資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第二節(jié)　函數(shù)的單調(diào)性與最值
課標(biāo)解讀 考向預(yù)測(cè)
1.借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實(shí)際意義. 2.理解函數(shù)單調(diào)性的概念，能運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的單調(diào)性. 3.會(huì)用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷(或證明)一些函數(shù)的單調(diào)性. 4.會(huì)求一些具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的確定與應(yīng)用；強(qiáng)化對(duì)函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想的考查，題型既有選擇題、填空題，又有解答題．預(yù)計(jì)2025年高考仍會(huì)考查函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的確定與應(yīng)用；題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中檔偏上.
【知識(shí)梳理】
1．(1)單調(diào)函數(shù)的定義
增函數(shù) 減函數(shù)
定義 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I D，如果 x1，x2∈I
當(dāng)x1f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減
圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
(2)單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．
2．函數(shù)的最值
前提 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在實(shí)數(shù)M滿足
條件 (1) x∈D，都有f(x)≤M； (2) x0∈D，使得f(x0)＝M (1) x∈D，都有f(x)≥M； (2) x0∈D，使得f(x0) ＝M
結(jié)論 M為最大值 M為最小值
【常用結(jié)論】
1．函數(shù)單調(diào)性的兩個(gè)等價(jià)結(jié)論
設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I D，則 x1，x2∈I(x1≠x2)，
(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0) f(x)在I上單調(diào)遞增；
(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0) f(x)在I上單調(diào)遞減．
2．若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性，則在區(qū)間I上具有以下性質(zhì)：
(1)當(dāng)f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)時(shí)，f(x)＋g(x)是增(減)函數(shù)；
(2)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性與y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性有關(guān)．簡(jiǎn)記：“同增異減”．
3．函數(shù)最值存在的兩個(gè)結(jié)論
(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值．當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)，最值一定在端點(diǎn)取到；
(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值．
【診斷自測(cè)】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)．(　　)
(2)因?yàn)閥＝x與y＝ex都是增函數(shù)，所以y＝xex在定義域內(nèi)為增函數(shù)．(　　)
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2]和(2，3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，3)上為增函數(shù)．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×
2．小題熱身
(1)(多選)(人教A必修第一冊(cè)習(xí)題3.2 T3改編)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是(　　)
A．y＝－x B．y＝x2－x
C．y＝－x2－2x D．y＝ex
答案　AC
(2)(人教A必修第一冊(cè)3.2.1 P81練習(xí) T2改編)已知函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間[－1，1]上的增函數(shù)，則滿足f(x)A. B.
C. D．(－1，1]
答案　B
解析　由題意，得解得－1≤x<.故選B.
(3)(人教A必修第一冊(cè)3.2.1例5改編)已知函數(shù)f(x)＝(x∈[2，6])，則函數(shù)f(x)的最大值為________，最小值為________．
答案　2　
(4)函數(shù)f(x)＝lg (9－x2)的定義域?yàn)開_______，其單調(diào)遞增區(qū)間為________．
答案　(－3，3)　(－3，0]
解析　對(duì)于函數(shù)f(x)＝lg (9－x2)，令t＝9－x2＞0，解得－3＜x＜3，故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－3，3)．令g(x)＝9－x2，則函數(shù)f(x)＝lg (g(x))，又函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－3，0]，所以函數(shù)f(x)＝lg (9－x2)在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－3，0]．
【考點(diǎn)探究】
考點(diǎn)一　函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間(多考向探究)
考向1判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性
例1(1)(多選)(2023·河北石家莊模擬)下列函數(shù)在(－∞，0)上單調(diào)遞減的是(　　)
A．y＝tanx B．y＝ln (－x)
C．y＝ D．y＝－
答案　BC
解析　函數(shù)y＝tanx在(－∞，0)上不單調(diào)，故A不滿足題意；由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)y＝ln (－x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，故B滿足題意；函數(shù)y＝＝在(－∞，0)上單調(diào)遞減，故C滿足題意；函數(shù)y＝－在(－∞，0)上單調(diào)遞增，故D不滿足題意．故選BC.
(2)判斷函數(shù)f(x)＝在(－1，1)上的單調(diào)性，并用定義證明．
解　函數(shù)f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)．證明如下：
任取x1，x2∈(－1，1)且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝，
因?yàn)椋?所以x1－x2<0，－1所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函數(shù)f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)．
【通性通法】
利用定義證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟
(1)取值：設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1(2)作差變形：作差f(x1)－f(x2)，并通過(guò)因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子．
(3)定號(hào)：確定f(x1)－f(x2)的符號(hào)．
(4)結(jié)論：根據(jù)f(x1)－f(x2)的符號(hào)及定義判斷單調(diào)性．
提醒：作差變形是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，且變形的結(jié)果一般寫成幾個(gè)因式乘積的形式．
【鞏固遷移】
1．(多選)下列函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(　　)
A．y＝3x－3－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋ D．y＝
答案　AC
解析　∵y＝3x與y＝－3－x為R上的增函數(shù)，∴y＝3x－3－x為R上的增函數(shù)，故A滿足題意；由y＝|x2－2x|的圖象知，B不滿足題意；對(duì)于C，∵y＝x＋＝x－1＋＋1，∴由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知，y＝x＋在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故C滿足題意；y＝的定義域?yàn)?－∞，－2]∪[1，＋∞)，D不滿足題意．故選AC.
2．(2024·廣東揭陽(yáng)高三摸底)用定義證明函數(shù)f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
證明　設(shè)0考向2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例2(1)(2023·四川資陽(yáng)期末)函數(shù)f(x)＝－x的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)
A. B．(0，1)
C. D．(1，＋∞)
答案　A
解析　令t＝，顯然t＝在[0，＋∞)上單調(diào)遞增．又y＝t－t2＝－＋在上單調(diào)遞增，由0≤≤得0≤x≤，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選A.
(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．
答案　[0，1)
解析　由題意知g(x)＝該函數(shù)圖象如圖所示，其單調(diào)遞減區(qū)間是[0，1)．
【通性通法】
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間，常用方法：①定義法；②導(dǎo)數(shù)法；③圖象法；④性質(zhì)法．
(2)求復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)區(qū)間，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用外層函數(shù)y＝f(t)和內(nèi)層函數(shù)t＝g(x)的單調(diào)性判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”．
注意：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式或集合表示，當(dāng)函數(shù)有多個(gè)不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用符號(hào)“∪”連接，只能用“逗號(hào)”或“和”連接．
【鞏固遷移】
3．設(shè)函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋8，g(x)＝logax(0A．(－∞，1) B．(－2，1)
C．(1，＋∞) D．(1，4)
答案　B
解析　g(f(x))＝loga(－x2＋2x＋8)，由－x2＋2x＋8>0得－24．(2024·福建廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三月考)已知函數(shù)f(x)＝－x|x|＋2x，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．
答案　[－1，1]
解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝－x|x|＋2x＝作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．由圖可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，1]．
考點(diǎn)二　函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(多考向探究)
考向1利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小
例3(2023·重慶模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝
若a＝ln 2，b＝30.2，c＝log0.32，則(　　)
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(a)>f(c)>f(b) D．f(c)>f(a)>f(b)
答案　D
解析　顯然f(x)在R上單調(diào)遞減，又因?yàn)?0.2>30＝1，即b>1，0＝ln 1a>c，所以f(b)【通性通法】
比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行比較．
【鞏固遷移】
5．已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，當(dāng)x2>x1>1時(shí)，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，設(shè)a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a(chǎn)>c>b D．b>a>c
答案　D
解析　因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以f＝f.當(dāng)x2>x1>1時(shí)，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，所以f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，因?yàn)?<2<f>f(e)，即b>a>c.故選D.
考向2利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式
例4已知函數(shù)f(x)為定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意的x∈R，均有f(x＋2)＝f(2－x)，且f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，若f(－1)＝0，則不等式f(x－1)≥0的解集為(　　)
A．[－2，4] B．[0，6]
C．[2，4] D．[－4，6]
答案　B
解析　由函數(shù)f(x)對(duì)任意的x∈R，均有f(x＋2)＝f(2－x)，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，又f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(－1)＝0，所以f(5)＝f(－1)＝0，則不等式f(x－1)≥0，即－1≤x－1≤5，解得0≤x≤6，所以不等式f(x－1)≥0的解集為[0，6]．故選B.
【通性通法】
根據(jù)題目條件，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉，轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解，應(yīng)注意函數(shù)的定義域．
【鞏固遷移】
6．(2024·江蘇泰州摸底)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x12x的解集為(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－1，1) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
答案　A
解析　由2x1f(x2)<2x2f(x1)，得<，令g(x)＝，可知當(dāng)x12x >1＝，即g(x)>g(1)，所以由單調(diào)性解得x<1.故選A.
考向3利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
例5(2023·江蘇鎮(zhèn)江期中)若函數(shù)f(x)＝滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x1≠x2，都有>0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，2] B．(1，2)
C．[2，6) D.
答案　D
解析　根據(jù)題意知f(x)是R上的增函數(shù)，
則解得2≤a≤.故選D.
【通性通法】
利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的策略
【鞏固遷移】
7．若函數(shù)f(x)＝－x2＋4ax在[1，3]上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案　
解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[1，3]上不單調(diào)，所以1<2a<3，得8．設(shè)函數(shù)f(x)＝若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，a＋1)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案　(－∞，1]∪[4，＋∞)
解析　函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知，若f(x)在(a，a＋1)上單調(diào)遞增，則a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
考點(diǎn)三　函數(shù)的最值、值域問(wèn)題
例6(1)當(dāng)－3≤x≤－1時(shí)，函數(shù)y＝的最小值為(　　)
A. B.
C．2 D．3
答案　B
解析　由y＝，可得y＝－，因?yàn)椋?≤x≤－1，所以≤－≤，即≤y≤3.所以所求函數(shù)的最小值為.故選B.
(2)函數(shù)f(x)＝x＋的值域是(　　)
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，2] D．(－∞，1]
答案　C
解析　令＝t≥0，則x＝，原函數(shù)即為g(t)＝－t2＋t＋(t≥0)，可知g(t)max＝g(1)＝－×12＋1＋＝2，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－∞，2]．故選C.
(3)已知函數(shù)f(x)＝則f(x)的最大值為________．
答案　1
解析　當(dāng)x∈(－∞，1]時(shí)，f(x)＝ex－1單調(diào)遞增，f(x)≤f(1)＝e1－1＝1；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)＝－x＋1單調(diào)遞減，f(x)<－1＋1＝1.所以f(x)的最大值為1.
【通性通法】
求函數(shù)最值(或值域)的幾種常用方法及其思路
(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值(或值域)．
(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，得出最值(或值域)．
(3)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值(或值域)．
(4)分離常數(shù)法：求形如y＝(ac≠0)的函數(shù)的最值(或值域)常用分離常數(shù)法求解．
(5)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值(或值域)．
(6)導(dǎo)數(shù)法：先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定函數(shù)的最值(或值域)．
【鞏固遷移】
9．(2023·山東煙臺(tái)高三專題檢測(cè))已知f(x)＝3－
2|x|，g(x)＝x2－2x，若F(x)＝
則F(x)的最值情況是(　　)
A．最大值為3，最小值為－1
B．最大值為7－2，無(wú)最小值
C．最大值為3，無(wú)最小值
D．無(wú)最大值，最小值為－1
答案　B
解析　根據(jù)已知條件，可以求出F(x)＝
如圖所示，F(xiàn)(x)在A處取得最大值，沒(méi)有最小值．由F(x)的解析式，得xA＝2－，所以yA＝7－2.所以F(x)有最大值7－2，無(wú)最小值．故選B.
10．函數(shù)y＝的最大值為________．
答案　
解析　令＝t，則t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝＝，設(shè)h(t)＝t＋，則h(t)在[2，＋∞)上為增函數(shù)，∴h(t)min＝h(2)＝，∴y≤＝(當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào))，即y的最大值為.
11．函數(shù)y＝＋的值域?yàn)開_______．
答案　[，2]
解析　由得3≤x≤5，則y2＝2＋2＝2＋2，3≤x≤5，又－(x－4)2＋1∈[0，1]，則2∈[0，2]，∴2≤y2≤4，又y≥0，∴≤y≤2，故函數(shù)的值域?yàn)閇，2]．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第二節(jié)　函數(shù)的單調(diào)性與最值
課標(biāo)解讀 考向預(yù)測(cè)
1.借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實(shí)際意義. 2.理解函數(shù)單調(diào)性的概念，能運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的單調(diào)性. 3.會(huì)用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷(或證明)一些函數(shù)的單調(diào)性. 4.會(huì)求一些具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的確定與應(yīng)用；強(qiáng)化對(duì)函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想的考查，題型既有選擇題、填空題，又有解答題．預(yù)計(jì)2025年高考仍會(huì)考查函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的確定與應(yīng)用；題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中檔偏上.
【知識(shí)梳理】
1．(1)單調(diào)函數(shù)的定義
增函數(shù) 減函數(shù)
定義 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I D，如果 x1，x2∈I
當(dāng)x1f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減
圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
(2)單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．
2．函數(shù)的最值
前提 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在實(shí)數(shù)M滿足
條件 (1) x∈D，都有f(x)≤M； (2) x0∈D，使得f(x0)＝M (1) x∈D，都有f(x)≥M； (2) x0∈D，使得f(x0) ＝M
結(jié)論 M為最大值 M為最小值
【常用結(jié)論】
1．函數(shù)單調(diào)性的兩個(gè)等價(jià)結(jié)論
設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I D，則 x1，x2∈I(x1≠x2)，
(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0) f(x)在I上單調(diào)遞增；
(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0) f(x)在I上單調(diào)遞減．
2．若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性，則在區(qū)間I上具有以下性質(zhì)：
(1)當(dāng)f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)時(shí)，f(x)＋g(x)是增(減)函數(shù)；
(2)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性與y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性有關(guān)．簡(jiǎn)記：“同增異減”．
3．函數(shù)最值存在的兩個(gè)結(jié)論
(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值．當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)，最值一定在端點(diǎn)取到；
(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值．
【診斷自測(cè)】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)．(　　)
(2)因?yàn)閥＝x與y＝ex都是增函數(shù)，所以y＝xex在定義域內(nèi)為增函數(shù)．(　　)
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2]和(2，3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，3)上為增函數(shù)．(　　)
2．小題熱身
(1)(多選)(人教A必修第一冊(cè)習(xí)題3.2 T3改編)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是(　　)
A．y＝－x B．y＝x2－x
C．y＝－x2－2x D．y＝ex
(2)(人教A必修第一冊(cè)3.2.1 P81練習(xí) T2改編)已知函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間[－1，1]上的增函數(shù)，則滿足f(x)A. B.
C. D．(－1，1]
(3)(人教A必修第一冊(cè)3.2.1例5改編)已知函數(shù)f(x)＝(x∈[2，6])，則函數(shù)f(x)的最大值為________，最小值為________．
(4)函數(shù)f(x)＝lg (9－x2)的定義域?yàn)開_______，其單調(diào)遞增區(qū)間為________．
【考點(diǎn)探究】
考點(diǎn)一　函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間(多考向探究)
考向1判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性
例1(1)(多選)(2023·河北石家莊模擬)下列函數(shù)在(－∞，0)上單調(diào)遞減的是(　　)
A．y＝tanx B．y＝ln (－x)
C．y＝ D．y＝－
(2)判斷函數(shù)f(x)＝在(－1，1)上的單調(diào)性，并用定義證明．
解　函數(shù)f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)．證明如下：
任取x1，x2∈(－1，1)且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝，
因?yàn)椋?所以x1－x2<0，－1所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函數(shù)f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)．
【通性通法】
利用定義證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟
(1)取值：設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1(2)作差變形：作差f(x1)－f(x2)，并通過(guò)因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子．
(3)定號(hào)：確定f(x1)－f(x2)的符號(hào)．
(4)結(jié)論：根據(jù)f(x1)－f(x2)的符號(hào)及定義判斷單調(diào)性．
提醒：作差變形是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，且變形的結(jié)果一般寫成幾個(gè)因式乘積的形式．
【鞏固遷移】
1．(多選)下列函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(　　)
A．y＝3x－3－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋ D．y＝
2．(2024·廣東揭陽(yáng)高三摸底)用定義證明函數(shù)f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
考向2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例2(1)(2023·四川資陽(yáng)期末)函數(shù)f(x)＝－x的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)
A. B．(0，1)
C. D．(1，＋∞)
(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．
【通性通法】
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間，常用方法：①定義法；②導(dǎo)數(shù)法；③圖象法；④性質(zhì)法．
(2)求復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)區(qū)間，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用外層函數(shù)y＝f(t)和內(nèi)層函數(shù)t＝g(x)的單調(diào)性判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”．
注意：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式或集合表示，當(dāng)函數(shù)有多個(gè)不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用符號(hào)“∪”連接，只能用“逗號(hào)”或“和”連接．
【鞏固遷移】
3．設(shè)函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋8，g(x)＝logax(0A．(－∞，1) B．(－2，1)
C．(1，＋∞) D．(1，4)
4．(2024·福建廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三月考)已知函數(shù)f(x)＝－x|x|＋2x，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．
考點(diǎn)二　函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(多考向探究)
考向1利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小
例3(2023·重慶模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝
若a＝ln 2，b＝30.2，c＝log0.32，則(　　)
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(a)>f(c)>f(b) D．f(c)>f(a)>f(b)
【通性通法】
比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行比較．
【鞏固遷移】
5．已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，當(dāng)x2>x1>1時(shí)，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，設(shè)a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a(chǎn)>c>b D．b>a>c
考向2利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式
例4已知函數(shù)f(x)為定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意的x∈R，均有f(x＋2)＝f(2－x)，且f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，若f(－1)＝0，則不等式f(x－1)≥0的解集為(　　)
A．[－2，4] B．[0，6]
C．[2，4] D．[－4，6]
【通性通法】
根據(jù)題目條件，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉，轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解，應(yīng)注意函數(shù)的定義域．
【鞏固遷移】
6．(2024·江蘇泰州摸底)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x12x的解集為(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－1，1) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
考向3利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
例5(2023·江蘇鎮(zhèn)江期中)若函數(shù)f(x)＝滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x1≠x2，都有>0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，2] B．(1，2)
C．[2，6) D.
【通性通法】
利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的策略
【鞏固遷移】
7．若函數(shù)f(x)＝－x2＋4ax在[1，3]上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
8．設(shè)函數(shù)f(x)＝若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，a＋1)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
考點(diǎn)三　函數(shù)的最值、值域問(wèn)題
例6(1)當(dāng)－3≤x≤－1時(shí)，函數(shù)y＝的最小值為(　　)
A. B.
C．2 D．3
(2)函數(shù)f(x)＝x＋的值域是(　　)
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，2] D．(－∞，1]
(3)已知函數(shù)f(x)＝則f(x)的最大值為________．
【通性通法】
求函數(shù)最值(或值域)的幾種常用方法及其思路
(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值(或值域)．
(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，得出最值(或值域)．
(3)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值(或值域)．
(4)分離常數(shù)法：求形如y＝(ac≠0)的函數(shù)的最值(或值域)常用分離常數(shù)法求解．
(5)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值(或值域)．
(6)導(dǎo)數(shù)法：先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定函數(shù)的最值(或值域)．
【鞏固遷移】
9．(2023·山東煙臺(tái)高三專題檢測(cè))已知f(x)＝3－
2|x|，g(x)＝x2－2x，若F(x)＝
則F(x)的最值情況是(　　)
A．最大值為3，最小值為－1
B．最大值為7－2，無(wú)最小值
C．最大值為3，無(wú)最小值
D．無(wú)最大值，最小值為－1
10．函數(shù)y＝的最大值為________．
11．函數(shù)y＝＋的值域?yàn)開_______．
課時(shí)作業(yè)
【A組 基礎(chǔ)練習(xí)】
一、單項(xiàng)選擇題
1．已知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，則不等式f(3x－1)>f(x＋5)的解集為(　　)
A．(－∞，3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
2．函數(shù)y＝的值域?yàn)?　　)
A．(0，2) B．[2，＋∞)
C．(2，3) D．[1，2]
3．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝logf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)
A．(－∞，－3]，[0，3] B．[－3，0]，[3，＋∞)
C．(－∞，－5)，[0，1) D．(－1，0]，(5，＋∞)
4．(2023·北京高考)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(　　)
A．f(x)＝－ln x B．f(x)＝
C．f(x)＝－ D．f(x)＝3|x－1|
5．(2024·河南信陽(yáng)高三期末)設(shè)a＞0，b＞0，若a2＋2a＝b2＋3b，則(　　)
A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＞b
C．2a＞3b D．3a＞4b
6．(2023·河南鄭州四中高三二調(diào))已知函數(shù)f(x)＝若存在實(shí)數(shù)x0，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f(x)≤f(x0)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．[1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[2，＋∞)
7．(2024·遼寧沈陽(yáng)二中高三期中)函數(shù)f(x)＝32x－4－2×3x－2的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)
A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[－2，＋∞)
8．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x－3，若對(duì)任意的x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，<3恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
二、多項(xiàng)選擇題
9．(2024·湖北荊州石首期中)關(guān)于函數(shù)f(x)＝，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[－1，1]
B．f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[1，＋∞)
C．f(x)的最大值為2
D．f(x)沒(méi)有最小值
10．函數(shù)f(x)＝在區(qū)間(b，＋∞)上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．a(chǎn)>－2 B．b>－1
C．b≥－1 D．a(chǎn)<－2
11．(2023·山東煙臺(tái)檢測(cè))已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳，若對(duì)任意x∈A，存在正數(shù)M，使得|f(x)|≤M成立，則稱函數(shù)f(x)是定義在A上的“有界函數(shù)”．則下列函數(shù)是“有界函數(shù)”的是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝x＋
三、填空題
12．(2024·福建龍巖摸底)寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)＝________．
①定義域?yàn)镽；②值域?yàn)?－∞，1)；③對(duì)任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，均有>0.
13．(2024·遼寧沈陽(yáng)高三模擬)若函數(shù)f(x)＝ln (x2－ax－3)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
14.，，的大小關(guān)系為________．
【B組 素養(yǎng)提升】
15．(2024·吉林長(zhǎng)春吉大附中模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意的x1，x2(x1≠x2)恒有x1f(x1)－x1f(x2)－x2f(x1)＋x2f(x2)>0，若a＝f(0)，b＝f(1)，c＝f(2)，則(　　)
A．cC．c16．(多選)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，若af(c)>f(b)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　)
A．a(chǎn)<0，b<0，c<0
B．a(chǎn)<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c
D．a(chǎn)＋c<1
17．(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在區(qū)間[m，n] D使得：
①f(x)在[m，n]上是單調(diào)函數(shù)；
②f(x)在[m，n]上的值域是[2m，2n]，則稱區(qū)間[m，n]為函數(shù)f(x)的“倍值區(qū)間”．
下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的是(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝
C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝
18．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>－1.
(1)求f(0)的值，并證明f(x)在R上是增函數(shù)；
(2)若f(1)＝1，解關(guān)于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑