資源簡介

（12）實際問題與二次函數—九年級數學人教版上冊課前導學
一、知識預習
1.對于某些實際問題，如果其中的變量之間的關系可以用二次函數模型來刻畫，那么我們就可以利用二次函數的圖象和性質來研究.用二次函數解決實際問題的一般步驟：
（1）審：仔細審題，理清題意；
（2）設：找出問題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結合圖形具體分析，設出適當的未知數；
（3）列：用二次函數表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數模型，寫出二次函數的解析式；
（4）解：依據已知條件，借助二次函數的解析式、圖象和性質等求解實際問題；
（5）檢：檢驗結果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結論.
2.用二次函數求解實際問題的常見類型
（1）圖形面積的最值問題
在日常生活中，經常遇到求某種圖形的最大面積問題，這類問題可以利用二次函數的圖象和性質解決，也就是把最大面積問題轉化為二次函數的最大值問題.
求圖形的面積時常會涉及線段與線段之間的關系，通常是根據圖形中線段的關系，找到相應線段與面積之間的函數關系，將其轉化為二次函數問題，就可以用二次函數的圖象與性質來解決.
（2）最大利潤問題
求解最大利潤問題時，要熟練掌握利潤為題中相關數量的意義以及常用的數量關系.審清題意，根據具體問題，建立函數關系式，解決實際問題.常見銷售問題中的數量關系：，，.
【提示】求函數的最值時，要注意實際問題中自變量的取值限制對最值的影響.若對稱軸的取值不在自變量的取值范圍內，則最值在自變量取值的端點處取得.
（3）拋物線形建筑問題
利用二次函數解決拋物線形建筑物問題的一般步驟：
①建立適當的平面直角坐標系，將拋物線形的圖形放在坐標系中；
②設出函數解析式，結合圖形和已知條件，用待定系數法求函數解析式；
③利用二次函數的圖象與性質求解實際問題
【注意】同一個問題中，建立平面直角坐標系的方法有多種，建立適當的平面直角坐標系能簡化解析式，通常應使已知點在坐標軸上.
二、自我檢測
1.廊橋是我國古老的文化遺產，拋物線形的廊橋示意圖如圖所示.已知拋物線的函數表達式為，為增加安全性，在該拋物線上同一高度且水平距離為8米的C，D兩處安裝警示燈，則警示燈D距離水面的距離為( )
A.米 B.米 C.米 D.米
2.某商場降價銷售一批名牌襯衫，已知所獲利潤y（元）與降價x（元）之間的關系是，則所獲利潤最多為( )
A.15元 B.400元 C.800元 D.1250元
3.如圖1是蓮花山景區一座拋物線形拱橋，按圖2所示建立平面直角坐標系，得到拋物線解析式為，正常水位時水面寬為，當水位上升時水面寬為( )
A. B. C. D.
4.某超市銷售一種飲料，每瓶進價為4元，經市場調查表明：每瓶售價每增加1元，日均銷售量減少80瓶；當售價為每瓶7元時，日均銷售量為400瓶，若要日均毛利潤最大，每瓶飲料的售價應是( )
A.6元 B.7元 C.8元 D.9元
5.在投擲鉛球項目中，鉛球脫手后的飛行路線可以看做如圖所示拋物線的一部分.設鉛球落地點離投擲者的距離為，則s的范圍為( )
A. B. C. D.
6.2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚,健康,可愛,活潑,某零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆,銷售期間發現,每天的銷售利潤y(元)與售價x(元)之間的函數解析式是,且售價x的范圍是,則銷售“冰墩墩”每天的最大利潤是________.
7.如圖，小明的父親想用長為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個矩形的菜園，已知房屋外墻長40米，則可圍成的菜園的最大面積是__________平方米.
8.有一個拋物線形的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為4m，跨度為12m.現將它的圖形放在如圖所示的直角坐標系中.
(1)求這條拋物線的解析式.
(2)一艘寬為4米，高出水面3米的貨船，能否從橋下通過？
答案以及解析
二、自我檢測
1.答案：B
解析：依題意，D的橫坐標為4，
令，即，
故選B.
2.答案：D
解析：，
因為，所以當時，y有最大值，最大值為1250，即所獲利潤最多為1250元.
3.答案：C
解析：依題意得：
當時，，
當水位上升時，則此時，
則：，
解得：或，
水面寬為：，
故選：C.
4.答案：C
解析：設每瓶的售價為x元，日均利潤為y元，由題意得；
；
；
；
當時，y有最大值；
故選：C.
5.答案：B
解析：根據題意，設拋物線的解析式為，
將點代入得：，
解得：，
拋物線的解析式為，
令，則，
解得：，
由圖可知，
，
，
，
故選：B.
6.答案：900元
解析：∵,且,
又∵售價x的范圍是,
∴當時,y有最大值,最大值為900,
∴最大利潤是900元.
故答案為：900元.
7.答案：450
解析：由題意，設垂直于墻的邊長為x米，則平行于墻的邊長為米，
又墻長為40米，
.
.
菜園的面積，
當時，可圍成的菜園的最大面積是450，即垂直于墻的邊長為15米時，可圍成的菜園的最大面積是450平方米.
故答案為：450.
8.答案：(1)
(2)一艘寬為4米，高出水面3米的貨船，能從橋下通過，理由見解析.
解析：（1）根據題意拋物線經過了原點，設拋物線為：
把代入拋物線的解析式得：
解得：
所以拋物線為：
（2）因為一艘寬為4米，高出水面3米的貨船行駛時航線在正中間，
所以當時，
而
所以一艘寬為4米，高出水面3米的貨船，能從橋下通過.

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