資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
微專題(四)三角函數(shù)解析式中ω的求法
在三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)中，求ω的值或取值范圍是高考命題中的一個(gè)熱點(diǎn)，由于其有時(shí)涉及三角函數(shù)的零點(diǎn)、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、最值等性質(zhì)的綜合應(yīng)用，所以與其有關(guān)的問題靈活多樣，歷來是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，以下舉例說明在不同條件下ω的求法．
類型一　根據(jù)函數(shù)的周期性求ω
y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期為T＝，解決此類問題的關(guān)鍵在于結(jié)合條件弄清周期T＝與所給區(qū)間的關(guān)系，從而建立不等關(guān)系．
例1 為了使函數(shù)y＝sinωx(ω＞0)在區(qū)間[0，1]上至少出現(xiàn)50次最大值，則ω的最小值為(　　)
A．98π B．
C． D．100π
答案　B
解析　由題意，至少出現(xiàn)50次最大值，即至少需用49個(gè)周期，所以T＝·≤1，所以ω≥.
結(jié)合正弦函數(shù)圖象，只需在區(qū)間[0，1]上至少出現(xiàn)個(gè)周期即可，進(jìn)而求出ω的最小值．
1．(2023·遼寧沈陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝Acos(A>0，ω>0)的圖象向左平移個(gè)單位長度后與原圖象重合，則實(shí)數(shù)ω的最小值是(　　)
A． B．
C． D．8
答案　D
解析　由題可知，是該函數(shù)的周期的整數(shù)倍，即＝×k，k∈Z，解得ω＝8k，k∈Z，又ω>0，故其最小值為8.
類型二　根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求ω
例2 (2024·遼寧聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin＋1(ω>0)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　當(dāng)x∈時(shí)，ωx－∈，因?yàn)閒(x)在上單調(diào)遞增，所以ω－≤，解得0<ω≤.當(dāng)x∈時(shí)，ωx－∈，因?yàn)?<ω≤，所以ωx－∈，因?yàn)閒(x)在上單調(diào)遞減，所以ω－≥且ω－≤，解得≤ω≤，又0<ω≤，所以ω的取值范圍是.故選A.
已知函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性求ω時(shí)，由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解．
2．(2023·安徽阜陽聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝cos(ω>0)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)x∈時(shí)，f(x)≥0恒成立，則ω的取值范圍為________．
答案　∪
解析　由已知，函數(shù)f(x)＝cos(ω>0)在上單調(diào)遞增，所以2k1π－π≤ωx－≤2k1π(k1∈Z)，解得－≤x≤＋(k1∈Z)，由于 (k1∈Z)，所以解得12k1－4≤ω≤8k1＋(k1∈Z)　①，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝cos(ω>0)在x∈上f(x)≥0恒成立，所以2k2π－≤ωx－≤2k2π＋(k2∈Z)，解得－≤x≤＋(k2∈Z)，由于 (k2∈Z)，所以解得8k2－≤ω≤6k2＋(k2∈Z)　②，又因?yàn)棣?0，當(dāng)k1＝k2＝0時(shí)，由①②可知
解得ω∈；當(dāng)k1＝k2＝1時(shí)，由①②可知解得ω∈.所以ω的取值范圍為∪.
類型三　根據(jù)三角函數(shù)的對稱性求ω
利用y＝sinx圖象的對稱中心為(kπ，0)(k∈Z)，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，利用y＝sinx圖象的對稱軸方程為x＝kπ＋(k∈Z)，令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，結(jié)合已知的對稱軸或?qū)ΨQ中心，可求解ω.
例3 已知函數(shù)f(x)＝sinx，函數(shù)g(x)的圖象可以由函數(shù)f(x)的圖象先向右平移個(gè)單位長度，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω>0)得到，若直線x＝是函數(shù)g(x)圖象的一條對稱軸，則ω的最小值為(　　)
A．3 B．6
C．9 D．15
答案　B
解析　由題意知g(x)＝sin，因?yàn)橹本€x＝是函數(shù)g(x)圖象的一條對稱軸，則ω－＝＋kπ，k∈Z，所以ω＝6＋8k，k∈Z，又ω>0，所以ω的最小值為6.
若已知函數(shù)的對稱性，可將對稱軸(對稱中心橫坐標(biāo))代入，建立等量關(guān)系，再根據(jù)三角函數(shù)的對稱性研究其周期性，進(jìn)而可以求得ω的取值．
3．已知函數(shù)f(x)＝3tan(ω>0)圖象的兩個(gè)相鄰對稱中心之間的距離為，則ω＝(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
答案　B
解析　設(shè)f(x)的最小正周期為T，由函數(shù)f(x)＝3tan(ω>0)圖象的兩個(gè)相鄰對稱中心之間的距離為，知＝，T＝，又T＝，所以＝，則ω＝4.故選B.
類型四　根據(jù)三角函數(shù)的最值(極值)求ω
例4 已知函數(shù)f(x)＝2sin(ω>0)在上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍為(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　因?yàn)閒(x)在上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)，所以－>，所以ω>.令t＝ωx＋，當(dāng)x∈時(shí)，t∈，于是f(x)＝2sin在上的最值點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于g(t)＝2sint在上的最值點(diǎn)個(gè)數(shù)．由ω>知，－ω＋<0，ω＋>0，因?yàn)間(t)在上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)，所以
解得<ω≤4.故選B.
若已知三角函數(shù)的最值，則利用三角函數(shù)的最值與對稱軸或周期的關(guān)系，可以列出關(guān)于ω的不等式(組)，進(jìn)而求出ω的值或取值范圍．
4．若函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)在上單調(diào)，且在存在極值點(diǎn)，則ω的取值范圍為________．
答案　
解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在存在極值點(diǎn)，所以ω＋>，即ω>1，當(dāng)x∈，ωx＋∈，又f(x)在上單調(diào)，所以 (k∈N)，即解得＋2k≤ω≤＋k，只能取k＝0，即≤ω≤.綜上可知，1<ω≤，即ω的取值范圍為.
類型五　根據(jù)三角函數(shù)的零點(diǎn)求ω
研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等問題時(shí)，往往都是采取整體換元的思想，即通過ωx＋φ的取值情況確定函數(shù)零點(diǎn)的情況，因此可根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)情況來確定ω的值或取值范圍．
例5 (2024·山西大同統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期為T，若f(T)＝，且f(x)在區(qū)間[0，1]上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　由題意f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期為T，則T＝，又f(T)＝，可得cos＝，即cosφ＝，又0<φ<π，所以φ＝，f(x)＝2cos在區(qū)間[0，1]上恰有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，ωx＋∈，結(jié)合函數(shù)y＝cosx的圖象如圖所示，則y＝cosx在原點(diǎn)右側(cè)的零點(diǎn)依次為，，，，…，所以≤ω＋<，解得≤ω<，即ω的取值范圍為.故選D.
將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題，結(jié)合圖形得出ωx＋φ的范圍即可求解．
5．設(shè)ω∈R，函數(shù)f(x)＝g(x)＝ωx.若f(x)在上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則ω的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．∪
答案　B
解析　當(dāng)x∈時(shí)，ωx＋∈，因?yàn)閒(x)在上單調(diào)遞增，所以解得≤ω≤，又函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)－g(x)＝2sin－ωx，由f(0)－g(0)＝1>0，當(dāng)ωx＋＝時(shí)，ωx＝，此時(shí)f(x)－g(x)＝2－<0，結(jié)合圖象，當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．
所以在x∈(－∞，0)上，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程x2＋4ωx＋＝ωx在x∈(－∞，0)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即方程3x2＋6ωx＋1＝0在x∈(－∞，0)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以解得ω>.綜上所述，ω的取值范圍是.故選B.
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微專題(四)三角函數(shù)解析式中ω的求法
在三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)中，求ω的值或取值范圍是高考命題中的一個(gè)熱點(diǎn)，由于其有時(shí)涉及三角函數(shù)的零點(diǎn)、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、最值等性質(zhì)的綜合應(yīng)用，所以與其有關(guān)的問題靈活多樣，歷來是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，以下舉例說明在不同條件下ω的求法．
類型一　根據(jù)函數(shù)的周期性求ω
y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期為T＝，解決此類問題的關(guān)鍵在于結(jié)合條件弄清周期T＝與所給區(qū)間的關(guān)系，從而建立不等關(guān)系．
例1 為了使函數(shù)y＝sinωx(ω＞0)在區(qū)間[0，1]上至少出現(xiàn)50次最大值，則ω的最小值為(　　)
A．98π B．
C． D．100π
1．(2023·遼寧沈陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝Acos(A>0，ω>0)的圖象向左平移個(gè)單位長度后與原圖象重合，則實(shí)數(shù)ω的最小值是(　　)
A． B．
C． D．8
類型二　根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求ω
例2 (2024·遼寧聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin＋1(ω>0)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
2．(2023·安徽阜陽聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝cos(ω>0)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)x∈時(shí)，f(x)≥0恒成立，則ω的取值范圍為________．
類型三　根據(jù)三角函數(shù)的對稱性求ω
利用y＝sinx圖象的對稱中心為(kπ，0)(k∈Z)，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，利用y＝sinx圖象的對稱軸方程為x＝kπ＋(k∈Z)，令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，結(jié)合已知的對稱軸或?qū)ΨQ中心，可求解ω.
例3 已知函數(shù)f(x)＝sinx，函數(shù)g(x)的圖象可以由函數(shù)f(x)的圖象先向右平移個(gè)單位長度，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω>0)得到，若直線x＝是函數(shù)g(x)圖象的一條對稱軸，則ω的最小值為(　　)
A．3 B．6
C．9 D．15
3．已知函數(shù)f(x)＝3tan(ω>0)圖象的兩個(gè)相鄰對稱中心之間的距離為，則ω＝(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
類型四　根據(jù)三角函數(shù)的最值(極值)求ω
例4 已知函數(shù)f(x)＝2sin(ω>0)在上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍為(　　)
A． B．
C． D．
4．若函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)在上單調(diào)，且在存在極值點(diǎn)，則ω的取值范圍為________．
類型五　根據(jù)三角函數(shù)的零點(diǎn)求ω
研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等問題時(shí)，往往都是采取整體換元的思想，即通過ωx＋φ的取值情況確定函數(shù)零點(diǎn)的情況，因此可根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)情況來確定ω的值或取值范圍．
例5 (2024·山西大同統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期為T，若f(T)＝，且f(x)在區(qū)間[0，1]上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
5．設(shè)ω∈R，函數(shù)f(x)＝g(x)＝ωx.若f(x)在上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則ω的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．∪
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