資源簡介

章末復習課
一、向量的線性運算
1.向量的加減運算遵循平行四邊形法則或三角形法則,數(shù)乘運算和線段平行之間聯(lián)系密切.
2.通過向量的線性運算,培養(yǎng)數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng).
例1　在△ABC中,若點D滿足=2,則等于 (　　)
A.+ B.-
C.- D.+
答案　D
解析　如圖所示,由題意可得=+=+=+(-)=+.
反思感悟　此類平面向量的線性運算問題,求解的關鍵是結合圖形,正確運用平面向量加減運算的三角形法則,通過對向量的逐步分解即可求得答案.
跟蹤訓練1　如圖所示,在正方形ABCD中,M是BC的中點,若=λ+μ,則λ+μ等于 (　　)
A. B.
C. D.2
答案　B
解析　因為=λ+μ
=λ(+)+μ(+)
=λ+μ(-+)
=(λ-μ)+,
且=+,所以解得
所以λ+μ=.
二、平面向量基本定理的應用
1.平面向量基本定理的引入為向量的加、減、數(shù)乘的坐標運算提供了有力的理論依據(jù),利用平面向量基本定理表示向量時,要選擇一組恰當?shù)幕?常與待定系數(shù)法、方程思想緊密聯(lián)系在一起解決問題.
2.通過平面向量基本定理的應用,培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).
例2　如圖,在△AOB中,D是邊OB的中點,C是邊OA上靠近O的三等分點,AD與BC交于M點.設=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)過點M的直線與邊OA,OB分別交于E,F.設=p,=q,求+的值.
解　(1)設=xa+yb,
則=-=xa+yb-a=(x-1)a+yb,
=-=-a+b,
=-=xa+yb-b=xa+(y-1)b,
=-=-=a-b,
因為A,M,D三點共線,所以,共線,
從而(x-1)=-y, ①
又C,M,B三點共線,所以,共線,
同理可得(y-1)=-x, ②
聯(lián)立①②,解得故=a+b.
(2)=-=a+b-pa
=a+b.
=-=qb-pa,
因為,共線,所以q=-p,
整理得+=5.
反思感悟　運用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底,并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式,再通過向量的運算來解決.
跟蹤訓練2　在△ABC中,=,過點D作DE∥BC,與邊AC相交于點E,△ABC的中線AM與DE相交于點N,如圖所示.設=a,=b,試用基底{a,b}表示.
解　因為M為BC的中點,
所以==(-)=(b-a),
=(+)=(a+b).
因為DN∥BM,AN與AM共線,
所以存在實數(shù)λ,μ使得=λ=λ(b-a),
=μ=μ(a+b)=a+b.
所以=+=a+λ(b-a)
=a+b,
所以根據(jù)平面向量基本定理,得
解得
所以=(b-a)=-a+b.
三、向量的坐標運算
1.向量的坐標表示實際上是向量的代數(shù)表示,是將幾何問題代數(shù)化的有力工具,它是轉化思想、函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結合等思想方法的具體體現(xiàn).通過向量坐標運算主要解決求向量的坐標、向量的模,判斷共線、平行等問題.
2.通過向量的坐標運算,培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng).
例3　已知點A(2,3),B(5,4),C(7,10).若=+λ(λ∈R),試求當λ為何值時:
(1)點P在第一、三象限的角平分線上;
(2)點P在第三象限內.
解　設點P的坐標為(x,y),
則=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),
+λ=(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)]
=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).
∵=+λ,
∴則
(1)若點P在第一、三象限的角平分線上,
則5+5λ=4+7λ,∴λ=.
(2)若點P在第三象限內,則∴λ<-1.
反思感悟　解決向量問題時,把題中向量用坐標形式表示出來,運用坐標運算方法來解決是一種重要途徑.
跟蹤訓練3　平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三點,點C在直線AB上,且=,連接DC并延長至點E,使||=||,則點E的坐標為　　　　.
答案　
解析　因為=,所以-=(-).
所以=2-=(3,-6),所以點C的坐標為(3,-6).
由||=||,且E在DC的延長線上,
得=-.設E(x,y),
則(x-3,y+6)=-(4-x,-3-y),
得解得
即E.
四、向量在平面幾何中的應用
1.利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、距離等問題.利用向量解決平面幾何問題時,有兩種思路:一種思路是選擇一組基底,利用基底表示涉及的向量;一種思路是建立坐標系,求出題目中涉及到的向量的坐標.這兩種思想都是通過向量的計算獲得幾何命題的證明.
2.借助向量在平面幾何中的應用,提升數(shù)學抽象和數(shù)學運算素養(yǎng).
例4　已知在Rt△ABC中,∠C=90°,設AC=m,BC=n.
(1)若D為斜邊AB的中點,求證:CD=AB;
(2)若E為CD的中點,連接AE并延長交BC于點F,求AF的長度(用m,n表示).
(1)證明　以C為坐標原點,邊CB,CA所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系,如圖所示,
則A(0,m),B(n,0).
因為D為AB的中點,所以D,
所以||=,||=,
所以||=||,即CD=AB.
(2)解　因為E為CD的中點,所以E,
設F(x,0),則=,=(x,-m).
因為A,F,E三點共線,所以=λ(λ>1),
即(x,-m)=λ,
則解得
所以F,所以||=,
即AF=.
反思感悟　把幾何圖形放到適當?shù)淖鴺讼抵?就賦予了有關點與向量具體的坐標,這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算,從而解決問題.這樣的解題方法具有普遍性.
跟蹤訓練4　如圖所示,在△ABC中,D,F分別是BC,AC的中點,=,=a,=b.
(1)用a,b表示向量,,,,;
(2)求證:B,E,F三點共線.
(1)解　∵=(+)=(a+b),
∴==(a+b),∵==b,
∴=-=(a+b)-a=b-a,
=-=b-a.
(2)證明　由(1)知=-a+b,
=-a+b,
∴=,∴與共線.
又,有公共點B,∴B,E,F三點共線.章末復習課
一、向量的線性運算
1.向量的加減運算遵循平行四邊形法則或三角形法則,數(shù)乘運算和線段平行之間聯(lián)系密切.
2.通過向量的線性運算,培養(yǎng)數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng).
例1　在△ABC中,若點D滿足=2,則等于 (　　)
A.+ B.-
C.- D.+
反思感悟　此類平面向量的線性運算問題,求解的關鍵是結合圖形,正確運用平面向量加減運算的三角形法則,通過對向量的逐步分解即可求得答案.
跟蹤訓練1　如圖所示,在正方形ABCD中,M是BC的中點,若=λ+μ,則λ+μ等于 (　　)
A. B.
C. D.2
二、平面向量基本定理的應用
1.平面向量基本定理的引入為向量的加、減、數(shù)乘的坐標運算提供了有力的理論依據(jù),利用平面向量基本定理表示向量時,要選擇一組恰當?shù)幕?常與待定系數(shù)法、方程思想緊密聯(lián)系在一起解決問題.
2.通過平面向量基本定理的應用,培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).
例2　如圖,在△AOB中,D是邊OB的中點,C是邊OA上靠近O的三等分點,AD與BC交于M點.設=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)過點M的直線與邊OA,OB分別交于E,F.設=p=q,求+的值.
反思感悟　運用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底,并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式,再通過向量的運算來解決.
跟蹤訓練2　在△ABC中,=,過點D作DE∥BC,與邊AC相交于點E,△ABC的中線AM與DE相交于點N,如圖所示.設=a,=b,試用基底{a,b}表示.
三、向量的坐標運算
1.向量的坐標表示實際上是向量的代數(shù)表示,是將幾何問題代數(shù)化的有力工具,它是轉化思想、函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結合等思想方法的具體體現(xiàn).通過向量坐標運算主要解決求向量的坐標、向量的模,判斷共線、平行等問題.
2.通過向量的坐標運算,培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng).
例3　已知點A(2,3),B(5,4),C(7,10).若=+λ(λ∈R),試求當λ為何值時:
(1)點P在第一、三象限的角平分線上;
(2)點P在第三象限內.
反思感悟　解決向量問題時,把題中向量用坐標形式表示出來,運用坐標運算方法來解決是一種重要途徑.
跟蹤訓練3　平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三點,點C在直線AB上,且=,連接DC并延長至點E,使||=||,則點E的坐標為　　　　　　　.
四、向量在平面幾何中的應用
1.利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、距離等問題.利用向量解決平面幾何問題時,有兩種思路:一種思路是選擇一組基底,利用基底表示涉及的向量;一種思路是建立坐標系,求出題目中涉及到的向量的坐標.這兩種思想都是通過向量的計算獲得幾何命題的證明.
2.借助向量在平面幾何中的應用,提升數(shù)學抽象和數(shù)學運算素養(yǎng).
例4　已知在Rt△ABC中,∠C=90°,設AC=m,BC=n.
(1)若D為斜邊AB的中點,求證:CD=AB;
(2)若E為CD的中點,連接AE并延長交BC于點F,求AF的長度(用m,n表示).
反思感悟　把幾何圖形放到適當?shù)淖鴺讼抵?就賦予了有關點與向量具體的坐標,這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算,從而解決問題.這樣的解題方法具有普遍性.
跟蹤訓練4　如圖所示,在△ABC中,D,F分別是BC,AC的中點,==a,=b.
(1)用a,b表示向量;
(2)求證:B,E,F三點共線.
答案精析
例1　D
跟蹤訓練1　B
例2　解　(1)設＝xa＋yb，
則＝－＝xa＋yb－a
＝(x－1)a＋yb，
＝－＝－a＋b，
＝－＝xa＋yb－b
＝xa＋(y－1)b，
＝－＝－＝a－b，
因為A，M，D三點共線，
所以，共線，
從而(x－1)＝－y，①
又C，M，B三點共線，所以，共線，
同理可得(y－1)＝－x，②
聯(lián)立①②，解得
故＝a＋b.
(2)＝－＝a＋b－pa
＝a＋b.
＝－＝qb－pa，
因為，共線，
所以q＝－p，
整理得＋＝5.
跟蹤訓練2　解　因為M為BC的中點，
所以＝＝(－)＝(b－a)，
＝(＋)＝(a＋b)．
因為DN∥BM，AN與AM共線，
所以存在實數(shù)λ，μ
使得＝λ＝λ(b－a)，
＝μ＝μ(a＋b)＝a＋b.
所以＝＋
＝a＋λ(b－a)
＝a＋b，
所以根據(jù)平面向量基本定理，得
解得
所以＝(b－a)＝－a＋b.
例3　解　設點P的坐標為(x，y)，
則＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
＋λ＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]
＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵＝＋λ，
∴則
(1)若點P在第一、三象限的角平分線上，
則5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.
(2)若點P在第三象限內，
則∴λ<－1.
跟蹤訓練3　
例4　(1)證明　以C為坐標原點，邊CB，CA所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，
則A(0，m)，B(n,0)．
因為D為AB的中點，
所以D，
所以||＝，
||＝，
所以||＝||，
即CD＝AB.
(2)解　因為E為CD的中點，
所以E，
設F(x,0)，則＝，＝(x，－m)．
因為A，F(xiàn)，E三點共線，
所以＝λ(λ>1)，
即(x，－m)＝λ，
則解得
所以F，
所以||＝，
即AF＝.
跟蹤訓練4　(1)解　∵＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝＝(a＋b)，
∵＝＝b，
∴＝－＝(a＋b)－a
＝b－a，
＝－＝b－a.
(2)證明　由(1)知＝－a＋b，
＝－a＋b，
∴＝，∴與共線．
又，有公共點B，∴B，E，F(xiàn)三點共線．

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