資源簡介

6.1.1　向量的概念
[學習目標]　1.理解向量、零向量、單位向量、向量模的意義.2.掌握向量的幾何表示,會用字母表示向量,用向量表示點的位置.3.了解平行向量和相等的向量的意義,并會判斷向量間共線(平行)、相等的關系.
導語　
向量,最初被應用于物理學.很多物理量如力、速度、位移以及電場強度、磁感應強度等都是向量.大約公元前350年前,古希臘著名學者亞里士多德就知道了力可以表示成向量,兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到.“向量”一詞來自力學、解析幾何中的有向線段.最先使用有向線段表示向量的是英國大科學家牛頓.在本章我們將探究如何用數學符號確切地描述向量,進一步探究向量的運算與應用.
一、位移與向量的概念及其表示
問題　如圖,在圖中分別用向量表示A地至B,C兩地的位移.
提示　A地至B,C兩地的位移可以用有向線段,表示.
知識梳理
1.定義
既有大小又有方向的量稱為向量.
2.向量的長度
向量的大小也稱為向量的模(或長度).
3.向量的表示法
(1)向量可以用有向線段來表示,其中有向線段的長度表示向量的大小,有向線段箭頭所指的方向表示向量的方向.
(2)始點為A終點為B的有向線段表示的向量,可以用符號簡記為.除了用始點和終點的兩個大寫字母來表示向量外,還可用一個小寫字母來表示向量:在印刷時,通常用加粗的斜體小寫字母如a,b,c等來表示向量;在書寫時,用帶箭頭的小寫字母如,,等來表示向量.
4.向量的有關概念
名稱 定義 表示方法
零向量 始點和終點相同的向量 0
單位向量 模等于1的向量
注意點:
(1)書寫向量時要帶箭頭.
(2)有向線段是表示向量的一種方法,是向量的直觀表示,但二者不能劃等號.從定義上看,向量有大小和方向兩要素,而有向線段有起點、方向、長度三要素,因此這是兩個不同的量.
(3)向量不能比較大小,向量的模可以比較大小.
(4)0與0不同.0表示數量,但0表示零向量,其中|0|=0.
例1　(1)(多選)下列說法錯誤的是 (　　)
A.數量可以比較大小,向量也可以比較大小
B.方向不同的向量不能比較大小,但同向的向量可以比較大小
C.向量的大小與方向有關
D.向量的模可以比較大小
答案　ABC
解析　A項,向量不能比較大小,不正確;
B項,同向的向量也不能比較大小,不正確;
C項,向量的大小即向量的模,指的是向量的長度,與方向無關,不正確;D項,向量的模是一個數量,可以比較大小,正確.
(2)(多選)下列說法正確的是 (　　)
A.長度為2 024 cm的有向線段不可能表示單位向量
B.零向量的長度為0
C.零向量的方向是任意的
D.向量的模是一個非負實數
答案　BCD
解析　當一個單位長度取2 024 cm時,2 024 cm長的有向線段剛好表示單位向量,故A錯誤;由零向量的定義知,零向量的長度為0,方向是任意的,故BC正確;由向量的模的定義可知,D正確.
反思感悟　解決與向量概念有關問題的方法
(1)向量是既有大小又有方向的量,兩個向量不能比較大小,但向量的模(長度)是一個數量,可以比較大小.
(2)解決此類問題的關鍵是突出向量的核心——方向和長度,如:單位向量的核心是長度都是1個單位長度,零向量的核心是長度是0,方向是任意的.
跟蹤訓練1　(1)下列說法正確的是 (　　)
A.身高是一個向量
B.平面直角坐標系上的x軸、y軸都是向量
C.溫度含零上和零下溫度,所以溫度是向量
D.物理學中的摩擦力、重力都是向量
答案　D
解析　A中的身高,C中的溫度都是數量,不是向量,故AC錯誤;B中平面直角坐標系上的x軸、y軸只有方向,但沒有長度,也不是向量,故B錯誤;D中的物理學中的摩擦力、重力都既有大小,又有方向,是向量.
(2)(多選)下列命題正確的是 (　　)
A.若向量a=,b=,則|a|=|b|
B.若a是單位向量,b也是單位向量,則a與b的方向相同或相反
C.若向量是單位向量,則也是單位向量
D.在Rt△ABC中,∠A=90°,若該三角形的外接圓的半徑長為,則為單位向量
答案　ACD
解析　由于|a|=||=AB,|b|=||=BA=AB,因此有|a|=|b|,故A正確;
由單位向量的定義知,長度為1個單位長度的向量均稱為單位向量,但是對方向沒有任何要求,故B不正確;
因為||=||,所以當是單位向量時,也是單位向量,故C正確;
由于Rt△ABC的斜邊BC是外接圓的直徑,所以||=1,故D正確.
二、向量的簡單應用
例2　在如圖所示的坐標紙上(每個小方格邊長為1),用直尺和圓規畫出下列向量:
(1),使||=4,點A在點O北偏東45°;
(2),使||=4,點B在點A正東方向;
(3),使||=6,點C在點B北偏東30°.
解　(1)由于點A在點O北偏東45°處,所以在坐標紙上點A距點O的橫向小方格數與縱向小方格數相等.又||=4,小方格邊長為1,所以點A距點O的橫向小方格數與縱向小方格數都為4,于是點A位置可以確定,畫出向量如圖所示.
(2)由于點B在點A正東方向,且||=4,所以在坐標紙上點B距點A的橫向小方格數為4,縱向小方格數為0,于是點B位置可以確定,畫出向量如圖所示.
(3)由于點C在點B北偏東30°處,且||=6,依據勾股定理可得在坐標紙上點C距點B的橫向小方格數為3,縱向小方格數為3≈5.2,于是點C位置可以確定,畫出向量如圖所示.
反思感悟　準確畫出向量的方法是先確定向量的起點,再確定向量的方向,然后根據向量的大小確定向量的終點.
跟蹤訓練2　某人從A點出發向東走了5米到達B點,然后改變方向按東北方向走了10米到達C點,到達C點后又改變方向向西走了10米到達D點.
(1)作出向量,,;
(2)求的模.
解　(1)作出向量,,,如圖所示.
(2)由題意得,△BCD是直角三角形,其中∠BDC=90°,BC=10米,CD=10米,所以BD=10米.△ABD是直角三角形,其中∠ABD=90°,AB=5米,BD=10米,所以AD==5(米),所以||=5米.
三、向量的相等與平行
知識梳理
平行向量 (共線向量) 如果兩個非零向量的方向相同或者相反,則稱這兩個向量平行;兩個向量a和b平行,記作a∥b.規定:零向量與任意向量平行
相等的向量 一般地,把大小相等、方向相同的向量稱為相等的向量;向量a和b相等,記作a=b
注意點:
向量平行與直線平行的區別.
例3　(1)(多選)下列命題為真命題的是 (　　)
A.兩個向量,當且僅當它們的起點相同,終點相同時才相等
B.若平面上所有單位向量的起點移到同一個點,則其終點在同一個圓上
C.在菱形ABCD中,一定有=
D.a=b,b=c,則a=c
答案　BCD
解析　兩個向量相等只要模相等且方向相同即可,而與起點和終點的位置無關,故A不正確;單位向量的長度為1,當所有單位向量的起點在同一點O時,終點都在以O為圓心,1為半徑的圓上,故B正確;C,D顯然正確.
(2)如圖所示,O是正六邊形ABCDEF的中心,且=a,=b,=c.
①與a的長度相等、方向相反的向量有哪些
②與a共線的向量有哪些
③請一一列出與a,b,c相等的向量.
解　①與a的長度相等、方向相反的向量有,,,.
②與a共線的向量有,,,,,,,,.
③與a相等的向量有,,;與b相等的向量有,,;與c相等的向量有,,.
反思感悟　尋找共線向量或相等的向量的方法
(1)尋找共線向量:先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構造同向與反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點,起點為終點的向量.
(2)尋找相等的向量:先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量,再確定哪些是同向共線.
跟蹤訓練3　如圖所示,四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形.
①找出與向量共線的向量;
②找出與向量相等的向量.
解　①依據圖形可知,,與方向相同,,,,與方向相反,所以與向量共線的向量為,,,,,,.
②由四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形,知,與長度相等且方向相同,所以與向量相等的向量為和.
1.知識清單:
(1)向量的概念的辨析.
(2)向量的表示方法.
(3)向量的相等與平行.
2.方法歸納:定義法、數形結合法.
3.常見誤區:0的特殊性.共線向量不一定在一條直線上.
1.下列物理量:①質量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.其中不是向量的有 (　　)
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
答案　D
解析　一個量是不是向量,就是看它是否同時具備向量的兩個要素:大小和方向.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向確定的,所以是向量;而質量、路程、密度、功只有大小而沒有方向,所以不是向量.
2.(多選)在下列四個命題中,正確的是 (　　)
A.單位向量都共線
B.長度相等的向量都相等
C.共線的單位向量不一定相等
D.任意向量與零向量都共線
答案　CD
解析　對于A,單位向量長度都相等,但不一定都共線,A錯誤;
對于B,長度相等的向量,方向不一定相同,故長度相等的向量不一定相等,B錯誤;
對于C,共線的單位向量方向可能相反,C正確;
對于D,任意向量與零向量都共線,D正確.
3.如圖,點A,B,C是以O為圓心的圓周上的三等分點,則向量,,是 (　　)
A.方向相同的向量
B.共線向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
答案　C
解析　由題圖可知,三個向量,,方向均不同,也沒任何兩個向量方向相反,所以它們不共線,由于它們到點O的距離相等,所以模相等.
4.如圖,已知正方形ABCD的邊長為2,O為其中心,則||=　　　.
答案　
解析　因為正方形的對角線長為2,所以||=.
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共20分;多選題每小題6分,共30分
1.(多選)給出下列命題,其中正確的命題為 (　　)
A.若a=b,則|a|=|b|
B.若=,則A,B,C,D是一個平行四邊形的四個頂點
C.若一個向量的方向是任意的,則這個向量的模為0
D.若0∥a,0∥b,則a∥b
答案　AC
解析　對于A,a=b說明兩向量大小相等,方向相同,故此命題正確;對于B,由=,可得||=||且∥,由于∥,A,B,C,D可能在同一條直線上,故此命題不正確;C正確;對于D,0與任意向量平行,故此命題不正確.
2.汽車以120 km/h的速度向西走了2 h,摩托車以45 km/h的速度向東北方向走了2 h,則下列命題中正確的是 (　　)
A.汽車的速度大于摩托車的速度
B.汽車的位移大于摩托車的位移
C.汽車走的路程大于摩托車走的路程
D.以上都不對
答案　C
解析　向量不能比較大小.
3.如圖所示,在正三角形ABC中,P,Q,R分別是AB,BC,AC的中點,則與向量相等的向量是 (　　)
A.與 B.與
C.與 D.與
答案　B
解析　向量相等要求模相等,方向相同,因此與都是和相等的向量.
4.若||=||且=,則四邊形ABCD的形狀為 (　　)
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
答案　C
解析　由=,知AB=CD且AB∥CD,即四邊形ABCD為平行四邊形.又因為||=||,所以四邊形ABCD為菱形.
5.下列說法正確的是 (　　)
A.向量與向量是相等向量
B.與實數類似,對于兩個向量a,b,有a=b,a>b,aC.兩個向量平行時,表示向量的有向線段所在的直線一定平行
D.若兩個非零向量是共線向量,則向量所在的直線可以平行,也可以重合
答案　D
解析　對于A,向量與向量是方向相反的向量,所以A錯誤;對于B,因為向量是有方向和大小的量,所以兩個向量不能比較大小,所以B錯誤;對于C,當兩個向量平行時,表示向量的有向線段所在的直線平行或共線,所以C錯誤;對于D,由共線向量的定義可知,當兩個向量是共線向量時,向量所在的直線可以平行,也可以重合,所以D正確.
6.(多選)給出下列四個條件,其中能使a∥b成立的條件是 (　　)
A.a=b B.|a|=|b|
C.a與b方向相反 D.|a|=0或|b|=0
答案　ACD
解析　A中若a=b,則a與b大小相等且方向相同,所以a∥b;B中若|a|=|b|,則a與b的大小相等,而方向不確定,因此不一定有a∥b;C中方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a與b方向相反,則有a∥b;D中零向量與任意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,則a∥b.
7.(5分)設O為正六邊形ABCDEF的中心,在如圖所示標出的向量中,與共線的向量有　　　　.
答案　,
解析　根據正六邊形的性質,FE∥AO∥BC且共線向量可以同向也可以異向,故圖中與共線的向量為,.
8.(5分)已知在邊長為2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,則||=　　　　.
答案　2
解析　由題意知AC⊥BD,且∠ABD=30°,
設AC與BD的交點為O,
∴在Rt△ABO中,||=||·cos 30°=2×=,
∴||=2||=2.
9.(10分)一輛汽車從A點出發向西行駛了100 km到達B點,然后又改變方向,向北偏西40°的方向走了200 km到達C點,最后又改變方向,向東行駛了100 km到達D點.
(1)作出向量,,;(5分)
(2)求||.(5分)
解　(1)向量,,如圖所示.
(2)由題意,可知與方向相反,
故與共線,
∵||=||,
∴在四邊形ABCD中,AB∥CD且AB=CD,
∴四邊形ABCD為平行四邊形,
∴=,∴||=||=200(km).
10.(10分)如圖所示,已知在四邊形ABCD中,M,N分別是BC,AD的中點,又=且=,求證:=.
證明　因為=,
所以||=||且AB∥DC,
所以四邊形ABCD是平行四邊形,
所以||=||且DA∥CB.
又因為與的方向相同,所以=.
同理可證,四邊形CNAM是平行四邊形,
所以=.
因為||=||,||=||,
所以||=||.
又與的方向相同,所以=.
11.(多選)下列結論中,正確的是 (　　)
A.若e1,e2是單位向量,則|e1|=|e2|
B.若O是直線l上的一點,單位長度選定,則l上有且只有兩點A,B,使得,是單位向量
C.方向為北偏西50°的向量與東偏南40°的向量不可能是平行向量
D.一個人從點A向東走500米到達點B,則向量不可能表示這個人從點A到點B的位移
答案　AB
解析　所有的單位向量的模相等,故A正確;B顯然正確;方向為北偏西50°的向量與東偏南40°的向量是平行向量,故C錯誤;位移既有大小又有方向,可以用向量表示,故D錯誤.
12.(多選)如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,則以下說法正確的是 (　　)
A.與相等的向量只有一個(不含)
B.與模相等的向量有9個(不含)
C.的模恰好為的模的倍
D.與不共線
答案　ABC
解析　與相等的向量只有,故A說法正確;在菱形ABCD中,AC=AB=BC=CD=DA,每一條線段可得方向相反的兩個向量,它們的模都相等,故有5×2-1=9(個),故B說法正確;計算得DO=DA,所以BD=DA,即||=||,故C說法正確;由AD∥BC知與共線,故D說法錯誤.
13.(多選)在下列結論中,正確的有 (　　)
A.a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分條件
B.a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要條件
C.a與b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要條件
D.a與b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要條件
答案　ACD
解析　若a=b,則a與b方向相同,模相等,所以A,C,D正確,B錯誤.
14.(5分)如圖,O是正三角形ABC的中心,四邊形AOCD和AOBE均為平行四邊形,則在圖中標出的向量中,與向量相等的向量為　　　　;與向量共線的向量為　　　　;與向量的模相等的向量為　　　　.(填圖中所畫出的向量)
答案　　,　,,,,
解析　∵O是正三角形ABC的中心,∴OA=OB=OC,易知四邊形AOCD和四邊形AOBE均為菱形,∴與相等的向量為;與共線的向量為,;與的模相等的向量為,,,,.
15.(5分)已知四邊形ABCD是邊長為3的正方形,把各邊三等分后,共有9個小正方形,16個頂點,從中選取兩個點作為向量的起點和終點,則與平行且長度為2的向量有　　　　個,與向量同向且長度為2的向量有　　　　個.
答案　8　4
解析　如圖所示,滿足與平行且長度為2的向量有,,,,,,,,共8個,與向量同向且長度為2的向量占與向量平行且長度為2的向量中的一半,共4個.
16.(10分)如圖的方格紙由若干個邊長為1的小正方形組成,方格紙中有兩個定點A,B,點C為小正方形的頂點,且 ||=.
(1)畫出所有的向量;(4分)
(2)求||的最大值與最小值.(6分)
解　(1)畫出所有的向量,如圖所示.
(2)由(1)所畫的圖知,
①當點C位于點C1或C2時,
||取得最小值=;
②當點C位于點C5或C6時,
||取得最大值=.
所以||的最大值為,最小值為.6.1.1　向量的概念
[學習目標]　1.理解向量、零向量、單位向量、向量模的意義.2.掌握向量的幾何表示,會用字母表示向量,用向量表示點的位置.3.了解平行向量和相等的向量的意義,并會判斷向量間共線(平行)、相等的關系.
一、位移與向量的概念及其表示
問題　如圖,在圖中分別用向量表示A地至B,C兩地的位移.
知識梳理
1.定義
既有　　　　又有　　　　的量稱為向量.
2.向量的長度
向量的大小也稱為向量的　　　　(或長度).
3.向量的表示法
(1)向量可以用有向線段來表示,其中有向線段的長度表示向量的　　　　,有向線段箭頭所指的方向表示向量的方向.
(2)始點為A終點為B的有向線段表示的向量,可以用符號簡記為.除了用始點和終點的兩個大寫字母來表示向量外,還可用一個小寫字母來表示向量:在印刷時,通常用加粗的斜體小寫字母如a,b,c等來表示向量;在書寫時,用帶箭頭的小寫字母如等來表示向量.
4.向量的有關概念
名稱 定義 表示方法
零向量 始點和終點相同的向量 0
單位向量 模等于1的向量
例1　(1)(多選)下列說法錯誤的是 (　　)
A.數量可以比較大小,向量也可以比較大小
B.方向不同的向量不能比較大小,但同向的向量可以比較大小
C.向量的大小與方向有關
D.向量的模可以比較大小
(2)(多選)下列說法正確的是 (　　)
A.長度為2 024 cm的有向線段不可能表示單位向量
B.零向量的長度為0
C.零向量的方向是任意的
D.向量的模是一個非負實數
反思感悟　解決與向量概念有關問題的方法
(1)向量是既有大小又有方向的量,兩個向量不能比較大小,但向量的模(長度)是一個數量,可以比較大小.
(2)解決此類問題的關鍵是突出向量的核心——方向和長度,如:單位向量的核心是長度都是1個單位長度,零向量的核心是長度是0,方向是任意的.
跟蹤訓練1　(1)下列說法正確的是 (　　)
A.身高是一個向量
B.平面直角坐標系上的x軸、y軸都是向量
C.溫度含零上和零下溫度,所以溫度是向量
D.物理學中的摩擦力、重力都是向量
(2)(多選)下列命題正確的是 (　　)
A.若向量a=,b=,則|a|=|b|
B.若a是單位向量,b也是單位向量,則a與b的方向相同或相反
C.若向量是單位向量,則也是單位向量
D.在Rt△ABC中,∠A=90°,若該三角形的外接圓的半徑長為,則為單位向量
二、向量的簡單應用
例2　在如圖所示的坐標紙上(每個小方格邊長為1),用直尺和圓規畫出下列向量:
(1),使||=4,點A在點O北偏東45°;
(2),使||=4,點B在點A正東方向;
(3),使||=6,點C在點B北偏東30°.
反思感悟　準確畫出向量的方法是先確定向量的起點,再確定向量的方向,然后根據向量的大小確定向量的終點.
跟蹤訓練2　某人從A點出發向東走了5米到達B點,然后改變方向按東北方向走了10米到達C點,到達C點后又改變方向向西走了10米到達D點.
(1)作出向量;
(2)求的模.
三、向量的相等與平行
知識梳理
平行向量 (共線向量) 如果兩個非零向量的方向相同或者相反,則稱這兩個向量平行;兩個向量a和b平行,記作a∥b.規定:零向量與任意向量　　　
相等的向量 一般地,把大小　　　　、方向　　　　的向量稱為相等的向量;向量a和b相等,記作a=b
例3　(1)(多選)下列命題為真命題的是 (　　)
A.兩個向量,當且僅當它們的起點相同,終點相同時才相等
B.若平面上所有單位向量的起點移到同一個點,則其終點在同一個圓上
C.在菱形ABCD中,一定有=
D.a=b,b=c,則a=c
(2)如圖所示,O是正六邊形ABCDEF的中心,且=a,=b,=c.
①與a的長度相等、方向相反的向量有哪些
②與a共線的向量有哪些
③請一一列出與a,b,c相等的向量.
反思感悟　尋找共線向量或相等的向量的方法
(1)尋找共線向量:先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構造同向與反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點,起點為終點的向量.
(2)尋找相等的向量:先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量,再確定哪些是同向共線.
跟蹤訓練3　如圖所示,四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形.
①找出與向量共線的向量;
②找出與向量相等的向量.
1.知識清單:
(1)向量的概念的辨析.
(2)向量的表示方法.
(3)向量的相等與平行.
2.方法歸納:定義法、數形結合法.
3.常見誤區:0的特殊性.共線向量不一定在一條直線上.
1.下列物理量:①質量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.其中不是向量的有 (　　)
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
2.(多選)在下列四個命題中,正確的是 (　　)
A.單位向量都共線
B.長度相等的向量都相等
C.共線的單位向量不一定相等
D.任意向量與零向量都共線
3.如圖,點A,B,C是以O為圓心的圓周上的三等分點,則向量是 (　　)
A.方向相同的向量
B.共線向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
4.如圖,已知正方形ABCD的邊長為2,O為其中心,則||=　　　　　.
答案精析
問題　A地至B，C兩地的位移可以用有向線段，表示．
知識梳理
1．大小　方向　2.模　3.(1)大小
例1　(1)ABC　(2)BCD
跟蹤訓練1　(1)D　(2)ACD
例2　解　(1)由于點A在點O北偏東45°處，所以在坐標紙上點A距點O的橫向小方格數與縱向小方格數相等．又||＝4，小方格邊長為1，所以點A距點O的橫向小方格數與縱向小方格數都為4，于是點A位置可以確定，畫出向量如圖所示．
(2)由于點B在點A正東方向，且||＝4，所以在坐標紙上點B距點A的橫向小方格數為4，縱向小方格數為0，于是點B位置可以確定，畫出向量如圖所示．
(3)由于點C在點B北偏東30°處，且||＝6，依據勾股定理可得在坐標紙上點C距點B的橫向小方格數為3，縱向小方格數為3≈5.2，于是點C位置可以確定，畫出向量如圖所示．
跟蹤訓練2　解　(1)作出向量，，，如圖所示．
(2)由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，
所以||＝5米．
知識梳理
平行　相等　相同
例3　(1)BCD
(2)解　①與a的長度相等、方向相反的向量有，，，.
②與a共線的向量有，，，，，，，，.
③與a相等的向量有，，；與b相等的向量有，，；與c相等的向量有，，.
跟蹤訓練3　解　①依據圖形可知，，與方向相同，，，，與方向相反，所以與向量共線的向量為，，，，，，.
②由四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形，知，與長度相等且方向相同，所以與向量相等的向量為和.
隨堂演練
1．D　2.CD　3.C　4.

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