資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
近幾年高考數學客觀壓軸題，多以導數為工具采用構造函數比較大小或求參數取值范圍的形式出題，這類試題具有結構獨特、技巧性高、綜合性強等特點，而構造函數是解決導數問題的基本方法，以下對在處理導數問題時構造函數的規律方法進行歸類總結，并舉例說明．
類型一　導數型構造函數(多角度探究)
角度1利用f(x)與xn構造
(1)對于xf′(x)＋nf(x)>0(或<0)，其中n>0，構造函數F(x)＝xnf(x)；
(2)對于xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，其中n>0，構造函數F(x)＝.
例1　函數f(x)是定義在(－∞，0)上的可導函數，其導函數為f′(x)，且3f(x)＋xf′(x)<0，則不等式(x＋2024)3f(x＋2024)＋8f(－2)<0的解集為(　　)
A．(－2026，－2024) B．(－∞，－2026)
C．(－2024，－2023) D．(－∞，－2020)
答案　A
解析　依題意，有[x3f(x)]′＝x2[3f(x)＋xf′(x)]<0，故y＝x3f(x)在(－∞，0)上是減函數，原不等式化為(x＋2024)3f(x＋2024)<(－2)3f(－2)，即0>x＋2024>－2，所以原不等式的解集為(－2026，－2024)．故選A.
【常用結論】
題目已知中出現含f(x)，f′(x)的不等式，一般應考慮逆用導數的運算法則構造新函數，然后再逆用單調性等解決問題．
1．設f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數，且f(1)＝0，當x<0時，有xf′(x)－f(x)>0恒成立，則不等式f(x)>0的解集為________．
答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析　構造F(x)＝，則F′(x)＝，由當x<0時，xf′(x)－f(x)>0可得當x<0時，F′(x)>0，∴F(x)在(－∞，0)上單調遞增．又f(x)為偶函數，g(x)＝x為奇函數，∴F(x)為奇函數，∴F(x)在(0，＋∞)上單調遞增．根據f(1)＝0可得F(1)＝0，根據函數的單調性、奇偶性可得函數F(x)的圖象(圖略)，根據函數F(x)的圖象可知f(x)>0的解集為(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
角度2利用f(x)與enx構造
(1)對于f′(x)＋nf(x)>0(或<0)，其中n>0，通常構造函數F(x)＝enxf(x)；
(2)對于f′(x)－nf(x)>0(或<0)，其中n>0，通常構造函數F(x)＝.
例2 (2023·湖北武漢華中師范大學第一附屬中學高三上學期期中)已知函數f(x)及其導函數f′(x)的定義域均為R，且f(x)－f′(x)>0，f(0)＝1，則關于x的不等式f(x)>ex的解集為(　　)
A．{x|x>0} B．{x|x<0}
C．{x|x<1} D．{x|x>1}
答案　B
解析　由f(x)>ex >1，設g(x)＝ g′(x)＝<0 g(x)單調遞減，且g(0)＝1，所以由>1 g(x)>1＝g(0) x<0.故選B.
【常用結論】
若不等式滿足“f′(x)－nf(x)>0”的形式，優先構造函數F(x)＝，然后利用函數的單調性和數形結合求解即可，注意所求問題的轉化．
2．(2024·湖北襄陽第五中學高三上學期月考)設f′(x)是定義在R上的連續函數f(x)的導函數，f(x)－f′(x)＋2ex<0(e為自然對數的底數)，且f(2)＝4e2，則不等式f(x)>2xex的解集為________．
答案　(2，＋∞)
解析　設g(x)＝－2x，則g′(x)＝－2＝，因為f(x)－f′(x)＋2ex<0，所以g′(x)>0，函數g(x)在R上單調遞增，又f(2)＝4e2，所以g(2)＝－4＝0，由f(x)>2xex，可得－2x>0，即g(x)>0＝g(2)，又函數g(x)在R上單調遞增，所以x>2，即不等式f(x)>2xex的解集為(2，＋∞)．
角度3利用f(x)與sinx，cosx構造
由于sinx，cosx的導函數存在一定的特殊性，且它們之間可以相互轉化，因此，要解由f(x)，f′(x)，sinx，cosx構成的不等式，常用的構造方法如下：
(1)對于f′(x)sinx＋f(x)cosx>0(或<0)，通常構造函數F(x)＝f(x)sinx；
(2)對于f′(x)sinx－f(x)cosx>0(或<0)，通常構造函數F(x)＝；
(3)對于f′(x)cosx＋f(x)sinx>0(或<0)，通常構造函數F(x)＝；
(4)對于f′(x)cosx－f(x)sinx>0(或<0)，通常構造函數F(x)＝f(x)cosx.
例3 定義在上的函數f(x)，f′(x)是它的導函數，且恒有f′(x)>f(x)tanx成立，則(　　)
A．fB．f>2cos1·f(1)
C．f>2f
D．f>f
答案　A
解析　由f′(x)>f(x)tanx，得f′(x)cosx－f(x)sinx>0，構造函數F(x)＝f(x)cosx，則F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx>0，故F(x)在上單調遞增，則F＝fcos【常用結論】
若不等式滿足或通過變形后滿足“f′(x)cosx－f(x)sinx>0”的形式時，優先考慮構造函數F(x)＝f(x)cosx，然后利用函數的單調性和數形結合求解即可，注意所求問題的轉化．
3．(2023·重慶市九龍坡區高三二模)已知偶函數f(x)的定義域為，其導函數為f′(x)，當0≤x<時，有f′(x)cosx＋f(x)·sinx>0成立，則關于x的不等式f(x)>2fcosx的解集為________．
答案　∪
解析　構造函數g(x)＝，0≤x<，g′(x)＝＝>0，所以函數g(x)＝在上單調遞增，因為函數f(x)為偶函數，所以函數g(x)＝也為偶函數，且函數g(x)＝在上單調遞增，所以函數g(x)＝在上單調遞減，因為x∈，所以cosx>0，關于x的不等式f(x)>2fcosx可變為>，也即g(x)>g，所以g(|x|)>g，則解得類型二　同構法構造函數
例4 　(2023·重慶萬州純陽中學模擬)若0A．ex2－ex1>ln x2－ln x1
B．ex2－ex1C．x2e x1>x1ex2
D．x2ex1答案　C
解析　令h(x)＝ex－ln x，則h′(x)＝ex－＝，令φ(x)＝xex－1，所以當00，所以φ(x)在(0，1)上單調遞增，又φ(0)＝－1，φ(1)＝e－1>0，所以 x0∈(0，1)，使得φ(x0)＝0，即當x∈(0，x0)時，φ(x)<0，h′(x)<0，當x∈(x0，1)時，φ(x)>0，h′(x)>0，所以h(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，1)上單調遞增，故ex2－ln x2與ex1－ln x1的大小關系無法判斷，故A，B均錯誤；令f(x)＝，則當0f(x2)，即>，所以x2ex1>x1ex2，故C正確，D錯誤．故選C.
【常用結論】
根據條件或結論特征構造具體函數，一般具有相似結構，利用這一特征構造具體函數，利用該函數單調性尋求突破口，在根據特征構造函數時，需要較強的觀察力和聯想力，靈活地針對不同特征構造出相應函數，這也需要我們平時注意積累，掌握一些常見函數模型．
4．已知a＝，b＝，c＝，則(　　)
A．a>b>c B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
答案　A
解析　因為a＝＝，b＝，所以設f(x)＝，x∈(1，＋∞)．因為f′(x)＝－<0，所以f(x)在(1，＋∞)上是減函數，又e<3<5，所以a>b>c.故選A.
5．已知變量x1，x2∈(0，m)(m>0)，且x1A．e B．
C． D．1
答案　A
解析　x0，得021世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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微專題(三)構造法在導數中的應用
近幾年高考數學客觀壓軸題，多以導數為工具采用構造函數比較大小或求參數取值范圍的形式出題，這類試題具有結構獨特、技巧性高、綜合性強等特點，而構造函數是解決導數問題的基本方法，以下對在處理導數問題時構造函數的規律方法進行歸類總結，并舉例說明．
類型一　導數型構造函數(多角度探究)
角度1利用f(x)與xn構造
(1)對于xf′(x)＋nf(x)>0(或<0)，其中n>0，構造函數F(x)＝xnf(x)；
(2)對于xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，其中n>0，構造函數F(x)＝.
例1　函數f(x)是定義在(－∞，0)上的可導函數，其導函數為f′(x)，且3f(x)＋xf′(x)<0，則不等式(x＋2024)3f(x＋2024)＋8f(－2)<0的解集為(　　)
A．(－2026，－2024) B．(－∞，－2026)
C．(－2024，－2023) D．(－∞，－2020)
【常用結論】
題目已知中出現含f(x)，f′(x)的不等式，一般應考慮逆用導數的運算法則構造新函數，然后再逆用單調性等解決問題．
1．設f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數，且f(1)＝0，當x<0時，有xf′(x)－f(x)>0恒成立，則不等式f(x)>0的解集為________．
角度2利用f(x)與enx構造
(1)對于f′(x)＋nf(x)>0(或<0)，其中n>0，通常構造函數F(x)＝enxf(x)；
(2)對于f′(x)－nf(x)>0(或<0)，其中n>0，通常構造函數F(x)＝.
例2 (2023·湖北武漢華中師范大學第一附屬中學高三上學期期中)已知函數f(x)及其導函數f′(x)的定義域均為R，且f(x)－f′(x)>0，f(0)＝1，則關于x的不等式f(x)>ex的解集為(　　)
A．{x|x>0} B．{x|x<0}
C．{x|x<1} D．{x|x>1}
【常用結論】
若不等式滿足“f′(x)－nf(x)>0”的形式，優先構造函數F(x)＝，然后利用函數的單調性和數形結合求解即可，注意所求問題的轉化．
2．(2024·湖北襄陽第五中學高三上學期月考)設f′(x)是定義在R上的連續函數f(x)的導函數，f(x)－f′(x)＋2ex<0(e為自然對數的底數)，且f(2)＝4e2，則不等式f(x)>2xex的解集為________．
角度3利用f(x)與sinx，cosx構造
由于sinx，cosx的導函數存在一定的特殊性，且它們之間可以相互轉化，因此，要解由f(x)，f′(x)，sinx，cosx構成的不等式，常用的構造方法如下：
(1)對于f′(x)sinx＋f(x)cosx>0(或<0)，通常構造函數F(x)＝f(x)sinx；
(2)對于f′(x)sinx－f(x)cosx>0(或<0)，通常構造函數F(x)＝；
(3)對于f′(x)cosx＋f(x)sinx>0(或<0)，通常構造函數F(x)＝；
(4)對于f′(x)cosx－f(x)sinx>0(或<0)，通常構造函數F(x)＝f(x)cosx.
例3 定義在上的函數f(x)，f′(x)是它的導函數，且恒有f′(x)>f(x)tanx成立，則(　　)
A．fB．f>2cos1·f(1)
C．f>2f
D．f>f
【常用結論】
若不等式滿足或通過變形后滿足“f′(x)cosx－f(x)sinx>0”的形式時，優先考慮構造函數F(x)＝f(x)cosx，然后利用函數的單調性和數形結合求解即可，注意所求問題的轉化．
3．(2023·重慶市九龍坡區高三二模)已知偶函數f(x)的定義域為，其導函數為f′(x)，當0≤x<時，有f′(x)cosx＋f(x)·sinx>0成立，則關于x的不等式f(x)>2fcosx的解集為________．
類型二　同構法構造函數
例4 　(2023·重慶萬州純陽中學模擬)若0A．ex2－ex1>ln x2－ln x1
B．ex2－ex1C．x2e x1>x1ex2
D．x2ex1【常用結論】
根據條件或結論特征構造具體函數，一般具有相似結構，利用這一特征構造具體函數，利用該函數單調性尋求突破口，在根據特征構造函數時，需要較強的觀察力和聯想力，靈活地針對不同特征構造出相應函數，這也需要我們平時注意積累，掌握一些常見函數模型．
4．已知a＝，b＝，c＝，則(　　)
A．a>b>c B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
5．已知變量x1，x2∈(0，m)(m>0)，且x1A．e B．
C． D．1
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