資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第四節　冪函數與二次函數
課標解讀 考向預測
1.通過具體實例，結合函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的圖象，理解它們的變化規律，了解冪函數. 2.掌握二次函數的圖象與性質(單調性、對稱性、頂點、最值等). 以冪函數的圖象與性質的應用為主，常與指數函數、對數函數交匯命題；以二次函數的圖象與性質的應用為主，常與方程、不等式等知識交匯命題，著重考查函數與方程、轉化與化歸及數形結合思想，題型一般為選擇題、填空題，中檔難度．預計2025年高考對于冪函數的考查最多出一道選擇題，以冪函數的圖象和性質應用為主．對于二次函數的考查一般與其他知識綜合，題型一般為選擇題、填空題，中檔難度.
【知識梳理】
1．冪函數
(1)冪函數的定義
一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．
(2)在同一坐標系中的五個冪函數的圖象
(3)冪函數的性質
①冪函數在(0，＋∞)上都有定義；
②當α＞0時，冪函數的圖象都過點(0，0)和(1，1)，且在(0，＋∞)上單調遞增；
③當α＜0時，冪函數的圖象都過點(1，1)，且在(0，＋∞)上單調遞減；
④當α為奇數時，y＝xα為奇函數；當α為偶數時，y＝xα為偶函數．
2．二次函數解析式的三種形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
頂點式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
兩根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
3．二次函數的圖象和性質
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
圖象
定義域 R R
值域
單調性 在上單調遞減；在上單調遞增 在上單調遞增；在上單調遞減
對稱性 函數的圖象關于直線x＝－對稱
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)函數y＝－x是冪函數．(　　)
(2)當α<0時，冪函數y＝xα在定義域內單調遞減．(　　)
(3)若冪函數y＝xα是偶函數，則α為偶數．(　　)
(4)若二次函數y＝ax2＋bx＋c的兩個零點確定，則二次函數的解析式確定．(　　)
2．小題熱身
(1)已知冪函數f(x)的圖象過點，則f(4)的值是(　　)
A．64 B．4
C. D.
(2)(北師大版必修第一冊1.4.2例4改編)若一次函數y＝ax＋b的圖象經過第二、三、四象限，則二次函數y＝ax2＋bx的圖象可能是(　　)
(3)已知α∈，若冪函數f(x)＝xα為奇函數，且在(0，＋∞)上單調遞增，則α＝________．
(4)(人教B必修第二冊4.4例1改編)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，則a，b，c的大小關系是________(用“<”連接)．
【考點探究】
考點一　冪函數的圖象與性質
例1(1)若冪函數y＝x－1，y＝xm與y＝xn在第一象限內的圖象如圖所示，則m與n的取值情況為(　　)
A．－1C．－1(2)(2024·江蘇連云港海濱中學高三學情檢測)若冪函數f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是減函數，則實數m＝________．
【通性通法】
(1)冪函數的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數α，因此只需一個條件即可確定其解析式．
(2)對于冪函數的圖象，需記住在第一象限內三條線分第一象限為六個區域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區域．根據α＜0，0＜α＜1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定．
(3)在比較冪值的大小時，可結合冪值的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較．
(4)在區間(0，1)上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區間(1，＋∞)上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離x軸(簡記為“指大圖高”)．
【鞏固遷移】
1．(2023·皖淮聯考)已知a＝2ln 2，b＝3－0.5，c＝2－0.4，則(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
2．(2023·江蘇南京高三二模)冪函數f(x)＝xa(a∈R)滿足：對任意x∈R有f(－x)＝f(x)，且f(－1)考點二　二次函數的解析式
例2已知二次函數f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，則f(x)＝________．
【通性通法】
根據已知條件確定二次函數的解析式，一般用待定系數法，選擇規律如下：
【鞏固遷移】
3．已知二次函數f(x)＝x2－bx＋c滿足f(0)＝3， x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，則f(x)＝________．
考點三　二次函數的圖象與性質(多考向探究)
考向1二次函數的圖象
例3(多選)二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分圖象如圖，圖象過點A(－3，0)，對稱軸為直線x＝－1，則下列四個結論中正確的是(　　)
A．b2＞4ac B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0 D．5a＜b
【通性通法】
1．識別二次函數圖象應學會“三看”
2．解決二次函數圖象問題的基本方法
(1)排除法，抓住函數的特殊性質或特殊點．
(2)討論函數圖象，依據圖象特征，得到參數間的關系．
【鞏固遷移】
4．設abc>0，二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(　　)
考向2二次函數的單調性
例4若函數f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在區間[3，＋∞)和[－2，－1]上均單調遞增，則實數a的取值范圍是(　　)
A. B．[－6，－4]
C．[－3，－2] D．[－4，－3]
【通性通法】
解決二次函數單調性問題的基本方法
(1)二次函數的單調性在其圖象對稱軸的兩側不同，因此研究二次函數的單調性時要依據其圖象的對稱軸進行分類討論．
(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在區間A上單調遞減(單調遞增)，則A ，即區間A一定在函數圖象的對稱軸的左側(右側)．
【鞏固遷移】
5．若函數f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區間[－1，＋∞)上單調遞減，則實數a的取值范圍為(　　)
A．[－3，0) B．(－∞，－3]
C．[－2，0] D．[－3，0]
考向3二次函數的最值
例5已知函數f(x)＝ax2＋2ax＋1在區間[－1，2]上有最大值4，則實數a的值為________．
【通性通法】
求二次函數在閉區間上最值的類型及策略
【鞏固遷移】
6．設關于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的兩個實數根分別是α，β，則α2＋β2＋5的最小值為________．
課時作業
【A組 基礎練習】
一、單項選擇題
1.如圖，①②③④對應四個冪函數的圖象，其中①對應的冪函數可能是(　　)
A．y＝x3 B．y＝x2
C．y＝x D．y＝x
2．已知冪函數y＝f(x)的圖象經過點(3，)，則f(x)(　　)
A．是偶函數，且在(0，＋∞)上是增函數
B．是偶函數，且在(0，＋∞)上是減函數
C．是奇函數，且在(0，＋∞)上是減函數
D．是非奇非偶函數，且在(0，＋∞)上是增函數
3．已知函數f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a>0，c<0，a＋b＋c＝0，則(　　)
A． x∈(0，1)，都有f(x)>0
B． x∈(0，1)，都有f(x)<0
C． x∈(0，1)，使得f(x)＝0
D． x∈(0，1)，使得f(x)>0
4．(2024·甘肅武威十八中一診)若函數f(x)＝ax2＋2x－1在區間(－∞，6)上單調遞增，則實數a的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
5．(2024·江蘇南京高三摸底)已知a＝2，b＝4，c＝25，d＝6，則(　　)
A．bC．c6．設函數f(x)＝x2＋x＋a(a>0)．已知f(m)<0，則(　　)
A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0
7．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，g(x)＝f(f(x))，若g(x)的值域為[2，＋∞)，f(x)的值域為[k，＋∞)，則實數k的最大值為(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
8．已知在(－∞，1]上單調遞減的函數f(x)＝x2－2tx＋1，且對任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，則實數t的取值范圍是(　　)
A．[－，] B．[1，]
C．[2，3] D．[1，2]
二、多項選擇題
9.二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列說法正確的是(　　)
A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0
C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0
10．已知冪函數f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3，對任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都滿足>0，若a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，則下列結論可能成立的是(　　)
A．a＋b>0且ab<0 B．a＋b<0且ab<0
C．a＋b<0且ab>0 D．以上都可能
三、填空題
11．已知函數f(x)為冪函數，且f(4)＝，則當f(a)＝4f(a＋3)時，實數a＝________．
12．已知二次函數f(x)的圖象經過點(4，3)，且圖象被x軸截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，則f(x)的解析式為________．
13．已知定義在R上的奇函數f(x)滿足：當x≥0時，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)＞f(2m＋mt2)對任意實數t恒成立，則實數m的取值范圍是________．
14．(2024·浙江臺州模擬)已知函數f(x)＝(x2－2x－3)(x2＋ax＋b)是偶函數，則f(x)的值域是________．
四、解答題
15．(2024·福建百校高三聯考)已知冪函數f(x)＝(m2＋m－1)xm＋1在(0，＋∞)上是減函數．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若(5－a)>(2a－1)，求實數a的取值范圍．
【B組 素養提升】
16．若函數y＝x2－4x－4的定義域為[0，a)，值域為[－8，－4]，則實數a的取值范圍為________．
17．已知冪函數f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上單調遞增，函數g(x)＝2x－3t，對任意x1∈[1，5)，總存在x2∈[1，5)，使得f(x1)＝g(x2)，則t的取值范圍是________．
18．(2024·福建福州高三模擬)已知二次函數f(x)＝ax2－x＋2a－1.
(1)若f(x)在區間[1，2]上單調遞減，求a的取值范圍；
(2)若a>0，設函數f(x)在區間[1，2]上的最小值為g(a)，求g(a)的表達式．
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第四節　冪函數與二次函數
課標解讀 考向預測
1.通過具體實例，結合函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的圖象，理解它們的變化規律，了解冪函數. 2.掌握二次函數的圖象與性質(單調性、對稱性、頂點、最值等). 以冪函數的圖象與性質的應用為主，常與指數函數、對數函數交匯命題；以二次函數的圖象與性質的應用為主，常與方程、不等式等知識交匯命題，著重考查函數與方程、轉化與化歸及數形結合思想，題型一般為選擇題、填空題，中檔難度．預計2025年高考對于冪函數的考查最多出一道選擇題，以冪函數的圖象和性質應用為主．對于二次函數的考查一般與其他知識綜合，題型一般為選擇題、填空題，中檔難度.
【知識梳理】
1．冪函數
(1)冪函數的定義
一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．
(2)在同一坐標系中的五個冪函數的圖象
(3)冪函數的性質
①冪函數在(0，＋∞)上都有定義；
②當α＞0時，冪函數的圖象都過點(0，0)和(1，1)，且在(0，＋∞)上單調遞增；
③當α＜0時，冪函數的圖象都過點(1，1)，且在(0，＋∞)上單調遞減；
④當α為奇數時，y＝xα為奇函數；當α為偶數時，y＝xα為偶函數．
2．二次函數解析式的三種形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
頂點式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
兩根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
3．二次函數的圖象和性質
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
圖象
定義域 R R
值域
單調性 在上單調遞減；在上單調遞增 在上單調遞增；在上單調遞減
對稱性 函數的圖象關于直線x＝－對稱
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)函數y＝－x是冪函數．(　　)
(2)當α<0時，冪函數y＝xα在定義域內單調遞減．(　　)
(3)若冪函數y＝xα是偶函數，則α為偶數．(　　)
(4)若二次函數y＝ax2＋bx＋c的兩個零點確定，則二次函數的解析式確定．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．小題熱身
(1)已知冪函數f(x)的圖象過點，則f(4)的值是(　　)
A．64 B．4
C. D.
答案　D
(2)(北師大版必修第一冊1.4.2例4改編)若一次函數y＝ax＋b的圖象經過第二、三、四象限，則二次函數y＝ax2＋bx的圖象可能是(　　)
答案　C
解析　因為一次函數y＝ax＋b的圖象經過第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函數y＝ax2＋bx的圖象開口向下，對稱軸為直線x＝－<0，且過原點．故選C.
(3)已知α∈，若冪函數f(x)＝xα為奇函數，且在(0，＋∞)上單調遞增，則α＝________．
答案　1
解析　由y＝xα為奇函數，知α?。?，1，又y＝xα在(0，＋∞)上單調遞增，∴α>0，∴α＝1.
(4)(人教B必修第二冊4.4例1改編)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，則a，b，c的大小關系是________(用“<”連接)．
答案　c解析　由指數函數、冪函數的單調性可知，0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c【考點探究】
考點一　冪函數的圖象與性質
例1(1)若冪函數y＝x－1，y＝xm與y＝xn在第一象限內的圖象如圖所示，則m與n的取值情況為(　　)
A．－1C．－1答案　D
解析　冪函數y＝xα，當α>0時，y＝xα在(0，＋∞)上單調遞增，且0<α<1時，圖象上凸，∴0(2)(2024·江蘇連云港海濱中學高三學情檢測)若冪函數f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是減函數，則實數m＝________．
答案　3
解析　因為冪函數f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是減函數，所以由m2－2m－2＝1，得m＝－1或m＝3.當m＝－1時，－m2＋m＋3＝－1－1＋3＝1>0，所以m＝－1舍去；當m＝3時，－m2＋m＋3＝－9＋3＋3＝－3<0，符合題意．綜上，m＝3.
【通性通法】
(1)冪函數的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數α，因此只需一個條件即可確定其解析式．
(2)對于冪函數的圖象，需記住在第一象限內三條線分第一象限為六個區域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區域．根據α＜0，0＜α＜1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定．
(3)在比較冪值的大小時，可結合冪值的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較．
(4)在區間(0，1)上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區間(1，＋∞)上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離x軸(簡記為“指大圖高”)．
【鞏固遷移】
1．(2023·皖淮聯考)已知a＝2ln 2，b＝3－0.5，c＝2－0.4，則(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
答案　B
解析　因為2ln 2＝ln 4>ln e＝1，3－0.5<3－0.4<2－0.4<1，所以a>c>b.故選B.
2．(2023·江蘇南京高三二模)冪函數f(x)＝xa(a∈R)滿足：對任意x∈R有f(－x)＝f(x)，且f(－1)答案　x (答案不唯一)
解析　取f(x)＝x，則定義域為R，且f(－x)＝(－x)＝x＝f(x)，f(－1)＝1，f(2)＝2＝，滿足f(－1)考點二　二次函數的解析式
例2已知二次函數f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，則f(x)＝________．
答案?。?x2＋4x＋7
解析　解法一(利用“一般式”)：設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由題意得解得∴所求二次函數的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法二(利用“頂點式”)：設f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴函數圖象的對稱軸為直線x＝＝，∴m＝.又函數有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝a＋8.∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法三(利用“兩根式”)：由已知得f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，故可設f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函數有最大值8，即＝8，解得a＝－4.∴所求函數的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
【通性通法】
根據已知條件確定二次函數的解析式，一般用待定系數法，選擇規律如下：
【鞏固遷移】
3．已知二次函數f(x)＝x2－bx＋c滿足f(0)＝3， x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，則f(x)＝________．
答案　x2－2x＋3
解析　由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)，所以函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，所以＝1，即b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3.
考點三　二次函數的圖象與性質(多考向探究)
考向1二次函數的圖象
例3(多選)二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分圖象如圖，圖象過點A(－3，0)，對稱軸為直線x＝－1，則下列四個結論中正確的是(　　)
A．b2＞4ac B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0 D．5a＜b
答案　AD
解析　因為圖象與x軸交于兩點，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正確；對稱軸為直線x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B錯誤；結合圖象，當x＝－1時，y＞0，即a－b＋c＞0，C錯誤；因為2a－b＝0，即b＝2a，根據拋物線開口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正確．故選AD.
【通性通法】
1．識別二次函數圖象應學會“三看”
2．解決二次函數圖象問題的基本方法
(1)排除法，抓住函數的特殊性質或特殊點．
(2)討論函數圖象，依據圖象特征，得到參數間的關系．
【鞏固遷移】
4．設abc>0，二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(　　)
答案　D
解析　因為abc>0，二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c，對于A，a<0，b<0，c<0，不符合題意；對于B，a<0，b>0，c>0，不符合題意；對于C，a>0，b>0，c<0，不符合題意．故選D.
考向2二次函數的單調性
例4若函數f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在區間[3，＋∞)和[－2，－1]上均單調遞增，則實數a的取值范圍是(　　)
A. B．[－6，－4]
C．[－3，－2] D．[－4，－3]
答案　B
解析　∵f(x)為偶函數，∴f(x)在[1，2]上單調遞減，在[3，＋∞)上單調遞增，當x>0時，f(x)＝x2＋ax＋2，圖象的對稱軸為直線x＝－，∴2≤－≤3，解得－6≤a≤－4.故選B.
【通性通法】
解決二次函數單調性問題的基本方法
(1)二次函數的單調性在其圖象對稱軸的兩側不同，因此研究二次函數的單調性時要依據其圖象的對稱軸進行分類討論．
(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在區間A上單調遞減(單調遞增)，則A ，即區間A一定在函數圖象的對稱軸的左側(右側)．
【鞏固遷移】
5．若函數f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區間[－1，＋∞)上單調遞減，則實數a的取值范圍為(　　)
A．[－3，0) B．(－∞，－3]
C．[－2，0] D．[－3，0]
答案　D
解析　當a＝0時，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上單調遞減，滿足題意；當a≠0時，f(x)圖象的對稱軸為直線x＝.由f(x)在[－1，＋∞)上單調遞減，知解得－3≤a＜0.綜上，實數a的取值范圍為[－3，0]．故選D.
考向3二次函數的最值
例5已知函數f(x)＝ax2＋2ax＋1在區間[－1，2]上有最大值4，則實數a的值為________．
答案　或－3
解析　f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.當a＝0時，函數f(x)在區間[－1，2]上的值為常數1，不符合題意，舍去；當a＞0時，函數f(x)在區間[－1，2]上單調遞增，最大值為f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；當a＜0時，函數f(x)在區間[－1，2]上單調遞減，最大值為f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.綜上可知，實數a的值為或－3.
【通性通法】
求二次函數在閉區間上最值的類型及策略
【鞏固遷移】
6．設關于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的兩個實數根分別是α，β，則α2＋β2＋5的最小值為________．
答案　7
解析　由題意得且Δ＝4m2－4(2－m)≥0，解得m≤－2或m≥1，所以α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m2＋2m＋1，令f(m)＝4m2＋2m＋1，而f(m)圖象的對稱軸為直線m＝－，且m≤－2或m≥1，所以f(m)min＝f(1)＝7.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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