑球,從中不放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,用B表示“第二次摸得白球”,則A與B是 (　　)
A.互斥事件 B.相互獨立事件
C.對立事件 D.以上都不對
2.甲、乙兩人獨立地解同一問題,甲解對的概率為P1,乙解對的概率為P2,那么至少有1人解對的概率是 (　　)
A.P1+P2 B.P1P2
C.1-P1P2 D.1-(1-P1)(1-P2)
3.一個學生通過一種英語能力測試的概率是,他連續測試兩次,那么其中恰有一次通過的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
4.某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同,且在兩次罰球中至多命中一次的概率為,則該隊員每次罰球的命中率為　　　　.
答案精析
問題　用1表示硬幣“正面朝上”,用0表示硬幣“反面朝上”,則樣本空間為Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4個等可能的樣本點.而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}.由古典概型概率公式,得
P(A)=P(B)=,P(AB)=.
于是P(AB)=P(A)P(B).
知識梳理
(1)P(AB)=P(A)P(B)　(2)B　A
例1　解　(1)有放回地抽取小球,事件A是否發生對事件B是否發生沒有影響,它們是相互獨立事件.
(2)不放回地抽取小球,記紅、黃、藍球的號碼分別為1,2,3,則樣本空間為
Ω={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},共6個樣本點,
A={(1,2),(1,3)},B={(1,2),(3,2)}.
因為P(A)==,P(B)==,P(AB)=,P(AB)≠P(A)P(B),
所以A,B不是相互獨立事件.
跟蹤訓練1　BC
知識梳理
(1)P(A)·P(B)　(2)P(A1)·P(A2)·…·P(An)
例2　解　記A表示事件“購買甲種保險”,B表示事件“購買乙種保險”,則由題意得A與B,A與與B,
與都是相互獨立事件,
且P(A)=0.5,P(B)=0.6.
(1)記C表示事件“同時購買甲、乙兩種保險”,
則C=AB,所以P(C)=P(AB)
=P(A)·P(B)=0.5×0.6=0.3.
(2)記D表示事件“購買乙種保險但不購買甲種保險”,
則D=B,所以P(D)=P(B)=P()·P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3.
跟蹤訓練2　解　分別記該生語文、數學、英語考試成績排名全班第一的事件為A,B,C,則A,B,C兩兩相互獨立,且P(A)=0.9,P(B)=0.8,
P(C)=0.85.
(1)“三科成績均未獲得第一名”可以用事件表示,
P()=P()P()P()
=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]
=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)
=0.003,
即三科成績均未獲得第一名的概率是0.003.
(2)“恰有一科成績未獲得第一名”可以用(BC)+(AC)+(AB)表示.
由于事件BC,AC和AB兩兩互斥,根據概率加法公式和相互獨立事件的概率公式,所求的概率為
P(BC)+P(AC)+P(AB)
=P()·P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)·P()=[1-P(A)]P(B)P(C)+P(A)[1-P(B)]P(C)+P(A)P(B)[1-P(C)]=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85)=0.329,
即恰有一科成績未獲得第一名的概率是0.329.
例3　解　分別記這段時間內開關JA,JB,JC能夠閉合為事件A,B,C.
由題意知這段時間內3個開關是否能夠閉合相互之間沒有影響.
根據相互獨立事件概率的乘法公式,得這段時間內3個開關都不能閉合的概率是
P( )=P()P()P()
=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]
=(1-0.7)(1-0.7)(1-0.7)
=0.027.
所以在這段時間內線路正常工作的概率是
1-P( )=1-0.027=0.973.
跟蹤訓練3　解　記事件“該選手能正確回答第i輪的問題”為Ai(i=1,2,3),則
P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=.
該選手被淘汰的概率為
P()+P(A1)+P(A1A2)
=P()+P(A1)P()+P(A1)·P(A2)P()
=+×+××=.
隨堂演練
1.D　2.D　3.C　4.

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