資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第八節　函數與方程
課標解讀 考向預測
1.理解函數的零點與方程解的聯系，掌握函數的零點、方程的根、圖象交點(橫坐標)三者之間的靈活轉化. 2.理解函數零點存在定理，并能簡單應用. 3.會用二分法求方程的近似解. 從近三年高考情況來看，函數零點(方程的根)個數的判斷、由零點存在定理判斷零點(方程的根)是否存在、利用函數零點(方程的根)確定參數的取值范圍等是考查的熱點．本節內容也可與導數結合考查，難度較大．預計2025年高考函數與方程仍會出題，可能以選擇題或填空題考查三種形式的靈活轉化，也可能與導數結合考查，難度較大.
【知識梳理】
1．函數的零點
對于函數y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點．
2．方程的根與函數零點的關系
方程f(x)＝0有實數解 函數y＝f(x)有零點 函數y＝f(x)的圖象與x軸有公共點．
3．函數零點存在定理
如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數y＝f(x)在區間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，c也就是方程f(x)＝0的解．
4．二分法
對于在區間[a，b]上連續不斷且f(a)f(b)<0的函數y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函數y＝f(x)零點的近似值．
【常用結論】
函數零點的相關技巧：
(1)若連續函數f(x)在定義域上是單調函數，則f(x)至多有一個零點．
(2)連續不斷的函數f(x)，其相鄰的兩個零點之間的所有函數值同號．
(3)連續不斷的函數f(x)通過零點時，函數值不一定變號．
(4)連續不斷的函數f(x)在閉區間[a，b]上有零點，不一定能推出f(a)f(b)<0.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)函數的零點就是函數的圖象與x軸的交點．(　　)
(2)連續函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，則f(a)f(b)<0.(　　)
(3)函數y＝f(x)為R上的單調函數，則f(x)有且僅有一個零點．(　　)
(4)二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，則f(x)無零點．(　　)
2．小題熱身
(1)(人教A必修第一冊4.5.1例1改編)已知函數f(x)＝＋a的零點為1，則實數a的值為(　　)
A．－2 B．－
C. D．2
(2)下列函數圖象與x軸都有公共點，其中不能用二分法求圖中函數零點近似值的是(　　)
(3)(人教A必修第一冊習題4.5 T2改編)已知函數y＝f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，部分對應關系如表所示，則該函數的零點個數至少為(　　)
x 1 2 3 4 5 6
y 126.1 15.15 －3.92 16.78 －45.6 －232.64
A.2 B．3
C．4 D．5
(4)若函數f(x)＝kx＋1在[1，2]上有零點，則實數k的取值范圍是________．
【考點探究】
考點一　函數零點所在區間的判斷
例1 (1)(2024·湖南長沙長郡中學高三月考)函數f(x)＝5－2x－lg (2x＋1)的零點所在的區間是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
(2)用二分法求函數f(x)＝3x－x－4的一個零點，其參考數據如下：
f(1.6000)≈0.200 f(1.5875)≈0.133 f(1.5750)≈0.067
f(1.5625)≈0.003 f(1.5562)≈－0.029 f(1.5500)≈－0.060
據此數據，可得方程3x－x－4＝0的一個近似解為________(精確度為0.01)．
【通性通法】
確定函數零點所在區間的常用方法
(1)利用函數零點存在定理：首先看函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，則函數y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點．
(2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷．
【鞏固遷移】
1．(2023·廣東梅州高三二模)用二分法求方程log4x－＝0的近似解時，所取的第一個區間可以是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
2．已知2考點二　函數零點個數的判斷
例2 (1)已知函數f(x)＝則函數y＝f(x)零點的個數為________．
(2)方程ln x＋cosx＝在(0，1)上的實數根的個數為________．
解法二：令f(x)＝ln x＋cosx－，則f′(x)＝－sinx，顯然在(0，1)上f′(x)>0，所以函數f(x)在(0，1)上單調遞增，又f＝ln ＋cos－＝－1－＋cos<0，f(1)＝ln 1＋cos1－＝0＋cos1－>cos－＝－>0，所以在(0，1)上函數f(x)的圖象和x軸有且只有一個交點，即方程ln x＋cosx＝在(0，1)上的實數根的個數為1.
【通性通法】
求解函數零點個數的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個解，則f(x)有多少個零點．
(2)構造函數法：判斷函數的性質，并結合零點存在定理判斷．
(3)圖象法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后觀察求解，此時需要根據零點個數合理尋找“臨界”情況，特別注意邊界值的取舍．
【鞏固遷移】
3．(2024·江蘇無錫模擬)函數f(x)＝的零點的個數為________．
4．函數f(x)＝－|log2x|的零點有________個．
考點三　函數零點的應用(多考向探究)
考向1利用零點比較大小
例3已知函數f(x)＝3x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零點分別為a，b，c，則a，b，c的大小順序為(　　)
A．aC．b【通性通法】
(1)直接利用方程研究零點．
(2)利用圖象交點研究零點．
(3)利用零點存在定理研究零點．
【鞏固遷移】
5．(2023·江西南昌模擬預測)已知函數f(x)＝2x＋x－4，g(x)＝ex＋x－4，h(x)＝ln x＋x－4的零點分別是a，b，c，則a，b，c的大小順序是(　　)
A．aC．b考向2根據零點個數求參數
例4 (2023·山東濟南高三三模)已知函數f(x)＝若函數g(x)＝f(x)－b有四個不同的零點，則實數b的取值范圍為(　　)
A．(0，1] B．[0，1]
C．(0，1) D．(1，＋∞)
【通性通法】
根據零點個數求參數的方法
(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式(組)，再通過解不等式(組)確定參數范圍．
(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決．
(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解．一是轉化為兩個函數y＝g(x)，y＝h(x)的圖象的交點個數問題，畫出兩個函數的圖象，其交點的個數就是函數零點的個數，二是轉化為y＝a，y＝g(x)的圖象的交點個數問題．
【鞏固遷移】
6．(2024·安徽蚌埠高三摸底)已知函數f(x)＝2|x|＋x2＋a有唯一的零點，則實數a的值為(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．－2
7．設a∈R，對任意實數x，記f(x)＝min{|x|－2，x2－ax＋3a－5}．若f(x)至少有3個零點，則實數a的取值范圍為________．
考向3根據零點范圍求參數
例5已知函數f(x)＝log2(x＋1)－＋m在區間(1，3]上有零點，則實數m的取值范圍為________．
【通性通法】
根據零點范圍求參數的方法
(1)利用零點存在定理構建不等式(組)求解．
(2)分離參數后轉化為函數的值域(最值)問題求解．
(3)轉化為兩個熟悉的函數圖象的上下關系問題，從而構建不等式(組)求解．
【鞏固遷移】
8．(2024·湖北荊州中學高三月考)已知f(x)是定義在R上且周期為3的函數，當x∈[0，3)時，f(x)＝，若函數y＝f(x)－a
在區間[－3，4]上有10個零點(互不相同)，則實數a的取值范圍是________．
課時作業
【A組 基礎練習】
一、單項選擇題
1．(2024·江蘇揚中第二高級中學高三期初檢測)函數f(x)＝2x＋3x的零點所在的一個區間是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
2．已知函數f(x)＝則函數f(x)的零點為(　　)
A．2 B．－2，0
C. D．0
3．函數f(x)＝ex|ln x|－1的零點個數是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．(2023·河南扶溝期末)若關于x的方程logx＝在區間上有解，則實數m的取值范圍是(　　)
A.
B.
C.∪
D.∪(1，＋∞)
5．已知三個函數f(x)＝2x－1＋x－1，g(x)＝ex－1－1，h(x)＝log2(x－1)＋x－1的零點依次為a，b，c，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
6．若方程mx－x－m＝0(m>0，且m≠1)有兩個不同的實數根，則實數m的取值范圍是(　　)
A．(0，1) B．(2，＋∞)
C．(0，1)∪(2，＋∞) D．(1，＋∞)
7．已知函數f(x)＝若函數g(x)＝f(x)＋x－m恰有兩個不同的零點，則實數m的取值范圍是(　　)
A．[0，1] B．(－1，1)
C．[0，1) D．(－∞，1]
8．已知函數f(x)＝若a，b，c均不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是(　　)
A．(1，10) B．(5，6)
C．(10，12) D．(20，24)
二、多項選擇題
9．下列說法正確的是(　　)
A．函數y＝x2－3x－4的零點是(4，0)，(－1，0)
B．方程ex＝3＋x有兩個解
C．函數y＝3x，y＝log3x的圖象關于直線y＝x對稱
D．用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)內的近似解的過程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根落在區間(1.25，1.5)上
10．若關于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有實數根x1，x2，且x1A．當m＝0時，x1＝2，x2＝3
B．m>－
C．當m>0時，2D．二次函數y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零點為2和3
11．已知函數f(x)＝函數g(x)＝f(x)－a，則下列結論正確的是(　　)
A．若g(x)有3個不同的零點，則a的取值范圍是[1，2)
B．若g(x)有4個不同的零點，則a的取值范圍是(0，1)
C．若g(x)有4個不同的零點x1，x2，x3，x4(x1D．若g(x)有4個不同的零點x1，x2，x3，x4(x1三、填空題
12．已知函數f(x)＝log2(x－1)＋a在區間(2，3)上有且僅有一個零點，則實數a的取值范圍為________．
13．已知函數f(x)＝若函數y＝f(x)－kx－1有m個零點，函數y＝f(x)－x－1有n個零點，且m＋n＝7，則非零實數k的取值范圍是________．
14．(2024·河北衡水中學高三月考)已知函數f(x)＝與g(x)＝1－sinπx，則函數F(x)＝f(x)－g(x)在區間[－2，6]內所有零點的和為________．
【B組 素養提升】
15．已知函數f(x)＝則方程f(f(x))＋3＝0的解的個數為(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
16．(多選)(2024·湖北荊州模擬)已知函數f(x)＝若方程f(x)＝m有四個不等的實根x1，x2，x3，x4，且x1A．0C．x3x4∈(48，55) D．x1x3∈(1，5)
17．已知定義在R上的奇函數y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，當－1≤x<0時，f(x)＝x2，則方程f(x)＋＝0在[－2，6]內的所有根之和為________．
18．(2024·山東泰安高三期末)已知函數f(x)＝若x121世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第八節　函數與方程
課標解讀 考向預測
1.理解函數的零點與方程解的聯系，掌握函數的零點、方程的根、圖象交點(橫坐標)三者之間的靈活轉化. 2.理解函數零點存在定理，并能簡單應用. 3.會用二分法求方程的近似解. 從近三年高考情況來看，函數零點(方程的根)個數的判斷、由零點存在定理判斷零點(方程的根)是否存在、利用函數零點(方程的根)確定參數的取值范圍等是考查的熱點．本節內容也可與導數結合考查，難度較大．預計2025年高考函數與方程仍會出題，可能以選擇題或填空題考查三種形式的靈活轉化，也可能與導數結合考查，難度較大.
【知識梳理】
1．函數的零點
對于函數y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點．
2．方程的根與函數零點的關系
方程f(x)＝0有實數解 函數y＝f(x)有零點 函數y＝f(x)的圖象與x軸有公共點．
3．函數零點存在定理
如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數y＝f(x)在區間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，c也就是方程f(x)＝0的解．
4．二分法
對于在區間[a，b]上連續不斷且f(a)f(b)<0的函數y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函數y＝f(x)零點的近似值．
【常用結論】
函數零點的相關技巧：
(1)若連續函數f(x)在定義域上是單調函數，則f(x)至多有一個零點．
(2)連續不斷的函數f(x)，其相鄰的兩個零點之間的所有函數值同號．
(3)連續不斷的函數f(x)通過零點時，函數值不一定變號．
(4)連續不斷的函數f(x)在閉區間[a，b]上有零點，不一定能推出f(a)f(b)<0.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)函數的零點就是函數的圖象與x軸的交點．(　　)
(2)連續函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，則f(a)f(b)<0.(　　)
(3)函數y＝f(x)為R上的單調函數，則f(x)有且僅有一個零點．(　　)
(4)二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，則f(x)無零點．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．小題熱身
(1)(人教A必修第一冊4.5.1例1改編)已知函數f(x)＝＋a的零點為1，則實數a的值為(　　)
A．－2 B．－
C. D．2
答案　B
(2)下列函數圖象與x軸都有公共點，其中不能用二分法求圖中函數零點近似值的是(　　)
答案　A
解析　根據題意，利用二分法求函數零點的條件是函數在零點的左、右兩側的函數值符號相反，即圖象穿過x軸，據此分析，知選項A中的函數不能用二分法求零點．故選A.
(3)(人教A必修第一冊習題4.5 T2改編)已知函數y＝f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，部分對應關系如表所示，則該函數的零點個數至少為(　　)
x 1 2 3 4 5 6
y 126.1 15.15 －3.92 16.78 －45.6 －232.64
A.2 B．3
C．4 D．5
答案　B
解析　由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函數f(x)在區間[1，6]上至少有3個零點．故選B.
(4)若函數f(x)＝kx＋1在[1，2]上有零點，則實數k的取值范圍是________．
答案　
【考點探究】
考點一　函數零點所在區間的判斷
例1 (1)(2024·湖南長沙長郡中學高三月考)函數f(x)＝5－2x－lg (2x＋1)的零點所在的區間是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
答案　C
解析　因為函數f(x)＝5－2x－lg (2x＋1)在上單調遞減，所以函數f(x)最多只有一個零點，因為f(0)f(1)＝5(3－lg 3)>0，f(1)f(2)＝(3－lg 3)(1－lg 5)>0，f(2)f(3)＝(1－lg 5)(－1－lg 7)<0，f(3)f(4)＝(－1－lg 7)×(－3－lg 9)>0，所以函數f(x)＝5－2x－lg (2x＋1)的零點所在的區間是(2，3)．故選C.
(2)用二分法求函數f(x)＝3x－x－4的一個零點，其參考數據如下：
f(1.6000)≈0.200 f(1.5875)≈0.133 f(1.5750)≈0.067
f(1.5625)≈0.003 f(1.5562)≈－0.029 f(1.5500)≈－0.060
據此數據，可得方程3x－x－4＝0的一個近似解為________(精確度為0.01)．
答案　1.56(答案不唯一，在[1.5562，1.5625]上即可)
解析　注意到f(1.5562)≈－0.029和f(1.5625)≈0.003，顯然f(1.5562)f(1.5625)＜0，又|1.5562－1.5625|＝0.0063<0.01，所以近似解可取1.56.
【通性通法】
確定函數零點所在區間的常用方法
(1)利用函數零點存在定理：首先看函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，則函數y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點．
(2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷．
【鞏固遷移】
1．(2023·廣東梅州高三二模)用二分法求方程log4x－＝0的近似解時，所取的第一個區間可以是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
答案　B
解析　令f(x)＝log4x－，因為函數y＝log4x，y＝－在(0，＋∞)上都是增函數，所以函數f(x)＝log4x－在(0，＋∞)上是增函數，f(1)＝－<0，f(2)＝log42－＝－＝>0，所以函數f(x)＝log4x－在區間(1，2)上有唯一零點，所以用二分法求方程log4x－＝0的近似解時，所取的第一個區間可以是(1，2)．故選B.
2．已知2答案　2
解析　依題意，x0為方程logax＝－x＋b的解，即為函數f(x)＝logax＋x－b的零點，∵20，∴x0∈(2，3)，即n＝2.
考點二　函數零點個數的判斷
例2 (1)已知函數f(x)＝則函數y＝f(x)零點的個數為________．
答案　2
解析　當x≤1時，由f(x)＝x2－4＝0，可得x＝2(舍去)或x＝－2；當x>1時，由f(x)＝log2(x－1)＝0，可得x＝2.綜上所述，函數y＝f(x)零點的個數為2.
(2)方程ln x＋cosx＝在(0，1)上的實數根的個數為________．
答案　1
解析　解法一：ln x＋cosx＝，即cosx－＝－ln x，在同一平面直角坐標系中，分別作出函數y＝cosx－和y＝－ln x的大致圖象，如圖所示，在(0，1)上兩函數的圖象只有一個交點，即方程ln x＋cosx＝在(0，1)上的實數根的個數為1.
解法二：令f(x)＝ln x＋cosx－，則f′(x)＝－sinx，顯然在(0，1)上f′(x)>0，所以函數f(x)在(0，1)上單調遞增，又f＝ln ＋cos－＝－1－＋cos<0，f(1)＝ln 1＋cos1－＝0＋cos1－>cos－＝－>0，所以在(0，1)上函數f(x)的圖象和x軸有且只有一個交點，即方程ln x＋cosx＝在(0，1)上的實數根的個數為1.
【通性通法】
求解函數零點個數的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個解，則f(x)有多少個零點．
(2)構造函數法：判斷函數的性質，并結合零點存在定理判斷．
(3)圖象法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后觀察求解，此時需要根據零點個數合理尋找“臨界”情況，特別注意邊界值的取舍．
【鞏固遷移】
3．(2024·江蘇無錫模擬)函數f(x)＝的零點的個數為________．
答案　2
解析　當x≤0時，f(x)＝x2－2，根據二次函數的性質可知，此時f(x)單調遞減，零點為x＝－；當x>0時，f(x)＝2x－6＋lg x，∵y＝2x－6單調遞增，y＝lg x單調遞增，∴f(x)＝2x－6＋lg x單調遞增．f(1)＝－4<0，f(3)＝lg 3>0，由零點存在定理知，在區間(1，3)必有唯一零點．綜上所述，函數f(x)的零點的個數為2.
4．函數f(x)＝－|log2x|的零點有________個．
答案　2
解析　f(x)＝－|log2x|的零點的個數即＝|log2x|的根的個數，即為y＝與y＝|log2x|圖象交點的個數，畫出大致圖象如圖所示，則由圖象可知交點有2個，即函數f(x)的零點有2個．
考點三　函數零點的應用(多考向探究)
考向1利用零點比較大小
例3已知函數f(x)＝3x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零點分別為a，b，c，則a，b，c的大小順序為(　　)
A．aC．b答案　A
解析　解法一：因為函數y＝3x，y＝x均為R上的增函數，故函數f(x)＝3x＋x為R上的增函數，因為f(－1)＝－1<0，f(0)＝1>0，所以－10，所以解法二：由題設，3a＝－a，log2b＝－b，c3＝－c，所以問題可轉化為直線y＝－x與y＝3x，y＝log2x，y＝x3的圖象的交點問題，函數圖象如圖所示，由圖可知a【通性通法】
(1)直接利用方程研究零點．
(2)利用圖象交點研究零點．
(3)利用零點存在定理研究零點．
【鞏固遷移】
5．(2023·江西南昌模擬預測)已知函數f(x)＝2x＋x－4，g(x)＝ex＋x－4，h(x)＝ln x＋x－4的零點分別是a，b，c，則a，b，c的大小順序是(　　)
A．aC．b答案　C
解析　由已知條件得f(x)的零點可以看成y＝2x的圖象與直線y＝4－x的交點的橫坐標，g(x)的零點可以看成y＝ex的圖象與直線y＝4－x的交點的橫坐標，h(x)的零點可以看成y＝ln x的圖象與直線y＝4－x的交點的橫坐標，在同一坐標系內分別畫出函數y＝2x，y＝ex，y＝ln x，y＝4－x的圖象，如圖所示，由圖可知b考向2根據零點個數求參數
例4 (2023·山東濟南高三三模)已知函數f(x)＝若函數g(x)＝f(x)－b有四個不同的零點，則實數b的取值范圍為(　　)
A．(0，1] B．[0，1]
C．(0，1) D．(1，＋∞)
答案　A
解析　依題意，函數g(x)＝f(x)－b有四個不同的零點，即f(x)＝b有四個解，轉化為函數y＝f(x)與y＝b的圖象有四個交點，由函數y＝f(x)可知，當x∈(－∞，－1]時，函數單調遞減，y∈[0，＋∞)；當x∈(－1，0]時，函數單調遞增，y∈(0，1]；當x∈(0，1)時，函數單調遞減，y∈(0，＋∞)；當x∈[1，＋∞)時，函數單調遞增，y∈[0，＋∞)．結合圖象，可知實數b的取值范圍為(0，1]．故選A.
【通性通法】
根據零點個數求參數的方法
(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式(組)，再通過解不等式(組)確定參數范圍．
(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決．
(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解．一是轉化為兩個函數y＝g(x)，y＝h(x)的圖象的交點個數問題，畫出兩個函數的圖象，其交點的個數就是函數零點的個數，二是轉化為y＝a，y＝g(x)的圖象的交點個數問題．
【鞏固遷移】
6．(2024·安徽蚌埠高三摸底)已知函數f(x)＝2|x|＋x2＋a有唯一的零點，則實數a的值為(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．－2
答案　B
解析　函數f(x)＝2|x|＋x2＋a的定義域為R，f(－x)＝2|－x|＋(－x)2＋a＝f(x)，即函數f(x)為偶函數，當x≥0時，f(x)＝2x＋x2＋a，則f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，在(－∞，0)上單調遞減，則當x＝0時，f(x)min＝a＋1，由函數f(x)＝2|x|＋x2＋a有唯一的零點，得a＋1＝0，解得a＝－1，所以實數a的值為－1.故選B.
7．設a∈R，對任意實數x，記f(x)＝min{|x|－2，x2－ax＋3a－5}．若f(x)至少有3個零點，則實數a的取值范圍為________．
答案　[10，＋∞)
解析　設g(x)＝x2－ax＋3a－5，h(x)＝|x|－2，由|x|－2＝0可得x＝±2.要使得函數f(x)至少有3個零點，則函數g(x)至少有一個零點，則Δ＝a2－12a＋20≥0，解得a≤2或a≥10.①當a＝2時，g(x)＝x2－2x＋1，作出函數g(x)，h(x)的圖象如圖所示，此時函數f(x)只有2個零點，不符合題意；②當a<2時，設函數g(x)的2個零點分別為x1，x2(x110時，設函數g(x)的2個零點分別為x3，x4(x34，所以a>10.綜上所述，實數a的取值范圍是[10，＋∞)．
考向3根據零點范圍求參數
例5已知函數f(x)＝log2(x＋1)－＋m在區間(1，3]上有零點，則實數m的取值范圍為________．
答案　
解析　由于函數y＝log2(x＋1)，y＝m－在區間(1，3]上單調遞增，所以函數f(x)在(1，3]上單調遞增，由于函數f(x)＝log2(x＋1)－＋m在區間(1，3]上有零點，則即解得－≤m<0.因此實數m的取值范圍是.
【通性通法】
根據零點范圍求參數的方法
(1)利用零點存在定理構建不等式(組)求解．
(2)分離參數后轉化為函數的值域(最值)問題求解．
(3)轉化為兩個熟悉的函數圖象的上下關系問題，從而構建不等式(組)求解．
【鞏固遷移】
8．(2024·湖北荊州中學高三月考)已知f(x)是定義在R上且周期為3的函數，當x∈[0，3)時，f(x)＝，若函數y＝f(x)－a
在區間[－3，4]上有10個零點(互不相同)，則實數a的取值范圍是________．
答案　
解析　作出函數f(x)＝，x∈[0，3)的圖象，可見f(0)＝，當x＝1時，f(x)極大值＝，方程f(x)－a＝0在[－3，4]上有10個零點，即函數y＝f(x)的圖象與直線y＝a在[－3，4]上有10個交點，由于函數f(x)的周期為3，因此直線y＝a與函數f(x)＝，x∈[0，3)的圖象有4個交點，則有a∈.
課時作業
【A組 基礎練習】
一、單項選擇題
1．(2024·江蘇揚中第二高級中學高三期初檢測)函數f(x)＝2x＋3x的零點所在的一個區間是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
答案　B
解析　因為函數f(x)＝2x＋3x在定義域內單調遞增，f(－1)＝－3＝－<0，f(0)＝1＋0＝1>0，所以由函數零點存在定理可知，函數f(x)的零點所在的區間為(－1，0)．故選B.
2．已知函數f(x)＝則函數f(x)的零點為(　　)
A．2 B．－2，0
C. D．0
答案　D
解析　當x≤1時，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；當x>1時，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝(舍去)．綜上所述，函數f(x)的零點為0.故選D.
3．函數f(x)＝ex|ln x|－1的零點個數是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　令f(x)＝ex|ln x|－1＝0，即|ln x|＝e－x，則函數f(x)＝ex|ln x|－1的零點個數等價于兩個函數y＝e－x與y＝|ln x|圖象的交點個數，y＝e－x與y＝|ln x|的圖象如圖所示，由圖可知，兩個函數的圖象有2個交點，故函數f(x)＝ex|ln x|－1的零點個數是2.故選B.
4．(2023·河南扶溝期末)若關于x的方程logx＝在區間上有解，則實數m的取值范圍是(　　)
A.
B.
C.∪
D.∪(1，＋∞)
答案　B
解析　y＝logx在區間上為減函數，則15．已知三個函數f(x)＝2x－1＋x－1，g(x)＝ex－1－1，h(x)＝log2(x－1)＋x－1的零點依次為a，b，c，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
答案　D
解析　∵函數f(x)＝2x－1＋x－1為增函數，又f(0)＝2－1－1＝－<0，f(1)＝1>0，∴a∈(0，1)，由g(x)＝ex－1－1＝0，得x＝1，即b＝1，∵h(x)＝log2(x－1)＋x－1在(1，＋∞)上單調遞增，又h＝log2＋－1＝－<0，h(2)＝log2(2－1)＋2－1＝1>0，∴b>a.故選D.
6．若方程mx－x－m＝0(m>0，且m≠1)有兩個不同的實數根，則實數m的取值范圍是(　　)
A．(0，1) B．(2，＋∞)
C．(0，1)∪(2，＋∞) D．(1，＋∞)
答案　D
解析　方程mx－x－m＝0有兩個不同的實數根等價于函數y＝mx與y＝x＋m的圖象有兩個不同的交點，當m>1時，如圖1所示，由圖可知，當m>1時，函數y＝mx與y＝x＋m的圖象有兩個不同的交點，滿足題意；當07．已知函數f(x)＝若函數g(x)＝f(x)＋x－m恰有兩個不同的零點，則實數m的取值范圍是(　　)
A．[0，1] B．(－1，1)
C．[0，1) D．(－∞，1]
答案　D
解析　由題意，函數f(x)＝當x≤0時，函數f(x)＝ex為增函數，其中f(0)＝1，當x>0時，函數f(x)＝ln x為增函數，且f(1)＝0，又由函數g(x)＝f(x)＋x－m恰有兩個不同的零點，即為g(x)＝0有兩個不等的實數根，即y＝f(x)與y＝－x＋m的圖象有兩個不同的交點，如圖所示，當y＝－x＋m恰好過點(1，0)，(0，1)時，兩函數的圖象有兩個不同的交點，結合圖象，要使得函數g(x)＝f(x)＋x－m恰有兩個不同的零點，實數m的取值范圍是(－∞，1]．故選D.
8．已知函數f(x)＝若a，b，c均不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是(　　)
A．(1，10) B．(5，6)
C．(10，12) D．(20，24)
答案　C
解析　函數f(x)的圖象如圖所示，不妨設a二、多項選擇題
9．下列說法正確的是(　　)
A．函數y＝x2－3x－4的零點是(4，0)，(－1，0)
B．方程ex＝3＋x有兩個解
C．函數y＝3x，y＝log3x的圖象關于直線y＝x對稱
D．用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)內的近似解的過程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根落在區間(1.25，1.5)上
答案　BCD
解析　對于A，令y＝x2－3x－4＝0，解得x＝－1或x＝4，所以函數y＝x2－3x－4的零點是－1和4，故A錯誤；對于B，分別作出y＝ex，y＝3＋x的圖象，y＝ex與y＝3＋x的圖象有兩個交點，即方程ex＝3＋x有兩個解，故B正確；對于C，因為同底數的指數函數和對數函數的圖象關于直線y＝x對稱，所以函數y＝3x，y＝log3x的圖象關于直線y＝x對稱，故C正確；對于D，因為y＝3x＋3x－8單調遞增，由零點存在定理知，因為f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，所以方程的根落在區間(1.25，1.5)上，故D正確．故選BCD.
10．若關于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有實數根x1，x2，且x1A．當m＝0時，x1＝2，x2＝3
B．m>－
C．當m>0時，2D．二次函數y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零點為2和3
答案　ABD
解析　對于A，易知當m＝0時，(x－2)(x－3)＝0的根為2，3，故A正確；對于B，設y＝(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6＝－≥－，因為y＝(x－2)(x－3)的圖象與直線y＝m有兩個交點，所以m>－，故B正確；對于C，當m>0時，y＝(x－2)(x－3)－m的圖象由y＝(x－2)(x－3)的圖象向下平移m個單位長度得到，x1<2<311．已知函數f(x)＝函數g(x)＝f(x)－a，則下列結論正確的是(　　)
A．若g(x)有3個不同的零點，則a的取值范圍是[1，2)
B．若g(x)有4個不同的零點，則a的取值范圍是(0，1)
C．若g(x)有4個不同的零點x1，x2，x3，x4(x1D．若g(x)有4個不同的零點x1，x2，x3，x4(x1答案　BCD
解析　令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，所以g(x)的零點個數即為函數y＝f(x)與y＝a圖象的交點個數，故作出函數y＝f(x)的圖象如圖，由圖可知，若g(x)有3個不同的零點，則a的取值范圍是[1，2)∪{0}，故A錯誤；若g(x)有4個不同的零點，則a的取值范圍是(0，1)，故B正確；若g(x)有4個不同的零點x1，x2，x3，x4(x1三、填空題
12．已知函數f(x)＝log2(x－1)＋a在區間(2，3)上有且僅有一個零點，則實數a的取值范圍為________．
答案　(－1，0)
解析　由對數函數的性質，可得f(x)為增函數，又函數f(x)在(2，3)上有且僅有一個零點，所以f(2)f(3)<0，即a(a＋1)<0，解得－113．已知函數f(x)＝若函數y＝f(x)－kx－1有m個零點，函數y＝f(x)－x－1有n個零點，且m＋n＝7，則非零實數k的取值范圍是________．
答案　∪[3，＋∞)
解析　f(x)的圖象與直線y＝kx＋1和y＝x＋1共7個交點，f(x)的圖象如圖所示，所以①解得0②解得k≥3.綜上，非零實數k的取值范圍是∪[3，＋∞)．
14．(2024·河北衡水中學高三月考)已知函數f(x)＝與g(x)＝1－sinπx，則函數F(x)＝f(x)－g(x)在區間[－2，6]內所有零點的和為________．
答案　16
解析　令F(x)＝f(x)－g(x)＝0，得f(x)＝g(x)，在同一平面直角坐標系中分別畫出函數f(x)＝1＋與g(x)＝1－sinπx的圖象，如圖所示，又f(x)，g(x)的圖象都關于點(2，1)對稱，結合圖象可知f(x)與g(x)的圖象在[－2，6]上共有8個交點，交點的橫坐標即F(x)＝f(x)－g(x)的零點，由對稱性可得，所有零點的和為4×2×2＝16.
【B組 素養提升】
15．已知函數f(x)＝則方程f(f(x))＋3＝0的解的個數為(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
答案　C
解析　已知函數f(x)＝∴令f(x)＝－3，則當x>0時，ln x＝－3，解得x＝；當x<0時，x＋＝－3，解得x＝.∵f(f(x))＋3＝0，即f(f(x))＝－3，則f(x)＝或f(x)＝.由f(x)＝，得ln x＝，此方程只有一個根，∵當x<0時，f(x)＝x＋≤－2，當且僅當x＝－1時，等號成立，∴f(x)＝僅在x>0時有一個根，f(x)＝在x<0時有兩個根，在x>0時有一個根．綜上，方程f(f(x))＋3＝0的解的個數為5.故選C.
16．(多選)(2024·湖北荊州模擬)已知函數f(x)＝若方程f(x)＝m有四個不等的實根x1，x2，x3，x4，且x1A．0C．x3x4∈(48，55) D．x1x3∈(1，5)
答案　ACD
解析　對于A，當00，則f(x)＝logx，易得f(x)在(0，1)上單調遞減，且f(x)>f(1)＝0，當1≤x<4時，logx≤0，則f(x)＝－logx，易得f(x)在[1，4)上單調遞增，且f(1)≤f(x)17．已知定義在R上的奇函數y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，當－1≤x<0時，f(x)＝x2，則方程f(x)＋＝0在[－2，6]內的所有根之和為________．
答案　12
解析　因為f(1＋x)＝f(1－x)，所以y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，又函數y＝f(x)在R上為奇函數，且當－1≤x<0時，f(x)＝x2，由此畫出f(x)在區間[－2，6]上的圖象如圖所示．f(x)＋＝0 f(x)＝－，由圖可知，y＝－與f(x)的圖象有4個交點，其中兩個關于直線x＝1對稱，兩個關于直線x＝5對稱，所以方程f(x)＋＝0在[－2，6]內的所有根之和為2×1＋2×5＝12.
18．(2024·山東泰安高三期末)已知函數f(x)＝若x1答案　
解析　對于f(x)＝當x>3時，f(x)>2，當－9≤x≤3時，0≤f(x)≤2，并且圖象關于直線x＝－3對稱，函數f(x)的圖象如下圖所示，
如果x1>3，則f(x1)＝f(x2)不成立，∴x1∈[－9，3]，x2∈[－9，3]，并且有x1＋x2＝－6，021世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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