資源簡介

6.1.2　向量的加法
[學習目標]　1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則,并能熟練地運用這兩個法則做兩個向量的加法運算.3.了解向量加法的交換律和結合律,并能作圖解釋向量加法運算律的合理性.
導語　
我們知道,實數可以進行運算,如1+2=3,2×3=6,正是有了運算,數字才有了無窮的威力,在運算中,我們還有加法交換律和結合律,乘法交換律、分配律和結合律,那么向量是否也能像數一樣進行運算呢 它的運算規(guī)則又是怎樣的呢 是不是也有相應的運算律 今天我們就從向量的加法開始,來研究向量的運算,探索其運算性質,體會向量運算的作用.
一、向量加法的三角形法則
問題1　某質點從點A經過點B到點C,這個質點的位移如何表示
提示　這個質點兩次位移,的結果,與從點A直接到點C的位移的結果相同,因此位移可以看成是位移與合成的,即可以算作是與的和.
問題2　請結合課本例1,探索一下|a+b|與|a|,|b|之間的關系
提示　(1)當向量a與b不共線時,a+b的方向與a,b方向不同,且|a+b|<|a|+|b|.
(2)當a與b同向時,a+b,a,b同向,且|a+b|=|a|+|b|.
(3)當a與b反向時,若|a|>|b|,則a+b的方向與a相同,且|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,則a+b的方向與b相同,且|a+b|=|b|-|a|.
知識梳理
1.一般地,平面上任意給定兩個向量a,b,在該平面內任取一點A,作=a,=b,作出向量,則向量稱為向量a與b的和(也稱為向量a與b的和向量).向量a與b的和向量記作a+b,因此+=.當a與b不共線時,求它們的和可用圖表示,此時a,b,a+b正好能構成一個三角形,所以上述求兩向量和的作圖方法也常稱為向量加法的三角形法則.
2.對任意向量a,有a+0=0+a=a.
3.向量a,b的模與a+b的模之間滿足不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
注意點:
運用向量加法的三角形法則作圖時要“首尾相接,連首尾”.
例1　(1)如圖,在△ABC中,D,E分別是邊AB,AC上的點,點F為線段DE延長線上一點,DE∥BC,AB∥CF,連接CD,那么(在橫線上只填一個向量):
①+=　　　　　;
②+=　　　　　.
答案　①　②
解析　如題圖,由已知得四邊形DFCB為平行四邊形,由向量加法的運算法則可知
+=+=,
+=+=.
(2)設|a|=8,|b|=12,則|a+b|的最大值與最小值分別為　　　　,　　　　.
答案　20　4
解析　當a,b共線且同向時,
|a+b|=|a|+|b|=8+12=20,
當a,b共線且反向時,|a+b|=||a|-|b||=4.
當a,b不共線時,||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,即4<|a+b|<20,
綜上可知,4≤|a+b|≤20,所以最大值為20,最小值為4.
反思感悟　向量加法的三角形法則的特征為首尾順次相接,即++……+=.
跟蹤訓練1　(1)如圖所示,
①a+b=　　　　;
②c+d=　　　　;
③a+b+d=　　　　;
④c+d+e=　　　　.
答案　①c　②f　③f　④g
(2)若a,b為非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,則 (　　)
A.a∥b,且a與b方向相同
B.a,b是方向相反的向量
C.a=-b
D.a,b無論什么關系均可
答案　A
解析　由向量加法的幾何意義可知,若a,b為非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,則有a∥b,且a與b方向相同,A正確;若a,b是方向相反的向量,則|a+b|=||a|-|b||,B錯誤;若a=-b,則a+b=0,|a+b|=0,C錯誤;若a,b為任意非零向量,有|a+b|≤|a|+|b|,D錯誤.
二、向量加法的平行四邊形法則
問題3　圖(1)表示橡皮條ME在兩個力F1和F2的作用下,沿MC方向伸長了EO;圖(2)表示橡皮條ME在一個力F的作用下,沿相同方向伸長了相同長度EO.從力學的觀點分析,力F與F1,F2之間的關系如何 你能從這個問題出發(fā),給出求解向量之和的另一種方法嗎
提示　F=F1+F2;平行四邊形法則.
知識梳理
1.平面上任意給定兩個不共線的向量a,b,在該平面內任取一點A,作=a,=b,以AB,AC為鄰邊作一個平行四邊形ABDC,作出向量,因為=,所以=+=+,這種求兩向量和的作圖方法也常稱為向量加法的平行四邊形法則.
2.從平行四邊形的性質可知三角形法則和平行四邊形法則是一致的.
3.向量的加法運算滿足交換律,即對于任意的向量a,b,都有a+b=b+a.
注意點:
運用向量加法的平行四邊形法則作圖時,要強調兩個向量起點相同.
例2　(1)如圖①所示,求作向量a+b;
(2)如圖②所示,求作向量a+b+c.
圖①　　　　　　圖②
解　(1)首先作向量=a,然后作向量=b,則向量=a+b.如圖③所示.
圖③
(2)方法一　(三角形法則)如圖④所示,
首先在平面內任取一點O,作向量=a,再作向量=b,則向量=a+b,然后作向量=c,則向量=(a+b)+c=a+b+c即為所求.
圖④　　　　　　 　　　　圖⑤
方法二　(平行四邊形法則)如圖⑤所示,
首先在平面內任取一點O,作向量=a,=b,=c,
以OA,OB為鄰邊作 OADB,連接OD,
則=+=a+b.
再以OD,OC為鄰邊作 ODEC,連接OE,
則=+=a+b+c即為所求.
反思感悟　向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯系
區(qū)別 聯系
三角形 法則 (1)首尾相接; (2)適用于任何兩個非零向量求和 當兩個向量不共線時,三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半
平行四邊 形法則 (1)共起點; (2)僅適用于不共線的兩個向量求和
跟蹤訓練2　如圖所示,O為正六邊形ABCDEF的中心,化簡下列向量.
(1)+=　　　　　;
(2)+=　　　　　;
(3)+=　　　　　.
答案　(1)　(2)　(3)0
解析　(1)因為四邊形OABC是以OA,OC為鄰邊的平行四邊形,OB是其對角線,故+=.
(2)因為=,故+與方向相同,長度為的長度的2倍,
故+=.
(3)因為=,故+=+=0.
三、多個向量相加
問題4　我們知道實數的加法滿足交換律與結合律,向量的加法也滿足交換律,是否也滿足結合律呢 你能證明自己的猜想嗎
提示　如圖,不難證明滿足結合律.
知識梳理
加法結合律(a+b)+c=a+(b+c).
例3　化簡:
(1)+;
(2)++;
(3)++++.
解　(1)+=+=.
(2)++=++
=(+)+=+=0.
(3)++++
=++++
=+++
=++
=+=0.
反思感悟　向量加法運算律的意義和應用原則
(1)意義:向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據,實現了恰當利用向量加法法則運算的目的.實際上,由于向量的加法滿足交換律和結合律,故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.
(2)應用原則:通過向量加法的交換律,使各向量“首尾相連”,通過向量加法的結合律調整向量相加的順序.
跟蹤訓練3　++++等于 (　　)
A. B.0
C. D.
答案　B
解析　++++
=+
=0+0=0.
1.知識清單:
(1)向量加法的三角形法則.
(2)向量加法的平行四邊形法則.
(3)向量加法的運算律.
2.方法歸納:數形結合法.
3.常見誤區(qū):向量加法的三角形法則要注意向量首尾相接,平行四邊形法則要注意把向量移到共同起點.
1.化簡++等于 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　根據平面向量的加法運算,得++=(+)+=+=.
2.正方形ABCD的邊長為1,則|+|為 (　　)
A.1 B. C.3 D.2
答案　B
解析　在正方形ABCD中,AB=1,易知AC=,所以|+|=||=AC=.
3.(多選)下列等式不正確的是 (　　)
A.a+(b+c)=(a+c)+b
B.+=0
C.=++
D.|a+b|=|a|+|b|
答案　BD
解析　B錯誤,+=0;D錯誤,當a,b方向相同時成立,故選BD.
4.如圖,四邊形ABCD是梯形,AD∥BC,對角線AC與BD相交于點O,則+++等于 (　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　+++=+++=++=+=.
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共30分;多選題每小題6分,共18分
1.++++等于 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　++++=(+)+(+)+=++=(+)+=+=.
2.若向量a表示“向東航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,則向量a+b表示 (　　)
A.向東北方向航行2 km
B.向北偏東30°方向航行2 km
C.向北偏東60°方向航行2 km
D.向東北方向航行(1+)km
答案　B
解析　如圖,易知tan α=,所以α=30°.故a+b的方向是北偏東30°.
又|a+b|=2 km,故選B.
3.如圖,在正六邊形ABCDEF中,++等于 (　　)
A.0 B.
C. D.
答案　D
解析　++=++=+=.
4.在如圖所示的方格中有定點O,P,Q,E,F,G,H,則+等于 (　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　利用平行四邊形法則作出向量+(圖略),平移即可發(fā)現+=.
5.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,則△ABC的形狀是 (　　)
A.正三角形 B.銳角三角形
C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形
答案　D
解析　由于||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=,所以△ABC為等腰直角三角形.
6.(多選)在 ABCD中,設=a,=b,=c,=d,則下列等式成立的是 (　　)
A.a+b=c B.a+d=b
C.b+d=a D.|a+b|=|c|
答案　ABD
解析　由向量加法的平行四邊形法則,知a+b=c成立,故|a+b|=|c|也成立;由向量加法的三角形法則,知a+d=b成立,b+d=a不成立.
7.(5分)如圖,在平行四邊形ABCD中,O是AC和BD的交點.則
(1)++=　　　　;
(2)++=　　　　.
答案　(1)　(2)0
8.(5分)在邊長為1的等邊三角形ABC中,|+|=　　,|+|=　　　　.
答案　1　
解析　易知|+|=||=1,以AB,AC為鄰邊作平行四邊形ABDC,則|+|=||=2||×
sin 60°=2×1×=.
9.(10分)如圖所示,在△ABC中,O為重心,D,E,F分別是BC,AC,AB的中點,化簡下列各式:
(1)++;(3分)
(2)++;(3分)
(3)++.(4分)
解　(1)++=+=.
(2)++=(+)+=+=.
(3)++=++=+=.
10.(11分)某人在靜水中游泳,速度大小為4 千米/時,他在水流速度大小為4千米/時的河中游泳.若他垂直游向河對岸,則他實際沿什么方向前進 實際前進的速度大小為多少
解　如圖,設此人游泳的速度為,水流的速度為,以,為鄰邊作 OACB,則此人的實際速度為+=.
由勾股定理知||=8,且在Rt△ACO中,∠COA=60°,故此人沿與河岸成60°的夾角順著水流的方向前進,速度大小為8千米/時.
11.(多選)下列說法錯誤的有 (　　)
A.如果非零向量a與b的方向相同或相反,那么a+b的方向必與a或b的方向相同
B.若向量a∥b,且|a|>|b|>0,則向量a+b的方向與向量a的方向相同
C.若++=0,則A,B,C一定為一個三角形的三個頂點
D.若a,b均為非零向量,則|a+b|=|a|-|b|
答案　ACD
解析　A錯,若a+b=0,則a+b的方向是任意的;B正確,若a和b方向相同,則它們的和向量的方向應該與a(或b)的方向相同,若它們的方向相反,而a的模大于b的模,則它們的和向量的方向與a的方向相同;C錯誤,當A,B,C三點共線時,也滿足++=0;D錯,||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
12.已知△ABC的三個頂點A,B,C及平面內一點P滿足+=,則下列結論中正確的是 (　　)
A.P在△ABC的內部
B.P在△ABC的邊AB上
C.P在AB邊所在的直線上
D.P在△ABC的外部
答案　D
解析　+=,根據向量加法的平行四邊形法則,如圖,則點P在△ABC外.
13.(多選)設a=(+)+(+),b是任一非零向量,則在下列結論中,正確的為 (　　)
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
答案　AC
解析　由條件得,a=(+)+(+)=+++=0,所以選項中a與b的關系,即0與b的關系,易知A,C正確.
14.(5分)已知點G是△ABC的重心,則++=　　　.
答案　0
解析　如圖所示,連接AG并延長交BC于點E,則點E為BC的中點,延長AE到點D,使GE=ED,
則+=,+=0,
∴++=0.
15.(5分)設|a|=2,e為單位向量,則|a+e|的最大值為　　　.
答案　3
解析　在平面內任取一點O,作=a,=e,則a+e=+=,
因為e為單位向量,
所以點B在以點A為圓心的單位圓上(如圖所示),由圖可知當點B在點B1的位置時,O,A,B1三點共線,||即|a+e|最大,最大值是3.
16.(11分)如圖,已知D,E,F分別為△ABC的三邊BC,AC,AB的中點,求證:++=0.
證明　由題意知,=+,
=+,=+.
由平面幾何知識可知,=,=,
所以++
=(+)+(+)+(+)
=(+++)+(+)
=(+++)+0
=++=++=0.6.1.2　向量的加法
[學習目標]　1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則,并能熟練地運用這兩個法則做兩個向量的加法運算.3.了解向量加法的交換律和結合律,并能作圖解釋向量加法運算律的合理性.
一、向量加法的三角形法則
問題1　某質點從點A經過點B到點C,這個質點的位移如何表示
問題2　請結合課本例1,探索一下|a+b|與|a|,|b|之間的關系
知識梳理
1.一般地,平面上任意給定兩個向量a,b,在該平面內任取一點A,作=a,=b,作出向量,則向量稱為向量a與b的和(也稱為向量a與b的和向量).向量a與b的和向量記作　　　　,因此+=.當a與b不共線時,求它們的和可用圖表示,此時a,b,a+b正好能構成一個三角形,所以上述求兩向量和的作圖方法也常稱為向量加法的　　　　　　.
2.對任意向量a,有a+0=　　　　　　=a.
3.向量a,b的模與a+b的模之間滿足不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
例1　(1)如圖,在△ABC中,D,E分別是邊AB,AC上的點,點F為線段DE延長線上一點,DE∥BC,AB∥CF,連接CD,那么(在橫線上只填一個向量):
①+=　　　　　;
②+=　　　　　.
(2)設|a|=8,|b|=12,則|a+b|的最大值與最小值分別為　　　　,　　　　.
反思感悟　向量加法的三角形法則的特征為首尾順次相接,即++……+=.
跟蹤訓練1　(1)如圖所示,
①a+b=　　　　;
②c+d=　　　　;
③a+b+d=　　　　;
④c+d+e=　　　　.
(2)若a,b為非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,則 (　　)
A.a∥b,且a與b方向相同
B.a,b是方向相反的向量
C.a=-b
D.a,b無論什么關系均可
二、向量加法的平行四邊形法則
問題3　圖(1)表示橡皮條ME在兩個力F1和F2的作用下,沿MC方向伸長了EO;圖(2)表示橡皮條ME在一個力F的作用下,沿相同方向伸長了相同長度EO.從力學的觀點分析,力F與F1,F2之間的關系如何 你能從這個問題出發(fā),給出求解向量之和的另一種方法嗎
知識梳理
1.平面上任意給定兩個不共線的向量a,b,在該平面內任取一點A,作=a,=b,以AB,AC為鄰邊作一個平行四邊形ABDC,作出向量,因為=,所以=+=+,這種求兩向量和的作圖方法也常稱為向量加法的平行四邊形法則.
2.從平行四邊形的性質可知三角形法則和平行四邊形法則是一致的.
3.向量的加法運算滿足交換律,即對于任意的向量a,b,都有a+b=　　　　　.
例2　(1)如圖①所示,求作向量a+b;
(2)如圖②所示,求作向量a+b+c.
圖①　　　　　　圖②
反思感悟　向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯系
區(qū)別 聯系
三角形法則 (1)首尾相接; (2)適用于任何兩個非零向量求和 當兩個向量不共線時,三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半
平行四邊形法則 (1)共起點; (2)僅適用于不共線的兩個向量求和
跟蹤訓練2　如圖所示,O為正六邊形ABCDEF的中心,化簡下列向量.
(1)+=　　　　　;
(2)+=　　　　　;
(3)+=　　　　　.
三、多個向量相加
問題4　我們知道實數的加法滿足交換律與結合律,向量的加法也滿足交換律,是否也滿足結合律呢 你能證明自己的猜想嗎
知識梳理
加法結合律　　　　　　=a+(b+c).
例3　化簡:
(1)+;
(2)++;
(3)++++.
反思感悟　向量加法運算律的意義和應用原則
(1)意義:向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據,實現了恰當利用向量加法法則運算的目的.實際上,由于向量的加法滿足交換律和結合律,故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.
(2)應用原則:通過向量加法的交換律,使各向量“首尾相連”,通過向量加法的結合律調整向量相加的順序.
跟蹤訓練3　++++等于 (　　)
A. B.0
C. D.
1.知識清單:
(1)向量加法的三角形法則.
(2)向量加法的平行四邊形法則.
(3)向量加法的運算律.
2.方法歸納:數形結合法.
3.常見誤區(qū):向量加法的三角形法則要注意向量首尾相接,平行四邊形法則要注意把向量移到共同起點.
1.化簡++等于 (　　)
A. B.
C. D.
2.正方形ABCD的邊長為1,則|+|為 (　　)
A.1 B.
C.3 D.2
3.(多選)下列等式不正確的是 (　　)
A.a+(b+c)=(a+c)+b
B.+=0
C.=++
D.|a+b|=|a|+|b|
4.如圖,四邊形ABCD是梯形,AD∥BC,對角線AC與BD相交于點O,則+++等于 (　　)
A. B.
C. D.
答案精析
問題1　這個質點兩次位移，的結果，
與從點A直接到點C的位移的結果相同，因此位移可以看成是位移與合成的，即可以算作是與的和．
問題2　(1)當向量a與b不共線時，a＋b的方向與a，b方向不同，
且|a＋b|<|a|＋|b|.
(2)當a與b同向時，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)當a與b反向時，若|a|>|b|，則a＋b的方向與a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，則a＋b的方向與b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
知識梳理
1．a＋b　三角形法則　2.0＋a
例1　(1)①　②　(2)20　4
跟蹤訓練1　(1)①c　②f　③f
④g　(2)A
問題3　F＝F1＋F2；平行四邊形法則．
知識梳理
3．b＋a
例2　解　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，則向量＝a＋b.如圖③所示．
圖③
(2)方法一　(三角形法則)如圖④所示，
首先在平面內任取一點O，作向量＝a，再作向量＝b，則向量＝a＋b，然后作向量＝c，則向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即為所求．
　　
圖④　　 　　　　圖⑤
方法二　(平行四邊形法則)如圖⑤所示，
首先在平面內任取一點O，作向量＝a，＝b，＝c，
以OA，OB為鄰邊作 OADB，連接OD，
則＝＋＝a＋b.
再以OD，OC為鄰邊作 ODEC，連接OE，
則＝＋＝a＋b＋c即為所求．
跟蹤訓練2　(1)　(2)　(3)0
問題4　如圖，不難證明滿足結合律．
知識梳理
(a＋b)＋c
例3　解　(1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0．
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝0．
跟蹤訓練3　B
隨堂演練
1．C　2.B　3.BD　4.B

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