資源簡(jiǎn)介

6.2.2　直線上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.理解直線上向量坐標(biāo)的含義及運(yùn)算.2.能運(yùn)用直線上向量的坐標(biāo)公式進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算.
導(dǎo)語(yǔ)　
之前我們所學(xué)的向量都是從幾何的角度來(lái)進(jìn)行表示的,那么是否有代數(shù)的方法可以對(duì)向量進(jìn)行表示 這節(jié)課就讓我們來(lái)看看向量和坐標(biāo)相結(jié)合會(huì)產(chǎn)生什么奇妙的反應(yīng)!
一、直線上向量的坐標(biāo)
問題1　我們已經(jīng)學(xué)過了數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo),如圖,已知A(-1),B(2).
對(duì)應(yīng)的向量用坐標(biāo)如何表示呢
提示　給定一條直線AB以及這條直線上一個(gè)單位向量e,由共線向量基本定理可知,對(duì)于直線AB上的向量,一定存在唯一的實(shí)數(shù)x,使得=xe,向量的坐標(biāo)就可以用x表示.
知識(shí)梳理
1.向量a的坐標(biāo):給定一條直線l以及這條直線上一個(gè)單位向量e,由共線向量基本定理可知,對(duì)于直線l上的任意一個(gè)向量a,一定存在唯一的實(shí)數(shù)x,使得a=xe,此時(shí),x稱為向量a的坐標(biāo).
2.直線上向量坐標(biāo)的直觀理解
名稱 定義
數(shù)軸 在直線l上指定一點(diǎn)O作為原點(diǎn),以e的方向?yàn)檎较?e的模為單位長(zhǎng)度建立數(shù)軸
向量a 的坐標(biāo) 對(duì)于l上的任意一個(gè)向量a,如果我們把它的始點(diǎn)平移到原點(diǎn)O,那么a的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)就是向量a的坐標(biāo)
注意點(diǎn):
(1)x既能刻畫a的模,也能刻畫向量a的方向.
(2)|a|=|xe|=|x||e|=|x|.
①當(dāng)x>0時(shí),a的方向與e的方向相同;
②當(dāng)x=0時(shí),a是零向量;
③當(dāng)x<0時(shí),a的方向與e的方向相反.
特別地,零向量的坐標(biāo)是0.
(3)向量的坐標(biāo)和這個(gè)向量終點(diǎn)的坐標(biāo)不一定相同,當(dāng)且僅當(dāng)向量的始點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí),向量的坐標(biāo)和這個(gè)向量的終點(diǎn)坐標(biāo)才相同.
例1　已知e是直線l上的一個(gè)單位向量,向量a與b都是直線l上的向量,分別在下列條件下寫出a與b的坐標(biāo):
a=3e,b=-4e.
解　在直線l上指定一點(diǎn)O作為原點(diǎn),以e的方向?yàn)檎较?e的模為單位長(zhǎng)度建立數(shù)軸,對(duì)于l上的任意一個(gè)向量a,b,把它們的始點(diǎn)平移到原點(diǎn)O,如圖,因?yàn)閍=3e,所以a的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)3,a的坐標(biāo)為3;因?yàn)閎=-4e,所以b的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)-4,b的坐標(biāo)為-4.
反思感悟　直線上向量的坐標(biāo)的求法
(1)將向量用單位向量表示出來(lái).
(2)將向量的始點(diǎn)平移到原點(diǎn),讀出終點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)已知兩點(diǎn)求向量的坐標(biāo)時(shí),用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).
跟蹤訓(xùn)練1　(1)若e是直線l上的一個(gè)單位向量,這條直線上的向量a=-e,則 (　　)
A.向量a的坐標(biāo)為
B.向量a的坐標(biāo)為e
C.向量a的坐標(biāo)為-
D.向量a的坐標(biāo)為-e
答案　C
解析　根據(jù)直線上向量坐標(biāo)的定義知,向量a的坐標(biāo)為-.
(2)如圖所示,直線上向量a,b的坐標(biāo)分別為 (　　)
A.-2,4 B.2,4 C.4,-2 D.-4,-2
答案　C
解析　向量a的始點(diǎn)在原點(diǎn),則a的坐標(biāo)為4,把向量b的始點(diǎn)平移到原點(diǎn),則b的坐標(biāo)為-2.
二、直線上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系
問題2　你能表示出直線上兩個(gè)向量和的坐標(biāo)嗎
提示　設(shè)直線上兩個(gè)向量分別為a=x1e,b=x2e,則a+b=x1e+x2e=(x1+x2)e.
知識(shí)梳理
直線上向量的坐標(biāo)運(yùn)算
法則(或公式) 文字語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言
直線上兩個(gè)向量相等 直線上兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的坐標(biāo)相等 設(shè)a=x1e,b=x2e, 則a=b x1=x2
直線上兩個(gè)向量和的坐標(biāo) 直線上兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量的坐標(biāo)的和 設(shè)a=x1e,b=x2e, 則a+b=(x1+x2)e
例2　直線上向量a的坐標(biāo)為5,b的坐標(biāo)為-,求下列向量的坐標(biāo):
(1)-3b;(2)a-b;(3)2a+3b;(4)-a-6b.
解　(1)-3b的坐標(biāo)為(-3)×=1.
(2)a-b的坐標(biāo)為5-=.
(3)2a+3b的坐標(biāo)為2×5+3×=9.
(4)-a-6b的坐標(biāo)為-5-6×=-3.
反思感悟　向量的坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.
跟蹤訓(xùn)練2　已知直線上的向量a與向量b,向量a的坐標(biāo)為-10,向量2a-3b的坐標(biāo)為4,求:
(1)向量b的坐標(biāo);
(2)a+2b的坐標(biāo).
解　(1)設(shè)直線上向量b的坐標(biāo)為x,
由題意可得2×(-10)-3x=4,
解得x=-8,即向量b的坐標(biāo)為-8.
(2)a+2b=-10+2×(-8)=-26,
所以a+2b的坐標(biāo)為-26.
三、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離、中點(diǎn)坐標(biāo)
問題3　設(shè)A(x1),B(x2)是數(shù)軸上兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),A與B兩點(diǎn)間的距離如何表示 AB的中點(diǎn)如何表示
提示　AB=||=|x2-x1|,x=.
知識(shí)梳理
數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式 設(shè)A(x1),B(x2)是數(shù)軸上兩點(diǎn),AB=||=|x2-x1|
數(shù)軸上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式 設(shè)A(x1),B(x2),M(x)是線段AB的中點(diǎn),則x=
例3　已知數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1,x2,點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn),求下列條件下,,的坐標(biāo)及A,B兩點(diǎn)間的距離.
(1)x1=2,x2=-5.3;
(2)x1=10,x2=20.5.
解　(1)∵x1=2,x2=-5.3,
∴的坐標(biāo)為-5.3-2=-7.3,
的坐標(biāo)為2-(-5.3)=7.3,
由A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為2,-5.3,得點(diǎn)C的坐標(biāo)為=-1.65,
故的坐標(biāo)為-1.65-2=-3.65,
A,B兩點(diǎn)間的距離為|x2-x1|=|-5.3-2|=7.3.
(2)∵x1=10,x2=20.5,
∴的坐標(biāo)為20.5-10=10.5,
的坐標(biāo)為10-20.5=-10.5,
由A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為10,20.5,得點(diǎn)C的坐標(biāo)為=15.25,
故的坐標(biāo)為15.25-10=5.25,
A,B兩點(diǎn)間的距離為|x2-x1|=|20.5-10|=10.5.
反思感悟　求數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離的方法:要先求數(shù)軸上向量的坐標(biāo),再根據(jù)距離公式求解.
跟蹤訓(xùn)練3　已知數(shù)軸上四點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)分別是-4,-1,6,10.分別求A與B,B與C,B與D之間的距離.
解　由題得||=|-1-(-4)|=3,||=|-1-6|=7,||=|10-(-1)|=11.
1.知識(shí)清單:
(1)直線上向量的坐標(biāo)表示.
(2)直線上向量的坐標(biāo)運(yùn)算.
(3)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離、中點(diǎn)坐標(biāo).
2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸.
3.常用誤區(qū):混淆向量的起點(diǎn)和終點(diǎn),導(dǎo)致求解向量坐標(biāo)出錯(cuò).
1.已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是0,-1,則的坐標(biāo)是 (　　)
A.-1 B.1 C.2 D.-2
答案　A
解析　的坐標(biāo)為-1-0=-1.
2.已知直線上向量a,b的坐標(biāo)分別為-2,2,則向量a
+b的坐標(biāo)為 (　　)
A.1 B.-1 C.0 D.4
答案　B
解析　因?yàn)橄蛄縜,b的坐標(biāo)分別為-2,2,所以向量a+b的坐標(biāo)為-2+2×=-1.
3.已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為-5,4,則A與B的距離為 (　　)
A.1 B.-1 C.9 D.-9
答案　C
解析　AB=||=|4-(-5)|=9.
4.設(shè)數(shù)軸上A,B的坐標(biāo)分別是2,6,則AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)是　　　　.
答案　4
解析　因?yàn)閤A=2,xB=6.所以AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為xC===4.
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共20分;多選題每小題6分,共24分
1.已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是-4,-1,則的坐標(biāo)與||分別是 (　　)
A.-3,3 B.3,3 C.3,-3 D.-6,6
答案　B
解析　的坐標(biāo)為-1-(-4)=3,||=3.
2.已知數(shù)軸上兩點(diǎn)M,N,且||=4.若xM=-3,則xN等于 (　　)
A.1 B.2 C.-7 D.1或-7
答案　D
解析　||=|xN-(-3)|=4,∴xN-(-3)=±4,即xN=1或xN=-7.
3.(多選)數(shù)軸上三點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為-1,2,5,則 (　　)
A.AB=-3 B.BC=3
C.的坐標(biāo)為6 D.的坐標(biāo)為3
答案　BCD
4.已知直線上向量a,b的坐標(biāo)分別為-1,3,則下列向量與a同向的是 (　　)
A.a+b B.a-b C.a+2b D.3b
答案　B
解析　由題意,a+b的坐標(biāo)為2,a+2b的坐標(biāo)為5,3b的坐標(biāo)為9,都與a反向,a-b的坐標(biāo)為-4,與a同向.
5.(多選)數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為-1和3,若P是數(shù)軸上一點(diǎn),且||+||=6,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (　　)
A.-3 B.5 C.-2 D.4
答案　CD
解析　∵||=|3-(-1)|=4,||+||=6,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為xP,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊時(shí),-1-xP+3-xP=6,得xP=-2;當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右邊時(shí),xP-3+xP-(-1)=6,得xP=4,綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為-2或4.
6.(多選)已知數(shù)軸上點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,||=6,C是AB的中點(diǎn),則向量的坐標(biāo)為 (　　)
A.-4 B.8 C.-3 D.3
答案　CD
解析　∵數(shù)軸上點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,且||=6,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為-4或8.而C是AB的中點(diǎn),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為或,即-1或5,故的坐標(biāo)為-3或3.
7.(5分)在數(shù)軸x上,已知=-3e(e為x軸上的單位向量),且點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,則向量的坐標(biāo)為　　　　.
答案　6
解析　由=-3e,得點(diǎn)A的坐標(biāo)為-3,則的坐標(biāo)為3-(-3)=6.
8.(5分)數(shù)軸上三點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為1,-1,-5,則+的坐標(biāo)為　　　　,||+||=　　　　.
答案　-10　10
解析　+的坐標(biāo)為-6+(-4)=-10,||+||=6+4=10.
9.(10分)數(shù)軸上點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為4,-6,x,線段AB的中點(diǎn)為D.
(1)求向量的坐標(biāo)及A與B的距離;(3分)
(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo);(3分)
(3)若||=8,求x的值.(4分)
解　(1)由A,B的坐標(biāo)分別為4,-6,得的坐標(biāo)為-6-4=-10,A與B的距離AB=||=10.
(2)由A,B的坐標(biāo)分別為4,-6且D為AB的中點(diǎn),得點(diǎn)D的坐標(biāo)為=-1.
(3)當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí),4-x=8,x=-4;
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí),x-4=8,x=12.
故x的值為-4或12.
10.(10分)已知A,B,C為數(shù)軸上三點(diǎn),且xA=-2,xB=6.試求符合下列條件的點(diǎn)C的坐標(biāo).
(1)的坐標(biāo)為10;(2分)
(2)||=10;(3分)
(3)||=3||.(5分)
解　(1)∵的坐標(biāo)為10,∴xC-xA=10.
∴xC=xA+10=8.
(2)∵||=10,∴=10或=-10,
當(dāng)=10時(shí),xC-xA=10,xC=xA+10=8;
當(dāng)=-10時(shí),xC-xA=-10,xC=xA-10=-12.
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為8或-12.
(3)∵||=3||,∴=3或=-3.
當(dāng)=3時(shí),xC-xA=3(xC-xB).
∴xC=(3xB-xA)=10;
當(dāng)=-3時(shí),xC-xA=-3(xC-xB),
∴xC=(3xB+xA)=4.
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為10或4.
11.已知e是直線l上的一個(gè)單位向量,向量a與b都是直線l上的向量,且a=2e,b=-5e,則|2a-b|為 (　　)
A.4 B.9 C.-7 D.1或-7
答案　B
解析　2a-b的坐標(biāo)為2×2-(-5)=9,
所以|2a-b|=9.
12.(多選)若e是直線l上的一個(gè)單位向量,這條直線上的向量a=-e,b=e,則下列說(shuō)法正確的是 (　　)
A.a=-b B.b=-a
C.a+b的坐標(biāo)為0 D.|a||b|=1
答案　BD
解析　因?yàn)閍=-e,b=e,所以|a|=,|b|=;|a||b|=×=1,b=-×=-a,a+b=e=-e,a+b的坐標(biāo)為-.
13.(5分)若e是直線l上的一個(gè)單位向量,向量a=2e,b=-2e是這條直線上的向量,則|a|+|b|=　　　　.
答案　4
解析　因?yàn)閍=2e,b=-2e,所以|a|+|b|=2+2=4.
14.(5分)已知M,P,N三點(diǎn)在數(shù)軸上,且點(diǎn)P的坐標(biāo)是5,的坐標(biāo)為2,的坐標(biāo)為8,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為　　　　.
答案　11
解析　設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為x1,x2,
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是5,的坐標(biāo)為2,的坐標(biāo)為8,
∴解得
故點(diǎn)N的坐標(biāo)為11.
15.(5分)如圖,點(diǎn)A,B為數(shù)軸上的兩點(diǎn),O為原點(diǎn),A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為m,2m+1,B,O兩點(diǎn)間的距離等于A,B兩點(diǎn)間的距離,則|2+|=　　　　.
答案　
解析　由題意得,0-(2m+1)=2m+1-m,得m=-,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為-,點(diǎn)B的坐標(biāo)為-×2+1=-,的坐標(biāo)為--=,
故2+的坐標(biāo)為2×-=,
故|2+|=.
16.(11分)已知數(shù)軸上四點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)分別是-4,-2,c,d.
(1)若的坐標(biāo)為5,求c的值;(3分)
(2)若||=6,求d的值;(3分)
(3)若=-3,求證:3=-4.(5分)
(1)解　∵的坐標(biāo)為5,∴c-(-4)=5,∴c=1.
(2)解　∵||=6,∴|d-(-2)|=6,
即d+2=6或d+2=-6,∴d=4或d=-8.
(3)證明　∵的坐標(biāo)為c+4,的坐標(biāo)為d+4,
又=-3,
∴c+4=-3(d+4),即c=-3d-16.
3的坐標(biāo)為3(d-c)=3d-3c=3d-3(-3d-16)=12d+48,
-4的坐標(biāo)為-4c-16=-4(-3d-16)-16=12d+48,
∴3=-4.6.2.2　直線上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.理解直線上向量坐標(biāo)的含義及運(yùn)算.2.能運(yùn)用直線上向量的坐標(biāo)公式進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算.
一、直線上向量的坐標(biāo)
問題1　我們已經(jīng)學(xué)過了數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo),如圖,已知A(-1),B(2).
對(duì)應(yīng)的向量用坐標(biāo)如何表示呢
知識(shí)梳理
1.向量a的坐標(biāo):給定一條直線l以及這條直線上一個(gè)單位向量e,由共線向量基本定理可知,對(duì)于直線l上的任意一個(gè)向量a,一定存在　　　　的實(shí)數(shù)x,使得　　　　　,此時(shí),x稱為向量a的坐標(biāo).
2.直線上向量坐標(biāo)的直觀理解
名稱 定義
數(shù)軸 在直線l上指定一點(diǎn)O作為原點(diǎn),以e的方向?yàn)檎较?e的模為單位長(zhǎng)度建立數(shù)軸
向量a 的坐標(biāo) 對(duì)于l上的任意一個(gè)向量a,如果我們把它的始點(diǎn)平移到原點(diǎn)O,那么a的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)就是向量a的坐標(biāo)
例1　已知e是直線l上的一個(gè)單位向量,向量a與b都是直線l上的向量,分別在下列條件下寫出a與b的坐標(biāo):
a=3e,b=-4e.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)若e是直線l上的一個(gè)單位向量,這條直線上的向量a=-e,則 (　　)
A.向量a的坐標(biāo)為
B.向量a的坐標(biāo)為e
C.向量a的坐標(biāo)為-
D.向量a的坐標(biāo)為-e
(2)如圖所示,直線上向量a,b的坐標(biāo)分別為 (　　)
A.-2,4 B.2,4
C.4,-2 D.-4,-2
二、直線上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系
問題2　你能表示出直線上兩個(gè)向量和的坐標(biāo)嗎
知識(shí)梳理
直線上向量的坐標(biāo)運(yùn)算
法則(或公式) 文字語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言
直線上兩個(gè)向量相等 直線上兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的　　　　 設(shè)a=x1e,b=x2e, 則a=b x1=x2
直線上兩個(gè)向量和的坐標(biāo) 直線上兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量的　　　　 設(shè)a=x1e,b=x2e, 則a+b= (x1+x2)e
例2　直線上向量a的坐標(biāo)為5,b的坐標(biāo)為-,求下列向量的坐標(biāo):
(1)-3b;(2)a-b;(3)2a+3b;(4)-a-6b.
反思感悟　向量的坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.
跟蹤訓(xùn)練2　已知直線上的向量a與向量b,向量a的坐標(biāo)為-10,向量2a-3b的坐標(biāo)為4,求:
(1)向量b的坐標(biāo);　(2)a+2b的坐標(biāo).
三、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離、中點(diǎn)坐標(biāo)
問題3　設(shè)A(x1),B(x2)是數(shù)軸上兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),A與B兩點(diǎn)間的距離如何表示 AB的中點(diǎn)如何表示
知識(shí)梳理
數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式 設(shè)A(x1),B(x2)是數(shù)軸上兩點(diǎn),AB=||=|x2-x1|
數(shù)軸上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式 設(shè)A(x1),B(x2),M(x)是線段AB的中點(diǎn),則x=
例3　已知數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1,x2,點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn),求下列條件下的坐標(biāo)及A,B兩點(diǎn)間的距離.
(1)x1=2,x2=-5.3;
(2)x1=10,x2=20.5.
反思感悟　求數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離的方法:要先求數(shù)軸上向量的坐標(biāo),再根據(jù)距離公式求解.
跟蹤訓(xùn)練3　已知數(shù)軸上四點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)分別是-4,-1,6,10.分別求A與B,B與C,B與D之間的距離.
1.知識(shí)清單:
(1)直線上向量的坐標(biāo)表示.
(2)直線上向量的坐標(biāo)運(yùn)算.
(3)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離、中點(diǎn)坐標(biāo).
2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸.
3.常用誤區(qū):混淆向量的起點(diǎn)和終點(diǎn),導(dǎo)致求解向量坐標(biāo)出錯(cuò).
1.已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是0,-1,則的坐標(biāo)是 (　　)
A.-1 B.1
C.2 D.-2
2.已知直線上向量a,b的坐標(biāo)分別為-2,2,則向量a+b的坐標(biāo)為 (　　)
A.1 B.-1
C.0 D.4
3.已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為-5,4,則A與B的距離為 (　　)
A.1 B.-1
C.9 D.-9
4.設(shè)數(shù)軸上A,B的坐標(biāo)分別是2,6,則AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)是　　　　.
答案精析
問題1　給定一條直線AB以及這條直線上一個(gè)單位向量e，由共線向量基本定理可知，對(duì)于直線AB上的向量，一定存在唯一的實(shí)數(shù)x，使得＝xe，向量的坐標(biāo)就可以用x表示．
知識(shí)梳理
1．唯一　a＝xe
例1　解　在直線l上指定一點(diǎn)O作為原點(diǎn)，以e的方向?yàn)檎较颍琫的模為單位長(zhǎng)度建立數(shù)軸，對(duì)于l上的任意一個(gè)向量a，b，把它們的始點(diǎn)平移到原點(diǎn)O，如圖，因?yàn)閍＝3e，所以a的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)3，a的坐標(biāo)為3；因?yàn)閎＝－4e，所以b的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)－4，b的坐標(biāo)為－4.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)C　(2)C
問題2　設(shè)直線上兩個(gè)向量分別為a＝x1e，b＝x2e，則a＋b＝x1e＋x2e＝(x1＋x2)e.
知識(shí)梳理
坐標(biāo)相等　坐標(biāo)的和
例2　解　(1)－3b的坐標(biāo)為
(－3)×＝1.
(2)a－b的坐標(biāo)為5－＝.
(3)2a＋3b的坐標(biāo)為
2×5＋3×＝9.
(4)－a－6b的坐標(biāo)為
－5－6×＝－3.
跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)設(shè)直線上向量b的坐標(biāo)為x，
由題意可得2×(－10)－3x＝4，
解得x＝－8，即向量b的坐標(biāo)為－8.
(2)a＋2b＝－10＋2×(－8)＝－26，
所以a＋2b的坐標(biāo)為－26.
問題3　AB＝||＝|x2－x1|，
x＝.
例3　解　(1)∵x1＝2，x2＝－5.3，
∴的坐標(biāo)為－5.3－2＝－7.3，
的坐標(biāo)為2－(－5.3)＝7.3，
由A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為2，－5.3，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為＝－1.65，
故的坐標(biāo)為－1.65－2＝－3.65，
A，B兩點(diǎn)間的距離為
|x2－x1|＝|－5.3－2|＝7.3.
(2)∵x1＝10，x2＝20.5，
∴的坐標(biāo)為20.5－10＝10.5，
的坐標(biāo)為10－20.5＝－10.5，
由A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為10,20.5，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為＝15.25，
故的坐標(biāo)為15.25－10＝5.25，
A，B兩點(diǎn)間的距離為
|x2－x1|＝|20.5－10|＝10.5.
跟蹤訓(xùn)練3　解　由題得||＝|－1－(－4)|＝3，||＝|－1－6|＝7，||＝|10－(－1)|＝11.
隨堂演練
1．A　2.B　3.C　4.4

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