資源簡介

6.1.4　數乘向量+向量的線性運算
[學習目標]　1.理解向量的數乘運算及其幾何意義.2.會利用向量共線判斷三點共線及線線平行.
導語　
實數的運算中,3個5相加,我們可以寫成5+5+5,也可以用乘法表示成5×3;3個a相加,我們可以寫成a+a+a,也可以用乘法表示成3a;在向量的運算中,3個a相加,我們可以寫成a+a+a,能不能寫成3a 這就是我們今天要研究的向量的數乘運算.
一、數乘向量
問題1　如圖,已知非零向量a,作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).類比數的乘法,該如何表示運算結果 它們的長度和方向分別是怎樣的
提示　=++=a+a+a=3a.
=++=(-a)+(-a)+(-a)=-3a.
顯然3a的方向與a的方向相同,3a的長度是a的長度的3倍,-3a的方向與a的方向相反,-3a的長度是a的長度的3倍.
知識梳理
1.定義:一般地,給定一個實數λ與任意一個向量a,規定它們的乘積是一個向量,記作λa,其中:
(1)當λ≠0且a≠0時,λa的模為|λ||a|,而且λa的方向如下:
①當λ>0時,與a的方向相同;
②當λ<0時,與a的方向相反.
(2)當λ=0或a=0時,λa=0.
2.數乘向量的幾何意義:把向量沿著它的方向或反方向放大或縮小.
3.當λ和μ都是實數,且a是向量時:μa是向量,λ(μa)也是向量;λμ是實數,但(λμ)a是向量,可以看出λ(μa)=(λμ)a.
注意點:
(1)數乘向量與實數的乘法的區別,前者的結果是一個向量,后者的結果是一個實數.特別注意λ=0時,λa=0,此處最容易出現的錯誤是將實數0與0混淆,錯誤地表述成λa=0.
(2)要注意實數與向量可以求積,但是不能進行加減運算,如λ+a,λ-a是無法運算的.
例1　已知λ∈R,則下列結論正確的是 (　　)
A.|λa|=λ|a| B.|λa|=|λ|a
C.|λa|=|λ|·|a| D.|λa|>0
答案　C
解析　當λ<0時,|λa|=λ|a|不成立,A錯誤;|λa|是一個非負實數,而|λ|a是一個向量,B錯誤;當λ=0或a=0時,|λa|=0,D錯誤.
反思感悟　對于數乘運算,要認識到任意實數λ與任意向量a的乘積λa仍是向量,要明確兩向量的關系,應從兩方面入手,一是方向,二是大小.
跟蹤訓練1　(多選)已知a,b是兩個非零向量,則下列說法中正確的是 (　　)
A.-2a與a是共線向量,且-2a的模是a的模的兩倍
B.3a與5a的方向相同,且3a的模是5a的模的
C.-2a與2a是一對相反向量
D.a-b與-(b-a)是一對相反向量
答案　ABC
解析　A中,∵-2<0,
∴-2a與a方向相反,兩向量共線,
又|-2a|=2|a|,∴A正確;
B中,∵3>0,∴3a與a方向相同,且|3a|=3|a|,
∵5>0,∴5a與a方向相同,且|5a|=5|a|,
∴3a與5a方向相同,且3a的模是5a的模的,
∴B正確;
C中,按照相反向量的定義可以判斷C正確;
D中,∵-(b-a)=-b+a=a-b,
∴a-b與-(b-a)為相等的向量,∴D不正確.
二、向量的線性運算
知識梳理
1.一般地,對于實數λ與μ,以及向量a與b,有
①λa+μa=(λ+μ)a;
②λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的線性運算
向量的加法、減法、數乘向量以及它們的混合運算,統稱為向量的線性運算.
例2　計算:(1)3(6a+b)-9;
(2)-2;
(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.
解　(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.
(2)原式=-a-b
=a+b-a-b=0.
(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
反思感悟　向量線性運算的基本方法
(1)類比法:向量的線性運算類似于代數多項式的運算,例如,實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在向量線性運算中同樣適用.
(2)方程法:向量也可以通過列方程來解,把所求向量當作未知數,利用解方程的方法求解.
跟蹤訓練2　若已知向量a,b滿足(3a-2c)+4+(a+6b)=0,則c=　　　　.
答案　-6a-6b
解析　因為(3a-2c)+4+(a+6b)
=a-c+c-4b+a+6b=2a+2b+c=0,
所以c=-2a-2b,c=-6a-6b.
三、用已知向量表示其他向量
例3　在△ABC中,點D為BC的三等分點,設向量a=,b=,用向量a,b表示=　　　　　　.
答案　a+b或a+b
解析　因為D為BC的三等分點,
當BD=BC時,如圖1,
則=+
=+
=+(-)
=+=a+b.
當BD=BC時,如圖2,
則=+
=+(-)
=+=a+b.
反思感悟　用已知向量表示其他向量的兩種方法
(1)直接法.結合圖形的特征,把待求向量放在三角形或平行四邊形中,然后利用向量的三角形法則或平行四邊形法則用已知向量表示未知向量.
(2)方程法.當直接表示比較困難時,可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系,然后解關于所求向量的方程.
跟蹤訓練3　如圖,在平行四邊形ABCD中,E是邊BC的中點,=3,則等于 (　　)
A.-+ B.-
C.- D.-
答案　C
解析　=-=-=-=-.
四、三點共線問題
問題2　如果存在一個實數λ使b=λa,那么向量a,b是否平行
提示　平行.
知識梳理
一般地,如果存在實數λ,使得=λ,則與平行且有公共點A,從而A,B,C三點一定共線.
注意點:
證明三點共線,除證明兩向量平行外還需要說明兩向量有公共點.
例4　設a,b是不共線的兩個向量.
若=2a-b,=3a+b,=a-3b,
求證:A,B,C三點共線.
證明　∵=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,
而=-=(a-3b)-(3a+b)=-(2a+4b)=-2,
∴與共線,且有公共點B,
∴A,B,C三點共線.
反思感悟　證明或判斷三點共線的方法
一般來說,要判定A,B,C三點是否共線,只需看是否存在實數λ,使得=λ(或=λ等)即可.
跟蹤訓練4　(1)已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,則一定共線的三點是 (　　)
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
答案　A
解析　=+=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2(a+2b)=2,又,有公共點B,所以A,B,D三點共線.
(2)設P是△ABC所在平面內的一點,+=2,則 (　　)
A.P,A,C三點共線 B.P,A,B三點共線
C.P,B,C三點共線 D.以上均不正確
答案　A
解析　在△ABC中,取AC的中點D(圖略),
則+=2,∴2=2,
∴D和P重合,∴P,A,C三點共線.
1.知識清單:
(1)數乘向量的定義及幾何意義.
(2)數乘向量的運算律.
(3)向量的線性運算.
(4)向量平行、三點共線.
2.方法歸納:數形結合法、分類討論法、轉化法.
3.常見誤區:
(1)忽視零向量這一個特殊向量.
(2)數乘向量的方向錯誤導致解題失誤.
1.如圖,已知AM是△ABC的邊BC上的中線,若=a,=b,則等于 (　　)
A.(a-b) B.-(a-b)
C.(a+b) D.-(a+b)
答案　C
解析　因為M是BC的中點,所以=(a+b).
2.已知a,b是不共線的兩個平面向量,=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),則 (　　)
A.A,B,C三點共線 B.A,B,D三點共線
C.A,C,D三點共線 D.B,C,D三點共線
答案　B
解析　∵=+=-2a+8b+3(a-b)
=a+5b=,∴與共線,
又AB與BD有公共點B,則A,B,D三點共線.
3.如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,+=λ,則λ=　　　　.
答案　2
解析　由向量加法的平行四邊形法則知+=.
又因為O是AC的中點,所以AC=2AO,
所以=2,所以+=2,所以λ=2.
4.O為平行四邊形ABCD的中心,=4e1,=6e2,則3e2-2e1=　　　　.
答案　(或)
解析　設點E為平行四邊形ABCD的邊BC的中點,點F為AB邊的中點(圖略),則3e2-2e1=+==.
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共35分;多選題每小題6分,共12分
1.下列說法中正確的是 (　　)
A.λa與a的方向不是相同就是相反
B.若a,b共線,則b=λa
C.若|b|=2|a|,則b=±2a
D.若b=±2a,則|b|=2|a|
答案　D
2.化簡:-等于 (　　)
A.a-b+2c B.5a-b+2c
C.a+b+2c D.5a+b
答案　A
解析　-=(3a-2a)++(c+c)=a-b+2c.
3.如圖所示,在正方形ABCD中,E為BC的中點,F為AE的中點,則等于 (　　)
A.-+
B.+
C.-
D.-
答案　D
解析　利用向量的三角形法則,可得=-,=+,
∵E為BC的中點,F為AE的中點,
∴=,=,
∴=-=-=(+)-=+-.
又∵=,∴=-.
4.在△ABC中,點D在邊AB上,BD=2DA.記=m,=n,則等于 (　　)
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
答案　B
解析　因為BD=2DA,所以=3,所以=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n.
5.已知在△ABC中,向量=λ(+)(λ∈R),則點P的軌跡通過△ABC的 (　　)
A.垂心 B.內心
C.外心 D.重心
答案　D
解析　設D為BC的中點,則+=2,
∴=2λ,即P點在中線AD上,可知P點的軌跡必過△ABC的重心.
6.若=3e1,=-5e1,且||=||,則四邊形ABCD是 (　　)
A.平行四邊形 B.菱形
C.等腰梯形 D.不等腰的梯形
答案　C
解析　∵=3e1,=-5e1,∴=-,∴與平行,且||=||,又||=||,故四邊形ABCD是等腰梯形.
7.(5分)若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,則x=　　　　.
答案　4b-3a
解析　由原方程得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,即x+3a-4b=0,∴x=4b-3a.
8.(5分)已知平面上不共線的四點O,A,B,C,若-3+2=0,則=　　　　.
答案　2
解析　因為-3+2=0,
所以-=2(-),所以=2,
所以=2.
9.(10分)已知向量a,b.
(1)計算6a-[4a-b-5(2a-3b)]+(a+7b);(5分)
(2)把滿足3m-2n=a,-4m+3n=b的向量m,n用a,b表示出來.(5分)
解　(1)原式=6a-(4a-b-10a+15b)+a+7b=6a-(-6a+14b)+a+7b
=6a+6a-14b+a+7b=13a-7b.
(2)
①×4+②×3,
得(12m-8n)+(-12m+9n)=4a+3b,
即n=4a+3b,代入①式,
得m=(a+2n)=(a+8a+6b)=3a+2b,
故m=3a+2b,n=4a+3b.
10.(11分)(1)如圖所示,已知=,=,求證:∥;(5分)
(2)已知兩個非零向量e1和e2不共線,如果=2e1+3e2,=6e1+23e2,=4e1-8e2,求證:A,B,D三點共線.(6分)
證明　(1)由已知得=-=-=(-)=,∴∥.
(2)∵=++=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6,
∴向量與共線.
又和有共同的起點A,
∴A,B,D三點共線.
11.(多選)已知向量a,b是兩個非零向量,在下列條件中,一定能使a,b共線的是 (　　)
A.2a-3b=4e,且a+2b=-3e
B.存在相異實數λ,μ,使λa+μb=0
C.xa+yb=0(實數x,y滿足x+y=0)
D.已知在梯形ABCD中,=a,=b
答案　AB
解析　對于A,由已知條件得,10a-b=0,故滿足條件;對于B,顯然滿足條件;對于C,當x=y=0時,a,b不一定共線;對于D,若AB∥CD,則a,b共線,若AD∥BC,則a,b不共線.
12.(多選)已知m,n是實數,a,b是向量,則下列說法中正確的是 (　　)
A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,則a=b D.若ma=na,則m=n
答案　AB
解析　A和B屬于數乘對向量與實數的分配律,正確;C中,若m=0,則不能推出a=b,錯誤;D中,若a=0,則m,n沒有關系,錯誤.
13.已知點P是△ABC所在平面內一點,若=λ+,其中λ∈R,則點P一定在 (　　)
A.△ABC的內部 B.邊AC所在的直線上
C.邊AB所在的直線上 D.邊BC所在的直線上
答案　B
解析　∵=λ+,∴-=λ,
∴=λ,∴,共線且有公共點P,
∴P,A,C三點共線,
∴點P一定在邊AC所在的直線上.
14.(5分)過△OAB的重心G的直線與邊OA,OB分別交于點P,Q,設=h,=k,則+=　　　　.
答案　3
解析　不妨設PQ∥AB,因為點G為△OAB的重心,所以=,=,此時h=k=,即+=3.
15.(5分)已知點M是△ABC所在平面內的一點,若滿足6--2=0,且S△ABC=λS△ABM,則實數λ的值是　　　　　.
答案　3
解析　記2=.∵6--2=0,
∴-+2-2=0,
∴=2,∴S△ABC=S△ABN.
又∵S△ABM=S△ABN,
∴S△ABC=3S△ABM,從而有λ=3.
16.(12分)如圖所示,已知D,E分別為△ABC的邊AB,AC的中點,延長CD到點M使DM=CD,延長BE至點N使BE=EN,求證:M,A,N三點共線.
證明　因為D為MC的中點,且D為AB的中點,
所以=+,所以=-=.
同理可證明=-=.所以=-.
所以,共線且有公共點A,
所以M,A,N三點共線.6.1.4　數乘向量+向量的線性運算
[學習目標]　1.理解向量的數乘運算及其幾何意義.2.會利用向量共線判斷三點共線及線線平行.
一、數乘向量
問題1　如圖,已知非零向量a,作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).類比數的乘法,該如何表示運算結果 它們的長度和方向分別是怎樣的
知識梳理
1.定義:一般地,給定一個實數λ與任意一個向量a,規定它們的乘積是　　　　　　,記作λa,其中:
(1)當λ≠0且a≠0時,λa的模為　　　　,而且λa的方向如下:
①當λ>0時,與a的方向　　　　;
②當λ<0時,與a的方向　　　　.
(2)當λ=0或a=0時,λa=　　　　.
2.數乘向量的幾何意義:把向量沿著它的方向或反方向　　　　　　.
3.當λ和μ都是實數,且a是向量時:μa是向量,λ(μa)也是向量;λμ是實數,但(λμ)a是向量,可以看出λ(μa)=(λμ)a.
例1　已知λ∈R,則下列結論正確的是 (　　)
A.|λa|=λ|a| B.|λa|=|λ|a
C.|λa|=|λ|·|a| D.|λa|>0
反思感悟　對于數乘運算,要認識到任意實數λ與任意向量a的乘積λa仍是向量,要明確兩向量的關系,應從兩方面入手,一是方向,二是大小.
跟蹤訓練1　(多選)已知a,b是兩個非零向量,則下列說法中正確的是 (　　)
A.-2a與a是共線向量,且-2a的模是a的模的兩倍
B.3a與5a的方向相同,且3a的模是5a的模的
C.-2a與2a是一對相反向量
D.a-b與-(b-a)是一對相反向量
二、向量的線性運算
知識梳理
1.一般地,對于實數λ與μ,以及向量a與b,有
①λa+μa=(λ+μ)a;
②λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的線性運算
向量的　　　　、　　　　　、　　　　　以及它們的混合運算,統稱為向量的線性運算.
例2　計算:(1)3(6a+b)-9;
(2)-2;
(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.
反思感悟　向量線性運算的基本方法
(1)類比法:向量的線性運算類似于代數多項式的運算,例如,實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在向量線性運算中同樣適用.
(2)方程法:向量也可以通過列方程來解,把所求向量當作未知數,利用解方程的方法求解.
跟蹤訓練2　若已知向量a,b滿足(3a-2c)+4+(a+6b)=0,則c=　　　　.
三、用已知向量表示其他向量
例3　在△ABC中,點D為BC的三等分點,設向量a=,b=,用向量a,b表示=　　　　　　　　.
反思感悟　用已知向量表示其他向量的兩種方法
(1)直接法.結合圖形的特征,把待求向量放在三角形或平行四邊形中,然后利用向量的三角形法則或平行四邊形法則用已知向量表示未知向量.
(2)方程法.當直接表示比較困難時,可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系,然后解關于所求向量的方程.
跟蹤訓練3　如圖,在平行四邊形ABCD中,E是邊BC的中點,=3,則等于 (　　)
A.-+ B.-
C.- D.-
四、三點共線問題
問題2　如果存在一個實數λ使b=λa,那么向量a,b是否平行
知識梳理
一般地,如果存在實數λ,使得=λ,則與平行且有公共點A,從而A,B,C三點一定共線.
例4　設a,b是不共線的兩個向量.
若=2a-b,=3a+b,=a-3b,
求證:A,B,C三點共線.
反思感悟　證明或判斷三點共線的方法
一般來說,要判定A,B,C三點是否共線,只需看是否存在實數λ,使得=λ(或=λ等)即可.
跟蹤訓練4　(1)已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,則一定共線的三點是 (　　)
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
(2)設P是△ABC所在平面內的一點,+=2,則 (　　)
A.P,A,C三點共線 B.P,A,B三點共線
C.P,B,C三點共線 D.以上均不正確
1.知識清單:
(1)數乘向量的定義及幾何意義.
(2)數乘向量的運算律.
(3)向量的線性運算.
(4)向量平行、三點共線.
2.方法歸納:數形結合法、分類討論法、轉化法.
3.常見誤區:
(1)忽視零向量這一個特殊向量.
(2)數乘向量的方向錯誤導致解題失誤.
1.如圖,已知AM是△ABC的邊BC上的中線,若=a,=b,則等于 (　　)
A.(a-b) B.-(a-b)
C.(a+b) D.-(a+b)
2.已知a,b是不共線的兩個平面向量,=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),則 (　　)
A.A,B,C三點共線 B.A,B,D三點共線
C.A,C,D三點共線 D.B,C,D三點共線
3.如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,+=λ,則λ=　　　　.
4.O為平行四邊形ABCD的中心,=4e1,=6e2,則3e2-2e1=　　　　.
答案精析
問題1　＝＋＋
＝a＋a＋a＝3a.
＝＋＋
＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.
顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，－3a的方向與a的方向相反，－3a的長度是a的長度的3倍．
知識梳理
1．一個向量　(1)|λ||a|　①相同
②相反　(2)0
2．放大或縮小
例1　C
跟蹤訓練1　ABC
知識梳理
2．加法　減法　數乘向量
例2　(1)9a　(2)0　(3)b－c
跟蹤訓練2　－6a－6b
例3　a＋b或a＋b
跟蹤訓練3　C
問題2　平行．
例4　證明　∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2，
∴與共線，且有公共點B，
∴A，B，C三點共線．
跟蹤訓練4　(1)A　(2)A
隨堂演練
1．C　2.B　3.2　4.(或)

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