資源簡介

6.2.3　平面向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.
3.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.
導(dǎo)語　
我們知道,在平面直角坐標(biāo)系中,每一個(gè)點(diǎn)都可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)(即它的坐標(biāo))表示.那么,如何用坐標(biāo)表示直角坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)向量呢
一、平面向量的坐標(biāo)表示
問題1　如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為i,j,取{i,j}作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a,可以用{i,j}表示成什么
提示　由平面向量基本定理可知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得a=xi+yj.
知識(shí)梳理
1.向量垂直
平面上的兩個(gè)非零向量a與b,如果它們所在的直線互相垂直,我們就稱向量a與b垂直,記作a⊥b.規(guī)定零向量與任意向量都垂直.
2.正交基底
如果平面向量的基底{e1,e2}中,e1⊥e2,就稱這組基底為正交基底;在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解.
3.向量的坐標(biāo)
一般地,給定平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量e1,e2,對(duì)于平面內(nèi)的向量a,如果a=xe1+ye2,則稱(x,y)為向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y).
注意點(diǎn):
求平面上向量的坐標(biāo),可以選擇如下兩種方法中的任何一種:
(1)將向量用單位向量e1,e2表示出來;
(2)將向量的始點(diǎn)平移到原點(diǎn),讀出終點(diǎn)的坐標(biāo).
例1　如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b,四邊形OABC為平行四邊形.
(1)求向量a,b的坐標(biāo);
(2)求向量的坐標(biāo).
解　(1)如圖,作AM⊥x軸于點(diǎn)M,
則OM=OA·cos 45°=4×=2,
AM=OA·sin 45°=4×=2,
所以A(2,2),故a=(2,2).
因?yàn)椤螦OC=180°-105°=75°,∠AOy=45°,
所以∠COy=30°.又OC=AB=3,
所以C,所以==,
即b=.
(2)=-=.
反思感悟　求一個(gè)向量的坐標(biāo),可以把該向量進(jìn)行正交分解,在相應(yīng)的直角三角形內(nèi)求向量的長度,從而求出對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).
跟蹤訓(xùn)練1　已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,||=4,∠xOA=60°,求向量的坐標(biāo).
解　設(shè)點(diǎn)A(x,y),則x=||cos 60°=4cos 60°=2,y=||sin 60°=4sin 60°=6,
即A(2,6),所以=(2,6).
二、平面上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系
問題2　已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b的坐標(biāo)嗎
提示　a+b=(x1e1+y1e2)+(x2e1+y2e2)=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2,即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2).
問題3　已知a=(x,y),你能得出λa的坐標(biāo)嗎
提示　λa=λ(xe1+ye2)=λxe1+λye2,即λa=(λx,λy).
問題4　如圖,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎樣求的坐標(biāo)
提示　=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).
知識(shí)梳理
向量的加、減法 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),即兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差
數(shù)乘向量 若a=(x,y),λ∈R,則λa=(λx,λy),即數(shù)乘向量的積的坐標(biāo)等于數(shù)乘以向量相應(yīng)坐標(biāo)的積
向量的數(shù)乘、 加、減混合運(yùn)算 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),u,v∈R,則ua±vb=(ux1±vx2,uy1±vy2)
向量的模 若a=(x,y),則|a|=
例2　(1)已知向量a,b的坐標(biāo)分別是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,3a,2a+3b的坐標(biāo);
解　a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3),
a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7),
3a=3(-1,2)=(-3,6),
2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(7,-11).
(2)已知點(diǎn)A(-1,2),B(2,8),且=,=-,求點(diǎn)C,D和的坐標(biāo).
解　設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),
由題意可得=(x1+1,y1-2),=(3,6),
=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).
∵=,=-,
∴(x1+1,y1-2)=(3,6)=(1,2),
(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6)=(1,2),
則有和
解得和
∴點(diǎn)C,D的坐標(biāo)分別為(0,4)和(-2,0),
∴=(-2,-4).
反思感悟　平面向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算的方法
(1)若已知向量的坐標(biāo),則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及數(shù)乘向量的運(yùn)算法則進(jìn)行.
(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則可先求出向量的坐標(biāo),然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算.
(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|等于 (　　)
A. B.2 C.5 D.50
答案　A
解析　∵a-b=(2,3)-(3,2)=(-1,1),
∴|a-b|==.
(2)已知M(3,-2),N(-5,-1),=,則P點(diǎn)坐標(biāo)為　　　　　　.
答案　
解析　設(shè)P(x,y),則=(x-3,y+2),=(-8,1),
∴==(-8,1)=,
∴解得
故P點(diǎn)坐標(biāo)為.
三、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離、中點(diǎn)坐標(biāo)
問題5　直線l上有兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),你能寫出這兩點(diǎn)之間的距離嗎 若P點(diǎn)位于P1P2中點(diǎn)位置,你能寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)嗎
提示　P1P2=||=,P點(diǎn)的坐標(biāo)為.
知識(shí)梳理
平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)為平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn),則AB=||=,線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
例3　已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),點(diǎn)M為BC的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)求BC+2BM的長.
解　(1)設(shè)C(x,y),則=(x-0,y-1)=(x,y-1)=(-4,-3),即C(-4,-2),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知,M.
(2)由兩點(diǎn)間的距離公式,可知BC===,
BM===.
∴BC+2BM=+=2.
∴BC+2BM的長為2.
反思感悟　利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式時(shí),關(guān)鍵是確定線段兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo).
跟蹤訓(xùn)練3　已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(-2,1),B(2,2),C(3,6),而且A,B,C,D按逆時(shí)針方向排列,求:
(1)AB,AD;
(2)D點(diǎn)的坐標(biāo).
解　(1)由兩點(diǎn)間的距離公式,得
AB==.
又因?yàn)锳D=BC,
所以AD=BC==.
(2)由題意知=,所以-=-.
因此=+-=(-2,1)+(3,6)-(2,2)=(-1,5),從而D(-1,5).
四、向量平行的坐標(biāo)表示
問題6　已知向量a,b,則兩個(gè)向量共線的條件是什么 如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)向量共線
提示　設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,
由a,b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb,則有(x1,y1)=λ(x2,y2) 消去λ,得x1y2-x2y1=0.
知識(shí)梳理
向量平行的坐標(biāo)表示
設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b x2y1=x1y2.
例4　(1)已知向量a=(1,2),b=(λ,1),若(a+2b)∥(2a-2b),則λ的值等于 (　　)
A. B. C.1 D.2
答案　A
解析　a+2b=(1,2)+2(λ,1)=(1+2λ,4),
2a-2b=2(1,2)-2(λ,1)=(2-2λ,2),
由(a+2b)∥(2a-2b)可得2(1+2λ)-4(2-2λ)=0,
解得λ=.
(2)已知=(k,2),=(1,2k),=(1-k,-1),且相異三點(diǎn)A,B,C共線,則實(shí)數(shù)k=　　　　.
答案　-
解析　=-=(1-k,2k-2),
=-=(1-2k,-3),
由題意可知∥,
所以(-3)×(1-k)-(2k-2)(1-2k)=0,
解得k=-(k=1不合題意,舍去).
反思感悟　向量共線的判定方法
(1)利用向量共線定理,b∥a(a≠0)推出b=λa(λ是唯一實(shí)數(shù)).
(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x2y1=x1y2直接求解.
跟蹤訓(xùn)練4　已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判斷與是否共線 如果共線,它們的方向相同還是相反
解　=(0,4)-(2,1)=(-2,3).
=(5,-3)-(1,3)=(4,-6).
∵=-2,
∴與共線且方向相反.
1.知識(shí)清單:
(1)平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.
(2)平面向量坐標(biāo)的運(yùn)算.
(3)兩點(diǎn)間的距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式.
(4)向量平行的坐標(biāo)表示.
2.方法歸納:轉(zhuǎn)換法.
3.常見誤區(qū):向量的坐標(biāo)不一定是終點(diǎn)的坐標(biāo);向量平行的坐標(biāo)表示.
1.若a=(2,1),b=(1,0),則3a-2b的坐標(biāo)是 (　　)
A.(5,3) B.(4,3)
C.(8,3) D.(0,-1)
答案　B
解析　3a-2b=3(2,1)-2(1,0)=(4,3).
2.設(shè)向量a=(1,2),b=(-3,5),c=(4,x),若a+b=λc(λ∈R),則λ+x的值是 (　　)
A.- B. C.- D.
答案　C
解析　a+b=(1,2)+(-3,5)=(-2,7),λc=(4λ,xλ),又a+b=λc,故解得
則λ+x=-.
3.已知a=(2,3),b=(4,y),且a∥b,則y的值為 (　　)
A.6 B.-6 C. D.-
答案　A
解析　∵a∥b,∴2y-3×4=0,即y=6.
4.已知三點(diǎn)A(1,2),B(2,4),C(3,m)共線,則m的值為　　　　.
答案　6
解析　=(2,4)-(1,2)=(1,2).
=(3,m)-(1,2)=(2,m-2).
∵A,B,C三點(diǎn)共線,即向量,共線,
∴1×(m-2)-2×2=0,∴m=6.
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共35分;多選題每小題6分,共12分
1.設(shè)平面向量a=(3,5),b=(-2,1),則a-2b等于 (　　)
A.(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3)
答案　A
解析　a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).
2.已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),則|b|等于 (　　)
A. B.2 C. D.2
答案　A
解析　b=(3,2)-2a=(3,2)-(2,4)=(1,-2),
故|b|==.
3.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,則λ1,λ2的值分別為 (　　)
A.-2,1 B.1,-2
C.2,-1 D.-1,2
答案　D
解析　∵c=λ1a+λ2b,
∴(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3)=(λ1+2λ2,2λ1+3λ2),
∴解得
4.(多選)已知向量a=(1,-2),|b|=4|a|,a∥b,則b可能是 (　　)
A.(4,8) B.(4,-8)
C.(-4,-8) D.(-4,8)
答案　BD
解析　由a∥b,得b=λa,又|b|=4|a|,
∴λ=±4.
∴b=(4,-8)或b=(-4,8).
5.已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),c=(-3,3).若非零實(shí)數(shù)m,n滿足(na+b)∥(b-mc),則等于 (　　)
A.3 B. C.- D.-3
答案　A
解析　由題意可知,na+b=n(1,-1)+(-1,2)=(n-1,-n+2),
b-mc=(-1,2)-m(-3,3)=(-1+3m,2-3m).
因?yàn)?na+b)∥(b-mc),
所以(n-1)(2-3m)=(-n+2)(-1+3m),
整理得n=3m,即=3.
6.(多選)在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知=(-1,4),=(8,-5),若P是線段AB的三等分點(diǎn),則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 (　　)
A.(2,1) B.(3,0)
C.(4,-1) D.(5,-2)
答案　AD
解析　因?yàn)?(-1,4),=(8,-5),
所以=-=(9,-9).
設(shè)P(x,y),則=(x+1,y-4).
又P是線段AB的三等分點(diǎn),
所以=或=,
即或
解得或
即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,1)或(5,-2).
7.(5分)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),=3,=2,則的坐標(biāo)為　　　　.
答案　(9,-18)
解析　∵=3(1,8)=(3,24),
=2(6,3)=(12,6),
∴=-=(12,6)-(3,24)=(9,-18).
8.(5分)設(shè)向量a,b滿足|a|=2,b=(2,1),且a與b的方向相反,則a的坐標(biāo)為　　　　.
答案　(-4,-2)
解析　因?yàn)閎=(2,1),且a與b的方向相反,
所以設(shè)a=(2λ,λ)(λ<0).
因?yàn)閨a|=2,所以4λ2+λ2=20,
解得λ2=4,λ=-2,所以a=(-4,-2).
9.(10分)已知向量=(4,3),=(-3,-1),點(diǎn)A(-1,-2).
(1)求線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo);(5分)
(2)若點(diǎn)P(2,y)滿足=λ(λ∈R),求y與λ的值.(5分)
解　(1)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x1,y1).
∵=(4,3)=(x1+1,y1+2).
∴∴
∴B(3,1).同理可得D(-4,-3).
設(shè)線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2,y2),
則x2==-,y2==-1,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
(2)由已知得=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),
=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).
又=λ,
∴(1,1-y)=λ(-7,-4)=(-7λ,-4λ),
則∴
10.(11分)在平面內(nèi)已知向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n的值;(5分)
(2)若向量d滿足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=,求向量d的坐標(biāo).(6分)
解　(1)由已知條件以及a=mb+nc,可得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
∴解得
(2)設(shè)向量d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).
∵(d-c)∥(a+b),|d-c|=,
∴解得或
∴向量d的坐標(biāo)為(3,-1)或(5,3).
11.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么 (　　)
A.k=1且c與d同向
B.k=1且c與d反向
C.k=-1且c與d同向
D.k=-1且c與d反向
答案　D
解析　∵a=(1,0),b=(0,1),若k=1,則c=a+b=(1,1),d=a-b=(1,-1),顯然,c與d不平行,排除A,B.若k=-1,則c=-a+b=(-1,1),d=a-b=-(-1,1),即c∥d且c與d反向.
12.已知向量a,b滿足2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),λa+μb=(-1,1),則λ+μ等于 (　　)
A.-1 B.0 C.1 D.25
答案　B
解析　設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),
又2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),
所以且
解得
即a=(1,2),b=(2,1).
所以λa+μb=λ(1,2)+μ(2,1)=(λ+2μ,2λ+μ)=(-1,1),
則解得
故λ+μ=0.
13.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C為坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)一點(diǎn)且∠AOC=45°,||=2,若=λ+μ,則λ+μ=　　　　.
答案　2
解析　因?yàn)閨|=2,∠AOC=45°,
所以C(,),
又=λ+μ,
所以(,)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),
所以λ=μ=,λ+μ=2.
14.(5分)已知a=(-2,3),b∥a,b的起點(diǎn)為A(1,2),終點(diǎn)B在坐標(biāo)軸上,則B點(diǎn)坐標(biāo)為　　　　.
答案　或
解析　由b∥a,可設(shè)b=λa=(-2λ,3λ).
設(shè)B(x,y),則=(x-1,y-2)=b.
由
又B點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,則1-2λ=0或3λ+2=0,
所以B或.
15.已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0),(3,0),(1,-5),則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是 (　　)
A.(1,5)或(5,5)
B.(1,5)或(-3,-5)
C.(5,-5)或(-3,-5)
D.(1,5)或(5,-5)或(-3,-5)
答案　D
解析　設(shè)A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四個(gè)頂點(diǎn)為D,
①若這個(gè)平行四邊形為 ABCD,
則=,∴D(-3,-5);
②若這個(gè)平行四邊形為 ACDB,
則=,∴D(5,-5);
③若這個(gè)平行四邊形為 ACBD,
則=,∴D(1,5).
綜上所述,D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,5)或(5,-5)或(-3,-5).
16.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(1,1),B(2,3),C(3,2).
(1)若++=0,求的坐標(biāo);(5分)
(2)若=m+n(m,n∈R),且點(diǎn)P在函數(shù)y=x+1的圖象上,求m-n的值.(7分)
解　(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),
因?yàn)?+=0,
又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).
所以解得
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2),
故=(2,2).
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),
因?yàn)锳(1,1),B(2,3),C(3,2),
所以=(2,3)-(1,1)=(1,2),
=(3,2)-(1,1)=(2,1),
因?yàn)?m+n,
所以(x0,y0)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),
所以兩式相減得m-n=y0-x0,
又因?yàn)辄c(diǎn)P在函數(shù)y=x+1的圖象上,
所以y0-x0=1,
所以m-n=1.6.2.3　平面向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.
3.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.
一、平面向量的坐標(biāo)表示
問題1　如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為i,j,取{i,j}作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a,可以用{i,j}表示成什么
知識(shí)梳理
1.向量垂直
平面上的兩個(gè)非零向量a與b,如果它們所在的直線互相　　　　,我們就稱向量a與b垂直,記作　　　　.規(guī)定零向量與任意向量都垂直.
2.正交基底
如果平面向量的基底{e1,e2}中,　　　　,就稱這組基底為正交基底;在正交基底下向量的分解稱為向量的　　　　　.
3.向量的坐標(biāo)
一般地,給定平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量e1,e2,對(duì)于平面內(nèi)的向量a,如果a=xe1+ye2,則稱(x,y)為向量a的坐標(biāo),記作a=　　　　　.
例1　如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b,四邊形OABC為平行四邊形.
(1)求向量a,b的坐標(biāo);
(2)求向量的坐標(biāo).
反思感悟　求一個(gè)向量的坐標(biāo),可以把該向量進(jìn)行正交分解,在相應(yīng)的直角三角形內(nèi)求向量的長度,從而求出對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).
跟蹤訓(xùn)練1　已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,||=4,∠xOA=60°,求向量的坐標(biāo).
二、平面上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系
問題2　已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b的坐標(biāo)嗎
問題3　已知a=(x,y),你能得出λa的坐標(biāo)嗎
問題4　如圖,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎樣求的坐標(biāo)
知識(shí)梳理
向量的 加、減法 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=　　　　　　　　　,a-b=　　　　　　　,即兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差
數(shù)乘向量 若a=(x,y),λ∈R,則λa=　　　　　　,即數(shù)乘向量的積的坐標(biāo)等于數(shù)乘以向量相應(yīng)坐標(biāo)的積
向量的數(shù)乘、加、 減混合運(yùn)算 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),u,v∈R,則ua±vb=(ux1±vx2,uy1±vy2)
向量的模 若a=(x,y),則|a|=
例2　(1)已知向量a,b的坐標(biāo)分別是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,3a,2a+3b的坐標(biāo);
(2)已知點(diǎn)A(-1,2),B(2,8),且==-,求點(diǎn)C,D和的坐標(biāo).
反思感悟　平面向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算的方法
(1)若已知向量的坐標(biāo),則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及數(shù)乘向量的運(yùn)算法則進(jìn)行.
(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則可先求出向量的坐標(biāo),然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算.
(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|等于 (　　)
A. B.2
C.5 D.50
(2)已知M(3,-2),N(-5,-1),=,則P點(diǎn)坐標(biāo)為　　　　　　.
三、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離、中點(diǎn)坐標(biāo)
問題5　直線l上有兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),你能寫出這兩點(diǎn)之間的距離嗎 若P點(diǎn)位于P1P2中點(diǎn)位置,你能寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)嗎
知識(shí)梳理
平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)為平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn),則AB=||=　　　　　　,線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為　　　　　　　　.
例3　已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),點(diǎn)M為BC的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)求BC+2BM的長.
反思感悟　利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式時(shí),關(guān)鍵是確定線段兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo).
跟蹤訓(xùn)練3　已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(-2,1),B(2,2),C(3,6),而且A,B,C,D按逆時(shí)針方向排列,求:
(1)AB,AD;
(2)D點(diǎn)的坐標(biāo).
四、向量平行的坐標(biāo)表示
問題6　已知向量a,b,則兩個(gè)向量共線的條件是什么 如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)向量共線
知識(shí)梳理
向量平行的坐標(biāo)表示
設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b 　　　　　　　　　　.
例4　(1)已知向量a=(1,2),b=(λ,1),若(a+2b)∥(2a-2b),則λ的值等于 (　　)
A. B.
C.1 D.2
(2)已知=(k,2),=(1,2k),=(1-k,-1),且相異三點(diǎn)A,B,C共線,則實(shí)數(shù)k=　　　　.
反思感悟　向量共線的判定方法
(1)利用向量共線定理,b∥a(a≠0)推出b=λa(λ是唯一實(shí)數(shù)).
(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x2y1=x1y2直接求解.
跟蹤訓(xùn)練4　已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判斷與是否共線 如果共線,它們的方向相同還是相反
1.知識(shí)清單:
(1)平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.
(2)平面向量坐標(biāo)的運(yùn)算.
(3)兩點(diǎn)間的距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式.
(4)向量平行的坐標(biāo)表示.
2.方法歸納:轉(zhuǎn)換法.
3.常見誤區(qū):向量的坐標(biāo)不一定是終點(diǎn)的坐標(biāo);向量平行的坐標(biāo)表示.
1.若a=(2,1),b=(1,0),則3a-2b的坐標(biāo)是 (　　)
A.(5,3) B.(4,3)
C.(8,3) D.(0,-1)
2.設(shè)向量a=(1,2),b=(-3,5),c=(4,x),若a+b=λc(λ∈R),則λ+x的值是 (　　)
A.- B.
C.- D.
3.已知a=(2,3),b=(4,y),且a∥b,則y的值為 (　　)
A.6 B.-6
C. D.-
4.已知三點(diǎn)A(1,2),B(2,4),C(3,m)共線,則m的值為　　　　.
答案精析
問題1　由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，
使得a＝xi＋yj.
知識(shí)梳理
1．垂直　a⊥b　2.e1⊥e2　正交分解　3.(x，y)　
例1　解　(1)如圖，作AM⊥x軸于點(diǎn)M，
則OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，
AM＝OA·sin 45°＝4×＝2，
所以A(2，2)，
故a＝(2,2)．
因?yàn)椤螦OC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
所以∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，
所以C，
所以＝＝，
即b＝.
(2)＝－＝.
跟蹤訓(xùn)練1　解　設(shè)點(diǎn)A(x，y)，
則x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2，
y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6，
即A(2，6)，所以＝(2，6)．
問題2　a＋b＝(x1e1＋y1e2)＋(x2e1＋y2e2)＝(x1＋x2)e1＋(y1＋y2)e2，
即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．
同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2)．
問題3　λa＝λ(xe1＋ye2)＝λxe1＋λye2，即λa＝(λx，λy)．
問題4　＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．
知識(shí)梳理
(x1＋x2，y1＋y2)　(x1－x2，y1－y2)　(λx，λy)
例2　(1)解　a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)
＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．
(2)解　設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由題意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，
＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)，
(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)，
則有和
解得和
∴點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0,4)和(－2,0)，
∴＝(－2，－4)．
跟蹤訓(xùn)練2　(1)A　(2)
問題5　P1P2＝||＝，P點(diǎn)的坐標(biāo)為.
知識(shí)梳理
　
例3　解　(1)設(shè)C(x，y)，則＝(x－0，y－1)＝(x，y－1)＝(－4，－3)，即C(－4，－2)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知，M.
(2)由兩點(diǎn)間的距離公式，
可知BC＝
＝＝，
BM＝
＝＝.
∴BC＋2BM＝＋＝2.
∴BC＋2BM的長為2.
跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)由兩點(diǎn)間的距離公式，得
AB＝＝.
又因?yàn)锳D＝BC，
所以AD＝BC
＝＝.
(2)由題意知＝，
所以－＝－.
因此＝＋－＝(－2,1)＋(3,6)－(2,2)＝(－1,5)，從而D(－1,5)．
問題6　設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，
由a，b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，則有(x1，y1)＝λ(x2，y2) 消去λ，
得x1y2－x2y1＝0.
知識(shí)梳理
x2y1＝x1y2
例4　(1)A　[a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，
2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，
由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，
解得λ＝.]
(2)－
解析　＝－＝(1－k,2k－2)，
＝－＝(1－2k，－3)，
由題意可知∥，
所以(－3)×(1－k)－(2k－2)·(1－2k)＝0，
解得k＝－(k＝1不合題意，舍去)．
跟蹤訓(xùn)練4　解　＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)．
＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
∵＝－2，
∴與共線且方向相反．
隨堂演練
1．B　2.C　3.A　4.6

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