資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第六節　對數與對數函數
課標解讀 考向預測
1.理解對數的概念和運算性質，知道用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數. 2.了解對數函數的概念，會畫對數函數的圖象，探索并理解對數函數的單調性與其圖象上的特殊點. 3.知道對數函數y＝logax與指數函數y＝ax互為反函數(a>0，且a≠1). 對數函數中利用性質比較對數值大小，求對數函數的定義域、值域、最值等是近幾年高考考查的熱點，題型多以選擇題、填空題為主，屬于中檔題．預計2025年高考可能會考查對數函數的圖象以及單調性等性質，題型為選擇題或填空題，難度中檔；也可能會以對數或對數函數為載體，結合新定義、初等數論等以創新型題目出現在第19題，難度較大.
【知識梳理】
1．對數的概念
(1)定義：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數．
(2)常用對數和自然對數
①常用對數：以10為底的對數叫做常用對數，并把log10N記為lg__N．
②自然對數：以e為底的對數叫做自然對數，并把logeN記為ln__N．
2．對數的性質
(1)負數和0沒有對數；
(2)loga1＝0；
(3)logaa＝1；
(4)對數恒等式：alogaN＝N；logaab＝b(a>0，且a≠1)．
3．對數的運算性質
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
4．換底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
5．對數函數及其性質
(1)概念：函數y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，定義域是(0，＋∞)．
(2)對數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
定義域 (0，＋∞)
值域 R
性質 當x＝1時，y＝0，即圖象過定點(1，0)
當x>1時，y>0；當01時，y<0；當00
在(0，＋∞)上是增函數 在(0，＋∞)上是減函數
6.反函數
指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)與對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于直線y＝x對稱．它們的定義域和值域正好互換．
【常用結論】
1．對數運算的兩個重要結論
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0)．
2．對數函數的圖象與底數大小的比較
如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數．故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我們可得到以下規律：在第一象限內從左到右底數逐漸增大．
3．對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(1，0)，且過點(a，1)，，函數圖象只在第一、四象限．
4．對于函數f(x)＝|logax|(a>0，且a≠1)，若f(m)＝f(n)(m≠n)，則必有mn＝1.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)
(2)logax·logay＝loga(x＋y)．(　　)
(3)log2x2＝2log2x.(　　)
(4)函數y＝log2x與y＝log的圖象重合．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．小題熱身
(1)(人教A必修第一冊習題4.3 T5改編)設lg 2＝a，lg 3＝b，則log1210＝(　　)
A. B.
C．2a＋b D．2b＋a
答案　A
解析　log1210＝＝＝.
(2)下列函數中，其定義域和值域分別與函數y＝10lg x的定義域和值域相同的是(　　)
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
答案　D
(3)已知實數a＝log32，b＝log2π，c＝log2，則(　　)
A．aC．c答案　A
(4)(人教B必修第二冊4.2.3嘗試與發現(2)改編)已知函數y＝loga(x－3)－1(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點P，則點P的坐標是________．
答案　(4，－1)
【考點探究】
考點一　對數的概念與運算
例1(1)(多選)下列各式化簡運算結果為1的是(　　)
A．log53×log32×log25
B．lg ＋lg 5
C．loga2(a>0，且a≠1)
D．eln 3－0.125
答案　AD
解析　對于A，原式＝××＝1；對于B，原式＝lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝；對于C，原式＝2loga＝2×2＝4；對于D，原式＝3－8＝3－2＝1.故選AD.
(2)已知正實數x，y，z滿足3x＝4y＝(2)z，則(　　)
A.＋＝ B.＋＝
C.＋＝ D.＋＝
答案　C
解析　令3x＝4y＝(2)z＝a，則x＝log3a，y＝log4a，z＝log2a，故＝loga3，＝loga4，＝loga2，故＋＝loga12＝2loga＝.故選C.
【通性通法】
對數運算的一般思路
轉化 利用ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)對題目條件進行轉化
利用換底公式轉化為同底數的對數運算
恒等式 注意loga1＝0，logaaN＝N，alogaN＝N(a>0，且a≠1)的應用
拆分 將真數化為積、商或底數的指數冪形式，正用對數的運算法則化簡
合并 將對數式化為同底數對數的和、差、倍數形式，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪的運算
注意：利用常用對數中的lg 2＋lg 5＝1.
【鞏固遷移】
1．化簡(2log43＋log83)(log32＋log92)的值為(　　)
A．1 B．2
C．4 D．6
答案　B
解析　原式＝＝log23×log32＝2.故選B.
2．(多選)(2024·江蘇連云港灌南高級中學、灌云高級中學高三聯考)若10a＝4，10b＝25，則(　　)
A．a＋b＝2 B．b－a＝1
C．ab>(lg 2)2 D．b－a>lg 6
答案　ACD
解析　由10a＝4，10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，所以a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故A正確；因為b－a＝lg 25－lg 4＝lg lg 2·lg 2＝(lg 2)2，故C正確；因為b－a＝lg 25－lg 4＝lg >lg ＝lg 6，故D正確．故選ACD.
3．(2024·江蘇南通高三教學質量監測)已知樹木樣本中碳 14含量與樹齡之間的函數關系式為k＝k0，其中k0為樹木最初生長時的碳 14含量，n(單位：年)為樹齡，通過測定發現某古樹樣品中碳 14含量為0.6k0，則該古樹的樹齡約為________萬年．(精確到0.01，lg 3≈0.48，lg 5≈0.70)
答案　0.42
解析　由題意，得0.6k0＝k0，即＝，兩邊取對數，得lg ＝lg ，變形，得n＝×5730＝×5730，因為lg 3≈0.48，lg 5≈0.70，所以n≈×5730＝4202，故該古樹的樹齡約為0.42萬年．
考點二　對數函數的圖象及其應用
例2(1)已知函數f(x)＝ax＋b的圖象如圖所示，則函數y＝loga(|x|＋b)的圖象可以是(　　)
答案　D
解析　由函數f(x)＝ax＋b的圖象，可知0(2)設x1，x2，x3均為實數，且e－x1＝ln x1，e－x2＝ln (x2＋1)，e－x3＝lg x3，則(　　)
A．x1C．x2答案　D
解析　畫出函數y＝，y＝ln x，y＝ln (x＋1)，y＝lg x的圖象，如圖所示，數形結合，知x2【通性通法】
(1)在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項．對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數型函數，在求解其單調性(單調區間)、值域(最值)、零點時，常利用數形結合思想．
(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解．
【鞏固遷移】
4．若函數f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函數，又是減函數，則g(x)＝loga|x＋k|的大致圖象是(　　)
答案　B
解析　因為函數f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上是奇函數，所以f(0)＝0，所以k＝2，經檢驗，k＝2滿足題意．又因為f(x)為減函數，所以05．已知函數f(x)＝|log2x|，實數a，b滿足0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值為2，則＋b＝________．
答案　4
解析　∵f(x)＝|log2x|，
∴f(x)的圖象如圖所示，又f(a)＝f(b)且0＜a＜b，∴0＜a＜1，b＞1且ab＝1，∴a2＜a，當a2≤x≤b時，由圖可知，f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2，∴a＝，∴b＝2，∴＋b＝4.
考點三　對數函數的性質及其應用(多考向探究)
考向1比較大小問題
例3(1)若a＝0.50.3，b＝log0.53，c＝log0.30.2，則(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>a>b
答案　D
解析　因為0log0.30.3＝1，所以c>a>b.故選D.
(2)若a＝log23＋log32，b＝2，c＝＋log3π，則(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．c>b>a D．b>c>a
答案　B
解析　因為a＝log23＋log32>2＝2，所以a>b.因為f(x)＝log2x，g(x)＝log3x單調遞增，所以c＝log2π＋log3π>log23＋log32，所以c>a.綜上，c＞a＞b.故選B.
【通性通法】
對數值比較大小的四種常見類型
(1)底數為同一常數，可由對數函數的單調性直接進行判斷．
(2)底數為同一字母，需對底數進行分類討論．
(3)底數不同，真數相同，可以先用換底公式化為同底后，再進行比較．
(4)底數與真數都不同，常借助1，0等中間量進行比較．
【鞏固遷移】
6．(多選)(2024·河北尚義高三聯考)已知a＝log827，b＝log916，c＝log48，則(　　)
A．ac
C．b答案　BCD
解析　因為a＝log827＝log2333＝log23，b＝log916＝log34，c＝log48＝，所以＝＝·＝＝·＝·>1，又a，b均大于0，所以a>b，故A錯誤，D正確；因為a＝log23>log22＝＝c，所以a>c，故B正確；因為16<33，即4<3，所以b＝log916＝log34考向2解簡單的對數不等式
例4 (1)已知函數f(x)＝log2x－x＋1，則不等式f(x)<0的解集是(　　)
A．(1，2)
B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(0，2)
D．(0，1)∪(2，＋∞)
答案　D
解析　依題意，f(x)<0等價于log2x(2)不等式log(＋1)－log (－1)<－的解集是________．
答案　(1，17＋12)
解析　因為log(＋1)－log(－1)<－可化為log<－ > 1<<3＋2，所以x∈(1，17＋12)，即原不等式的解集為(1，17＋12)．
【通性通法】
與對數函數有關的不等式的求解策略
【鞏固遷移】
7．已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，當x≤0時，f(x)單調遞減，則不等式f(log (2x－5))＞f(log38)的解集為________．
答案　∪
解析　因為函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在(－∞，0]上單調遞減，所以可將f(log(2x－5))＞f(log38)化為|log(2x－5)|＞|log38|，即log3(2x－5)＞log38或log3(2x－5)＜－log38＝log3，即2x－5＞8或0＜2x－5＜，解得x＞或＜x＜.
考向3與對數函數有關的復合函數問題
例5(多選)(2024·廣東部分地市高三模擬)已知函數f(x)＝ln (x2＋x＋m)(m∈R)，則(　　)
A．當m>時，f(x)的定義域為R
B．f(x)一定存在最小值
C．f(x)的圖象關于直線x＝－對稱
D．當m≥1時，f(x)的值域為R
答案　AC
解析　對于A，若m>，則Δ＝1－4m<0，則二次函數y＝x2＋x＋m的圖象恒在x軸的上方，即x2＋x＋m>0恒成立，所以f(x)的定義域為R，故A正確；對于B，若m＝0，則f(x)＝ln (x2＋x)的定義域為(－∞，－1)∪(0，＋∞)，值域為R，沒有最小值，故B錯誤；對于C，由于函數y＝ln 為偶函數，其圖象關于y軸對稱，將該函數的圖象向左平移個單位長度即可得到函數f(x)＝ln ＝ln (x2＋x＋m)的圖象，所以f(x)圖象的對稱軸為直線x＝－，故C正確；對于D，若m≥1，則y＝x2＋x＋m＝＋m－≥，故f(x)的值域不是R，故D錯誤．故選AC.
【通性通法】
解決對數函數綜合問題的策略
(1)始終牢記“對數的真數大于0”這一基本要求，這是解決對數問題的出發點．
(2)善于運用對數的運算性質將對數式進行合理地化簡與變形，這是研究性質的重要途徑．
(3)注意等價轉化思想方法的合理運用，這是解決對數綜合問題的關鍵．
【鞏固遷移】
8．已知函數f(x)＝lg (x2－4x－5)在(a，＋∞)上單調遞增，則a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，2]
C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)
答案　D
解析　由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函數f(x)的定義域為(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函數y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上單調遞增，在(－∞，－1)上單調遞減，所以函數f(x)＝lg (x2－4x－5)在(5，＋∞)上單調遞增，所以a≥5.故選D.
9．已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，設函數g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)，則g(x)max－g(x)min＝________．
答案　5
解析　由題意得∴1≤x≤3，∴g(x)的定義域為[1，3]，g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2＝(log3x)2＋4log3x＋2，設t＝log3x，則0≤t≤1，則y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2在[0，1]上單調遞增，∴當t＝0，即x＝1時，g(x)min＝2，當t＝1，即x＝3時，g(x)max＝7，∴g(x)max－g(x)min＝5.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第六節　對數與對數函數
課標解讀 考向預測
1.理解對數的概念和運算性質，知道用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數. 2.了解對數函數的概念，會畫對數函數的圖象，探索并理解對數函數的單調性與其圖象上的特殊點. 3.知道對數函數y＝logax與指數函數y＝ax互為反函數(a>0，且a≠1). 對數函數中利用性質比較對數值大小，求對數函數的定義域、值域、最值等是近幾年高考考查的熱點，題型多以選擇題、填空題為主，屬于中檔題．預計2025年高考可能會考查對數函數的圖象以及單調性等性質，題型為選擇題或填空題，難度中檔；也可能會以對數或對數函數為載體，結合新定義、初等數論等以創新型題目出現在第19題，難度較大.
【知識梳理】
1．對數的概念
(1)定義：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數．
(2)常用對數和自然對數
①常用對數：以10為底的對數叫做常用對數，并把log10N記為lg__N．
②自然對數：以e為底的對數叫做自然對數，并把logeN記為ln__N．
2．對數的性質
(1)負數和0沒有對數；
(2)loga1＝0；
(3)logaa＝1；
(4)對數恒等式：alogaN＝N；logaab＝b(a>0，且a≠1)．
3．對數的運算性質
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
4．換底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
5．對數函數及其性質
(1)概念：函數y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，定義域是(0，＋∞)．
(2)對數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
定義域 (0，＋∞)
值域 R
性質 當x＝1時，y＝0，即圖象過定點(1，0)
當x>1時，y>0；當01時，y<0；當00
在(0，＋∞)上是增函數 在(0，＋∞)上是減函數
6.反函數
指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)與對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于直線y＝x對稱．它們的定義域和值域正好互換．
【常用結論】
1．對數運算的兩個重要結論
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0)．
2．對數函數的圖象與底數大小的比較
如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數．故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我們可得到以下規律：在第一象限內從左到右底數逐漸增大．
3．對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(1，0)，且過點(a，1)，，函數圖象只在第一、四象限．
4．對于函數f(x)＝|logax|(a>0，且a≠1)，若f(m)＝f(n)(m≠n)，則必有mn＝1.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)
(2)logax·logay＝loga(x＋y)．(　　)
(3)log2x2＝2log2x.(　　)
(4)函數y＝log2x與y＝log的圖象重合．(　　)
2．小題熱身
(1)(人教A必修第一冊習題4.3 T5改編)設lg 2＝a，lg 3＝b，則log1210＝(　　)
A. B.
C．2a＋b D．2b＋a
(2)下列函數中，其定義域和值域分別與函數y＝10lg x的定義域和值域相同的是(　　)
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
(3)已知實數a＝log32，b＝log2π，c＝log2，則(　　)
A．aC．c(4)(人教B必修第二冊4.2.3嘗試與發現(2)改編)已知函數y＝loga(x－3)－1(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點P，則點P的坐標是________．
【考點探究】
考點一　對數的概念與運算
例1(1)(多選)下列各式化簡運算結果為1的是(　　)
A．log53×log32×log25
B．lg ＋lg 5
C．loga2(a>0，且a≠1)
D．eln 3－0.125
(2)已知正實數x，y，z滿足3x＝4y＝(2)z，則(　　)
A.＋＝ B.＋＝
C.＋＝ D.＋＝
【通性通法】
對數運算的一般思路
轉化 利用ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)對題目條件進行轉化
利用換底公式轉化為同底數的對數運算
恒等式 注意loga1＝0，logaaN＝N，alogaN＝N(a>0，且a≠1)的應用
拆分 將真數化為積、商或底數的指數冪形式，正用對數的運算法則化簡
合并 將對數式化為同底數對數的和、差、倍數形式，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪的運算
注意：利用常用對數中的lg 2＋lg 5＝1.
【鞏固遷移】
1．化簡(2log43＋log83)(log32＋log92)的值為(　　)
A．1 B．2
C．4 D．6
2．(多選)(2024·江蘇連云港灌南高級中學、灌云高級中學高三聯考)若10a＝4，10b＝25，則(　　)
A．a＋b＝2 B．b－a＝1
C．ab>(lg 2)2 D．b－a>lg 6
3．(2024·江蘇南通高三教學質量監測)已知樹木樣本中碳 14含量與樹齡之間的函數關系式為k＝k0，其中k0為樹木最初生長時的碳 14含量，n(單位：年)為樹齡，通過測定發現某古樹樣品中碳 14含量為0.6k0，則該古樹的樹齡約為________萬年．(精確到0.01，lg 3≈0.48，lg 5≈0.70)
考點二　對數函數的圖象及其應用
例2(1)已知函數f(x)＝ax＋b的圖象如圖所示，則函數y＝loga(|x|＋b)的圖象可以是(　　)
(2)設x1，x2，x3均為實數，且e－x1＝ln x1，e－x2＝ln (x2＋1)，e－x3＝lg x3，則(　　)
A．x1C．x2【通性通法】
(1)在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項．對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數型函數，在求解其單調性(單調區間)、值域(最值)、零點時，常利用數形結合思想．
(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解．
【鞏固遷移】
4．若函數f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函數，又是減函數，則g(x)＝loga|x＋k|的大致圖象是(　　)
5．已知函數f(x)＝|log2x|，實數a，b滿足0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值為2，則＋b＝________．
考點三　對數函數的性質及其應用(多考向探究)
考向1比較大小問題
例3(1)若a＝0.50.3，b＝log0.53，c＝log0.30.2，則(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>a>b
(2)若a＝log23＋log32，b＝2，c＝＋log3π，則(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．c>b>a D．b>c>a
【通性通法】
對數值比較大小的四種常見類型
(1)底數為同一常數，可由對數函數的單調性直接進行判斷．
(2)底數為同一字母，需對底數進行分類討論．
(3)底數不同，真數相同，可以先用換底公式化為同底后，再進行比較．
(4)底數與真數都不同，常借助1，0等中間量進行比較．
【鞏固遷移】
6．(多選)(2024·河北尚義高三聯考)已知a＝log827，b＝log916，c＝log48，則(　　)
A．ac
C．b考向2解簡單的對數不等式
例4 (1)已知函數f(x)＝log2x－x＋1，則不等式f(x)<0的解集是(　　)
A．(1，2)
B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(0，2)
D．(0，1)∪(2，＋∞)
(2)不等式log(＋1)－log (－1)<－的解集是________．
【通性通法】
與對數函數有關的不等式的求解策略
【鞏固遷移】
7．已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，當x≤0時，f(x)單調遞減，則不等式f(log (2x－5))＞f(log38)的解集為________．
考向3與對數函數有關的復合函數問題
例5(多選)(2024·廣東部分地市高三模擬)已知函數f(x)＝ln (x2＋x＋m)(m∈R)，則(　　)
A．當m>時，f(x)的定義域為R
B．f(x)一定存在最小值
C．f(x)的圖象關于直線x＝－對稱
D．當m≥1時，f(x)的值域為R
【通性通法】
解決對數函數綜合問題的策略
(1)始終牢記“對數的真數大于0”這一基本要求，這是解決對數問題的出發點．
(2)善于運用對數的運算性質將對數式進行合理地化簡與變形，這是研究性質的重要途徑．
(3)注意等價轉化思想方法的合理運用，這是解決對數綜合問題的關鍵．
【鞏固遷移】
8．已知函數f(x)＝lg (x2－4x－5)在(a，＋∞)上單調遞增，則a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，2]
C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)
9．已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，設函數g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)，則g(x)max－g(x)min＝________．
課時作業
【A組 基礎練習】
一、單項選擇題
1．lg 4＋2lg 5＋log28＋8＝(　　)
A．8 B．9
C．10 D．1
2．函數f(x)＝的部分圖象大致是(　　)
3．(2023·廣東三校高三聯考(二))若函數f(x)＝x3ln (－x)為偶函數，則a＝(　　)
A. B.
C．1 D．2
4．若f(x)＝lg (x2－2ax＋1＋a)在區間(－∞，1]上單調遞減，則a的取值范圍為(　　)
A．[1，2) B．[1，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
5．(2024·湖南名校高三模擬)已知a＝log32，b＝log53，c＝log85，則下列結論正確的是(　　)
A．aC．a6．若函數f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)在區間內恒有f(x)＞0，則f(x)的單調遞增區間為(　　)
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D.
7．函數f(x)的定義域為D，若滿足如下兩個條件：①f(x)在D內是單調函數；②存在 D，使得f(x)在上的值域為[m，n]，那么就稱函數f(x)為“希望函數”．若函數f(x)＝loga(ax＋t)(a>0，且a≠1)是“希望函數”，則t的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
8．當x∈(1，2)時，不等式(x－1)2＜logax恒成立，則a的取值范圍是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(1，2] D.
二、多項選擇題
9．在同一直角坐標系中，函數y＝ax與y＝loga(x－2)的圖象可能是(　　)
10．已知函數f(x)＝ln (e2x＋1)－x，則(　　)
A．f(ln 2)＝ln
B．f(x)是奇函數
C．f(x)在(0，＋∞)上單調遞增
D．f(x)的最小值為ln 2
三、填空題
11．(2024·江蘇名校高三聯考)寫出一個同時滿足下列性質①②的函數為f(x)＝________．
①f(xy)＝f(x)＋f(y)；②f(x)在定義域上單調遞增．
12．若函數y＝f(x)與y＝5x互為反函數，則y＝f(x2－2x)的單調遞減區間是________．
13．已知f(x)＝ln (x2＋2x＋m)．若f(x)的值域為R，則實數m的取值范圍是________．
14．(2024·湖北黃岡中學高三模擬)設x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，3a＋b＝18，則＋的最大值為________．
四、解答題
15．(2024·山東濰坊高三模擬)定義在(－1，1)上的函數f(x)和g(x)，滿足f(x)＋g(－x)＝0，且g(x)＝loga，其中a>1.
(1)若f＝2，求f(x)的解析式；
(2)若不等式f(x)>1的解集為，求m－a的值．
解　(1)由題意知，
f(x)＝－g(－x)＝loga，
又f＝2，所以loga4＝2，即a＝2.
所以函數f(x)的解析式為f(x)＝log2(－1(2)由f(x)>1，得>a，
由題意知1－x>0，所以1－所以即
所以m－a＝－.
16．(2024·山東聊城高三期中)已知函數f(x)＝loga(2－ax)．
(1)當x∈[0，1]時，函數f(x)恒有意義，求實數a的取值范圍；
(2)是否存在這樣的實數a，使得函數f(x)在區間[1，2]上為增函數，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由．
解　(1)因為a>0且a≠1，設t(x)＝2－ax，
則t(x)＝2－ax為減函數，當x∈[0，1]時，t(x)的最小值為2－a，
當x∈[0，1]時，f(x)恒有意義，
即當x∈[0，1]時，2－ax>0恒成立，
所以2－a>0，所以a<2.
又a>0且a≠1，所以實數a的取值范圍為(0，1)∪(1，2)．
(2)t(x)＝2－ax，因為a>0，所以函數t(x)為減函數．
因為f(x)在區間[1，2]上為增函數，
所以y＝logat為減函數，
所以0當x∈[1，2]時，f(x)的最大值為
f(2)＝loga(2－2a)＝1，
所以即a＝.
故存在a＝，使得函數f(x)在區間[1，2]上為增函數，并且最大值為1.
【B組 素養提升】
17．(多選)已知正實數x，y滿足log2x＋logy<－，則(　　)
A.< B．x3C．ln (y－x＋1)>0 D．2x－y<
18．(多選)(2024·福建莆田第二中學高三模擬)下列關系式中正確的是(　　)
A．log23>log34 B．2022lg 2023＝2023lg 2022
C．2lg 2＋2lg 5<2 D．ln 3＋>2ln 2＋
19．(2024·廣東四校高三聯考)已知函數f(x)＝lg (ax－3)的圖象經過定點(2，0)，若k為正整數，那么使得不等式2f(x)>lg (kx2)在區間[3，4]上有解的k的最大值是________．
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