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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第三節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性
課標(biāo)解讀 考向預(yù)測(cè)
1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義，會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性. 2.了解函數(shù)的周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性. 3.會(huì)利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、周期性解決函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題. 以理解函數(shù)的奇偶性、會(huì)用函數(shù)的奇偶性為主，常與函數(shù)的單調(diào)性、周期性交匯命題，題型以選擇題、填空題為主，難度中檔偏上．本節(jié)復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)結(jié)合具體的實(shí)例和函數(shù)的圖象，理解函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性的概念，明確它們?cè)谘芯亢瘮?shù)中的作用和功能，重點(diǎn)是綜合利用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題．預(yù)計(jì)2025年高考會(huì)以抽象函數(shù)為載體，將函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性等相結(jié)合來(lái)綜合考查，以多選題的形式呈現(xiàn).
【知識(shí)梳理】
1．函數(shù)的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點(diǎn)
偶函數(shù) 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù) 關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)
奇函數(shù) 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
2.函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱(chēng)T為這個(gè)函數(shù)的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．
【常用結(jié)論】
1．函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論
(1)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0；如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
(2)若函數(shù)f(x)不是常數(shù)函數(shù)，當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；
(3)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函數(shù)周期性的常用結(jié)論
對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x(a，b為常數(shù)，a≠b)：
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，則f(x)的一個(gè)周期為2a；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，則f(x)的一個(gè)周期為2a；
(3)若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，則f(x)的一個(gè)周期為6a；
(4)若f(x＋a)＝(a≠0)，則f(x)的一個(gè)周期為2a；
(5)若f(x＋a)＝－(a≠0)，則f(x)的一個(gè)周期為2a；
(6)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a與x＝b對(duì)稱(chēng)，則f(x)的一個(gè)周期為2|b－a|；
(7)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于點(diǎn)(b，0)對(duì)稱(chēng)，則f(x)的一個(gè)周期為2|b－a|；
(8)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于點(diǎn)(b，0)對(duì)稱(chēng)，則f(x)的一個(gè)周期為4|b－a|.
3．函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性的四個(gè)常用結(jié)論
(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng)；
(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對(duì)稱(chēng)；
(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)．特別地，當(dāng)a＝b，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)時(shí)，y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng)；
(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱(chēng)．特別地，當(dāng)b＝0，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時(shí)，y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱(chēng)．
【診斷自測(cè)】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝0.(　　)
(2)若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期．(　　)
(3)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(－1)＝f(1)，則f(x)一定是偶函數(shù)．(　　)
(4)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f(a＋x)＝－f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．小題熱身
(1)(多選)(人教A必修第一冊(cè)3.2.2例6改編)下列給出的函數(shù)是奇函數(shù)的是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝x3＋1 D．y＝sinx
答案　ABD
(2)已知定義域是R的函數(shù)f(x)滿足： x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)為偶函數(shù)，f(1)＝1，則f(2027)＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－3
答案　B
解析　因?yàn)閒(1＋x)為偶函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，所以f(2－x)＝f(x)，又由f(4＋x)＋f(－x)＝0，得f(4＋x)＝－f(－x)，所以f(8＋x)＝－f(－4－x)＝－f(6＋x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，故f(x)的周期為4，所以f(2027)＝f(3)＝－f(1)＝－1.故選B.
(3)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝2x＋2，則f(1)＝________．
答案　－
(4)(北師大版必修第二冊(cè)習(xí)題1.1 T3改編)已知f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù)，且f(－1)＝2f(10)＋3，則f(2026)＝________．
答案　－1
解析　因?yàn)閒(－1)＝2f(10)＋3，所以f(－1)＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，解得f(－1)＝1，故f(2026)＝f(1)＝－f(－1)＝－1.
【考點(diǎn)探究】
考點(diǎn)一　函數(shù)的奇偶性(多考向探究)
考向1函數(shù)奇偶性的判斷
例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝(x＋1)；
(4)f(x)＝
解　(1)由得x2＝3，
解得x＝±，
即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－，}，
從而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
(2)由得f(x)的定義域?yàn)?－1，0)∪(0，1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，
∴f(x)＝.
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．
(3)由得－1∵f(x)的定義域(－1，1]不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
(4)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．
綜上可知，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．
【通性通法】
1．判斷函數(shù)奇偶性的方法
2．一些重要類(lèi)型的奇偶函數(shù)模型
(1)函數(shù)f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函數(shù)．
(2)函數(shù)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是奇函數(shù)．
(3)函數(shù)f(x)＝(a>0且a≠1)是奇函數(shù)．
(4)函數(shù)f(x)＝loga(a>0且a≠1)是奇函數(shù)．
(5)函數(shù)f(x)＝loga(±m(xù)x)(a>0且a≠1)是奇函數(shù)．
【鞏固遷移】
1．設(shè)函數(shù)f(x)＝，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
答案　B
解析　解法一：因?yàn)閒(x)＝＝－1＋，其圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，－1)中心對(duì)稱(chēng)，將其圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于原點(diǎn)(0，0)中心對(duì)稱(chēng)，所以f(x－1)＋1為奇函數(shù)．故選B.
解法二：因?yàn)閒(x)＝，所以f(x－1)＝＝，f(x＋1)＝＝.對(duì)于A，F(xiàn)(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，但不滿足F(x)＝－F(－x)；對(duì)于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且滿足G(x)＝－G(－x)；對(duì)于C，f(x＋1)－1＝－1＝－，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；對(duì)于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．故選B.
考向2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
例2(1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x＋1，則當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝(　　)
A．x－1 B．x＋1
C．－x－1 D．－x＋1
答案　A
解析　當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.故選A.
(2)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 為偶函數(shù)，則a＝(　　)
A．－1 B．0
C． D．1
答案　B
解析　解法一：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，則f(1)＝f(－1)，即(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝xln ，由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－，則其定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．f(－x)＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝xln ＝f(x)，故此時(shí)f(x)為偶函數(shù)．故選B.
解法二：設(shè)g(x)＝ln ，易知g(x)的定義域?yàn)椤龋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)．若f(x)＝(x＋a)ln 為偶函數(shù)，則y＝x＋a也應(yīng)為奇函數(shù)，所以a＝0.故選B.
【通性通法】
應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的問(wèn)題及解題方法
(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解．
(2)求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．
(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值，或得到方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值．
【鞏固遷移】
2．若函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則f(g(－1))＝________．
答案　－1
解析　∵f(x)為奇函數(shù)且f(－1)＝g(－1)，∴f(－1)＝－f(1)＝－(－1)＝1，∴g(－1)＝1，∴f(g(－1))＝f(1)＝－1.
3．(2022·全國(guó)乙卷)若f(x)＝ln ＋b是奇函數(shù)，則a＝________，b＝________．
答案　－　ln 2
解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ln ＋b為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．由a＋≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以＝－1，解得a＝－，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln 2，即f(x)＝ln ＋ln 2＝ln ，在定義域內(nèi)滿足f(－x)＝－f(x)，符合題意．
考點(diǎn)二　函數(shù)的周期性
例3已知函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x＋2)＝13，且f(2)＝2，則f(2024)＝(　　)
A．1 B．
C．13 D．
答案　B
解析　∵f(x)f(x＋2)＝13，∴f(x＋2)＝，∵f(x＋4)＝＝＝f(x)，∴f(x)的周期為4，∴f(2024)＝f(4)＝＝.故選B.
【通性通法】
根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，函數(shù)的周期性具有將未知區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能，在解決具體問(wèn)題時(shí)要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期的運(yùn)用．
【鞏固遷移】
4．(2024·四川綿陽(yáng)高三階段考試)若函數(shù)f(x)＝則f(25)＝________．
答案　－1
解析　當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，則f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期為6，∴f(25)＝f(4×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.
考點(diǎn)三　函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性
例4(2024·烏魯木齊高三模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln ＋nx＋n的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱(chēng)，則m＋n＝(　　)
A．ln － B．ln 5－
C．ln － D．ln 3－
答案　B
解析　由題意知x≠，且≠0.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝(x＋1)ln ＋nx＋n的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱(chēng)，則－是方程＝0的根，故＝0，解得m＝－，則f(x)＝(x＋1)ln ＋nx＋n.又由f(0)＝f(－2)，得ln ＋n＝－ln －n，解得n＝ln 5.故f(x)＝(x＋1)·ln ＋(x＋1)ln 5，即f(x)＝(x＋1)·ln ，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋襢(－2－x)＝(－x－1)ln ＝(x＋1)ln ＝f(x)，故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱(chēng)，滿足題意．則m＋n＝ln 5－.故選B.
【通性通法】
(1)求解與函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目特征和對(duì)稱(chēng)性的定義，求出函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心．
(2)解決與函數(shù)對(duì)稱(chēng)性有關(guān)的問(wèn)題，一般結(jié)合函數(shù)圖象，利用對(duì)稱(chēng)性解決求值或求解參數(shù)問(wèn)題．
【鞏固遷移】
5．(2024·福建福州模擬)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝2－f(x)，若函數(shù)y＝與y＝f(x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則 (xi＋yi)＝(　　)
A．0 B.m
C.2m D.4m
答案　B
解析　∵f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋，∴函數(shù)y＝f(x)與y＝的圖象都關(guān)于點(diǎn)(0，1)對(duì)稱(chēng)，∴xi＝0，yi＝×2＝m，∴ (xi＋yi)＝0＋m＝m.
考點(diǎn)四　函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用(多考向探究)
考向1函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合
例5(2023·山東鄄城第一中學(xué)高三三模)已知函數(shù)f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上為奇函數(shù)，則不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0的解集為(　　)
A．(－2，4] B．(－3，5]
C. D．(－2，2]
答案　C
解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上為奇函數(shù)，所以－2c－1＋c＋3＝0，解得c＝2，又f(－x)＝－f(x)，即－x3＋(a－2)x2－2x＋b＝－x3－(a－2)x2－2x－b，所以2(a－2)x2＋2b＝0，所以
解得所以f(x)＝x3＋2x，x∈[－5，5]．由y＝x3與y＝2x在定義域[－5，5]上單調(diào)遞增，得f(x)在定義域[－5，5]上單調(diào)遞增，則不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0，即f(2x＋1)＋f(4)>0，等價(jià)于f(2x＋1)>f(－4)，所以解得－【通性通法】
(1)比較函數(shù)值的大小問(wèn)題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小．
(2)對(duì)于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為x1x2)求解．
【鞏固遷移】
6．(2024·福建師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上單調(diào)遞增．設(shè)a＝f(log45)，b＝f，c＝f(0.20.5)，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A．a(chǎn)C．a(chǎn)答案　A
解析　依題意，函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．因?yàn)閎＝f＝f(－log43)＝f(log43)，0.20.5＝＝<＝，log43>log4＝，log45>1>log43>>0.20.5＞0，所以a考向2函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合
例6(2024·河北衡水中學(xué)高三模擬)已知y＝f(x)為R上的奇函數(shù)，y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，若當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋a)，則f(2025)＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案　C
解析　∵f(x)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋a)，∴f(0)＝0，即log2a＝0，∴a＝1，∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，∵f(x＋1)為偶函數(shù)，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴f(x＋2)＝f(－x)，又f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(2025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝log2(1＋1)＝1.故選C.
【通性通法】
綜合應(yīng)用奇偶性與周期性解題的技巧
綜合應(yīng)用奇偶性與周期性主要是解決求值問(wèn)題，一般策略如下：
(1)根據(jù)已知條件及相關(guān)函數(shù)的奇偶性推得函數(shù)的周期；
(2)利用函數(shù)的周期性將自變量的絕對(duì)值較大的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為自變量的絕對(duì)值較小的函數(shù)值，直到自變量的值進(jìn)入已知解析式的區(qū)間內(nèi)或與已知的函數(shù)值相聯(lián)系，必要時(shí)可再次運(yùn)用奇偶性將自變量的符號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)化；
(3)代入已知的解析式求解即得欲求的函數(shù)值．
【鞏固遷移】
7．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，則f(k)＝(　　)
A．－3 B．－2
C．0 D．1
答案　A
解析　因?yàn)閒(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0可得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，令x＝0可得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，令y＝1得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，從而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為6.因?yàn)閒(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4，所以f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故選A.
考向3函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性與周期性的綜合
例7定義在R上的奇函數(shù)f(x)，其圖象關(guān)于點(diǎn)(－2，0)對(duì)稱(chēng)，且f(x)在[0，2)上單調(diào)遞增，則(　　)
A．f(11)B．f(21)C．f(11)D．f(21)答案　A
解析　∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－2，0)對(duì)稱(chēng)，∴f(x－4)＝－f(－x)，又f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，∴－f(－x)＝f(x)，∴f(x－4)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期是4，則f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0)，f(21)＝f(1)，∵f(x)為奇函數(shù)，且在[0，2)上單調(diào)遞增，則f(x)在(－2，2)上單調(diào)遞增，∴f(－1)【通性通法】
綜合應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的解題技巧
(1)根據(jù)奇偶性、對(duì)稱(chēng)性推得周期性．
(2)利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間．
(3)利用單調(diào)性解決相關(guān)問(wèn)題．
【鞏固遷移】
8．(多選)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2，0]上單調(diào)遞減，下列關(guān)于f(x)的判斷正確的是(　　)
A．f(0)是函數(shù)的最小值
B．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱(chēng)
C．f(x)在[2，4]上單調(diào)遞增
D．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)
答案　ABD
解析　對(duì)于A，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)，又f(x)在[－2，0]上單調(diào)遞減，在R上是偶函數(shù)，∴f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，∴f(0)是函數(shù)的最小值，A正確；對(duì)于B，由f(x＋2)＋f(－x)＝0，得f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱(chēng)，B正確；對(duì)于C，∵f(x)在[－2，0]上單調(diào)遞減，且f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(x)在[2，4]上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)，D正確．故選ABD.
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第三節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性
課標(biāo)解讀 考向預(yù)測(cè)
1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義，會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性. 2.了解函數(shù)的周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性. 3.會(huì)利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、周期性解決函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題. 以理解函數(shù)的奇偶性、會(huì)用函數(shù)的奇偶性為主，常與函數(shù)的單調(diào)性、周期性交匯命題，題型以選擇題、填空題為主，難度中檔偏上．本節(jié)復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)結(jié)合具體的實(shí)例和函數(shù)的圖象，理解函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性的概念，明確它們?cè)谘芯亢瘮?shù)中的作用和功能，重點(diǎn)是綜合利用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題．預(yù)計(jì)2025年高考會(huì)以抽象函數(shù)為載體，將函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性等相結(jié)合來(lái)綜合考查，以多選題的形式呈現(xiàn).
【知識(shí)梳理】
1．函數(shù)的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點(diǎn)
偶函數(shù) 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù) 關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)
奇函數(shù) 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
2.函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱(chēng)T為這個(gè)函數(shù)的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．
【常用結(jié)論】
1．函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論
(1)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0；如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
(2)若函數(shù)f(x)不是常數(shù)函數(shù)，當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；
(3)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函數(shù)周期性的常用結(jié)論
對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x(a，b為常數(shù)，a≠b)：
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，則f(x)的一個(gè)周期為2a；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，則f(x)的一個(gè)周期為2a；
(3)若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，則f(x)的一個(gè)周期為6a；
(4)若f(x＋a)＝(a≠0)，則f(x)的一個(gè)周期為2a；
(5)若f(x＋a)＝－(a≠0)，則f(x)的一個(gè)周期為2a；
(6)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a與x＝b對(duì)稱(chēng)，則f(x)的一個(gè)周期為2|b－a|；
(7)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于點(diǎn)(b，0)對(duì)稱(chēng)，則f(x)的一個(gè)周期為2|b－a|；
(8)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于點(diǎn)(b，0)對(duì)稱(chēng)，則f(x)的一個(gè)周期為4|b－a|.
3．函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性的四個(gè)常用結(jié)論
(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng)；
(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對(duì)稱(chēng)；
(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)．特別地，當(dāng)a＝b，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)時(shí)，y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng)；
(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱(chēng)．特別地，當(dāng)b＝0，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時(shí)，y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱(chēng)．
【診斷自測(cè)】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝0.(　　)
(2)若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期．(　　)
(3)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(－1)＝f(1)，則f(x)一定是偶函數(shù)．(　　)
(4)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f(a＋x)＝－f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．(　　)
2．小題熱身
(1)(多選)(人教A必修第一冊(cè)3.2.2例6改編)下列給出的函數(shù)是奇函數(shù)的是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝x3＋1 D．y＝sinx
(2)已知定義域是R的函數(shù)f(x)滿足： x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)為偶函數(shù)，f(1)＝1，則f(2027)＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－3
(3)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝2x＋2，則f(1)＝________．
(4)(北師大版必修第二冊(cè)習(xí)題1.1 T3改編)已知f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù)，且f(－1)＝2f(10)＋3，則f(2026)＝________．
【考點(diǎn)探究】
考點(diǎn)一　函數(shù)的奇偶性(多考向探究)
考向1函數(shù)奇偶性的判斷
例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝(x＋1)；
(4)f(x)＝
【通性通法】
1．判斷函數(shù)奇偶性的方法
2．一些重要類(lèi)型的奇偶函數(shù)模型
(1)函數(shù)f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函數(shù)．
(2)函數(shù)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是奇函數(shù)．
(3)函數(shù)f(x)＝(a>0且a≠1)是奇函數(shù)．
(4)函數(shù)f(x)＝loga(a>0且a≠1)是奇函數(shù)．
(5)函數(shù)f(x)＝loga(±m(xù)x)(a>0且a≠1)是奇函數(shù)．
【鞏固遷移】
1．設(shè)函數(shù)f(x)＝，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
考向2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
例2(1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x＋1，則當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝(　　)
A．x－1 B．x＋1
C．－x－1 D．－x＋1
(2)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 為偶函數(shù)，則a＝(　　)
A．－1 B．0
C． D．1
【通性通法】
應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的問(wèn)題及解題方法
(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解．
(2)求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．
(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值，或得到方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值．
【鞏固遷移】
2．若函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則f(g(－1))＝________．
3．(2022·全國(guó)乙卷)若f(x)＝ln ＋b是奇函數(shù)，則a＝________，b＝________．
考點(diǎn)二　函數(shù)的周期性
例3已知函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x＋2)＝13，且f(2)＝2，則f(2024)＝(　　)
A．1 B．
C．13 D．
【通性通法】
根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，函數(shù)的周期性具有將未知區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能，在解決具體問(wèn)題時(shí)要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期的運(yùn)用．
【鞏固遷移】
4．(2024·四川綿陽(yáng)高三階段考試)若函數(shù)f(x)＝則f(25)＝________．
考點(diǎn)三　函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性
例4(2024·烏魯木齊高三模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln ＋nx＋n的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱(chēng)，則m＋n＝(　　)
A．ln － B．ln 5－
C．ln － D．ln 3－
【通性通法】
(1)求解與函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目特征和對(duì)稱(chēng)性的定義，求出函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心．
(2)解決與函數(shù)對(duì)稱(chēng)性有關(guān)的問(wèn)題，一般結(jié)合函數(shù)圖象，利用對(duì)稱(chēng)性解決求值或求解參數(shù)問(wèn)題．
【鞏固遷移】
5．(2024·福建福州模擬)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝2－f(x)，若函數(shù)y＝與y＝f(x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則 (xi＋yi)＝(　　)
A．0 B.m
C.2m D.4m
考點(diǎn)四　函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用(多考向探究)
考向1函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合
例5(2023·山東鄄城第一中學(xué)高三三模)已知函數(shù)f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上為奇函數(shù)，則不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0的解集為(　　)
A．(－2，4] B．(－3，5]
C. D．(－2，2]
【通性通法】
(1)比較函數(shù)值的大小問(wèn)題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小．
(2)對(duì)于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為x1x2)求解．
【鞏固遷移】
6．(2024·福建師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上單調(diào)遞增．設(shè)a＝f(log45)，b＝f，c＝f(0.20.5)，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A．a(chǎn)C．a(chǎn)考向2函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合
例6(2024·河北衡水中學(xué)高三模擬)已知y＝f(x)為R上的奇函數(shù)，y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，若當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋a)，則f(2025)＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【通性通法】
綜合應(yīng)用奇偶性與周期性解題的技巧
綜合應(yīng)用奇偶性與周期性主要是解決求值問(wèn)題，一般策略如下：
(1)根據(jù)已知條件及相關(guān)函數(shù)的奇偶性推得函數(shù)的周期；
(2)利用函數(shù)的周期性將自變量的絕對(duì)值較大的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為自變量的絕對(duì)值較小的函數(shù)值，直到自變量的值進(jìn)入已知解析式的區(qū)間內(nèi)或與已知的函數(shù)值相聯(lián)系，必要時(shí)可再次運(yùn)用奇偶性將自變量的符號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)化；
(3)代入已知的解析式求解即得欲求的函數(shù)值．
【鞏固遷移】
7．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，則f(k)＝(　　)
A．－3 B．－2
C．0 D．1
考向3函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性與周期性的綜合
例7定義在R上的奇函數(shù)f(x)，其圖象關(guān)于點(diǎn)(－2，0)對(duì)稱(chēng)，且f(x)在[0，2)上單調(diào)遞增，則(　　)
A．f(11)B．f(21)C．f(11)D．f(21)【通性通法】
綜合應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的解題技巧
(1)根據(jù)奇偶性、對(duì)稱(chēng)性推得周期性．
(2)利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間．
(3)利用單調(diào)性解決相關(guān)問(wèn)題．
【鞏固遷移】
8．(多選)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2，0]上單調(diào)遞減，下列關(guān)于f(x)的判斷正確的是(　　)
A．f(0)是函數(shù)的最小值
B．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱(chēng)
C．f(x)在[2，4]上單調(diào)遞增
D．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)
課時(shí)作業(yè)
【A組 基礎(chǔ)練習(xí)】
一、單項(xiàng)選擇題
1．如果奇函數(shù)f(x)在[3，7]上單調(diào)遞增且最小值為5，那么f(x)在區(qū)間[－7，－3]上(　　)
A．單調(diào)遞增且最小值為－5
B．單調(diào)遞減且最小值為－5
C．單調(diào)遞增且最大值為－5
D．單調(diào)遞減且最大值為－5
2．(2024·山東濟(jì)南一中摸底)設(shè)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上單調(diào)遞增，則(　　)
A．fB．f(2)C．f(2)D．f(－1)3．(2023·全國(guó)乙卷)已知f(x)＝是偶函數(shù)，則a＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
4．(2024·遼寧沈陽(yáng)高三模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x－1)3，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是(　　)
A．f(x)＋1 B．f(x)－1
C．f(x＋1) D．f(x－1)
5．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(x)－2，則下列函數(shù)是周期函數(shù)的是(　　)
A．y＝f(x)－x B．y＝f(x)＋x
C．y＝f(x)－2x D．y＝f(x)＋2x
6．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是(　　)
A．g(x)＝sinx B．g(x)＝x2＋2x
C．g(x)＝x3－x D．g(x)＝ex＋e－x
7．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2，則不等式f(x2)≥4f(x)的解集為(　　)
A．(－∞，0]∪[4，＋∞)
B．[0，4]
C．(－∞，0]∪[2，＋∞)
D．[0，2]
8．(2024·福建師范大學(xué)附屬中學(xué)高三模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x－1)的圖象關(guān)于(1，0)中心對(duì)稱(chēng)，f(x＋1)是偶函數(shù)且f＝1.則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A．f(x)的周期為2
B．f(x)為偶函數(shù)
C．f(x－2)是奇函數(shù)
D．f＝1
二、多項(xiàng)選擇題
9．若f(x)是奇函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．|f(x)|一定是偶函數(shù)
B．f(x)f(－x)一定是偶函數(shù)
C．f(x)f(－x)≥0
D．f(－x)＋|f(x)|＝0
10．已知f(x)為奇函數(shù)，且f(x＋1)為偶函數(shù)，若f(1)＝0，則(　　)
A．f(3)＝0
B．f(3)＝f(5)
C．f(x＋3)＝f(x－1)
D．f(x＋2)＋f(x＋1)＝1
三、填空題
11．(2023·全國(guó)甲卷)若y＝(x－1)2＋ax＋sin為偶函數(shù)，則a＝________．
12．已知函數(shù)f(x)滿足 x∈R，有f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f(x)＝x2＋mx，若f＝，則m＝________．
13．已知函數(shù)f(x)＝asinx＋btanx＋1，若f(a)＝－2，則f(－a)＝________．
14．(2024·浙江紹興上虞區(qū)高三適應(yīng)性考試)已知函數(shù)y＝f(2x＋1)為偶函數(shù)，且f(x)＋f(－x)＝2，則f(2022)＋f(2024)＝________．
15．(2023·河北石家莊高三三模)已知函數(shù)f(x)同時(shí)滿足性質(zhì)：①f(－x)＝－f(x)；② x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，>0，則函數(shù)f(x)的解析式可能是(　　)
A．f(x)＝ex－e－x B．f(x)＝
C．f(x)＝sin4x D．f(x)＝x2
16．(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)
B．f(x)的圖象關(guān)于(2，0)對(duì)稱(chēng)
C．f(x)的最小正周期為4
D．y＝f(x＋4)為偶函數(shù)
17．(多選)(2024·九省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f≠0，若f(x＋y)＋f(x)f(y)＝4xy，則(　　)
A．f＝0
B．f＝－2
C．函數(shù)f是偶函數(shù)
D．函數(shù)f是減函數(shù)
18．(2024·湖北荊宜三校高三聯(lián)考)設(shè)g(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且滿足g(x＋1)為偶函數(shù)，g(x＋2)為奇函數(shù)，則g(k)＝________．
19．(2024·山東德州高三期末)函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f(x＋2)＝f(－x)成立．已知當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝loga(2－x)(a>1)．
(1)當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)若函數(shù)f(x)的最大值為1，當(dāng)x∈[－2，2]時(shí)，求不等式f(x)>的解集．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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