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專題35 數列求和（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】分組轉化求和 4
【考點2】裂項相消法求和 5
【考點3】錯位相減法求和 6
【分層檢測】 8
【基礎篇】 8
【能力篇】 10
【培優篇】 11
考試要求：
1.熟練掌握等差、等比數列的前n項和公式.
2.掌握非等差數列，非等比數列求和的幾種常見方法.
1.特殊數列的求和公式
(1)等差數列的前n項和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比數列的前n項和公式：
Sn＝
2.數列求和的幾種常用方法
(1)分組轉化法
把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解.
(2)裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.
(3)錯位相減法
如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，這個數列的前n項和可用錯位相減法求解.
(4)倒序相加法
如果一個數列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解.
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
2.12＋22＋…＋n2＝.
3.裂項求和常用的三種變形
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝－.
4.在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.
一、解答題
1．（2024·全國·高考真題）已知等比數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和.
2．（2024·全國·高考真題）記為數列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
3．（2023·全國·高考真題）設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
4．（2023·全國·高考真題）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
5．（2022·全國·高考真題）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
6．（2022·天津·高考真題）設是等差數列，是等比數列，且．
(1)求與的通項公式；
(2)設的前n項和為，求證：；
(3)求．
【考點1】分組轉化求和
一、單選題
1．（2024·遼寧·模擬預測）若，設，則數列的前項和為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陜西西安·三模）如圖，用相同的球堆成若干堆“正三棱錐”形的裝飾品，其中第1堆只有1層，且只有1個球；第2堆有2層4個球，其中第1層有1個球，第2層有3個球；…；第n堆有n層共個球，第1層有1個球，第2層有3個球，第3層有6個球，…．已知，則（ ）
A．2290 B．2540 C．2650 D．2870
二、多選題
3．（2024·安徽·一模）已知數列滿足，則（ ）
A． B．的前n項和為
C．的前100項和為100 D．的前30項和為357
4．（2024·安徽馬鞍山·模擬預測）已知函數滿足，，，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．時， D．
三、填空題
5．（2024·山東青島·模擬預測）已知數列的前項和為，且滿足，則 .
四、解答題
6．（2025·四川巴中·模擬預測）已知數列的首項，且滿足．
(1)證明：數列為等比數列；
(2)若，求滿足條件的最大整數n．
反思提升：
1.若數列{cn}滿足cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數列，可采用分組求和法求數列{cn}的前n項和.
2.若數列{cn}滿足cn＝其中數列{an}，{bn}是等比數列或等差數列，可采用分組求和法求{cn}的前n項和.
【考點2】裂項相消法求和
一、單選題
1．（2025·江蘇·模擬預測）已知數列滿足，，記為數列的前n項和.數列滿足，下列結論一定正確的是（ ）
A． B．，
C．， D．
2．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知公差不為零的等差數列滿足：，且是與的等比中項，設數列滿足，則數列的前項和為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2023·河北·模擬預測）已知各項均為正數的數列滿足，（），，數列的前項和為，則下面說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·福建寧德·模擬預測）“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列.從第1行開始，第n行從左至右的數字之和記為，如的前項和記為，依次去掉每一行中所有的1構成的新數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，記為，的前項和記為，則下列說法正確的有（ ）
A． B．的前項和
C． D．
三、填空題
5．（2024·廣東江門·模擬預測）若數列滿足，數列的前n項和為，則 ．
四、解答題
6．（2023·河北保定·三模）已知數列的前項和為.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
反思提升：
1.用裂項相消法求和時，要對通項進行變換，如：＝(－)，＝(－)，裂項后可以產生連續相互抵消的項.
2.消項規律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項.
【考點3】錯位相減法求和
一、單選題
1．（23-24高二下·山西晉城·階段練習）已知數列滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黑龍江佳木斯·三模）復數的虛部是（ ）
A．1012 B．1011 C． D．
二、多選題
3．（2020·海南·模擬預測）已知數列的首項是4，且滿足，則（ ）
A．為等差數列
B．為遞增數列
C．的前n項和
D．的前n項和
4．（23-24高三下·江蘇蘇州·開學考試）已知函數滿足， 且， 則（ ）
A．
B．
C．函數為奇函數
D．
三、填空題
5．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）數列 滿足，則 .
四、解答題
6．（2024·天津河西·二模）已知數列的首項，且滿足，的前項和為.
(1)證明數列是等差數列，并求數列的通項公式；
(2)當時，恒成立，求實數的取值范圍；
(3)在數列中，，，求數列的通項公式及.
反思提升：
(1)如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法.
(2)錯位相減法求和時，應注意：
①要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形.
②在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式.
③應用等比數列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應用公式Sn＝na1.
【基礎篇】
一、單選題
1．（23-24高二上·山東青島·階段練習）等比數列的各項均為正數，且，則（ ）
A．12 B．10 C．5 D．
2．（21-22高三上·湖南·階段練習）如圖是古箏鳴箱俯視圖，鳴箱有多根弦，每根弦下有一只弦碼，弦碼又叫雁柱，用于調節音高和傳振．圖2是根據圖1繪制的古箏弦及其弦碼簡易直觀圖．在直觀圖中，每根弦都垂直于軸，左邊第一根弦在軸上，相鄰兩根弦間的距離為1，弦碼所在的曲線（又稱為雁柱曲線）方程為，第（，第0根弦表示與軸重合的弦）根弦分別與雁柱曲線和直線交于點和，則（ ）參考數據：．
A．814 B．900 C．914 D．1000
3．（2024·浙江杭州·二模）設數列滿足．設為數列的前項的和，則（ ）
A．110 B．120 C．288 D．306
4．（2022高三·全國·專題練習）已知數列{an}滿足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn為數列{an}的前n項和，則S2021=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、多選題
5．（21-22高二下·全國·單元測試）已知數列的前n項和為，數列的前項和為，則下列選項正確的為（ ）
A．數列是等差數列 B．數列是等比數列
C．數列的通項公式為 D．
6．（2023·遼寧·二模）南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，設各層球數構成一個數列，且，數列的前n項和為，則正確的選項是（ ）．
A． B．
C． D．
7．（23-24高二上·山西大同·期末）已知數列的前項和為，首項，且滿足，則下列四個結論中正確的是（ ）
A．數列是等比數列 B．
C． D．
三、填空題
8．（2022·江西萍鄉·二模）已知函數，等差數列滿足，則 ．
9．（2022·內蒙古呼倫貝爾·模擬預測）已知數列的前n項和，記，則數列的前n項和 .
10．（23-24高二上·湖北·期末）已知公差不為0的等差數列中，存在，，滿足，，則項數 .
四、解答題
11．（2024·陜西渭南·三模）已知等比數列的各項均為正數，前n項和為，且滿足，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前n項和．
12．（2024·廣東·二模）數列滿足，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前n項和．
【能力篇】
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）對于三次函數給出定義：設是函數的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”，同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且拐點就是對稱中心，若，請你根據這一發現計算：（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
二、多選題
2．（2023·廣東佛山·模擬預測）已知定義在R上且不恒為0的函數，對任意的，都有，則（ ）
A．
B．函數是奇函數
C．對，有
D．若，則
三、填空題
3．（2022·湖南益陽·一模）已知數列中，，，若，則數列的前項和 .
四、解答題
4．（2025·廣東深圳·一模）若一個數列從第二項起，每一項與前一項的差值組成的新數列是一個等差數列，則稱這個數列是一個“二階等差數列”，已知數列是一個二階等差數列，其中．
(1)求及的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知數列滿足，其前n項和為，則使得成立的n的最小值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、多選題
2．（2024·浙江·三模）利用不等式“，當且僅當時，等號成立”可得到許多與n（且）有關的結論，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2024·山東濱州·二模）已知函數，數列滿足，，，則 ．
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專題35 數列求和（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 9
【考點1】分組轉化求和 9
【考點2】裂項相消法求和 14
【考點3】錯位相減法求和 20
【分層檢測】 26
【基礎篇】 26
【能力篇】 33
【培優篇】 37
考試要求：
1.熟練掌握等差、等比數列的前n項和公式.
2.掌握非等差數列，非等比數列求和的幾種常見方法.
1.特殊數列的求和公式
(1)等差數列的前n項和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比數列的前n項和公式：
Sn＝
2.數列求和的幾種常用方法
(1)分組轉化法
把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解.
(2)裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.
(3)錯位相減法
如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，這個數列的前n項和可用錯位相減法求解.
(4)倒序相加法
如果一個數列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解.
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
2.12＋22＋…＋n2＝.
3.裂項求和常用的三種變形
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝－.
4.在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.
一、解答題
1．（2024·全國·高考真題）已知等比數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和.
2．（2024·全國·高考真題）記為數列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
3．（2023·全國·高考真題）設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
4．（2023·全國·高考真題）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
5．（2022·全國·高考真題）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
6．（2022·天津·高考真題）設是等差數列，是等比數列，且．
(1)求與的通項公式；
(2)設的前n項和為，求證：；
(3)求．
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項后可求通項；
（2）利用分組求和法即可求.
【詳解】（1）因為,故，
所以即故等比數列的公比為，
故，故，故.
（2）由等比數列求和公式得，
所以數列的前n項和
.
2．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求的通項公式．
（2）利用錯位相減法可求.
【詳解】（1）當時，，解得．
當時，，所以即，
而，故，故，
∴數列是以4為首項，為公比的等比數列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
3．(1)
(2)
【分析】（1）根據即可求出；
（2）根據錯位相減法即可解出．
【詳解】（1）因為，
當時，，即；
當時，，即，
當時，，所以，
化簡得：，當時，，即，
當時都滿足上式，所以．
（2）因為，所以，
，
兩式相減得，
，
，即，．
4．(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）設等差數列的公差為，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的結論求出，，再分奇偶結合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結論求出，，再分奇偶借助等差數列前n項和公式求出，并與作差比較作答.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
所以數列的通項公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
當為偶數時，，
，
當時，，因此，
當為奇數時，，
當時，，因此，
所以當時，.
方法2：由（1）知，，，
當為偶數時，，
當時，，因此，
當為奇數時，若，則
，顯然滿足上式，因此當為奇數時，，
當時，，因此，
所以當時，.
5．(1)
(2)見解析
【分析】（1）利用等差數列的通項公式求得，得到，利用和與項的關系得到當時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；
（2）由（1）的結論，利用裂項求和法得到，進而證得.
【詳解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數列，
∴,∴,
∴當時，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對于也成立，
∴的通項公式；
（2）
∴
6．(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比數列的通項公式進行基本量運算即可得解；
（2）由等比數列的性質及通項與前n項和的關系結合分析法即可得證；
（3）先求得，進而由并項求和可得，再結合錯位相減法可得解.
【詳解】（1）設公差為d，公比為，則，
由可得（舍去），
所以；
（2）證明：因為所以要證，
即證，即證，
即證，
而顯然成立，所以；
（3）因為
，
所以
，
設
所以，
則，
作差得
，
所以，
所以.
【考點1】分組轉化求和
一、單選題
1．（2024·遼寧·模擬預測）若，設，則數列的前項和為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陜西西安·三模）如圖，用相同的球堆成若干堆“正三棱錐”形的裝飾品，其中第1堆只有1層，且只有1個球；第2堆有2層4個球，其中第1層有1個球，第2層有3個球；…；第n堆有n層共個球，第1層有1個球，第2層有3個球，第3層有6個球，…．已知，則（ ）
A．2290 B．2540 C．2650 D．2870
二、多選題
3．（2024·安徽·一模）已知數列滿足，則（ ）
A． B．的前n項和為
C．的前100項和為100 D．的前30項和為357
4．（2024·安徽馬鞍山·模擬預測）已知函數滿足，，，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．時， D．
三、填空題
5．（2024·山東青島·模擬預測）已知數列的前項和為，且滿足，則 .
四、解答題
6．（2025·四川巴中·模擬預測）已知數列的首項，且滿足．
(1)證明：數列為等比數列；
(2)若，求滿足條件的最大整數n．
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 B D AD ABC
1．B
【分析】根據題意確定，進而利用等比數列的前項和即可求解.
【詳解】為的系數，即每個括號中只有一個括號取，其余都取1，
則，即，
所以數列的前n項的和.
故選：B.
2．D
【分析】由題意總結規律得，再利用累加法求得的通項公式，然后再進分組求和，建立一個關于的方程，解方程可得.
【詳解】在第堆中，從第2層起，第n層的球的個數比第層的球的個數多n，
記第n層球的個數為，則，
得，
其中也適合上式，則，
在第n堆中，
，
當時，，解得.
故選：D.
3．AD
【分析】當時，，兩式相減可求出，檢驗滿足，可判斷A；由等差數列的前項和公式可判斷B；由分組求和法可判斷C，D.
【詳解】當時，，
當時，，
兩式相減可得：，
所以，
顯然當時，滿足，故，故A正確；
由等差數列求和公式知的前項和為，故B錯誤；
令，的前100項和為：
，故C錯誤；
令，
所以的前30項和為：
，故D正確.
故選：AD.
4．ABC
【分析】關鍵利用函數恒等式得到，和，從而可以利用數列思想求解并加以判斷.
【詳解】令得：，又因為，，
所以，所以選項A是正確的；
令得：，
因為，所以由上式得，，，
根據遞推可得，，所以選項B是正確的；
令得：，
所以是等比數列，由，可得公比為，所以，所以選項C是正確的；
，所以選項D是錯誤的.
故選：ABC.
5．
【分析】依題意可得，記，即可得到，從而求出的通項公式，再由分組求和法計算可得.
【詳解】因為，
所以，，且，
所以，
記，則，所以，
所以是以為首項，為公比的等比數列，
所以，則，
記的前項和為，
則
.
故答案為：
6．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據已知條件進行化簡，結合等比數列的知識求得正確答案.
（2）先求得，然后利用分組求和法、數列的單調性來求得正確答案.
【詳解】（1）由得，
則，
所以數列是首項為，公比為的等比數列.
（2）由（1）得，
所以
，
數列是單調遞增數列，
當時，，
當時，，
所以滿足條件的最大整數為.
反思提升：
1.若數列{cn}滿足cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數列，可采用分組求和法求數列{cn}的前n項和.
2.若數列{cn}滿足cn＝其中數列{an}，{bn}是等比數列或等差數列，可采用分組求和法求{cn}的前n項和.
【考點2】裂項相消法求和
一、單選題
1．（2025·江蘇·模擬預測）已知數列滿足，，記為數列的前n項和.數列滿足，下列結論一定正確的是（ ）
A． B．，
C．， D．
2．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知公差不為零的等差數列滿足：，且是與的等比中項，設數列滿足，則數列的前項和為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2023·河北·模擬預測）已知各項均為正數的數列滿足，（），，數列的前項和為，則下面說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·福建寧德·模擬預測）“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列.從第1行開始，第n行從左至右的數字之和記為，如的前項和記為，依次去掉每一行中所有的1構成的新數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，記為，的前項和記為，則下列說法正確的有（ ）
A． B．的前項和
C． D．
三、填空題
5．（2024·廣東江門·模擬預測）若數列滿足，數列的前n項和為，則 ．
四、解答題
6．（2023·河北保定·三模）已知數列的前項和為.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 D C ACD BCD
1．D
【分析】首先分析出數列單調遞減，，，推導出即可判斷AD，通過作差法得和即可判斷BC.
【詳解】，且，
，即數列單調遞減，
又，，
先來分析AD選項，
，
令，因為，則，
則，因為，
則，
則，
注意到D選項中的與的關系，
構造出數列，
因為函數在上單調遞增，
則單調遞增，則，即，
即
，，累加得故A選項錯誤，D選項正確.
對BC，注意到 ，
對于B選項，則需要比較與的大小,
作差可得,結合，
故，故B錯誤；
對于C選項，則需要比較與的大小，因為，
則，
待定系數并且令恒成立，
因為，則，則，即恒成立，
因為，則，則恒成立，
則恒成立，則恒成立，
因為，即，則，
則，則，
則，即，即，
故，
當足夠大時，，此時，但小于，
則存在，使得，故C錯誤；
故選：D.
【點睛】關鍵點點睛：本題B選項的關鍵是作差得，則.
2．C
【分析】設等差數列的公差為，根據題意，列出方程組，求得，得到，進而得到，結合裂項法求和，即可求解.
【詳解】設等差數列的公差為，
因為，且是與的等比中項，可得，
即，解得，所以，
又由，
可得.
故選：C.
3．ACD
【分析】由題設中的遞推關系可得，故可得判斷AB的正誤，利用分組求和和錯位相減法可判斷C的正誤，利用裂項相消法可判斷D的正誤.
【詳解】選項A：，，正確；
選項B：，，而，所以，故，
所以數列為首項為3，公比為3的等比數列，故，錯誤；
選項C：，
所以，
設，則，
兩式作差可得，
所以，所以，正確；
選項D：，
所以，正確.
故選：ACD.
4．BCD
【分析】由題意分析出數列為等比數列，再求其前項和，再對各項逐一分析即可．
【詳解】從第一行開始，每一行的數依次對應的二項式系數，
所以，所以為等比數列，，
所以，故A錯誤；
，
故的前項和為，
故B正確；
去掉每一行中的1以后，每一行剩下的項數分別為0，1，2，3…，構成一個等差數列，
項數之和為，則的最大整數為11，此時,
楊輝三角中取滿了第11行，第12行首位為1，
取的就是第12行中的第3項，，故C正確；
是中去掉22個1，再加上第12行中的第2項和第3項，
所以，故D正確.
故選：BCD．
【點睛】關鍵點點睛：本題考查“楊輝三角”與數列求和問題，解題的關鍵是將數列與“三角數陣”聯系起來，結合二項式系數的性質與等比數列求和公式求解.
5．
【分析】根據遞推公式求出數列的通項公式，再計算出數列的通項公式，即可計算出.
【詳解】由，則，
當時，上式相加，得，
所以，又符合上式，可知，
所以．
故答案為：
6．(1)
(2)
【分析】（1）結合題意，利用與的關系式及等比數列的概念即可求解；
（2）結合（1）的結論，利用裂項相消法即可求解.
【詳解】（1）由，
得，即，
當時，，
兩式相減得，
化簡得，
當時，，
所以數列是以1為首項，2為公比的等比數列，
所以；
（2）由（1）知，
所以，
所以
.
反思提升：
1.用裂項相消法求和時，要對通項進行變換，如：＝(－)，＝(－)，裂項后可以產生連續相互抵消的項.
2.消項規律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項.
【考點3】錯位相減法求和
一、單選題
1．（23-24高二下·山西晉城·階段練習）已知數列滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黑龍江佳木斯·三模）復數的虛部是（ ）
A．1012 B．1011 C． D．
二、多選題
3．（2020·海南·模擬預測）已知數列的首項是4，且滿足，則（ ）
A．為等差數列
B．為遞增數列
C．的前n項和
D．的前n項和
4．（23-24高三下·江蘇蘇州·開學考試）已知函數滿足， 且， 則（ ）
A．
B．
C．函數為奇函數
D．
三、填空題
5．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）數列 滿足，則 .
四、解答題
6．（2024·天津河西·二模）已知數列的首項，且滿足，的前項和為.
(1)證明數列是等差數列，并求數列的通項公式；
(2)當時，恒成立，求實數的取值范圍；
(3)在數列中，，，求數列的通項公式及.
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 C D BD ABD
1．C
【分析】根據遞推關系利用累乘法求出通項，利用錯位相減法求出的前100項和得解.
【詳解】由，得，
所以，，，，（，），
累乘可得，又，得.
設①，
則②，
①-②得，
，
，
.
故選：C.
2．D
【分析】由錯位相減法化簡復數后再由復數的運算和復數的幾何意義求出結果即可.
【詳解】因為，
，
所以，①
因為，所以，，
所以化簡①可得，
所以虛部為，
故選：D.
3．BD
【分析】根據題意，得到，得到為等比數列，可判定A；由，可判定B；利用錯位相減法求和，可判定C；由，結合等差數列的求和公式，可判定D.
【詳解】由，可得，
所以數列是以為首項，公比的等比數列，所以A錯誤；
由，所以，顯然數列為遞增數列，所以B正確；
由，可得，
兩式相減，可得，所以，所以C錯誤；
因為，所以數列的前項和為，所以D正確.
故選：BD.
4．ABD
【分析】令判斷A，令判斷B，令，求出，判斷C，令，得，利用錯位相減法判斷D.
【詳解】對于A，令時，則，又，所以，故A正確；
對于B，令時，則，又，所以，故B正確；
對于C，當時，則，又，，
所以，所以函數不為奇函數，故C錯誤；
對于D，當時，則，又，
所以，即，
所以當時，，
即，即，，
當時，代入上式，，所以，
設，
則 ①
②
①-②得，
，
所以，故，故D正確，
故選：ABD.
【點睛】關鍵點點睛：賦值法的直觀應用，對于D選項，構造數列，利用錯位相減法求解.
5．
【分析】由累乘法求出，再由錯位相減法求出數列 的前項和為，即可求出，代入求解即可.
【詳解】由可得：，
當時，
，，，……，，
所以上述式子相乘可得：，所以，
令，，所以滿足，所以.
設數列 的前項和為，
①，
②，
①減②可得：
所以，
所以，
所以
.
故答案為：.
6．(1)證明見及解析，
(2)
(3)，
【分析】（1）依據等比數列的定義構造等比數列，再求解通項即可.
（2）利用裂項相消法求出，結合分離參數法求解參數范圍即可.
（3）結合題意求出，再利用錯位相減法求和即可.
【詳解】（1）∵，∴，
即，又，
∴數列是以2為首項，1為公差的等差數列，
∴，.
（2），
∴，
由，得，
∴恒成立，，
當且僅當時取等，此時解得，
所以實數的取值范圍是.
（3）由，，
∴，
數列的奇數項是以2為首項，4為公比的等比數列，
偶數項為以2為首項，4為公比的等比數列，
，
設，
，
兩式相減得，
∴，
所以.
反思提升：
(1)如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法.
(2)錯位相減法求和時，應注意：
①要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形.
②在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式.
③應用等比數列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應用公式Sn＝na1.
【基礎篇】
一、單選題
1．（23-24高二上·山東青島·階段練習）等比數列的各項均為正數，且，則（ ）
A．12 B．10 C．5 D．
2．（21-22高三上·湖南·階段練習）如圖是古箏鳴箱俯視圖，鳴箱有多根弦，每根弦下有一只弦碼，弦碼又叫雁柱，用于調節音高和傳振．圖2是根據圖1繪制的古箏弦及其弦碼簡易直觀圖．在直觀圖中，每根弦都垂直于軸，左邊第一根弦在軸上，相鄰兩根弦間的距離為1，弦碼所在的曲線（又稱為雁柱曲線）方程為，第（，第0根弦表示與軸重合的弦）根弦分別與雁柱曲線和直線交于點和，則（ ）參考數據：．
A．814 B．900 C．914 D．1000
3．（2024·浙江杭州·二模）設數列滿足．設為數列的前項的和，則（ ）
A．110 B．120 C．288 D．306
4．（2022高三·全國·專題練習）已知數列{an}滿足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn為數列{an}的前n項和，則S2021=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、多選題
5．（21-22高二下·全國·單元測試）已知數列的前n項和為，數列的前項和為，則下列選項正確的為（ ）
A．數列是等差數列 B．數列是等比數列
C．數列的通項公式為 D．
6．（2023·遼寧·二模）南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，設各層球數構成一個數列，且，數列的前n項和為，則正確的選項是（ ）．
A． B．
C． D．
7．（23-24高二上·山西大同·期末）已知數列的前項和為，首項，且滿足，則下列四個結論中正確的是（ ）
A．數列是等比數列 B．
C． D．
三、填空題
8．（2022·江西萍鄉·二模）已知函數，等差數列滿足，則 ．
9．（2022·內蒙古呼倫貝爾·模擬預測）已知數列的前n項和，記，則數列的前n項和 .
10．（23-24高二上·湖北·期末）已知公差不為0的等差數列中，存在，，滿足，，則項數 .
四、解答題
11．（2024·陜西渭南·三模）已知等比數列的各項均為正數，前n項和為，且滿足，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前n項和．
12．（2024·廣東·二模）數列滿足，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前n項和．
參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 B C A C BCD BC BCD
1．B
【分析】利用等比數列的性質，結合對數的運算法則即可得解.
【詳解】因為是各項均為正數的等比數列，，
所以，即，則
記，則，
兩式相加得，
所以，即.
故選：B.
2．C
【分析】根據題意，有，，則有，利用錯位相減法分析可得答案．
【詳解】根據題意，第根弦分別與雁柱曲線和直線交于點，和，，
則，，則有，
設，則，①
則，②
①-②可得：
；
，
故；
故選：C
3．A
【分析】利用分組求和法，結合已知，可得答案.
【詳解】
.
故選：A.
4．C
【分析】根據遞推關系式得出數列是周期為6的周期數列，利用周期性即可求解.
【詳解】∵an+1=an-an-1，a1=1，a2=2，∴a3=1，a4=-1，a5=-2，a6=-1，a7=1，a8=2，…，
故數列{an}是周期為6的周期數列，且每連續6項的和為0，
故S2021=336×0+a2017+a2018+…+a2021=a1+a2+a3+a4+a5=1+2+1+（-1）+（-2）=1.
故選：C.
5．BCD
【分析】由數列的遞推式可得，兩邊加1后，運用等比數列的定義和通項公式可得，由數列的裂項相消求和可得.
【詳解】解：由即為，可化為，由，可得數列是首項為2，公比為2的等比數列，則，即，
又，可得
故選：BCD
6．BC
【分析】運用累和法、裂項相消法，結合等差數列的前n項和公式逐一判斷即可.
【詳解】由題意可知：，于是有，
顯然可得：， ，因此選項A不正確，選項B正確；
當 時，，
顯然適合上式，，因此選項D不正確；
，
，因此選項C正確，
故選：BC
7．BCD
【分析】根據遞推關系代入即可求解AB，根據遞推關系可證明是首項為，公比為的等比數列，可得，即可利用分組求和，結合等比求和公式求解CD.
【詳解】對于A選項，
取，得，又，所以，
取，得，所以，顯然，
即數列一定不是等比數列，所以A錯誤；
對于B選項，
取，得，取，得，所以，所以B正確；
對于C，D選項，
由，得，
又，所以是首項為，公比為的等比數列，所以，所以，
，，
，
所以C，D均正確．
故選:BCD．
8．/
【分析】利用倒序相加法求得正確答案.
【詳解】.
依題意是等差數列，
令，
，
結合等差數列的性質，兩式相加得.
故答案為：.
9．
【分析】先根據求出，進而求出，再利用錯位相減法求和.
【詳解】當時，，
當時，，
當時，，
綜上：，，
所以，
所以①，①×得：
②，
兩式相減得：，
所以
故答案為：
10．2023
【分析】設公差為，裂項相消得到，進而求和得到方程，求出答案.
【詳解】設等差數列的公差為d，由，
可得
，
因為，所以.
故答案為：
11．(1)
(2)．
【分析】（1）設等比數列的公比為，由已知條件和等比數列基本量的計算，求出數列首項和公比，得通項公式；
（2）利用錯位相減法可得數列的前n項和．
【詳解】（1）設數列的公比為，
∵，，
∴，
即，∴（舍去），
∴，即，
∴．
（2）∵，∴．
∴，
，
兩式相減得，
∴．
12．(1)
(2)．
【分析】（1）利用累加法結合等差數列求和公式即可得解；
（2）直接用裂項相消法即可求解.
【詳解】（1）因為，所以，
又
因此是以為首項，1為公差的等差數列，
設的前n項和為，則，
又由，
得，，
當時，經檢驗也滿足，
∴．
（2）．因此
．
【能力篇】
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）對于三次函數給出定義：設是函數的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”，同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且拐點就是對稱中心，若，請你根據這一發現計算：（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
二、多選題
2．（2023·廣東佛山·模擬預測）已知定義在R上且不恒為0的函數，對任意的，都有，則（ ）
A．
B．函數是奇函數
C．對，有
D．若，則
三、填空題
3．（2022·湖南益陽·一模）已知數列中，，，若，則數列的前項和 .
四、解答題
4．（2025·廣東深圳·一模）若一個數列從第二項起，每一項與前一項的差值組成的新數列是一個等差數列，則稱這個數列是一個“二階等差數列”，已知數列是一個二階等差數列，其中．
(1)求及的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
參考答案：
題號 1 2
答案 C AB
1．C
【分析】根據題意求出函數的對稱中心為，可得出，用倒序相加法即可求解.
【詳解】由題意可知，所以，令，則，
所以，由題意可知函數的對稱中心為，
所以，即，
所以，
所以
，
所以.
故選：C
【點睛】對稱性常用結論;
1、若對于上的任意，函數都有，則圖象關于直線對稱.
2、若對于上的任意，函數都有，則圖象關于點中心對稱.
2．AB
【分析】對代入特殊值，求出的性質，最后運用構造法求出的解析式，運用錯位相減法求和即可.
【詳解】對于A，令，則有，
，正確；
對于B，因為的定義域為，
因為對于，，
當時，令，則有，
當時，，
所以是奇函數，正確；
對于C，由B知，當時，，錯誤；
對于D，，令，，
則有，，令，則，
，是首項為1，公差為1的等差數列，
，即，，
令…①，
則…②，
①-②得：，
故，錯誤；
故選：AB.
3．
【分析】根據條件，先構造等比數列求出，再由得，從而可求和.
【詳解】由，有，
，兩式相除得到，
所以是以為公比，為首項的等比數列，
所以，則，
所以，
所以.
故答案為：.
4．(1)，
(2)
【分析】（1）根據給定條件，求出遞推公式，求出，再利用累加法求出通項公式.
（2）由（1）的結論求出，利用分組求和及裂項相消法求和即得.
【詳解】（1）由，得，，
由數列是一個二階等差數列，得是以2為首項，1為公差的等差數列，
因此，，
當時，，
滿足上式，則，
所以的通項公式是.
（2）由（1）知，，
所以
．
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知數列滿足，其前n項和為，則使得成立的n的最小值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、多選題
2．（2024·浙江·三模）利用不等式“，當且僅當時，等號成立”可得到許多與n（且）有關的結論，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2024·山東濱州·二模）已知函數，數列滿足，，，則 ．
參考答案：
題號 1 2
答案 D ABD
1．D
【分析】由數列遞推式，整理構造出等差數列，求得通項，再利用錯位相減法求得，最后代入不等式求解即得.
【詳解】因為，
所以．
兩邊同乘得，，
又因為，即，
所以是首項為1，公差為1的等差數列，
所以，則．
則，
，
兩式相減得，，
，
所以，
則由可得，，
解得，則n的最小值為11．
故選：D．
【點睛】關鍵點點睛：解題關鍵在于，對于已知的數列遞推式，發現其特征，通過等價變形，將其轉化為等差或等比數列的形式，有時從數列定義，有時是通過等差（比）中項的角度推得，對于通項具備“等差×等比”型的數列，考慮用錯位相減法求和即得.
2．ABD
【分析】對于A：令，代入可得，運算整理即可；對于B：可得，令，可得，運算整理即可；對于C：取特值檢驗即可；對于D：令，可得，結合等比數列求和公式分析證明.
【詳解】對于不等式，當且僅當時，等號成立，
對于選項A：令，則，
可得，
其中
，
所以，A正確；
對于選項B：將x替換為，可得，當且僅當時等號成立．
令，可得，整理可得，
故，
即，
所以，故B正確；
對于選項C：令，可得，即，
這顯然不成立，故C錯誤；
對于選項D：等價于證明，
將中的x替換為，其中，，則，即，
可得，當且僅當時，等號成立，
則，
所以，故D正確．
故選：ABD．
【點睛】方法點睛：對于已知不等式證明不等式的問題，常常利用代換的思想，結合數列求和進而放縮證明.
3．2
【分析】根據函數性質分析可知：在上單調遞增，且為奇函數，進而可得，結合數列周期性分析求解.
【詳解】由題意可知：的定義域為，
且，即，
可知為定義在上的奇函數；
且，
因為在上單調遞增，可知在上單調遞增；
綜上所述：在上單調遞增，且為奇函數.
因為，則，
可得，即，
由可知：3為數列的周期，則，
且，所以.
故答案為：2.
【點睛】易錯點睛：本題分析的奇偶性的同時，必須分析的單調性，若沒有單調性，由無法得出.
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