資源簡介

章末復習課
一、用樣本的頻率分布估計總體分布
1.(1)用樣本估計總體
用樣本頻率分布估計總體頻率分布時,通常要對給定的一組數據作頻率分布表與頻率分布直方圖.當樣本只有兩組數據且樣本容量比較小時,用莖葉圖刻畫數據比較方便.
(2)樣本的數字特征
樣本的數字特征可分為兩大類:一類是反映樣本數據集中趨勢的,包括眾數、中位數和平均數;另一類是反映樣本數據波動大小的,包括方差及標準差.
2.掌握用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布,重點提升數據分析和數學運算素養.
例1　為了解高一年級學生的體能情況,某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試,將所得數據整理后,畫出頻率分布直方圖(如圖所示),圖中從左到右各小矩形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小組的頻數為12.
(1)第二小組的頻率是多少 樣本容量是多少
(2)若次數在110以上(含110次)為達標,則該校全體高一年級學生的達標率約是多少
解　(1)頻率分布直方圖是以面積的形式來反映數據落在各小組內的頻率大小的,
因此第二小組的頻率為=0.08.
因為第二小組的頻率=,
所以樣本容量===150.
(2)由直方圖可估計該校全體高一年級學生的達標率約為×100%=88%.
反思感悟　總體分布中相應的統計圖表主要包括頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖等.通過這些統計圖表給出的相應統計信息可以估計總體.
跟蹤訓練1　從高三學生中抽取50名同學參加數學競賽,成績的分組及各組的頻數如下(單位:分):
[40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8.
(1)列出樣本的頻率分布表;
(2)畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖;
(3)估計成績在[60,90)分的學生比例.
解　(1)頻率分布表如下.
成績分組 頻數 頻率 頻率/組距
[40,50) 2 0.04 0.004
[50,60) 3 0.06 0.006
[60,70) 10 0.20 0.020
[70,80) 15 0.30 0.030
[80,90) 12 0.24 0.024
[90,100] 8 0.16 0.016
合計 50 1.00 0.100
(2)頻率分布直方圖和折線圖如圖所示.
(3)成績在[60,90)分的學生比例約為
0.2+0.3+0.24=0.74=74%.
二、互斥事件與對立事件、相互獨立事件的概率計算
1.互斥和對立、相互獨立都是反映事件相互關系的重要概念.互斥事件、對立事件、相互獨立事件的概率公式是基本公式,必須學會正確運用.運用互斥事件、對立事件、相互獨立事件的概率公式可以解決復雜的概率問題.
2.使用互斥事件和對立事件、相互獨立事件的概率公式求解問題,培養正難則反的思想,提高數學運算和邏輯推理的數學素養.
例2　設甲、乙、丙三臺機器是否需要照看相互之間沒有影響,已知在某一小時內,甲、乙都需要照看的概率為0.05,甲、丙都需要照看的概率為0.1,乙、丙都需要照看的概率為0.125.
(1)分別求甲、乙、丙三臺機器在這一小時內需要照看的概率;
(2)計算這一小時內至少有一臺機器需要照看的概率.
解　記甲、乙、丙三臺機器在這一小時內需要照看分別為事件A,B,C,則A,B,C兩兩相互獨立.
(1)由題意得
P(AB)=P(A)P(B)=0.05,
P(AC)=P(A)P(C)=0.1,
P(BC)=P(B)P(C)=0.125,
∴P(A)=0.2,P(B)=0.25,P(C)=0.5,
∴甲、乙、丙三臺機器在這一小時內需要照看的概率分別為0.2,0.25,0.5.
(2)∵A,B,C兩兩相互獨立,
∴兩兩相互獨立,
∴甲、乙、丙三臺機器在這一小時內都不需要照看的概率為P()=P()P()P()=0.8×0.75×0.5=0.3,
∴這一小時內至少有一臺機器需要照看的概率P=1-P()=1-0.3=0.7.
反思感悟　求復雜事件的概率通常有兩種方法:一是將所求事件轉化成彼此互斥的事件的和;二是先求其對立事件的概率,若A與B互為對立事件,則利用公式P(A)=1-P(B)求解.
跟蹤訓練2　甲、乙、丙三人參加某次招聘會,假設甲能被聘用的概率是,甲、丙兩人同時不能被聘用的概率是,乙、丙兩人同時能被聘用的概率是,且三人各自能否被聘用相互獨立.
(1)求乙、丙兩人各自能被聘用的概率;
(2)設ξ表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人數與不能被聘用的人數之差的絕對值,求{ξ=3}的概率.
解　(1)記甲、乙、丙各自能被聘用的事件分別為A1,A2,A3,則A1,A2,A3相互獨立,且滿足
解得
所以乙、丙兩人各自能被聘用的概率分別為.
(2)P(ξ=3)=P(A1A2A3)+P()=P(A1)P(A2)P(A3)+[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]=××+××=.
三、古典概型
1.古典概型的計算關鍵要分清基本事件的總數n與事件A包含的基本事件的個數m,再利用公式P(A)=求解.有時需要用列舉法把基本事件一一列舉出來,在列舉時必須按某一順序做到不重不漏.
2.通過古典概型判斷及運算,培養邏輯推理和數學運算素養.
例3　甲、乙兩校各有3名教師報名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名,寫出所有可能的結果,并求選出的2名教師性別相同的概率;
(2)若從報名的6名教師中任選2名,寫出所有可能的結果,并求選出的2名教師來自同一學校的概率.
解　甲校兩名男教師分別用A,B表示,女教師用C表示;乙校男教師用D表示,兩名女教師分別用E,F表示.
(1)從甲校和乙校報名的教師中各任選1名的樣本空間為Ω={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共包含9個樣本點.
記事件M為“選出的2名教師性別相同”,
則M={(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)},共包含4個樣本點,
所以選出的2名教師性別相同的概率P(M)=.
(2)從甲校和乙校報名的教師中任選2名的樣本空間為Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共包含15個樣本點.
記事件N為“從中選出的2名教師來自同一學校”則N={(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)},共包含6個樣本點.
所以選出的2名教師來自同一學校的概率P(N)==.
反思感悟　解決古典概型問題時,把相關的知識轉化為事件,列舉基本事件,求出基本事件總數和隨機事件包含的基本事件的個數,然后利用古典概型的概率計算公式進行計算.
跟蹤訓練3　甲、乙兩人玩一種游戲,每次由甲、乙各隨機出1到5根手指頭,若和為偶數算甲贏,否則算乙贏.
(1)若用A表示和為6的事件,求P(A);
(2)現連玩三次,若用B表示甲至少贏一次的事件,C表示乙至少贏兩次的事件,試問B與C是否為互斥事件,為什么
(3)這種游戲規則公平嗎 試說明理由.
解　(1)基本事件個數與點集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一對應,
所以S中點的總數為5×5=25,
所以基本事件總數n=25.
事件A包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共有5個,故P(A)==.
(2)B與C不是互斥事件.因為B與C可以同時發生,
如甲贏一次,乙贏兩次時,B,C同時發生.
(3)這種游戲規則不公平.由(1)知和為偶數的基本事件有(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5),共13個,
所以甲贏的概率為,乙贏的概率為,兩者不相等,
所以這種游戲規則不公平.
四、概率與統計的綜合問題
1.概率與統計相結合,是新課程的一個亮點,其中所涉及的統計知識是基礎知識,所涉及的概率是古典概型,雖然是綜合題,但是難度不大.
2.借助概率與統計的綜合問題,培養數據分析、數學運算等素養.
例4　某企業有甲、乙兩個研發小組.為了比較他們的研發水平,現隨機抽取這兩個小組往年研發新產品的結果如下:(a,b),(a,),(a,b),(,b),(),(a,b),(a,b),(a,),(,b),(a,),(),(a,b),(a,),(,b),(a,b).其中a,分別表示甲組研發成功和失敗;b,分別表示乙組研發成功和失敗,兩個研發小組是否研發成功相互獨立.
(1)若某組成功研發一種新產品,則給該組記1分,否則記0分.試計算甲、乙兩組研發新產品的成績的平均數和方差,并比較甲、乙兩組的研發水平;
(2)若該企業安排甲、乙兩組各自研發一種新產品,試估計恰有一組研發成功的概率.
解　(1)甲組研發新產品的成績為1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,
其平均數為==;
方差為=×=.
乙組研發新產品的成績為1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,
其平均數為==;
方差為=×=.
因為><,
所以甲組的研發水平優于乙組.
(2)由(1)得甲研發成功的概率約為,乙研發成功的概率約為,記E={恰有一組研發成功}.
則P(E)≈×+×=.
反思感悟　(1)概率的應用問題是與統計緊密相聯系的,因此要熟悉統計中的各種圖表的應用,才能正確的解答概率應用問題.
(2)實際問題中的概率問題,要注意首先找出事件的和與事件的積,才能正確使用互斥事件的概率加法公式與獨立事件的概率乘法公式.
跟蹤訓練4　某班同學利用國慶節進行社會實踐,對[25,55]歲的人群隨機抽取n人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查,若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”,否則稱為“非低碳族”,得到數據統計如表和各年齡段人數的頻率分布直方圖:
組數 分組 低碳族的人數 占本組的頻率
第一組 [25,30) 120 0.6
第二組 [30,35) 195 p
第三組 [35,40) 100 0.5
第四組 [40,45) a 0.4
第五組 [45,50) 30 0.3
第六組 [50,55] 15 0.3
(1)補全頻率分布直方圖并求n,a,p的值;
(2)從年齡段在[40,50)的“低碳族”中采用按比例分配的分層抽樣的方法抽取6人參加戶外低碳體驗活動,其中選取2人作為領隊,求選取的2名領隊中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率.
解　(1)第二組的頻率為1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,所以高為=0.06.頻率分布直方圖如下:
第一組的人數為=200,頻率為0.04×5=0.2,所以n==1 000.
由題可知,第二組的頻率為0.3,所以第二組的人數為1 000×0.3=300,所以p==0.65.第四組的頻率為0.03×5=0.15,所以第四組的人數為1 000×0.15=150,所以a=150×0.4=60.
(2)因為[40,45)歲年齡段的“低碳族”與[45,50)歲年齡段的“低碳族”的比值為60∶30=2∶1,所以采用按比例分配的分層抽樣的方法抽取6人,在[40,45)歲的“低碳族”有4人,在[45,50)歲的“低碳族”有2人.
設[40,45)歲“低碳族”中抽的4人為a,b,c,d,[45,50)歲“低碳族”中抽的2人為m,n,則選取2人作為領隊對應的樣本空間Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n)},共包含15個樣本點,其中恰有1人年齡在[40,45)歲的有(a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),共8個樣本點.
所以選取的2名領隊中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率為.章末復習課
一、用樣本的頻率分布估計總體分布
1.(1)用樣本估計總體
用樣本頻率分布估計總體頻率分布時,通常要對給定的一組數據作頻率分布表與頻率分布直方圖.當樣本只有兩組數據且樣本容量比較小時,用莖葉圖刻畫數據比較方便.
(2)樣本的數字特征
樣本的數字特征可分為兩大類:一類是反映樣本數據集中趨勢的,包括眾數、中位數和平均數;另一類是反映樣本數據波動大小的,包括方差及標準差.
2.掌握用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布,重點提升數據分析和數學運算素養.
例1　為了解高一年級學生的體能情況,某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試,將所得數據整理后,畫出頻率分布直方圖(如圖所示),圖中從左到右各小矩形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小組的頻數為12.
(1)第二小組的頻率是多少 樣本容量是多少
(2)若次數在110以上(含110次)為達標,則該校全體高一年級學生的達標率約是多少
反思感悟　總體分布中相應的統計圖表主要包括
頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖等.通過這些統計圖表給出的相應統計信息可以估計總體.
跟蹤訓練1　從高三學生中抽取50名同學參加數學競賽,成績的分組及各組的頻數如下(單位:分):
[40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8.
(1)列出樣本的頻率分布表;
(2)畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖;
(3)估計成績在[60,90)分的學生比例.
二、互斥事件與對立事件、相互獨立事件的概率計算
1.互斥和對立、相互獨立都是反映事件相互關系的重要概念.互斥事件、對立事件、相互獨立事件的概率公式是基本公式,必須學會正確運用.運用互斥事件、對立事件、相互獨立事件的概率公式可以解決復雜的概率問題.
2.使用互斥事件和對立事件、相互獨立事件的概率公式求解問題,培養正難則反的思想,提高數學運算和邏輯推理的數學素養.
例2　設甲、乙、丙三臺機器是否需要照看相互之間沒有影響,已知在某一小時內,甲、乙都需要照看的概率為0.05,甲、丙都需要照看的概率為0.1,乙、丙都需要照看的概率為0.125.
(1)分別求甲、乙、丙三臺機器在這一小時內需要照看的概率;
(2)計算這一小時內至少有一臺機器需要照看的概率.
跟蹤訓練2　甲、乙、丙三人參加某次招聘會,假設甲能被聘用的概率是,甲、丙兩人同時不能被聘用的概率是,乙、丙兩人同時能被聘用的概率是,且三人各自能否被聘用相互獨立.
(1)求乙、丙兩人各自能被聘用的概率;
(2)設ξ表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人數與不能被聘用的人數之差的絕對值,求{ξ=3}的概率.
三、古典概型
1.古典概型的計算關鍵要分清基本事件的總數n與事件A包含的基本事件的個數m,再利用公式P(A)=求解.有時需要用列舉法把基本事件一一列舉出來,在列舉時必須按某一順序做到不重不漏.
2.通過古典概型判斷及運算,培養邏輯推理和數學運算素養.
例3　甲、乙兩校各有3名教師報名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名,寫出所有可能的結果,并求選出的2名教師性別相同的概率;
(2)若從報名的6名教師中任選2名,寫出所有可能的結果,并求選出的2名教師來自同一學校的概率.
反思感悟　解決古典概型問題時,把相關的知識轉化為事件,列舉基本事件,求出基本事件總數和隨機事件包含的基本事件的個數,然后利用古典概型的概率計算公式進行計算.
跟蹤訓練3　甲、乙兩人玩一種游戲,每次由甲、乙各隨機出1到5根手指頭,若和為偶數算甲贏,否則算乙贏.
(1)若用A表示和為6的事件,求P(A);
(2)現連玩三次,若用B表示甲至少贏一次的事件,C表示乙至少贏兩次的事件,試問B與C是否為互斥事件,為什么
(3)這種游戲規則公平嗎 試說明理由.
四、概率與統計的綜合問題
1.概率與統計相結合,是新課程的一個亮點,其中所涉及的統計知識是基礎知識,所涉及的概率是古典概型,雖然是綜合題,但是難度不大.
2.借助概率與統計的綜合問題,培養數據分析、數學運算等素養.
例4　某企業有甲、乙兩個研發小組.為了比較他們的研發水平,現隨機抽取這兩個小組往年研發新產品的結果如下:(a,b),(a,),(a,b),(,b),(),(a,b),(a,b),(a,),(,b),(a,),(),(a,b),(a,),(,b),(a,b).其中a,分別表示甲組研發成功和失敗;b,分別表示乙組研發成功和失敗,兩個研發小組是否研發成功相互獨立.
(1)若某組成功研發一種新產品,則給該組記1分,否則記0分.試計算甲、乙兩組研發新產品的成績的平均數和方差,并比較甲、乙兩組的研發水平;
(2)若該企業安排甲、乙兩組各自研發一種新產品,試估計恰有一組研發成功的概率.
反思感悟　(1)概率的應用問題是與統計緊密相聯系的,因此要熟悉統計中的各種圖表的應用,才能正確的解答概率應用問題.
(2)實際問題中的概率問題,要注意首先找出事件的和與事件的積,才能正確使用互斥事件的概率加法公式與獨立事件的概率乘法公式.
跟蹤訓練4　某班同學利用國慶節進行社會實踐,對[25,55]歲的人群隨機抽取n人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查,若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”,否則稱為“非低碳族”,得到數據統計如表和各年齡段人數的頻率分布直方圖:
組數 分組 低碳族的人數 占本組的頻率
第一組 [25,30) 120 0.6
第二組 [30,35) 195 p
第三組 [35,40) 100 0.5
第四組 [40,45) a 0.4
第五組 [45,50) 30 0.3
第六組 [50,55] 15 0.3
(1)補全頻率分布直方圖并求n,a,p的值;
(2)從年齡段在[40,50)的“低碳族”中采用按比例分配的分層抽樣的方法抽取6人參加戶外低碳體驗活動,其中選取2人作為領隊,求選取的2名領隊中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率.
答案精析
例1　解　(1)頻率分布直方圖是以面積的形式來反映數據落在各小組內的頻率大小的,
因此第二小組的頻率為
=0.08.
因為第二小組的頻率=,
所以樣本容量===150.
(2)由直方圖可估計該校全體高一年級學生的達標率約為×100%=88%.
跟蹤訓練1　解　(1)頻率分布表如下.
成績分組 頻數 頻率 頻率/組距
[40,50) 2 0.04 0.004
[50,60) 3 0.06 0.006
[60,70) 10 0.20 0.020
[70,80) 15 0.30 0.030
[80,90) 12 0.24 0.024
[90,100] 8 0.16 0.016
合計 50 1.00 0.100
(2)頻率分布直方圖和折線圖如圖所示.
(3)成績在[60,90)分的學生比例約為
0.2+0.3+0.24=0.74=74%.
例2　解　記甲、乙、丙三臺機器在這一小時內需要照看分別為事件A,B,C,則A,B,C兩兩相互獨立.
(1)由題意得
P(AB)=P(A)P(B)=0.05,
P(AC)=P(A)P(C)=0.1,
P(BC)=P(B)P(C)=0.125,
∴P(A)=0.2,P(B)=0.25,
P(C)=0.5,
∴甲、乙、丙三臺機器在這一小時內需要照看的概率分別為0.2,0.25,0.5.
(2)∵A,B,C兩兩相互獨立,
∴兩兩相互獨立,
∴甲、乙、丙三臺機器在這一小時內都不需要照看的概率為P()=P()P()P()=0.8×0.75×0.5=0.3,
∴這一小時內至少有一臺機器需要照看的概率
P=1-P()=1-0.3=0.7.
跟蹤訓練2　解　(1)記甲、乙、丙各自能被聘用的事件分別為A1,A2,A3,則A1,A2,A3相互獨立,且滿足
解得
所以乙、丙兩人各自能被聘用的概率分別為.
(2)P(ξ=3)=P(A1A2A3)+P()=P(A1)P(A2)P(A3)+[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]=××+××=.
例3　解　甲校兩名男教師分別用A,B表示,女教師用C表示;乙校男教師用D表示,兩名女教師分別用E,F表示.
(1)從甲校和乙校報名的教師中各任選1名的樣本空間為Ω={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共包含9個樣本點.
記事件M為“選出的2名教師性別相同”,
則M={(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)},共包含4個樣本點,
所以選出的2名教師性別相同的概率P(M)=.
(2)從甲校和乙校報名的教師中任選2名的樣本空間為Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共包含15個樣本點.
記事件N為“從中選出的2名教師來自同一學校”則N={(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)},共包含6個樣本點.
所以選出的2名教師來自同一學校的概率P(N)==.
跟蹤訓練3　解　(1)基本事件個數與點集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一對應,
所以S中點的總數為5×5=25,
所以基本事件總數n=25.
事件A包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共有5個,故P(A)==.
(2)B與C不是互斥事件.因為B與C可以同時發生,
如甲贏一次,乙贏兩次時,B,C同時發生.
(3)這種游戲規則不公平.由(1)知和為偶數的基本事件有(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5),共13個,
所以甲贏的概率為,乙贏的概率為,兩者不相等,
所以這種游戲規則不公平.
例4　解　(1)甲組研發新產品的成績為1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,
其平均數為==;
方差為=×=.
乙組研發新產品的成績為1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,
其平均數為==;
方差為=×=.
因為><,
所以甲組的研發水平優于乙組.
(2)由(1)得甲研發成功的概率約為,乙研發成功的概率約為,
記E={恰有一組研發成功}.
則P(E)≈×+×=.
跟蹤訓練4　解　(1)第二組的頻率為1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,所以高為=0.06.頻率分布直方圖如下:
第一組的人數為=200,頻率為
0.04×5=0.2,所以n==1 000.
由題可知,第二組的頻率為0.3,所以第二組的人數為1 000×0.3=300,所以p==0.65.第四組的頻率為0.03×5=0.15,所以第四組的人數為1 000×0.15=150,所以a=150×0.4=60.
(2)因為[40,45)歲年齡段的“低碳族”與[45,50)歲年齡段的“低碳族”的比值為60∶30=2∶1,所以采用按比例分配的分層抽樣的方法抽取6人,在[40,45)歲的“低碳族”有4人,在[45,50)歲的“低碳族”有2人.
設[40,45)歲“低碳族”中抽的4人為a,b,c,d,[45,50)歲“低碳族”中抽的2人為m,n,則選取2人作為領隊對應的樣本空間Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n)},共包含15個樣本點,其中恰有1人年齡在[40,45)歲的有(a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),共8個樣本點.
所以選取的2名領隊中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率為.

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