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微專題(二)雙變量“存在性或任意性”問題
雙變量的“存在性或任意性”問題，是高考的熱點之一，尤其在函數(shù)、導數(shù)、不等式中出現(xiàn)較多．解決此類問題的關鍵是將含有全稱量詞和存在量詞的條件等價轉化為兩個函數(shù)值域之間的關系或兩個函數(shù)最值的大小比較．
類型一　形如“對任意x1∈A，都存在x2　∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立”
x1∈A， x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)等價于函數(shù)f(x)在A上的值域是g(x)在B上的值域的子集．其等價轉化的基本思想是：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上的任意一個函數(shù)值都等于函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間B上的某一個函數(shù)值，即函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上的函數(shù)值都在函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間B上的值域之中．
例1已知冪函數(shù)f(x)＝(a2－3)xa2＋a－2在(0，＋∞)上單調遞減，函數(shù)h(x)＝3x＋m，對任意x1∈[1，3]，總存在x2∈[1，2]，使得f(x1)＝h(x2)，則m的取值范圍為________．
答案　
解析　∵f(x)＝(a2－3)xa2＋a－2是冪函數(shù)，∴a2－3＝1，即a＝±2，又f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，則a2＋a－2<0，可得a＝－2，∴f(x)＝x－2＝，∴f(x)在[1，3]上的值域為.又h(x)在[1，2]上的值域為[3＋m，9＋m]，根據題意得解得－8≤m≤－，∴m的取值范圍為.
理解全稱量詞與存在量詞的含義是求解本題的關鍵，此類問題求解的策略是等價轉化為求值域，即函數(shù)f(x)在區(qū)間A上的值域是g(x)在區(qū)間B上的值域的子集，若改為 x1∈A， x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)，則函數(shù)g(x)在區(qū)間B上的值域是f(x)在區(qū)間A上的值域的子集．
1．設函數(shù)f(x)＝－2，g(x)＝x2－ax＋1，若 x1∈[1，2]， x2∈[1，2]，f(x1)＝g(x2)，求正實數(shù)a的取值范圍．
解　f(x)＝－2＝－2＝2x－1＋，
設t＝2x－1，x∈[1，2]，則t∈[1，3]，
又y＝t＋在[1，3]上單調遞增，
則2≤y≤，
即f(x)的值域為.
設當x∈[1，2]時，函數(shù)g(x)的值域為A，
由題意知 A.
又g(x)圖象的對稱軸為直線x＝>0，
當≤1，即0則解得0當1<<2，即2當≥2，即a≥4時，g(x)在[1，2]上單調遞減，
則滿足條件的a不存在．
綜上，正實數(shù)a的取值范圍為.
類型二　形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立”
x1∈A， x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)等價于函數(shù)f(x)在區(qū)間A上的值域與g(x)在區(qū)間B上的值域的交集不空．其等價轉化的基本思想是：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上的某一個函數(shù)值等于函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間B上的某一個函數(shù)值，即兩個函數(shù)有相等的函數(shù)值．
例2已知函數(shù)f(x)＝2x，函數(shù)g(x)＝kx－2k＋2(k>0)，若存在x1∈及x2∈，使得f(x1)＝g(x2)成立，求實數(shù)k的取值范圍．
解　由題意，易得函數(shù)f(x)的值域為[0，1]，g(x)的值域為，并且兩個值域有公共部分．
若兩個值域沒有公共部分，則2－2k>1或2－k<0，
解得k<或k>，所以要使兩個值域有公共部分，實數(shù)k的取值范圍是.
本類問題的實質是“函數(shù)f(x)在區(qū)間A上的值域與g(x)在區(qū)間B上的值域的交集不為空集”，本例利用補集思想可簡化運算．
2．已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝ax3－1(a>0)．若 x1∈[2，3]， x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，求實數(shù)a的取值范圍．
解　由f(x)＝在[2，3]上單調遞減，得f(x)的值域為，
由g(x)＝ax3－1(a>0)在上單調遞增，得g(x)的值域為，
若f(x)的值域與g(x)的值域的交集為 ，
則a－1<0或a－1>，即a<1或a>＋8，
所以若 x1∈[2，3]， x2∈，
使得f(x1)＝g(x2)，
則∩≠ ，
故1≤a≤＋8，
即實數(shù)a的取值范圍為.
類型三　形如“對任意x1∈A，都存在x2　∈B，使得f(x1)≤g(x2)成立”
x1∈A， x2∈B，使f(x1)≤g(x2)，即f(x)max≤g(x)max.其等價轉化的基本思想是：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上的任意一個函數(shù)值小于等于函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間B上的某一個函數(shù)值，但并不要求小于等于函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間B上的所有函數(shù)值．
例3已知函數(shù)f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若 x1∈， x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案　
解析　依題意知f(x)max≤g(x)max.∵f(x)＝x＋在上是減函數(shù)，∴f(x)max＝f＝.又g(x)＝2x＋a在[2，3]上是增函數(shù)，∴g(x)max＝g(3)＝8＋a，因此≤8＋a，則a≥，即實數(shù)a的取值范圍是.
理解量詞的含義，將原不等式轉化為f(x)max≤g(x)max；利用函數(shù)的單調性，求f(x)與g(x)的最大值，得關于參數(shù)的不等式，求得參數(shù)的取值范圍．
3．已知函數(shù)f(x)＝lg (x2＋1)，g(x)＝－m，若 x1∈[0，3]， x2∈[1，2]，使得f(x1)≤g(x2)，則實數(shù)m的取值范圍是________．
答案　
解析　當x∈[0，3]時，f(x)max＝f(3)＝1，當x∈[1，2]時，g(x)max＝g(1)＝－m，由f(x)max≤g(x)max，得1≤－m，所以m≤－，即實數(shù)m的取值范圍是.
類型四　形如“存在x1∈A，對任意x2∈B，都有f(x1)≤g(x2)成立”
x1∈A， x2∈B，使f(x1)≤g(x2)，即f(x)min≤g(x)min，其等價轉化的基本思想是：f(x)在區(qū)間A上至少有一個函數(shù)值小于等于函數(shù)g(x)在區(qū)間B上的任意一個函數(shù)值．
例4已知函數(shù)f(x)＝x2－2bx＋4，g(x)＝－，若存在x1∈[1，2]，對任意x2∈[－1，0]，使得f(x1)≤g(x2)，求實數(shù)b的取值范圍．
解　由g(x)＝－＝－＝－1＋，
得g(x)min＝g(0)＝－.
又f(x)＝x2－2bx＋4，
當b<1時，可求得f(x)min＝f(1)＝5－2b，
則5－2b≤－，解得b≥，與b<1矛盾；
當1≤b≤2時，可求得f(x)min＝f(b)＝4－b2，
則4－b2≤－，解得b2≥，與1≤b≤2矛盾；
當b>2時，可求得f(x)min＝f(2)＝8－4b，
由8－4b≤－，得b≥.
綜上，實數(shù)b的取值范圍是.
解決本題的關鍵是對條件的理解及轉化，將條件轉化為f(x)min≤g(x)min，然后求解參數(shù)的取值范圍．
4．已知函數(shù)f(x)＝m(x－)＋2，g(x)＝ln ，若 x1∈[0，4]， x2∈[0，1]，使得f(x1)≤g(x2)，求實數(shù)m的取值范圍．
解　由g(x)＝ln ，得
g(x)＝ln 在[0，1]上單調遞增，
所以g(x)min＝g(0)＝0.
因為f(x)＝m(x－)＋2，
所以當m＝0時，f(x)＝0＋2＝2>0，不滿足題意；
當m>0時，f(x)在[0，4]上單調遞增，得
f(x)min＝f(0)＝－2m＋2，
由－2m＋2≤0，得m≥1；
當m<0時，f(x)在[0，4]上單調遞減，得
f(x)min＝f(4)＝4m＋2，
由4m＋2≤0，得m≤－.
綜上，實數(shù)m的取值范圍為∪[1，＋∞)．
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微專題(二)雙變量“存在性或任意性”問題
雙變量的“存在性或任意性”問題，是高考的熱點之一，尤其在函數(shù)、導數(shù)、不等式中出現(xiàn)較多．解決此類問題的關鍵是將含有全稱量詞和存在量詞的條件等價轉化為兩個函數(shù)值域之間的關系或兩個函數(shù)最值的大小比較．
類型一　形如“對任意x1∈A，都存在x2　∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立”
x1∈A， x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)等價于函數(shù)f(x)在A上的值域是g(x)在B上的值域的子集．其等價轉化的基本思想是：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上的任意一個函數(shù)值都等于函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間B上的某一個函數(shù)值，即函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上的函數(shù)值都在函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間B上的值域之中．
例1已知冪函數(shù)f(x)＝(a2－3)xa2＋a－2在(0，＋∞)上單調遞減，函數(shù)h(x)＝3x＋m，對任意x1∈[1，3]，總存在x2∈[1，2]，使得f(x1)＝h(x2)，則m的取值范圍為________．
理解全稱量詞與存在量詞的含義是求解本題的關鍵，此類問題求解的策略是等價轉化為求值域，即函數(shù)f(x)在區(qū)間A上的值域是g(x)在區(qū)間B上的值域的子集，若改為 x1∈A， x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)，則函數(shù)g(x)在區(qū)間B上的值域是f(x)在區(qū)間A上的值域的子集．
1．設函數(shù)f(x)＝－2，g(x)＝x2－ax＋1，若 x1∈[1，2]， x2∈[1，2]，f(x1)＝g(x2)，求正實數(shù)a的取值范圍．
類型二　形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立”
x1∈A， x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)等價于函數(shù)f(x)在區(qū)間A上的值域與g(x)在區(qū)間B上的值域的交集不空．其等價轉化的基本思想是：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上的某一個函數(shù)值等于函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間B上的某一個函數(shù)值，即兩個函數(shù)有相等的函數(shù)值．
例2已知函數(shù)f(x)＝2x，函數(shù)g(x)＝kx－2k＋2(k>0)，若存在x1∈及x2∈，使得f(x1)＝g(x2)成立，求實數(shù)k的取值范圍．
本類問題的實質是“函數(shù)f(x)在區(qū)間A上的值域與g(x)在區(qū)間B上的值域的交集不為空集”，本例利用補集思想可簡化運算．
2．已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝ax3－1(a>0)．若 x1∈[2，3]， x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，求實數(shù)a的取值范圍．
類型三　形如“對任意x1∈A，都存在x2　∈B，使得f(x1)≤g(x2)成立”
x1∈A， x2∈B，使f(x1)≤g(x2)，即f(x)max≤g(x)max.其等價轉化的基本思想是：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上的任意一個函數(shù)值小于等于函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間B上的某一個函數(shù)值，但并不要求小于等于函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間B上的所有函數(shù)值．
例3已知函數(shù)f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若 x1∈， x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
理解量詞的含義，將原不等式轉化為f(x)max≤g(x)max；利用函數(shù)的單調性，求f(x)與g(x)的最大值，得關于參數(shù)的不等式，求得參數(shù)的取值范圍．
3．已知函數(shù)f(x)＝lg (x2＋1)，g(x)＝－m，若 x1∈[0，3]， x2∈[1，2]，使得f(x1)≤g(x2)，則實數(shù)m的取值范圍是________．
類型四　形如“存在x1∈A，對任意x2∈B，都有f(x1)≤g(x2)成立”
x1∈A， x2∈B，使f(x1)≤g(x2)，即f(x)min≤g(x)min，其等價轉化的基本思想是：f(x)在區(qū)間A上至少有一個函數(shù)值小于等于函數(shù)g(x)在區(qū)間B上的任意一個函數(shù)值．
例4已知函數(shù)f(x)＝x2－2bx＋4，g(x)＝－，若存在x1∈[1，2]，對任意x2∈[－1，0]，使得f(x1)≤g(x2)，求實數(shù)b的取值范圍．
解決本題的關鍵是對條件的理解及轉化，將條件轉化為f(x)min≤g(x)min，然后求解參數(shù)的取值范圍．
4．已知函數(shù)f(x)＝m(x－)＋2，g(x)＝ln ，若 x1∈[0，4]， x2∈[0，1]，使得f(x1)≤g(x2)，求實數(shù)m的取值范圍．
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