資源簡介

5.4統計與概率的應用
[學習目標]　1.能用隨機模擬的方法進行估計.2.了解游戲、遺傳性問題中的概率問題.3.利用統計和概率的知識解決日常生活和其他學科中的一些難題.
導語
統計與概率主要是研究現實生活中的數據和客觀世界中的隨機現象,它通過對數據收集、整理、描述和分析以及對事件發生可能性的刻化,來幫助人們做出合理的決策.隨著社會的不斷發展,統計與概率的思想方法也越來越重要.
一、統計的應用
例1　某家庭記錄了未使用節水龍頭50天的日用水量數據(單位:m3)和使用了節水龍頭50天的日用水量數據,得到如下頻數分布表:
未使用節水龍頭50天的日用水量頻數分布表
日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7)
頻數 1 3 2 4 9 26 5
使用了節水龍頭50天的日用水量頻數分布表
日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6)
頻數 1 5 13 10 16 5
(1)在下圖中作出使用了節水龍頭50天的日用水量數據的頻率分布直方圖;
(2)估計該家庭使用節水龍頭后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估計該家庭使用節水龍頭后,一年能節省多少水 (一年按365天計算,同一組中的數據以這組數據所在區間的中點值作代表)
解　(1)如圖所示.
(2)根據以上數據,該家庭使用節水龍頭后50天中日用水量小于0.35 m3的頻率為0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,
因此該家庭使用節水龍頭后,日用水量小于0.35 m3的概率的估計值為0.48.
(3)該家庭未使用節水龍頭50天日用水量的平均數為=×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.
該家庭使用了節水龍頭50天日用水量的平均數為=×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.
估計使用節水龍頭后,一年可節省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).
反思感悟　頻率分布直方圖是考查數據收集和整理的常用依據,掌握頻率分布直方圖中常見數據的提取方法是解決此類問題的關鍵.
跟蹤訓練1　某銷售公司為了解員工的月工資水平,從1 000位員工中隨機抽取了100位員工進行調查,得到如下的頻率分布直方圖:
(1)試由此圖估計該公司員工的月平均工資;
(2)該公司的工資發放是以員工的營銷水平為重要依據確定的,一般認為,工資低于4 500元的員工屬于學徒階段,沒有營銷經驗,若進行營銷將會失敗;高于4 500元的員工屬于成熟員工,進行營銷將會成功.現將該樣本按照“學徒階段工資”“成熟員工工資”分成兩層,進行分層抽樣,從中抽出5人,在這5人中任選2人進行營銷活動.活動中,每位員工若營銷成功,將為公司賺得3萬元,否則公司將損失1萬元.在此次活動中公司收入多少萬元的可能性最大
解　(1)估計該公司員工的月平均工資為0.000 1×1 000×2 000+0.000 1×1 000×3 000+0.000 2×1 000×4 000+0.000 3×1 000×5 000+0.000 2×1 000×6 000+0.000 1×1 000×7 000=4 700(元).
(2)抽取比為=,
從工資在[1 500,4 500)內的員工中抽出100×(0.1+0.1+0.2)×=2(人),設這兩位員工分別為1,2;從工資在[4 500,7 500]內的員工中抽出100×(0.3+0.2+0.1)×=3(人),設這三位員工分別為A,B,C.
從中任選2人,共有以下10個樣本點:(1,2),(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),(A,B),(A,C),(B,C).
兩人營銷都成功,公司收入6萬元,有以下3個樣本點:(A,B),(A,C),(B,C),概率為;
其中一人營銷成功,一人營銷失敗,公司收入2萬元,有以下6個樣本點:(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),概率為=;
兩人營銷都失敗,公司損失2萬元,有1個樣本點:(1,2),概率為.
∵<<,∴公司收入2萬元的可能性最大.
二、概率的應用
例2　A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,現隨機抽取100位從A地到火車站的人進行調查,調查結果如下:
所用時間(分鐘) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
選擇L1的人數 6 12 18 12 12
選擇L2的人數 0 4 16 16 4
(1)試估計40分鐘內不能趕到火車站的概率;
(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內的頻率;
(3)現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站,為了盡最大可能在允許的時間內趕到火車站,試通過計算說明,他們應如何選擇各自的路徑.
解　(1)共調查了100人,其中40分鐘內不能趕到火車站的有12+12+16+4=44(人),
用頻率估計概率,可得所求概率為=0.44.
(2)選擇L1的有60人,選擇L2的有40人,故由調查結果得所求各頻率為
所用時間(分鐘) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
L1的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
(3)記事件A1,A2分別表示甲選擇L1和L2時,在40分鐘內趕到火車站;
記事件B1,B2分別表示乙選擇L1和L2時,在50分鐘內趕到火車站.
由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,
P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2),
∴甲應選擇L1;
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,
P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
P(B2)>P(B1),
∴乙應選擇L2.
反思感悟　(1)概率在決策問題中的應用
①由于概率反映了隨機事件發生的可能性的大小,概率是頻率的近似值與穩定值,所以可以用樣本出現的頻率近似地估計總體中該結果出現的概率.
②實際生活與生產中常用隨機事件發生的概率來做出更有利的決策.
(2)利用頻率與概率的關系求未知量的步驟
①抽出m個樣本進行標記,設總體為未知量n,則標記概率為.
②隨機抽取n1個個體,出現其中m1個被標記,則標記頻率為.
③用頻率近似等于概率,建立等式≈.
④求得n≈.
跟蹤訓練2　為了估計某自然保護區中天鵝的數量,可以使用以下方法:先從該保護區中捕出一定數量的天鵝,如200只,給每只天鵝作上記號,不影響其存活,然后放回保護區.經過適當的時間,讓它們和保護區中其余的天鵝充分混合,再從保護區中捕出一定數量的天鵝,如150只,查看其中有記號的天鵝,設有20只.試根據上述數據,估計該自然保護區中天鵝的數量為　　　　只.
答案　1 500
解析　設保護區中天鵝的數量為n.假設每只天鵝被捕到的可能性是相等的,從保護區中任捕一只,設事件A={捕到帶有記號的天鵝},則P(A)=.
第二次從保護區中捕出150只天鵝,其中有20只帶有記號,由概率的統計定義可知,P(A)≈.
則≈,解得n≈1 500,
所以估計該自然保護區中約有天鵝1 500只.
三、統計與概率的綜合應用
例3　某重點高中擬把學校打造成新型示范高中,為此制定了很多新的規章制度,新規章制度實施一段時間后,學校就新規章制度的認知程度隨機抽取100名學生進行問卷調查,調查問卷共有20個問題,每個問題5分,調查結束后,發現這100名學生的成績都在[75,100]內,按成績分成5組:第1組[75,80),第2組[80,85),第3組[85,90),第4組[90,95),第5組[95,100],繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,已知甲、乙、丙3人分別在第3,4,5組,現在用分層抽樣的方法在第3,4,5組共選取6人對新規章制度作深入學習.
(1)求這100人的平均得分(同一組數據用該區間的中點值作代表).
(2)求第3,4,5組分別選取的人數.
(3)若甲、乙、丙都被選取對新規章制度作深入學習,之后要再從這6人中隨機選取2人全面考查他們對新規章制度的認知程度,求甲、乙、丙這3人至多有一人被選取的概率.
解　(1)這100人的平均得分為
=5×
=87.25.
(2)第3組的人數為0.06×5×100=30(人);第4組的人數為0.04×5×100=20(人);第5組的人數為0.02×5×100=10(人),所以共有60人,用分層抽樣在這三組中選取的人數分別為3,2,1.
(3)記其他3人為丁、戊、己,則所有選取的結果為(甲,乙)、(甲,丙)、(甲,丁)、(甲,戊)、(甲,己)、(乙,丙)、(乙,丁)、(乙,戊)、(乙,己)、(丙,丁)、(丙,戊)、(丙,己)、(丁,戊)、(丁,己)、(戊,己),共15種情況,其中甲、乙、丙這3人至多有一人被選取有12種情況,所以所求概率為P==.
反思感悟　概率與統計問題中的圖表、數據包含著問題的基本信息,也往往暗示著解決問題的目標和方向.在審題時,認真觀察分析圖表、數據的特征的規律,常常可以找到解決問題的思路和方法.
跟蹤訓練3　某市的教育主管部門對所管轄的學校進行年終督導評估,為了解某學校師生對學校教學管理的滿意度﹐分別從教師和不同年級的同學中隨機抽取若干人進行評分(滿分100分),繪制如下頻率分布直方圖(分組區間為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]),并將分數從低到高分為四個等級:
滿意度評分 [40,60) [60,80) [80,90) [90,100]
滿意度等級 不滿意 基本滿意 滿意 非常滿意
已知滿意度等級為基本滿意的有340人.
(1)求表中a的值及不滿意的人數;
(2)記A表示事件“滿意度評分不低于80分”,估計A發生的概率;
(3)若師生的滿意指數不低于0.8,則該校可獲評“教學管理先進單位”.根據你所學的統計知識﹐判斷該校是否能獲評“教學管理先進單位”,并說明理由.
解　(1)由頻率分布直方圖可知,
a=0.1-(0.002+0.004+0.016+0.018+0.024)=0.036,
設不滿意的人數為x,
則(0.002+0.004)∶(0.016+0.018)=x∶340,
解得x=60,
故不滿意的人數為60.
(2) “滿意度評分不低于80分”的頻率為
(0.036+0.024)×10=0.6,
因此,事件A的概率估計值為0.6.
(3)師生的滿意指數為
η=×(45×0.02+55×0.04+65×0.16+75×0.18+85×0.36+95×0.24)=0.804,
因為η≥0.8,
所以該校可獲評“教學管理先進單位”.
1.知識清單:
(1)統計的應用.
(2)概率的應用.
(3)統計與概率的綜合應用.
2.方法歸納:數學建模.
3.常見誤區:不能將實際問題轉化為統計與概率問題求解致誤.
1.從甲、乙、丙、丁4名選手中選取2人組隊參加奧林匹克競賽,其中甲被選中的概率為 (　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　這個試驗的樣本空間Ω={(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)},
其中甲被選中包含3個樣本點,
故甲被選中的概率為.
2.某省在校中學生近視率約為37.4%,某配鏡商要到一中學給學生配鏡,若已知該校學生總數為600,則該配鏡商應帶眼鏡的數目為 (　　)
A.374副 B.224副
C.不少于225副 D.不多于225副
答案　C
解析　根據概率,37.4%×600=224.4,結合實際情況,該校近視生的人數約為225,配鏡商應帶眼鏡數不少于225副.
3.乘客在某電車站等候26路或16路電車,在該站停靠的有16,22,26,31四路電車,若各路電車先停靠的概率相等,則乘客等候的電車首先停靠的概率等于 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因為各路電車先停靠的概率都等于,
所以乘客等候的電車首先停靠的概率為+=.
4.在所有的兩位數中,任取一個數,則這個數能被2或3整除的概率為 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　共有90個兩位數,這些兩位數中,有45個偶數,有30個能被3整除的數,其中奇數有30÷2=15(個),所以所求的概率為=.
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共40分;多選題每小題6分,共6分
1.從一批準備出廠的電視機中隨機抽取10臺進行質量檢查,其中有1臺是次品,若用C表示抽到次品這一事件,則對C的說法正確的是 (　　)
A.概率為
B.頻率為
C.概率接近
D.每抽10臺電視機必有1臺次品
答案　B
解析　事件C發生的頻率為,由于只做了一次試驗,故不能得出概率接近的結論.
2.根據醫療所的調查,某地區居民血型分布為:O型50%,A型15%,AB型5%,B型30%.現有一血型為O型的病人需要輸血,若在該地區任選1人,那么此人能為病人輸血的概率為 (　　)
A.50% B.15%
C.45% D.65%
答案　A
解析　僅有O型血的人能為O型血的人輸血.故選A.
3.某中學要在高一年級的二、三、四班中任選一個班參加社區服務活動,有人提議用如下方法選班:擲兩枚硬幣,正面向上記作2點,反面向上記作1點,兩枚硬幣的點數和是幾,就選幾班.按照這個規則,當選概率最大的是 (　　)
A.二班 B.三班
C.四班 D.三個班機會均等
答案　B
解析　擲兩枚硬幣,共有4種結果:(2,2),(2,1),(1,2),(1,1),故選四班的概率是,選三班的概率為=,選二班的概率為,故選B.
4.蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多種類.在我國的云南及周邊各省都有分布.春暖花開的時候是放蜂的大好季節.養蜂人甲在某地區放養了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂,養蜂人乙在同一地區放養了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂.某中學生物小組在上述地區捕獲了1只黑小蜜蜂.那么,生物小組的同學認為這只黑小蜜蜂是哪位養蜂人放養的比較合理 (　　)
A.甲 B.乙
C.甲和乙 D.以上都對
答案　B
解析　養蜂人甲放的黑小蜜蜂占本地區所有黑小蜜蜂的,而養蜂人乙放的黑小蜜蜂占本地區所有黑小蜜蜂的,所以,現在捕獲的這只黑小蜜蜂是養蜂人乙放養的可能性較大.
5.假定某運動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%,現采用隨機模擬的方法估計該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率:先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數,指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每兩個隨機數為一組,代表兩次的結果,經隨機模擬產生了20組隨機數:
93　28　12　45　85　69　68　34　31　25　73　93　02　75　56　48　87　30　11　35
據此估計,該運動員兩次擲鏢恰有一次正中靶心的概率為 (　　)
A.0.50 B.0.45 C.0.40 D.0.35
答案　A
解析　兩次擲鏢恰有一次正中靶心表示隨機數中有且只有一個數為1,2,3,4中的之一,它們分別是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35,共10個,因此所求的概率為=0.50.
6.如圖,元件Ai(i=1,2,3,4)通過電流的概率均為0.9,且各元件是否通過電流互不影響,則電流能在M,N之間通過的概率是 (　　)
A.0.729 B.0.882 9 C.0.864 D.0.989 1
答案　B
解析　電流能同時通過A1,A2的概率為0.9×0.9=0.81,電流能通過A3的概率為0.9,故電流既不能同時通過A1,A2,也不能通過A3的概率為(1-0.81)×(1-0.9)=0.019,所以電流能通過A3或同時通過A1,A2的概率為1-0.019=0.981,而電流能通過A4的概率為0.9,所以電流能在M,N之間通過的概率為0.981×0.9=0.882 9.
7.(5分)某人在江邊碼頭上乘船擺渡過江,碼頭僅可供一艘船靠岸上客,若在半小時內大船靠岸的概率為0.6,汽艇靠岸的概率為0.2,那么此人在半小時內能乘船過江的概率是　　　　.
答案　0.8
解析　P=0.6+0.2=0.8.
8.(5分)從參加環保知識競賽的學生中抽出40名,將其成績(均為整數)整理后畫出頻率分布直方圖如圖所示,從成績是80分以上(包括80分)的學生中選2人,則他們在同一分數段的概率是　　　　.
答案　
解析　記“選出的2人在同一分數段”為事件E,由題意知,[80,90)分之間有40×0.1=4(人),設為a,b,c,d;[90,100]分之間有40×0.05=2(人),設為A,B.從這6人中選出2人,有(a,b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),(A,B),共15個樣本點,且這15個基本事件發生的可能性是相等的,其中事件E包括(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),(A,B),共7個樣本點,則P(E)=.
9.(11分)已知某音響設備由A電視機,B影碟機,C線路,D左聲道和E右聲道五個部件組成,其中每個部件工作的概率如圖所示,當A與B中有一個工作,C工作,D與E中有一個工作時能聽到聲音;且若D和E同時工作則有立體聲效果.
(1)求能聽到立體聲效果的概率;(5分)
(2)求聽不到聲音的概率.(6分)
解　(1)能聽到立體聲效果的概率P1=[1-(1-0.9)×(1-0.95)]×0.95×0.94×0.94=0.835 222 9.
(2)能聽到聲音的概率P2=[1-(1-0.9)×(1-0.95)]×0.95×[1-(1-0.94)2]=0.941 847 1,
從而所求概率為1-P2=1-0.941 847 1=0.058 152 9.
10.(13分)某校高二年級(1)(2)班準備聯合舉行晚會,組織者欲使晚會氣氛熱烈、有趣,策劃整場晚會以轉盤游戲的方式進行,每個節目開始時,兩班各派一人先進行轉盤游戲,勝者獲得一件獎品,負者表演一個節目.(1)班的文娛委員利用分別標有數字1,2,3,4,5,6,7的兩個轉盤(如圖所示),設計了一種游戲方案:兩人同時各轉動一個轉盤一次,將轉到的數字相加,和為偶數時(1)班代表獲勝,否則(2)班代表獲勝,該方案對雙方是否公平 為什么
解　該方案是公平的,理由如下.
各種情況如表所示:
4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由表可知該游戲可能出現的情況共有12種,其中兩數字之和為偶數的有6種,為奇數的也有6種,所以(1)班代表獲勝的概率P1==,(2)班代表獲勝的概率P2==,P1=P2,即機會是均等的,所以該方案對雙方是公平的.
11.(多選)甲、乙兩人做游戲,下列游戲中公平的是 (　　)
A.拋一枚骰子,向上的點數為奇數則甲勝,向上的點數為偶數則乙勝
B.同時拋兩枚相同的骰子,向上的點數之和大于7則甲勝,否則乙勝
C.從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色則甲勝,是黑色則乙勝
D.甲、乙兩人各寫一個整數,若是同奇或同偶則甲勝,否則乙勝
答案　ACD
解析　對于A,C,D,甲勝,乙勝的概率都是,游戲是公平的;對于B,甲勝的概率小,游戲不公平.
12.某比賽為兩運動員制定下列發球規則.
規則一:投擲一枚硬幣,出現正面向上,甲發球,反面向上,乙發球;
規則二:從裝有2個紅球與2個黑球的布袋中隨機地取出2個球,如果同色,甲發球,否則乙發球;
規則三:從裝有3個紅球與1個黑球的布袋中隨機地取出2個球,如果同色,甲發球,否則乙發球.
則對甲、乙公平的規則是 (　　)
A.規則一和規則二 B.規則一和規則三
C.規則二和規則三 D.規則二
答案　B
解析　規則一兩人發球的概率是相等的,公平.規則二的所有情況有(紅1,紅2),(紅1,黑1),(紅1,黑2),(紅2,黑1),(紅2,黑2),(黑1,黑2),共6種,同色的有2種,所以甲發球的可能性為,不公平.規則三的所有情況有(紅1,紅2),(紅1,紅3),(紅2,紅3),(紅1,黑),(紅2,黑),(紅3,黑),共6種,同色球有3種,所以兩人發球的可能性是相等的,公平.
13.如果消息M發生的概率為P(M),那么消息M所含的信息量為I(M)=log2,若小明在一個有4排8列座位的小型報告廳聽報告,則發布的以下4條消息中,信息量最大的是 (　　)
A.小明在第4排
B.小明在第5列
C.小明在第4排第5列
D.小明在某一排
答案　C
解析　記選項A,B,C,D中的事件分別為A,B,C,D.
則P(A)=,
I(A)=log2=log2;
P(B)=,I(B)=log2=log2;
P(C)=,I(C)=log2
=log2;
P(D)=1,I(D)=1,故信息量最大的為選項C.
14.(5分)設集合A={1,2},B={1,2,3},分別從集合A和B中隨機取一個數a和b,確定平面上的一個點P(a,b),記“點P(a,b)落在直線x+y=n上”為事件Cn(2≤n≤5,n∈N),若事件Cm的概率最大,則m的值為　　　　.
答案　3或4
解析　點P的所有可能值為(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),點P(a,b)落在直線x+y=n上(2≤n≤5,n∈N),且事件Cm的概率最大,
當n=2時,點P是(1,1),
當n=3時,點P可能是(1,2),(2,1).
當n=4時,點P可能為(1,3),(2,2),
當n=5時,點P是(2,3),
即事件C3,C4的概率最大,故m=3或m=4.
15.(15分)為了加強對數學文化的學習,某校高三年級特別定制了一套與數學文化有關的專題訓練卷(試卷滿分為100分),并對整個高三年級的學生進行了測試.現從這些學生的成績中隨機抽取了50名學生的成績(單位:分),按照[50,60),[60,70),…,[90,100]分成5組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖(假設每名學生的成績均不低于50分).
(1)求頻率分布直方圖中x的值,并估計所抽取的50名學生成績的平均數、中位數;(同一組中的數據用該組區間的中點值代表)(5分)
(2)用樣本估計總體,若高三年級共有2 000名學生,試估計高三年級這次測試成績不低于70分的人數;(5分)
(3)若利用分層抽樣的方法從樣本中成績不低于70分的學生中抽取6人,再從這6人中隨機抽取3人參加這次考試的質量分析會,試求成績在[80,100]的學生至少有1人被抽到的概率.(5分)
解　(1)由頻率分布直方圖可得,第4組的頻率為1-0.1-0.3-0.3-0.1=0.2.則x==0.02.
故可估計所抽取的50名學生的成績的平均數為(55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01)×10=74.
由于前兩組的頻率之和為0.1+0.3=0.4,前三組的頻率之和為0.1+0.3+0.3=0.7,故中位數在第3組中.
設中位數為t,則有(t-70)×0.03=0.1,得t=,即所求的中位數為.
(2)由(1)可知,50名學生中成績不低于70分的頻率為0.3+0.2+0.1=0.6,用樣本估計總體,可以估計高三年級2 000名學生中成績不低于70分的人數為2 000×0.6=1 200.
(3)由(1)可知,后三組中的人數分別為15,10,5,由分層抽樣的知識得這三組中所抽取的人數分別為3,2,1.
記成績在[70,80)的3名學生分別為a,b,c,成績在[80,90)的2名學生分別為d,e,成績在[90,100]的1名學生為f,則從中隨機抽取3人的所有樣本點為(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,b,f),(a,c,d),(a,c,e),(a,c,f),(a,d,e),(a,d,f),(a,e,f),(b,c,d),(b,c,e),(b,c,f),(b,d,e),(b,d,f),(b,e,f),(c,d,e),(c,d,f),(c,e,f),(d,e,f),共20個,且這20個樣本點發生的可能性是相等的.
其中成績在[80,100]的學生沒被抽到的樣本點為(a,b,c),只有1個.
故成績在[80,100]的學生至少有1人被抽到的概率為1-=.5.4統計與概率的應用
[學習目標]　1.能用隨機模擬的方法進行估計.2.了解游戲、遺傳性問題中的概率問題.3.利用統計和概率的知識解決日常生活和其他學科中的一些難題.
一、統計的應用
例1　某家庭記錄了未使用節水龍頭50天的日用水量數據(單位:m3)和使用了節水龍頭50天的日用水量數據,得到如下頻數分布表:
未使用節水龍頭50天的日用水量頻數分布表
日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7)
頻數 1 3 2 4 9 26 5
使用了節水龍頭50天的日用水量頻數分布表
日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6)
頻數 1 5 13 10 16 5
(1)在下圖中作出使用了節水龍頭50天的日用水量數據的頻率分布直方圖;
(2)估計該家庭使用節水龍頭后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估計該家庭使用節水龍頭后,一年能節省多少水 (一年按365天計算,同一組中的數據以這組數據所在區間的中點值作代表)
反思感悟　頻率分布直方圖是考查數據收集和整理的常用依據,掌握頻率分布直方圖中常見數據的提取方法是解決此類問題的關鍵.
跟蹤訓練1　某銷售公司為了解員工的月工資水平,從1 000位員工中隨機抽取了100位員工進行調查,得到如下的頻率分布直方圖:
(1)試由此圖估計該公司員工的月平均工資;
(2)該公司的工資發放是以員工的營銷水平為重要依據確定的,一般認為,工資低于4 500元的員工屬于學徒階段,沒有營銷經驗,若進行營銷將會失敗;高于4 500元的員工屬于成熟員工,進行營銷將會成功.現將該樣本按照“學徒階段工資”“成熟員工工資”分成兩層,進行分層抽樣,從中抽出5人,在這5人中任選2人進行營銷活動.活動中,每位員工若營銷成功,將為公司賺得3萬元,否則公司將損失1萬元.在此次活動中公司收入多少萬元的可能性最大
二、概率的應用
例2　A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,現隨機抽取100位從A地到火車站的人進行調查,調查結果如下:
所用時間(分鐘) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
選擇L1的人數 6 12 18 12 12
選擇L2的人數 0 4 16 16 4
(1)試估計40分鐘內不能趕到火車站的概率;
(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內的頻率;
(3)現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站,為了盡最大可能在允許的時間內趕到火車站,試通過計算說明,他們應如何選擇各自的路徑.
反思感悟　(1)概率在決策問題中的應用
①由于概率反映了隨機事件發生的可能性的大小,概率是頻率的近似值與穩定值,所以可以用樣本出現的頻率近似地估計總體中該結果出現的概率.
②實際生活與生產中常用隨機事件發生的概率來做出更有利的決策.
(2)利用頻率與概率的關系求未知量的步驟
①抽出m個樣本進行標記,設總體為未知量n,則標記概率為.
②隨機抽取n1個個體,出現其中m1個被標記,則標記頻率為.
③用頻率近似等于概率,建立等式≈.
④求得n≈.
跟蹤訓練2　為了估計某自然保護區中天鵝的數量,可以使用以下方法:先從該保護區中捕出一定數量的天鵝,如200只,給每只天鵝作上記號,不影響其存活,然后放回保護區.經過適當的時間,讓它們和保護區中其余的天鵝充分混合,再從保護區中捕出一定數量的天鵝,如150只,查看其中有記號的天鵝,設有20只.試根據上述數據,估計該自然保護區中天鵝的數量為　　　　只.
三、統計與概率的綜合應用
例3　某重點高中擬把學校打造成新型示范高中,為此制定了很多新的規章制度,新規章制度實施一段時間后,學校就新規章制度的認知程度隨機抽取100名學生進行問卷調查,調查問卷共有20個問題,每個問題5分,調查結束后,發現這100名學生的成績都在[75,100]內,按成績分成5組:第1組[75,80),第2組[80,85),第3組[85,90),第4組[90,95),第5組[95,100],繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,已知甲、乙、丙3人分別在第3,4,5組,現在用分層抽樣的方法在第3,4,5組共選取6人對新規章制度作深入學習.
(1)求這100人的平均得分(同一組數據用該區間的中點值作代表).
(2)求第3,4,5組分別選取的人數.
(3)若甲、乙、丙都被選取對新規章制度作深入學習,之后要再從這6人中隨機選取2人全面考查他們對新規章制度的認知程度,求甲、乙、丙這3人至多有一人被選取的概率.
反思感悟　概率與統計問題中的圖表、數據包含著問題的基本信息,也往往暗示著解決問題的目標和方向.在審題時,認真觀察分析圖表、數據的特征的規律,常常可以找到解決問題的思路和方法.
跟蹤訓練3　某市的教育主管部門對所管轄的學校進行年終督導評估,為了解某學校師生對學校教學管理的滿意度﹐分別從教師和不同年級的同學中隨機抽取若干人進行評分(滿分100分),繪制如下頻率分布直方圖(分組區間為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]),并將分數從低到高分為四個等級:
滿意度評分 [40,60) [60,80) [80,90) [90,100]
滿意度等級 不滿意 基本滿意 滿意 非常滿意
已知滿意度等級為基本滿意的有340人.
(1)求表中a的值及不滿意的人數;
(2)記A表示事件“滿意度評分不低于80分”,估計A發生的概率;
(3)若師生的滿意指數不低于0.8,則該校可獲評“教學管理先進單位”.根據你所學的統計知識﹐判斷該校是否能獲評“教學管理先進單位”,并說明理由.
1.知識清單:
(1)統計的應用.
(2)概率的應用.
(3)統計與概率的綜合應用.
2.方法歸納:數學建模.
3.常見誤區:不能將實際問題轉化為統計與概率問題求解致誤.
1.從甲、乙、丙、丁4名選手中選取2人組隊參加奧林匹克競賽,其中甲被選中的概率為 (　　)
A. B.
C. D.
2.某省在校中學生近視率約為37.4%,某配鏡商要到一中學給學生配鏡,若已知該校學生總數為600,則該配鏡商應帶眼鏡的數目為 (　　)
A.374副 B.224副
C.不少于225副 D.不多于225副
3.乘客在某電車站等候26路或16路電車,在該站停靠的有16,22,26,31四路電車,若各路電車先停靠的概率相等,則乘客等候的電車首先停靠的概率等于 (　　)
A. B.
C. D.
4.在所有的兩位數中,任取一個數,則這個數能被2或3整除的概率為 (　　)
A. B.
C. D.
答案精析
例1　解　(1)如圖所示.
(2)根據以上數據,該家庭使用節水龍頭后50天中日用水量小于0.35 m3的頻率為0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,
因此該家庭使用節水龍頭后,日用水量小于0.35 m3的概率的估計值為0.48.
(3)該家庭未使用節水龍頭50天日用水量的平均數為=×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.
該家庭使用了節水龍頭50天日用水量的平均數為=×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.
估計使用節水龍頭后,一年可節省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).
跟蹤訓練1　解　(1)估計該公司員工的月平均工資為0.000 1×1 000×2 000+0.000 1×1 000×3 000+0.000 2×
1 000×4 000+0.000 3×1 000×5 000+0.000 2×1 000×6 000+0.000 1×1 000×7 000=4 700(元).
(2)抽取比為=,
從工資在[1 500,4 500)內的員工中抽出100×(0.1+0.1+0.2)×=2(人),設這兩位員工分別為1,2;從工資在[4 500,7 500]內的員工中抽出100×(0.3+0.2+0.1)×=3(人),設這三位員工分別為A,B,C.
從中任選2人,共有以下10個樣本點:(1,2),(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),(A,B),(A,C),(B,C).
兩人營銷都成功,公司收入6萬元,有以下3個樣本點:(A,B),(A,C),(B,C),概率為;
其中一人營銷成功,一人營銷失敗,公司收入2萬元,有以下6個樣本點:(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),概率為=;
兩人營銷都失敗,公司損失2萬元,有1個樣本點:(1,2),概率為.
∵<<,
∴公司收入2萬元的可能性最大.
例2　解　(1)共調查了100人,其中40分鐘內不能趕到火車站的有12+12+16+4=44(人),
用頻率估計概率,
可得所求概率為=0.44.
(2)選擇L1的有60人,選擇L2的有40人,故由調查結果得所求各頻率為
所用時 間(分鐘) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
L1的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
(3)記事件A1,A2分別表示甲選擇L1和L2時,在40分鐘內趕到火車站;
記事件B1,B2分別表示乙選擇L1和L2時,在50分鐘內趕到火車站.
由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,
P(A2)=0.1+0.4=0.5,
P(A1)>P(A2),
∴甲應選擇L1;
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,
P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
P(B2)>P(B1),
∴乙應選擇L2.
跟蹤訓練2　1 500
例3　解　(1)這100人的平均得分為
=5×
=87.25.
(2)第3組的人數為0.06×5×100=30(人);第4組的人數為0.04×5×100=20(人);第5組的人數為0.02×5×100=10(人),所以共有60人,用分層抽樣在這三組中選取的人數分別為3,2,1.
(3)記其他3人為丁、戊、己,則所有選取的結果為(甲,乙)、(甲,丙)、(甲,丁)、(甲,戊)、(甲,己)、(乙,丙)、(乙,丁)、(乙,戊)、(乙,己)、(丙,丁)、(丙,戊)、(丙,己)、(丁,戊)、(丁,己)、(戊,己),共15種情況,其中甲、乙、丙這3人至多有一人被選取有12種情況,所以所求概率為P==.
跟蹤訓練3　解　(1)由頻率分布直方圖可知,
a=0.1-(0.002+0.004+0.016+0.018+0.024)=0.036,
設不滿意的人數為x,
則(0.002+0.004)∶(0.016+0.018)=x∶340,解得x=60,
故不滿意的人數為60.
(2) “滿意度評分不低于80分”的頻率為(0.036+0.024)×10=0.6,
因此,事件A的概率估計值為0.6.
(3)師生的滿意指數為
η=×(45×0.02+55×0.04+65×0.16+75×0.18+85×0.36+95×0.24)=0.804,
因為η≥0.8,
所以該校可獲評“教學管理先進單位”.
隨堂演練
1.B　2.C　3.A　4.C

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