資源簡介

6.1.3　向量的減法
[學習目標]　1.理解相反向量的含義,能用相反向量說出向量相減的意義.2.掌握向量減法的運算及其幾何意義,能熟練地進行向量的加減運算.3.能將向量的減法運算轉化為向量的加法運算.
導語　
上節課我們學習了向量的加法運算,掌握了進行加法運算的三角形法則和平行四邊形法則,通過上節課的練習,絕大部分同學都掌握的不錯.那么向量有沒有減法運算呢 如何進行向量的減法運算呢 今天我們一起來學習一下!
一、向量減法的三角形法則
問題1　在初中,我們學過相反數,課本上是怎么給它定義的 互為相反數的兩個數有什么性質 結合定義和性質,我們能否給出“相反向量”的定義
提示　只有符號不同的兩個數叫做相反數,互為相反數的兩個數的絕對值相等.由于向量既有大小,又有方向,所以我們可以從這兩個角度,類比相反數的定義和性質,給出如下相反向量的定義,長度相等但方向相反的兩個向量稱作相反向量.
問題2　在數的運算中,減法是求兩個實數的差的運算,與加法是互逆運算,其運算法則為“減去一個數等于加上這個數的相反數”,類比上面的這段話,把其中的“數”變為“向量”,上面這段話變成什么了
提示　類比上面的這段話,我們可以得到:在向量的運算中,減法是求兩個向量的差的運算,與加法是互逆運算,其運算法則為“減去一個向量等于加上這個向量的相反向量”.
問題3　如果已知=a,=b,請利用向量減法與加法的轉化規則,用作圖的方法得到a-b.
提示　如圖,作=-b,由向量減法與加法的轉化規則可知a-b=a+(-b)=+,以和為鄰邊作平行四邊形OACD,則+=,且AC與OD平行且相等.再結合相反向量的定義,在四邊形OCAB中,AC與OB平行且相等,所以四邊形OCAB是平行四邊形,所以==a-b.
知識梳理
1.向量減法
定義 一般地,平面上任意給定兩個向量a,b,如果向量x能夠滿足b+x=a,則稱x為向量a與b的差,記作x=a-b
向量減法 的三角形 法則 在平面內任取一點O,作=a,=b,作出向量,注意到+=,因此向量就是向量a與b的差(也稱為向量a與b的差向量),即-=
結論 ||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|
2.相反向量
定義 給定一個向量,我們把與這個向量方向相反、大小相等的向量稱為它的相反向量.向量a的相反向量記作-a
性質 (1)零向量的始點與終點相同,所以-0=0; (2)互為相反向量的兩個向量的和為0,即a+(-a)=(-a)+a=0; (3)若a+b=0,則a=-b,b=-a
3.向量減法的三角形法則
當a與b不共線時,求a-b的差可用圖表示,此時向量a,b,a-b正好能構成一個三角形,因此上述求兩向量差的作圖方法也常稱為向量減法的三角形法則.
注意點:
(1)向量減法的實質是向量加法的逆運算.利用相反向量的定義,就可以把減法轉化為加法,即減去一個向量等于加上這個向量的相反向量.如a-b=a+(-b).
(2)注意向量加、減運算三角形法則的區別.
(3)以平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB,AD分別表示向量=a,=b,則兩條對角線表示的向量為=a+b,=b-a,=a-b,這一結論應用非常廣泛,應該加強理解并記牢.
例1　如圖,已知向量a,b,c不共線,求作向量a+b-c.
解　方法一　如圖①,在平面內任取一點O,作=a,=b,則=a+b,再作=c,則=a+b-c.
方法二　如圖②,在平面內任取一點O,作=a,=b,則=a+b,再作=c,連接OC,則=a+b-c.
反思感悟　求作兩個向量的差向量的兩種思路
(1)可以轉化為向量的加法來進行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b).
(2)可以直接用向量減法的幾何意義,即把兩向量的起點重合,則差向量為連接兩個向量的終點,指向被減向量的終點的向量.
跟蹤訓練1　如圖,O為△ABC內一點,=a,=b,=c.求作:
①b+c-a;
②a-b-c.
解　①如圖1所示,以,為鄰邊作 OBDC,連接OD,AD,則=+=b+c,
所以b+c-a=-=.
②由①知,=b+c,如圖2所示,
則a-b-c=-=.
圖1　　　　 　圖2
二、向量加減的混合運算
例2　(1)化簡:①+--;
②(++)-(--).
解　①+--=(-)+(-)=+=.
②(++)-(--)
=+-+
=+++
=+=0.
(2)如圖,P,Q是△ABC的邊BC上的兩點,且=,則化簡+--的結果為 (　　)
A.0 B. C. D.
答案　A
解析　+--=(-)+(-)=+=0.
反思感悟　(1)向量減法運算的常用方法
(2)向量加減法化簡的兩種形式
①首尾相連且為和.
②起點相同且為差.
跟蹤訓練2　(1)(多選)下列各向量運算的結果與相等的有 (　　)
A.+ B.-
C.- D.-
答案　AD
(2)化簡下列各式:
①-+-;
②(-)+(-).
解　①-+-=+-=-=.
②(-)+(-)=+++=+(++)=+0=.
三、用已知向量表示其他向量
例3　如圖,解答下列各題:
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用d,c表示.
解　由圖可知,=a,=b,=c,=d,=e,則
(1)=++=d+e+a.
(2)=-=--=-b-c.
(3)=++=e+a+b.
(4)=-=-(+)=-c-d.
反思感悟　用已知向量表示未知向量的求解思路
(1)先結合圖形特征,把未知向量放在三角形或平行四邊形中.
(2)然后結合向量的三角形法則或平行四邊形法則及向量共線定理用已知向量表示未知向量.
(3)當直接表示比較困難時,可以利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系,然后解關于所求向量的方程.
跟蹤訓練3　如圖,在五邊形ABCDE中,若四邊形ACDE是平行四邊形,且=a,=b,=c,試用a,b,c表示向量,,,及.
解　∵四邊形ACDE是平行四邊形,
∴==c,
=-=b-a,
=-=c-a,
=-=c-b,
∴=+=b-a+c.
四、向量減法的綜合問題
例4　(1)O是四邊形ABCD所在平面內任一點,且∥,|-|=|-|,則四邊形ABCD一定是 (　　)
A.菱形 B.任意四邊形
C.矩形 D.平行四邊形
答案　D
解析　由|-|=|-|知||=||,又∥,故四邊形ABCD是平行四邊形.
(2) 已知||=8,||=5,求||的取值范圍.
解　因為=-,||=8,||=5,
|||-|||≤|-|≤||+||,
所以3≤||≤13,
當與同向時,||=3,
當與反向時,||=13,
所以||的取值范圍是[3,13].
反思感悟　(1)向量加減法化簡的兩種形式
①首尾相連且為和.
②起點相同且為差.
(2)涉及向量a,b的模與a-b,a+b的模之間的關系時,可利用|a|,|b|,|a+b|,|a-b|的幾何意義畫出圖形,數形結合求解所求的模.
(3)應用向量加法、減法的幾何意義以及向量加法的結合律、交換律來分析解決問題,要搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、共線向量以及構成三角形的三個向量之間的關系,確定已知向量與被表示向量的轉化渠道.
跟蹤訓練4　如圖,在四邊形ABCD中,||=||=||,且=-,則∠ABC=　　　　.
答案　120°
解析　由向量的減法的幾何意義可知,-=,因為=-,所以=,
所以四邊形ABCD是平行四邊形,
又因為||=||=||,
所以四邊形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,所以∠ABC=120°.
1.知識清單:
(1)向量減法的三角形法則.
(2)向量減法的運算及幾何意義.
(3)向量減法的綜合應用.
2.方法歸納:數形結合法、轉化法.
3.常見誤區:
(1)忽視向量共起點時才可進行向量的減法運算.
(2)||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|等號成立的條件.
1.在△ABC中,若=a,=b,則等于 (　　)
A.a B.a+b C.b-a D.a-b
答案　D
解析　=-=a-b.
2.化簡-++等于 (　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　原式=(+)+(+)=+0=.
3.(多選)若非零向量m與n是相反向量,則下列正確的是 (　　)
A.m=n B.m=-n
C.|m|=|n| D.m與n方向相反
答案　BCD
解析　相反向量的大小相等、方向相反,故A錯誤.
4.若菱形ABCD的邊長為2,則|-+|的長度為　　　　.
答案　2
解析　|-+|=|++|=||=2.
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共40分;多選題每小題6分,共6分
1.如圖所示,四邊形ABCD是平行四邊形,則-+等于 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　-+=++=+0=.
2.如圖,在四邊形ABCD中,若=a,=b,=c,則等于 (　　)
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
答案　A
解析　
=a+c-b.
3.在平行四邊形ABCD中,若|+|=|-|,則必有 (　　)
A.=0
B.=0或=0
C.四邊形ABCD為矩形
D.四邊形ABCD為正方形
答案　C
解析　因為+=,-=,所以||=||,所以平行四邊形ABCD為矩形.
4.下列各式不能化簡為的是 (　　)
A.+(+) B.++-
C.-+ D.+-
答案　D
解析　對于A,+(+)=++=;
對于B,++-=+++=;
對于C,-+=++=;
對于D,因為+=,+=,
所以≠+-=-.
5.(多選)已知向量a與b反向,則下列等式中成立的是 (　　)
A.||a|-|b||=|a+b|
B.|a+b|=|a-b|
C.|a|+|b|=|a-b|
D.|a|+|b|=|a+b|
答案　AC
解析　因為向量a與b反向,則有||a|-|b||=|a+b|,故A正確,B錯誤;|a|+|b|=|a-b|,故C正確,D錯誤.
6.在邊長為1的正三角形ABC中,|-|的值為 (　　)
A.1 B.2 C. D.
答案　D
解析　如圖,作菱形ABCD,
則|-|=|-|
=||=.
7.(5分)化簡:(1)+-=　　　　;
(2)---=　　　　.
答案　(1)0　(2)
解析　(1)+-=+=0;
(2)---=(-)-(+)=-0=.
8.(5分)在矩形ABCD中,||=2,||=4,則|+-|=　　　,|++|=　　　.
答案　4　8
解析　在矩形ABCD中,
因為+-=++=+,
所以|+-|=2||=4.
因為++=++=+,
所以|++|=8.
9.(10分)如圖,已知O為平行四邊形ABCD內一點,=a,=b,=c,試用a,b,c表示.
解　方法一　=+=a+
=a+(-)=a+c-b.
方法二　=+++
=++(+)=++0
=+(+)=a+(-b+c)=a-b+c.
10.(12分)已知非零向量a,b滿足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,求|a+b|的值.
解　設=a,=b,
則||=|a-b|.
以OA,OB為鄰邊作平行四邊形OACB(圖略),
則||=|a+b|.
∵(+1)2+(-1)2=42,
∴||2+||2=||2,
∴OA⊥OB.∴平行四邊形OACB是矩形.
∵矩形的對角線相等,∴||=||=4,
即|a+b|=4.
11.在四邊形ABCD中,=,若|-|=|-|,則四邊形ABCD是 (　　)
A.菱形 B.矩形
C.正方形 D.不確定
答案　B
解析　因為=,所以四邊形ABCD為平行四邊形,
因為|-|=|-|,所以||=||.所以四邊形ABCD為矩形.
12.下列各式正確的是 (　　)
A.--=
B.-++=
C.-+=0
D.--+=0
答案　B
解析　--=-≠,-++=+++=,-+=++=+,--+=+++=+.
13.(5分)如圖所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC與BD交于點O,則--++=　　　　.
答案　
解析　--++=(-)-(-)+=-+=.
14.(5分)設點M是線段BC的中點,點A在直線BC外,且||=4,|+|=|-|,則||=　　　　.
答案　2
解析　以AB,AC為鄰邊作平行四邊形ACDB,
由向量加減法的幾何意義可知,
=+,=-,
∵|+|=|-|,
∴||=||,
又||=4,M是線段BC的中點,
∴||=2.
15.下列不等式或等式中,一定成立的是 (　　)
A.||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|
B.|a|-|b|=|a+b|=|a|+|b|
C.|a|-|b|=|a+b|<|a|+|b|
D.|a|-|b|<|a+b|=|a|+|b|
答案　A
解析　A顯然成立;對于B,當a=b=0或b=0,a≠0時成立;對于C,當a與b共線,方向相反,且|a|≥|b|時成立;對于D,當a與b共線,方向相同,且|a|>|b|時成立.
16.(12分)如圖所示,已知正方形ABCD的邊長為1,=a,=b,=c,求:
(1)|a+b+c|;(6分)
(2)|a-b+c|.(6分)
解　(1)由已知得a+b=+=,
∵=c,∴延長AC到點E,使||=||,
如圖所示,
則a+b+c=,且||=2.
∴|a+b+c|=2.
(2)作=,連接CF,BD,則+=,
而=-=-=a-b,
∴|a-b+c|=|+|=||,且||=2.
∴|a-b+c|=2.6.1.3　向量的減法
[學習目標]　1.理解相反向量的含義,能用相反向量說出向量相減的意義.2.掌握向量減法的運算及其幾何意義,能熟練地進行向量的加減運算.3.能將向量的減法運算轉化為向量的加法運算.
一、向量減法的三角形法則
問題1　在初中,我們學過相反數,課本上是怎么給它定義的 互為相反數的兩個數有什么性質 結合定義和性質,我們能否給出“相反向量”的定義
問題2　在數的運算中,減法是求兩個實數的差的運算,與加法是互逆運算,其運算法則為“減去一個數等于加上這個數的相反數”,類比上面的這段話,把其中的“數”變為“向量”,上面這段話變成什么了
問題3　如果已知=a,=b,請利用向量減法與加法的轉化規則,用作圖的方法得到a-b.
知識梳理
1.向量減法
定義 一般地,平面上任意給定兩個向量a,b,如果向量x能夠滿足b+x=a,則稱x為向量a與b的差,記作x=　　　　
向量減法 的三角形 法則 在平面內任取一點O,作=a,=b,作出向量,注意到+=,因此向量就是向量a與b的　　　　(也稱為向量a與b的差向量),即-=
結論 　　　　　≤|a-b|≤　　　　　
2.相反向量
定義 給定一個向量,我們把與這個向量方向　　　　　、大小　　　　　的向量稱為它的相反向量.向量a的相反向量記作　　　　
性質 (1)零向量的始點與終點　　　　,所以-0=0; (2)互為相反向量的兩個向量的和為　　　　,即a+(-a)=(-a)+a=0; (3)若a+b=0,則a=　　　　,b=　　　　
3.向量減法的三角形法則
當a與b不共線時,求a-b的差可用圖表示,此時向量a,b,a-b正好能構成一個三角形,因此上述求兩向量差的作圖方法也常稱為向量減法的三角形法則.
例1　如圖,已知向量a,b,c不共線,求作向量a+b-c.
反思感悟　求作兩個向量的差向量的兩種思路
(1)可以轉化為向量的加法來進行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b).
(2)可以直接用向量減法的幾何意義,即把兩向量的起點重合,則差向量為連接兩個向量的終點,指向被減向量的終點的向量.
跟蹤訓練1　如圖,O為△ABC內一點,=a,=b,=c.求作:
①b+c-a;
②a-b-c.
二、向量加減的混合運算
例2　(1)化簡:①+--;
②(++)-(--).
(2)如圖,P,Q是△ABC的邊BC上的兩點,且=,則化簡+--的結果為 (　　)
A.0 B.
C. D.
反思感悟　(1)向量減法運算的常用方法
(2)向量加減法化簡的兩種形式
①首尾相連且為和.
②起點相同且為差.
跟蹤訓練2　(1)(多選)下列各向量運算的結果與相等的有 (　　)
A.+ B.-
C.- D.-
(2)化簡下列各式:
①-+-;
②(-)+(-).
三、用已知向量表示其他向量
例3　如圖,解答下列各題:
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用d,c表示.
反思感悟　用已知向量表示未知向量的求解思路
(1)先結合圖形特征,把未知向量放在三角形或平行四邊形中.
(2)然后結合向量的三角形法則或平行四邊形法則及向量共線定理用已知向量表示未知向量.
(3)當直接表示比較困難時,可以利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系,然后解關于所求向量的方程.
跟蹤訓練3　如圖,在五邊形ABCDE中,若四邊形ACDE是平行四邊形,且=a,=b,=c,試用a,b,c表示向量及.
四、向量減法的綜合問題
例4　(1)O是四邊形ABCD所在平面內任一點,且∥,|-|=|-|,則四邊形ABCD一定是 (　　)
A.菱形 B.任意四邊形
C.矩形 D.平行四邊形
(2)已知||=8,||=5,求||的取值范圍.
反思感悟　(1)向量加減法化簡的兩種形式
①首尾相連且為和.
②起點相同且為差.
(2)涉及向量a,b的模與a-b,a+b的模之間的關系時,可利用|a|,|b|,|a+b|,|a-b|的幾何意義畫出圖形,數形結合求解所求的模.
(3)應用向量加法、減法的幾何意義以及向量加法的結合律、交換律來分析解決問題,要搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、共線向量以及構成三角形的三個向量之間的關系,確定已知向量與被表示向量的轉化渠道.
跟蹤訓練4　如圖,在四邊形ABCD中,||=||=||,且=-,則∠ABC=　　　　.
1.知識清單:
(1)向量減法的三角形法則.
(2)向量減法的運算及幾何意義.
(3)向量減法的綜合應用.
2.方法歸納:數形結合法、轉化法.
3.常見誤區:
(1)忽視向量共起點時才可進行向量的減法運算.
(2)||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|等號成立的條件.
1.在△ABC中,若=a,=b,則等于 (　　)
A.a B.a+b
C.b-a D.a-b
2.化簡-++等于 (　　)
A. B.
C. D.
3.(多選)若非零向量m與n是相反向量,則下列正確的是 (　　)
A.m=n B.m=-n
C.|m|=|n| D.m與n方向相反
4.若菱形ABCD的邊長為2,則|-+|的長度為　　　　.
答案精析
問題1　只有符號不同的兩個數叫做相反數，互為相反數的兩個數的絕對值相等．由于向量既有大小，又有方向，所以我們可以從這兩個角度，類比相反數的定義和性質，給出如下相反向量的定義，長度相等但方向相反的兩個向量稱作相反向量．
問題2　類比上面的這段話，我們可以得到：在向量的運算中，減法是求兩個向量的差的運算，與加法是互逆運算，其運算法則為“減去一個向量等于加上這個向量的相反向量”．
問題3　如圖，作＝－b，由向量減法與加法的轉化規則可知a－b＝a＋(－b)＝＋，以和為鄰邊作平行四邊形OACD，
則＋＝，且AC與OD平行且相等．再結合相反向量的定義，在四邊形OCAB中，AC與OB平行且相等，所以四邊形OCAB是平行四邊形，所以＝＝a－b.
知識梳理
1．a－b　差　||a|－|b||　|a|＋|b|
2．相反　相等　－a　相同　(2)0
(3)－b　－a
例1　解　方法一　如圖①，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，
則＝a＋b，再作＝c，
則＝a＋b－c.
方法二　如圖②，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則＝a＋b，再作＝c，連接OC，
則＝a＋b－c.
跟蹤訓練1　解　①如圖1所示，以，為鄰邊作 OBDC，連接OD，AD，則＝＋＝b＋c，
所以b＋c－a＝－＝.
②由①知，＝b＋c，如圖2所示，
則a－b－c＝－＝.
　
圖1　　　　 　圖2
例2　(1)①　②0　(2)A
跟蹤訓練2　(1)AD
(2)解　①－＋－＝＋－＝－＝.
②(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝.
例3　解　由圖可知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，則
(1)＝＋＋＝d＋e＋a.
(2)＝－＝－－
＝－b－c.
(3)＝＋＋＝e＋a＋b.
(4)＝－＝－(＋)
＝－c－d.
跟蹤訓練3　解　∵四邊形ACDE是平行四邊形，
∴＝＝c，
＝－＝b－a，
＝－＝c－a，
＝－＝c－b，
∴＝＋＝b－a＋c.
例4　(1)D　(2)[3,13]
跟蹤訓練4　120°
隨堂演練
1．D　2.B　3.BCD　4.2

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