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習(xí)題課　平面向量的綜合問(wèn)題
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　會(huì)利用向量的有關(guān)知識(shí)去解決平面向量的綜合問(wèn)題.
一、共線(xiàn)向量定理的應(yīng)用
例1　如圖所示,在平行四邊形ABCD中,=,=,CE與BF相交于G點(diǎn),記=a,=b,試用基底{a,b}表示.
解　∵E,G,C三點(diǎn)共線(xiàn),
∴由平面內(nèi)三點(diǎn)共線(xiàn)可得:存在唯一的實(shí)數(shù)x使得=x+(1-x),
∵==a,=a+b,
∴=x×a+(1-x)(a+b)=a+(1-x)b. ①
又∵F,G,B三點(diǎn)共線(xiàn),∴由平面內(nèi)三點(diǎn)共線(xiàn)可得:存在唯一的實(shí)數(shù)λ使得=λ+(1-λ)·,
∵==b,
∴=λa+(1-λ)b. ②
由①②兩式可得
∴∴=a+b.
反思感悟　本題的解法中由兩組三點(diǎn)共線(xiàn)(F,G,B以及E,G,C三點(diǎn)分別在一條直線(xiàn)上),利用平面內(nèi)三點(diǎn)共線(xiàn)構(gòu)造方程組求解,避免了用向量的加法和平面向理基本定理解答本題的復(fù)雜運(yùn)算,達(dá)到了簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的.
跟蹤訓(xùn)練1　如圖,直線(xiàn)EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB,AD分別交于E,F兩點(diǎn),且交對(duì)角線(xiàn)AC于點(diǎn)K,其中=,=,=λ,則λ的值為 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因?yàn)?,=,
所以=,=2.
由向量加法的平行四邊形法則可知,=+,所以=λ=λ(+)=λ=λ+2λ,
由E,F,K三點(diǎn)共線(xiàn),
可得λ+2λ=1,解得λ=.
二、平面向量基本定理的應(yīng)用
例2　如圖,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E為BC邊上一點(diǎn),=3,F為AE的中點(diǎn),則等于 (　　)
A.- B.-
C.-+ D.-+
答案　C
解析　方法一　如圖,取AB的中點(diǎn)G,連接DG,CG,則易知四邊形DCBG為平行四邊形,所以==-=-,
所以=+=+
=+=+,
于是=-=-
=-=-+.
方法二　=+=+
=-+
=-+
=-+++(++)
=-+.
反思感悟　平面向量基本定理離不開(kāi)向量的線(xiàn)性運(yùn)算.
跟蹤訓(xùn)練2　如圖,半徑為的扇形AOB的圓心角為120°,點(diǎn)C在上,且∠COB=30°,若=λ+μ,則λ+μ等于 (　　)
A. B. C. D.2
答案　A
解析　由題意,得∠AOC=90°,故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OC,OA所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,
則O(0,0),A(0,),C(,0),
B.
因?yàn)?λ+μ,
所以(,0)=λ(0,)+μ,
即則
所以λ+μ=.
三、向量線(xiàn)性運(yùn)算中的最值與范圍問(wèn)題
例3　如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上,且滿(mǎn)足=m+n(m,n均為正實(shí)數(shù)),求+的最小值.
解　由題意得=+=-,
所以=m+n
=m+n
=+n,
由P,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)得,
m-n+n=m+n=1(m,n>0),
所以+=
=++≥+2
=+=(當(dāng)且僅當(dāng)3n2=4m2時(shí)取等號(hào)),
即+的最小值為.
反思感悟　利用向量的概念及基本運(yùn)算,將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系,然后用均值不等式求最值.
跟蹤訓(xùn)練3　如圖所示,A,B,C是圓O上的三點(diǎn),CO的延長(zhǎng)線(xiàn)與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于圓O外一點(diǎn)D.若=m+n,則m+n的取值范圍是　　　　.
答案　(-1,0)
解析　由點(diǎn)D是圓O外一點(diǎn),可設(shè)=λ(λ>1),
則=+λ=λ+(1-λ).
又因?yàn)镃,O,D三點(diǎn)共線(xiàn),
令=-μ(μ>1),
則=--(λ>1,μ>1),
所以m=-,n=-,
則m+n=--=-∈(-1,0).
四、向量在三角形中的應(yīng)用
例4　(1)已知△ABC和點(diǎn)M滿(mǎn)足++=0,若存在實(shí)數(shù)m,使得+=m成立,求m的值.
解　由題意知,點(diǎn)M為△ABC的重心,連接AM并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D(圖略).
則=. ①
又∵AD為BC邊上的中線(xiàn),
∴+=2=m,
即2=m. ②
由①②可得m =3.
(2)已知△ABC滿(mǎn)足-=k(其中k是非零常數(shù)),則△ABC的形狀一定是 (　　)
A.等邊三角形 B.鈍角三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
答案　C
解析　如圖,取=,
=,
∴||=||=1.
又∵-=k,
∴-=k,
∴=k,∴EF∥BC,
∴=,
∴AB=AC,∴△ABC為等腰三角形.
反思感悟　充分利用向量知識(shí)找到三角形中邊或角之間的關(guān)系是解題的突破口.
跟蹤訓(xùn)練4　已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn),并且滿(mǎn)足2+3+5=0,△OAC的面積為S1,△ABC的面積為S2,則等于 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　∵2+3+5=0,
∴2(+)=-3(+).
設(shè)AC的中點(diǎn)為M,BC的中點(diǎn)為N(圖略),
則2=-3,
∴MN為△ABC的中位線(xiàn),且=,
∴S△OAC=2S△OMC=2×S△CMN=×S△ABC=S△ABC,即=.
1.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m).若點(diǎn)A,B,C能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿(mǎn)足的條件為 (　　)
A.m= B.m≠ C.m≠ D.m≠
答案　B
解析　若點(diǎn)A,B,C能構(gòu)成三角形,則這三點(diǎn)不共線(xiàn),即與不共線(xiàn),
因?yàn)?-=(3,1),
=-=(2-m,1-m),
所以3(1-m)≠2-m,即m≠.
2.如圖,設(shè)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且2+2+=0,則S△ABP∶S△ABC等于 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　設(shè)AB的中點(diǎn)是D(圖略),
因?yàn)?=2=-,
所以=-,
所以P為CD的五等分點(diǎn),
所以△ABP的面積為△ABC的面積的.
3.如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E為AD的中點(diǎn),若=λ+μ,則λ=　 　　,μ=　　 　.
答案　　
解析　以D為原點(diǎn),DC邊所在直線(xiàn)為x軸,DA邊所在直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略).不妨設(shè)AB=1,則D(0,0),C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1).=(-2,2),=(-2,1),=(1,2),
∵=λ+μ,
∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),
∴解得
4.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn),則|+3|的最小值為　　　　.
答案　5
解析　以D為原點(diǎn),分別以DA,DC所在直線(xiàn)為x軸,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)DC=a,DP=x(0≤x≤a),
∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),
=(2,-x),=(1,a-x),
∴+3=(5,3a-4x),
|+3|2=25+(3a-4x)2≥25,
當(dāng)x=時(shí)取等號(hào).
∴|+3|的最小值為5.
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練　[分值:65分]
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.如圖,在△ABC中,=a,=b,=3,=2,則等于 (　　)
A.a+b B.a-b
C.a+b D.-a+b
答案　D
解析　由平面向量的三角形法則,可知=+=+=(-)-=-+=-a+b.
2.(多選)下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.向量與是共線(xiàn)向量,則A,B,C,D四點(diǎn)必在一條直線(xiàn)上
B.已知直線(xiàn)上有P1,P2,P三點(diǎn),其中P1(2,-1),P2(-1,3),且=,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為
C.向量=(k,12),=(4,5),=(10,k).若A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn),則k的值為-2或11
D.已知平面內(nèi)O,A,B,C四點(diǎn),其中A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn),O,A,B三點(diǎn)不共線(xiàn),且=x+y,則x+y=1
答案　BCD
解析　對(duì)于A,向量與是共線(xiàn)向量,則A,B,C,D四點(diǎn)不一定在一條直線(xiàn)上,A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,設(shè)P(x,y),由=,得(x-2,y+1)=(-1-x,3-y),
則解得B正確;
對(duì)于C,=-=(k,12)-(4,5)=(k-4,7),
=-=(k,12)-(10,k)=(k-10,12-k).
∵A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn),∴∥,
∴(k-4)(12-k)-7(k-10)=0,
整理得k2-9k-22=0,
解得k=-2或k=11,C正確;
對(duì)于D,∵A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn),
∴存在λ∈R,使=λ,
∴-=λ(-),
∴=(1-λ)+λ,
∴x=1-λ,y=λ,
∴x+y=1,D正確.
3.如圖所示,||=||=1,||=,∠AOB=60°,OB⊥OC,設(shè)=x+y,則 (　　)
A.x=-2,y=-1 B.x=-2,y=1
C.x=2,y=-1 D.x=2,y=1
答案　B
解析　過(guò)點(diǎn)C作CD∥OB交AO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D,連接BC,如圖所示.
因?yàn)椤螦OB=60°,OB⊥OC,所以∠COD=30°,
在Rt△ODC中,||=,∠OCD=90°,
OD==2=2CD,因?yàn)閨|=1,所以CD=OB=1,
所以四邊形OBCD為平行四邊形,
所以=+=-2+,
因?yàn)?x+y,
所以x=-2,y=1.
4.我國(guó)東漢末三國(guó)初的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“勾股圓方圖”給出了勾股定理的證明,后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”.它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形,如圖所示.在“趙爽弦圖”中,若=a,=b,=3,則等于 (　　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
答案　B
解析　因?yàn)椤跋覉D”是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形,且=a,=b,=3,
則=+=+=+(+)=+=-+,解得=+,
所以=a+b.
5.如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),點(diǎn)F為線(xiàn)段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若=x+y(x>0,y>0),則的最大值為 (　　)
A. B. C.1 D.2
答案　A
解析　設(shè)BD,AE交于點(diǎn)O(圖略),
因?yàn)镈E∥AB,
所以△AOB∽△EOD,所以==2,
所以AO=2OE,則=,
所以=x+y=x+y,
因?yàn)镺,F,B三點(diǎn)共線(xiàn),
所以x+y=1,即2-3x=2y,
因?yàn)閤>0,y>0,
所以==,
4y+≥2=4,
當(dāng)且僅當(dāng)4y=,即y=時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)x=,
所以=≤=.
二、填空題(每小題5分,共15分)
6.已知A(2,3),B(4,-3),點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且||=||,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　.
答案　(8,-15)
解析　∵點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且||=||,
∴=,
∴=+2=(4,-3)+2(2,-6)
=(8,-15).
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8,-15).
7.如圖,在△ABC中,N為線(xiàn)段AC上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn),若=+,則m=　　　　.
答案　
解析　因?yàn)镹為線(xiàn)段AC上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn),所以 =+=+(-)=m+=m+,
因?yàn)锽,P,N三點(diǎn)共線(xiàn),
所以+m=1,m=.
8.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在圓O上,=+,且||=10,則圓O的面積為　　　　.
答案　25π
解析　設(shè)BC的中點(diǎn)為D,因?yàn)?+=(+)=×2=,
所以點(diǎn)O與點(diǎn)D重合,
即△ABC的外接圓的圓心是邊BC的中點(diǎn),
因此△ABC是以BC為斜邊的直角三角形,
因?yàn)閨|=10,
所以O(shè)A=OB=OC=||=5,
故圓O的面積為π·52=25π.
三、解答題(共25分)
9.(12分)如圖所示,在等腰梯形ABCD中,AB=8,BC=CD=4,點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上運(yùn)動(dòng).求|+|的取值范圍.
解　以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB所在的直線(xiàn)為x軸,過(guò)點(diǎn)A且垂直于AB的直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),則A(0,0),B(8,0),D(2,2),
設(shè)=λ(λ∈[0,1]),
易知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2λ,2λ),
則+=(-2λ,-2λ)+(8-2λ,-2λ)
=(8-4λ,-4λ),
則|+|==8=8,
又∵λ∈[0,1],
∴|+|max=8,|+|min=4,
∴|+|∈[4,8].
10.(13分)已知平行四邊形ABCD中,=2,=2,=2.
(1)用,表示;(5分)
(2)若||=6,||=3,∠BAD=45°,如圖建立直角坐標(biāo)系,求和的坐標(biāo).(8分)
解　(1)=+,
=+,又=2,所以-=2(-),
所以=+=+.
(2)過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線(xiàn)交AB于點(diǎn)D',如圖所示,
在Rt△ADD'中,由∠BAD=45°可知,AD'=3,
根據(jù)題意得各點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0),B(6,0),D(3,3),
F(7,1),=+
=(6,0)+(3,3)=,
所以G,
所以==,
=(4,-2).習(xí)題課　平面向量的綜合問(wèn)題
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　會(huì)利用向量的有關(guān)知識(shí)去解決平面向量的綜合問(wèn)題.
一、共線(xiàn)向量定理的應(yīng)用
例1　如圖所示,在平行四邊形ABCD中,==,CE與BF相交于G點(diǎn),記=a,=b,試用基底{a,b}表示.
反思感悟　本題的解法中由兩組三點(diǎn)共線(xiàn)(F,G,B以及E,G,C三點(diǎn)分別在一條直線(xiàn)上),利用平面內(nèi)三點(diǎn)共線(xiàn)構(gòu)造方程組求解,避免了用向量的加法和平面向理基本定理解答本題的復(fù)雜運(yùn)算,達(dá)到了簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的.
跟蹤訓(xùn)練1　如圖,直線(xiàn)EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB,AD分別交于E,F兩點(diǎn),且交對(duì)角線(xiàn)AC于點(diǎn)K,其中===λ,則λ的值為 (　　)
A. B.
C. D.
二、平面向量基本定理的應(yīng)用
例2　如圖,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E為BC邊上一點(diǎn),=3,F為AE的中點(diǎn),則等于 (　　)
A.- B.-
C.-+ D.-+
跟蹤訓(xùn)練2　如圖,半徑為的扇形AOB的圓心角為120°,點(diǎn)C在上,且∠COB=30°,若=λ+μ,則λ+μ等于 (　　)
A. B.
C. D.2
三、向量線(xiàn)性運(yùn)算中的最值與范圍問(wèn)題
例3　如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上,且滿(mǎn)足=m+n(m,n均為正實(shí)數(shù)),求+的最小值.
反思感悟　利用向量的概念及基本運(yùn)算,將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系,然后用均值不等式求最值.
跟蹤訓(xùn)練3　如圖所示,A,B,C是圓O上的三點(diǎn),CO的延長(zhǎng)線(xiàn)與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于圓O外一點(diǎn)D.若=m+n,則m+n的取值范圍是　　　　.
四、向量在三角形中的應(yīng)用
例4　(1)已知△ABC和點(diǎn)M滿(mǎn)足++=0,若存在實(shí)數(shù)m,使得+=m成立,求m的值.
(2)已知△ABC滿(mǎn)足-=k(其中k是非零常數(shù)),則△ABC的形狀一定是 (　　)
A.等邊三角形 B.鈍角三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
反思感悟　充分利用向量知識(shí)找到三角形中邊或角之間的關(guān)系是解題的突破口.
跟蹤訓(xùn)練4　已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn),并且滿(mǎn)足2+3+5=0,△OAC的面積為S1,△ABC的面積為S2,則等于 (　　)
A. B.
C. D.
1.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m).若點(diǎn)A,B,C能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿(mǎn)足的條件為 (　　)
A.m= B.m≠
C.m≠ D.m≠
2.如圖,設(shè)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且2+2+=0,則S△ABP∶S△ABC等于 (　　)
A. B.
C. D.
3.如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E為AD的中點(diǎn),若=λ+μ,則λ=　 　　,μ=　　 　.
4.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn),則|+3|的最小值為　　　　.
答案精析
例1　解　∵E，G，C三點(diǎn)共線(xiàn)，
∴由平面內(nèi)三點(diǎn)共線(xiàn)可得：存在唯一的實(shí)數(shù)x使得
＝x＋(1－x)，
∵＝＝a，＝a＋b，
∴＝x×a＋(1－x)(a＋b)
＝a＋(1－x)b.①
又∵F，G，B三點(diǎn)共線(xiàn)，∴由平面內(nèi)三點(diǎn)共線(xiàn)可得：存在唯一的實(shí)數(shù)λ使得＝λ＋(1－λ)·，
∵＝＝b，
∴＝λa＋(1－λ)b.②
由①②兩式可得
∴∴＝a＋b.
跟蹤訓(xùn)練1　A
例2　C
跟蹤訓(xùn)練2　A
例3　解　由題意得＝＋＝－，
所以＝m＋n
＝m＋n
＝＋n，
由P，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)得，
m－n＋n＝m＋n＝1(m，n>0)，
所以＋＝
＝＋＋≥＋2
＝＋＝(當(dāng)且僅當(dāng)3n2＝4m2時(shí)取等號(hào))，
即＋的最小值為.
跟蹤訓(xùn)練3　(－1,0)
例4　(1)解　由題意知，點(diǎn)M為△ABC的重心，連接AM并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D(圖略)．
則＝.①
又∵AD為BC邊上的中線(xiàn)，
∴＋＝2＝m，
即2＝m.②
由①②可得m＝3.
(2)C　[如圖，?。?，
＝，
∴||＝||＝1.
又∵－＝k，
∴－＝k，
∴＝k，∴EF∥BC，
∴＝，
∴AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形．]
跟蹤訓(xùn)練4　A
隨堂演練
1．B　2.A　3.　　4.5

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